【名師一號】2020-2021學(xué)年北師大版高中數(shù)學(xué)必修2雙基限時(shí)練3

雙基限時(shí)練(三)一、選擇題1．用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，對其中兩條線段結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．原來相交的仍相交 B．原來垂直的仍垂直C．原來平行的仍平行 D．原來共點(diǎn)的仍共點(diǎn)解析斜二測畫法保平行，保相交，保平行線段的比，但不保垂直．答案B2．如圖所示的直觀圖中A′B′∥y′軸，B′C′∥A′D′∥x′軸，且B′C′≠A′D′.其對應(yīng)的平面圖形ABCD是()A．任意梯形 B．直角梯形C．任意四邊形 D．平行四邊形解析由直觀圖的畫法，可知原四邊形ABCD為直角梯形．答案B3．一個(gè)水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形A′B′O′，如圖若O′B′＝1，那么原△ABO的面積是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D．2eq\r(2)解析由斜二測畫法，可知原三角形為直角三角形，且∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝2O′A′＝2eq\r(2)，∴S△AOB＝eq\f(1,2)×1×2eq\r(2)＝eq\r(2).答案C4.如圖所示為等腰直角三角形，其中AB＝AC＝2，則△ABC的直觀圖的面積為()A．2 B.eq\r(2)C.eq\f(\r(2),2) D．2eq\r(2)解析△ABC的直觀圖如圖所示，則S△A′B′C′＝eq\f(1,2)×2×1×sin45°＝eq\f(\r(2),2).答案C5．已知△A′B′C′為水平放置的△ABC的直觀圖，如圖，則在△ABC的三邊及中線AD中，最長的線段是()A．AB B．ADC．BC D．AC解析由斜二測畫法，可知原三角形ABC為直角三角形，AC為斜邊，D為BC的中點(diǎn)，故AC>AD，故最長的線段為AC，故答案為D.答案D6．已知等邊三角形的邊長為2，那么它的直觀圖的面積為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),4) D.eq\f(\r(6),2)解析如圖①②分別為平面圖與直觀圖，由②可知，A′B′＝2，h′＝C′O′sin45°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),4)，S△A′B′C′＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),4)×2＝eq\f(\r(6),4).答案C二、填空題7．在一等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝45°，DC＝2，AD＝eq\r(2)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，其中O為AB的中點(diǎn)，則其直觀圖的面積為________．解析由圖可知AB＝DC＋2ADcos45°＝4，EO＝eq\r(2)sin45°＝1，其直觀圖如圖所示，其中A′B′＝4，C′D′＝2，高h(yuǎn)′＝E′O′.sin45°＝eq\f(\r(2),4)，∴SA′B′C′D′＝eq\f(2＋4×\f(\r(2),4),2)＝eq\f(3\r(2),4).答案eq\f(3\r(2),4)8．一個(gè)水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，則AB邊上的中線的實(shí)際長度為________．解析由斜二測畫法，知△ABC為直角三角形，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(9＋16)＝5，∴AB邊上的中線為eq\f(5,2).答案eq\f(5,2)9．如圖所示，ABCD為邊長為2的正方形，其中B(2,2)，則在斜二測畫法中，直觀圖A′B′C′D′中B′點(diǎn)到x′軸的距離為________．解析在直觀圖中，A′B′C′D′是有一個(gè)角為45°的平行四邊形，B′到x′軸的距離為d＝1×sin45°＝eq\f(\r(2),2).答案eq\f(\r(2),2)三、解答題10．把下圖水平放置的直觀圖P′Q′R′S′還原為真實(shí)圖形．若S′R′＝2，P′Q′＝4，S′P′＝2，S′R′∥P′Q′∥O′x′，P′S′∥O′y′，試求其真實(shí)圖形PQRS的面積．解由斜二測畫法，知P′Q′∥O′x′，P′S′∥O′y′，R′S′∥O′x′.故PQ∥Ox，PS∥Oy，RS∥Ox，且PS＝2P′S′，PQ＝P′Q′，RS＝R′S′.故真實(shí)圖形如圖所示．由上知PQ＝P′Q′＝4，SR＝S′R′＝2，SP＝2S′P′＝4，且四邊形PQRS是直角梯形，其面積S＝eq\f(1,2)(SR＋PQ)·SP＝eq\f(1,2) (2＋4)×4＝12.11．已知正△ABC的邊長為a，求△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積．解由斜二測畫法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在圖②中，作C′D′⊥A′B′于點(diǎn)D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a，所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.12．畫出長為5，寬為4，高為5的長方體的直觀圖．解(1)畫出x軸，y軸，z軸三軸相交于O點(diǎn)，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，∠yOz＝90°.(2)在x軸上取OA＝5，OC＝2，過A作AB∥OC，過C作CB∥OA，則四邊形OABC為下底面．(3)在z軸上取OO′＝5，過O′作O′x′∥Ox，O′y′∥Oy，建立坐標(biāo)系x′O′y′，重復(fù)(2)的步驟作出上底面O′A′B′C′.(4)連接AA′，BB′，CC′，OO′，即得到長方體OABC－O′A′B′C′的直觀圖．思維探究13．已知水平放置的三角形ABC是正三角形，其直觀圖的面積為eq\f(\r(6),4)a2，求△ABC的周長．解圖△ABC是△A′B′C′的原圖形，設(shè)△ABC的邊長為x，由斜二測畫法，知A′B′＝AB＝x，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)x，作C′D′⊥A′B′，垂足為D′，∵∠C′O′D′＝45°，∴C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),4)x＝eq\f(\r(6),