2021年高考理數(shù)二輪復(fù)習(xí)講練測-熱點(diǎn)11-軌跡方程問題的探討(講)-(解析版)

縱觀近幾年高考軌跡問題是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)和重點(diǎn)，在歷年高考中毀滅的頻率較高，主要留意考查同學(xué)的規(guī)律思維力氣，運(yùn)算力氣，分析問題和解決問題的力氣，而軌跡方程這一熱點(diǎn)，常涉及函數(shù)、三角、向量、幾何等學(xué)問，能很好地反映同學(xué)在這些力氣方面的把握程度。有的同學(xué)看到就頭疼的題目.分析緣由除了這類題目的入手的確不易之外，主要是同學(xué)沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理.本文就高中階段毀滅這類問題加以類型的總結(jié)和方法的探討.求軌跡方程的基本方法有：直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法、向量法等。1、直接法：也叫直譯法，即依據(jù)題目條件，直譯為關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的幾何關(guān)系，再利用解析幾何有關(guān)公式（如兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線距離公式、夾角公式等）進(jìn)行整理、化簡。這種求軌跡方程的過程不需要特殊的技巧，它是求軌跡方程的基本方法。例1：一條線段AB的長等于2a,兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，求AB中點(diǎn)P【思路分析】此題中利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半，得到OM=這一等量關(guān)系，是此題成功的關(guān)鍵所在。2．定義法：假如動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再依據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。例2：已知的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-4，0），（4，0），C為動(dòng)點(diǎn)，且滿足求點(diǎn)C的軌跡【思路分析】本題先用余弦定理化角的關(guān)系為邊的關(guān)系，得到邊的關(guān)系正好滿足橢圓的定義，從而得到軌跡方程3.用參數(shù)法求曲線軌跡方程參數(shù)法：假如接受直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的某個(gè)幾何量t，以此量作為參變數(shù)，分別建立P點(diǎn)坐標(biāo)x，y與該參數(shù)t的函數(shù)關(guān)系x＝f（t），y＝g（t），進(jìn)而通過消參化為軌跡的一般方程F（x，y）＝0。例3．過點(diǎn)P（2，4）作兩條相互垂直的直線l1，l2，若l1交x軸于A點(diǎn)，l2交y軸于B點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程?！舅悸贩治觥?：從運(yùn)動(dòng)的角度觀看發(fā)覺，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)是由直線l1引發(fā)的，可設(shè)出l1的斜率k作為參數(shù)，建立動(dòng)點(diǎn)M坐標(biāo)（x，y）滿足的參數(shù)方程?！舅悸贩治觥?：解法1中在利用k1k2＝－1時(shí)，需留意k1、k2是否存在，故而分情形爭辯，能否避開爭辯呢？只需利用△PAB為直角三角形的幾何特性：【思路分析】3：：設(shè)M（x，y），由已知l1⊥l2，聯(lián)想到兩直線垂直的充要條件：k1k2＝－1，即可列出軌跡方程，關(guān)鍵是如何用M點(diǎn)坐標(biāo)表示A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)。事實(shí)上，由M為AB的中點(diǎn)，易找出它們的坐標(biāo)之間的聯(lián)系。4.相關(guān)點(diǎn)法（代入法）假如動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)P'的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出P（x，y），用（x，y）表示出相關(guān)點(diǎn)P'的坐標(biāo)，然后把P'的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。例4M是拋物線y2【思路分析】：動(dòng)點(diǎn)P的位置，依靠于拋物線上的點(diǎn)M，故可考慮用相關(guān)點(diǎn)法求P的軌跡方程。例5.軌跡方程?！舅悸贩治觥浚侯}中涉及了三個(gè)點(diǎn)A、B、M，其中A為定點(diǎn)，而B、M為動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)是有規(guī)律的，明顯M的運(yùn)動(dòng)是由B的運(yùn)動(dòng)而引發(fā)的，可見M、B為相關(guān)點(diǎn)，故接受相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。5：交軌法：在求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會(huì)毀滅要求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這種問題通常通過解方程組得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程（若能直接消去兩方程的參數(shù)，也可直接消去參數(shù)得到軌跡方程），該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。例6如圖，已知拋物線，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).求△APB的重心G的軌跡方程.【思路分析】重心G的變化受動(dòng)點(diǎn)A，B的影響，動(dòng)點(diǎn)A,B的變化又受動(dòng)點(diǎn)P的限制，可接受交軌法求軌跡方程六、用點(diǎn)差法求軌跡方程點(diǎn)差法就是在求解圓錐曲線并且題目中交代直線與圓錐曲線相交被截的線段中點(diǎn)坐標(biāo)的時(shí)候，利用直線和圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，并把交點(diǎn)代入圓錐曲線的方程，并作差。求出直線的斜率，然后利用中點(diǎn)求出直線方程。點(diǎn)差法是解決橢圓與直線的關(guān)系中常用到的一種方法。點(diǎn)差法常見題型有求中點(diǎn)弦方程、求（過定點(diǎn)、平行弦）弦中點(diǎn)軌跡、垂直平分線、定值問題。利用點(diǎn)差法可以削減很多的計(jì)算，所以在解有關(guān)的問題時(shí)用這種方法比較好。例7.已知橢圓，（1）求過點(diǎn)且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；【思路分析】：此題中三問都跟弦中點(diǎn)有關(guān)，一般接受點(diǎn)差法.運(yùn)用點(diǎn)差法，可以達(dá)到“設(shè)而不求”的目的，同時(shí)，還可以降低解題的運(yùn)算量，優(yōu)化解題過程.點(diǎn)差法通常解決與直線斜率和弦的中點(diǎn)有關(guān)或借助曲線方程中變量的取值范圍求出其他變量的范圍。高考考查軌跡問題通常是以下兩類：一類是簡潔題，以定義法、相關(guān)點(diǎn)法、待定系數(shù)法等為主，另一類是高難度的純軌跡問題，綜合考查各種方法?！败壽E”、“方程”要區(qū)分求軌跡方程，求得方程就可以了；若是求軌跡，求得方程還不夠，還應(yīng)指出方程所表示的曲線類型（定形、定位、定量）。處理軌跡問題成敗在于：對(duì)各種方法的領(lǐng)悟與解題閱歷的積累。所以在處理軌跡問題時(shí)確定要擅長依據(jù)題目的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄊ裁礌顩r下用什么方法上面已有介紹，這里不在重復(fù)）確定軌跡的范圍是處理軌跡問題的難點(diǎn)，也是同學(xué)簡潔毀滅錯(cuò)誤的地方，在確定軌跡范圍時(shí)，應(yīng)留意以下幾個(gè)方面：①精確理解題意，挖掘隱含條件；②列式不轉(zhuǎn)變題意，并且要