【全程復習方略】2022屆高考數學(文科人教A版)大一輪課時作業(yè)：8.6-雙曲線-

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調整合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)(四十八)雙曲線(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.設P是雙曲線=1上一點,F1,F2分別是雙曲線左右兩個焦點,若|PF1|=9,則|PF2|等于()A.1 B.17C.1或17 D.以上答案均不對【解析】選B.由雙曲線定義||PF1|-|PF2||=8,又|PF1|=9,所以|PF2|=1或17,但應留意雙曲線的右頂點到右焦點距離最小為c-a=6-4=2>1,所以|PF2|=17.【誤區(qū)警示】本題極易忽視雙曲線的右頂點到右焦點距離的最小值為2>1,從而誤選C.2.若雙曲線=1的左焦點與拋物線y2=-8x的焦點重合,則m的值為()A.3B.4C.5D.6【解析】選A.由于雙曲線=1的左焦點與拋物線y2=-8x的焦點重合,所以m+m-2=4,即m=3.【加固訓練】與橢圓C:=1共焦點且過點(1,)的雙曲線的標準方程為()A.x2-=1 B.y2-2x2=1C.-=1 D.-x2=1【解析】選C.橢圓=1的焦點坐標為(0,-2),(0,2),設雙曲線的標準方程為=1(m>0,n>0),則解得m=n=2,故選C.3.(2021·沈陽模擬)已知雙曲線=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,點M在雙曲線的左支上,且|MF2|=7|MF1|,則此雙曲線離心率的最大值為()A. B. C.2 D.【解析】選A.由于|MF2|=7|MF1|,所以|MF2|-|MF1|=6|MF1|,即2a=6|MF1|≥6(c-a),故8a≥6c,即e=4.(2021·馬鞍山模擬)以雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的中心O(坐標原點)為圓心,焦距為直徑的圓與雙曲線交于M點(第一象限),F1A.3-1 B.3 C.3+1 D.2【解析】選C.由題意M的坐標為c2,3c2,代入雙曲線方程可得c24a2-3c25.設F1,F2是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩個焦點,P是C上一點,若|PF1|+|PF2|=6a,且△A.2 B.32 C.3 D.【解析】選C.不妨設P是雙曲線右支上的一點,依據定義可得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a,又|F1F2|=2c,且c>a,所以△PF1F2的最小內角為∠PF1F2=30°,依據余弦定理可得cos∠PF1F2=(4a)2【方法技巧】雙曲線離心率的求解方法(1)直接法:利用已知條件直接求出a,c的值,再利用離心率公式直接求解.(2)利用漸近線方程:利用離心率與漸近線斜率之間的關系e=QUOTE1+ba2求解.(3)利用關于a,c的齊次式:利用已知條件,查找a與c的關系式,然后求解.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2021·成都模擬)已知圓x2+y2-4x-9=0與y軸的兩個交點A,B都在某雙曲線上,且A,B兩點恰好將此雙曲線的焦距三等分,則此雙曲線的標準方程為.【解析】易知圓與y軸的交點坐標為(0,3),(0,-3),由于圓x2+y2-4x-9=0與y軸的兩個交點A,B都在某雙曲線上,所以雙曲線的焦點在y軸上,且a=3,又A,B兩點恰好將此雙曲線的焦距三等分,所以c=9,所以b2=72,所以此雙曲線的標準方程為=1.答案:=17.已知F是雙曲線x24-y2【解析】由于A點在雙曲線的兩支之間,且雙曲線右焦點為F′(4,0),于是由雙曲線的定義得|PF|-|PF′|=2a=4.而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5.兩式相加得|PF|+|PA|≥9,當且僅當A,P,F′三點共線時,等號成立.答案:9【方法技巧】與雙曲線有關的最值問題的求法與雙曲線有關的最值問題,經常借助于雙曲線的定義,將表達式轉化為線段之和求最值,然后再借助于平面幾何的性質求解.8.過已知雙曲線=1(b>0)的左焦點F1作☉O:x2+y2=4的兩條切線,記切點為A,B,雙曲線的左頂點為C,若∠ACB=120°,則雙曲線的離心率為.【解析】如圖,由于∠OCA=60°,|OC|=|OA|=2,所以∠AOC=60°,∠AF1C=30°所以e==2.答案:2三、解答題(每小題10分,共20分)9.過雙曲線=1的右焦點F2,傾斜角為30°的直線交雙曲線于A,B兩點,O為坐標原點,F1為左焦點.(1)求|AB|.(2)求△AOB的面積.【解析】(1)由雙曲線的方程得a=,b=,所以c==3,F1(-3,0),F2(3,0).直線AB的方程為y=(x-3).設A(x1,y1),B(x2,y2),由得5x2+6x-27=0.所以x1+x2=-,x1x2=-.所以|AB|=|x1-x2|(2)直線AB的方程變形為x-3y-3=0.所以原點O到直線AB的距離為d=所以S△AOB=|AB|·d=××=10.已知橢圓C1的方程為+y2=1,雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點,而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點.(1)求雙曲線C2的方程.(2)若直線l:y=kx+與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B,且OA→·O【解析】(1)設雙曲線C2的方程為=1(a>0,b>0),則a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1,故C2的方程為-y2=1.(2)將y=kx+代入-y2=1,得(1-3k2)x2-6kx-9=0.由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點,得所以k2≠且k2<1.①設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=,所以OA→=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+)=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2=又由OA→·O>2,解得<k2<3,②由①②得,<k2<1.故k的取值范圍為(-1,-)∪(,1).(20分鐘40分)1.(5分)(2022·南平模擬)如圖,F1,F2分別是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,B是虛軸的端點,直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點,線段PQ的垂直平分線與x軸交于點M,若|MF2A.233B.62C.【解析】選B.由y=bay=bcc-a,即Q由y=-bax,y=b即P-ac設PQ的中點為N,則Na2而M(3c,0).所以kMN·bc=-1,即bc2整理得2c3=3a2c,即e2=32,解得e=6【一題多解】本題還可以用如下方法求解:直線BF1的方程為y=bc由y=bc由y=bc從而N點坐標為a2cb2,c2又M(3c,0),則c+a2cb2=3c,得a2=2b【加固訓練】已知雙曲線mx2-ny2=1(m>0,n>0)的離心率為2,則橢圓mx2+ny2=1的離心率為()【解析】選B.由已知雙曲線的離心率為2,得:=2,解得:m=3n,又m>0,n>0,所以m>n,即故由橢圓mx2+ny2=1得所以所求橢圓的離心率為:e=2.(5分)設雙曲線C的中心為點O,若有且只有一對相交于點O,所成的角為60°的直線A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分別是這對直線與雙曲線C的交點,則該雙曲線的離心率的取值范圍是()A.(,2] B.[,2)C.(,+∞) D.[,+∞)【解析】選A.設雙曲線的焦點在x軸上,則由作圖易知雙曲線的漸近線的斜率ba必需滿足33<ba≤3,所以13<ba2≤3,43<1+ba2≤4,即有233<【誤區(qū)警示】本題極易漏掉其緣由是對問題考慮不全,造成漏解.【方法技巧】雙曲線離心率取值范圍的驗證技巧已知雙曲線=1(a>0,b>0).則:(1)當a>b>0時,雙曲線的離心率滿足1<e<.(2)當a=b>0時,e=(亦稱為等軸雙曲線).(3)當b>a>0時,e>.3.(5分)(2021·濟南模擬)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為3,A,B為左、右頂點,點P為雙曲線C在第一象限的任意一點,點O為坐標原點,若直線PA,PB,PO的斜率分別為k1,k2,k3,記m=k1k【解析】由于雙曲線C:x2a2-y所以e=ca=3,所以b=c2-所以x2a2-y2b2=1,即x2a2-y22a2=1,由于A,B為左、右頂點,點O為坐標原點,直線PA,PB,PO的斜率分別為k1,k2,k3又由于雙曲線漸近線為y=±2x,所以0<k3<2,所以0<m=k1k2k3<22.答案:(0,22)4.(12分)設A,B分別為雙曲線=1(a>0,b>0)的左、右頂點,雙曲線的實軸長為4,焦點到漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程.(2)已知直線y=x-2與雙曲線的右支交于M,N兩點,且在雙曲線的右支上存在點D,使OM→+ON→【解析】(1)由題意知a=所以一條漸近線為y=x.即bx-2y=0.所以所以b2=3,所以雙曲線的方程為=1.(2)設M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),則x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.將直線方程代入雙曲線方程得x2-16x+84=0,則x1+x2=16,y1+y2=12.所以所以t=4,點D的坐標為(4,3).5.(13分)(力氣挑戰(zhàn)題)雙曲線x2a2-y2b(1)求雙曲線的方程.(2)若B1是雙曲線虛軸在y軸正半軸上的端點,過點B作直線交雙曲線于點M,N,求時,直線MN的方程.【解析】(1)設直線AB:xa-y所以所以雙曲線方程為x23-(2)由(1)得B(0,-3),B1(0,3),設M(x1,y1),N(x2,y2),易知直線MN的斜率存在.設直線MN:y=kx-3,所以所以3x2-(kx-3)2=9,整理得(3-k2)x2+6kx-18=0,①所以x1+x2=6kk2-3,y1+y2=k(x1+xx1x2=18k2-3,y1y2=k2(x1x2)-3k(x1由于=(x1,y1-3),=(x2,y2-3),·=0,所以x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9=0,即18k2-3解得k2=5,所以k=±5代入①有解,所以lMN:y=±5x-3.【加固訓練】雙曲線的中心為原點O,焦點在x軸上,兩條漸近線分別為l1,l2,經過右焦點F垂直于l1的直線分別交l1,l2于A,B兩點.已知|OA→|,|AB→|,|OB(