復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則公式

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則公式復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，也叫鏈?zhǔn)椒▌t，是微積分中的重要概念，是求解復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵。本文將介紹復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的基本概念、公式和應(yīng)用。一、什么是復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)是將一個(gè)函數(shù)作為另一個(gè)函數(shù)的輸入值，類似于嵌套，通過(guò)組合這兩個(gè)函數(shù)產(chǎn)生一個(gè)新的函數(shù)的過(guò)程。形式上，若函數(shù)f(x)和g(x)均為實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的映射，則其復(fù)合函數(shù)為所定義的函數(shù)h(x)，對(duì)于每個(gè)x∈R，有：h(x)=f(g(x))其中，g(x)為函數(shù)f(x)的自變量。用圖像來(lái)表示復(fù)合函數(shù)，可以想象成，首先從自變量x開始，先經(jīng)過(guò)g(x)的變換，得到中間量g(x)，再將其作為f(x)的輸入，進(jìn)行f(x)的變換，這樣得到的最終輸出即為h(x)的值。二、鏈?zhǔn)椒▌t的引入對(duì)于給定的復(fù)合函數(shù)h(x)，求其導(dǎo)數(shù)可以采用基本的導(dǎo)數(shù)法則，如求和法則、差法則和積法則等。但對(duì)于如上所述的復(fù)合函數(shù)，常規(guī)的導(dǎo)數(shù)法則并不能直接得到其導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式。例如，設(shè)：h(x)=(x^2+1)^5如果直接對(duì)其求導(dǎo)，式子會(huì)變得非常復(fù)雜。但如果我們將其看成是將一個(gè)函數(shù)g(x)作為另一個(gè)函數(shù)f(x)的輸入來(lái)進(jìn)行計(jì)算，即：g(x)=x^2+1f(g(x))=g(x)^5這樣，我們就可以通過(guò)f(x)和g(x)的導(dǎo)數(shù)來(lái)求出復(fù)合函數(shù)h(x)的導(dǎo)數(shù)，從而避免了直接對(duì)h(x)求導(dǎo)時(shí)的復(fù)雜度。這就是鏈?zhǔn)椒▌t的思路。三、鏈?zhǔn)椒▌t的公式1.一元函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t假設(shè)y=f(u)和u=g(x)是實(shí)值函數(shù)，且它們都可導(dǎo)，則$y=f(g(x))$為實(shí)值函數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)由下式計(jì)算：$$\\left.y^{\\prime}\\right|_{x}=\\left.\\frac{\\mathrmykskoesy}{\\mathrmcwg4kuku}\\right|_{u=g(x)}\\cdot\\frac{\\mathrm{~d}u}{\\mathrme20i0cux}$$其中，“|”表示在某個(gè)特定點(diǎn)處求導(dǎo)。2.多元函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t假設(shè)有多個(gè)自變量u1,u2,…,un作為輸入，其中：$$y=f(u1,u2,\\cdots,un)$$而這些自變量又可以看作是其他自變量的函數(shù)，如：\\begin{aligned}u_{1}&=g_{1}(x_{1},x_{2},\\cdots,x_{m})\\\\u_{2}&=g_{2}(x_{1},x_{2},\\cdots,x_{m})\\\\&\\cdots\\\\u_{n}&=g_{n}(x_{1},x_{2},\\cdots,x_{m})\\end{aligned}則：$$\\frac{\\partialy}{\\partialx_{i}}=\\sum_{j=1}^{n}\\frac{\\partialy}{\\partialu_{j}}\\cdot\\frac{\\partialu_{j}}{\\partialx_{i}}$$其中，$\\frac{\\partialy}{\\partialu_{j}}$和$\\frac{\\partialu_{j}}{\\partialx_{i}}$分別是函數(shù)y和ui對(duì)于xj的偏導(dǎo)數(shù)。四、鏈?zhǔn)椒▌t的應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t在求解復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)中有廣泛應(yīng)用，且能通過(guò)嵌套求導(dǎo)的方式求解復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可用于數(shù)學(xué)、物理、工程等諸多領(lǐng)域的問(wèn)題求解。舉例來(lái)說(shuō)，假設(shè)有如下函數(shù)：$$f(x)=\\sin(x^2+1)$$可以看出，其由兩個(gè)函數(shù)嵌套而成，因此可以使用鏈?zhǔn)椒▌t來(lái)求解。首先設(shè)：\\begin{aligned}u&=x^2+1\\\\y&=\\sinu\\end{aligned}此時(shí)，我們可以分別求出f(x)中每個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，即：\\begin{aligned}\\frac{\\mathrmuoiwwqou}{\\mathrmmukmaeax}&=2x\\\\\\frac{\\mathrms6e4esyy}{\\mathrmc0cq4oqu}&=\\cosu\\end{aligned}然后，通過(guò)鏈?zhǔn)椒▌t，組合這些導(dǎo)數(shù)，即可求出復(fù)合函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)：$$\\frac{\\mathrmk22soewy}{\\mathrm22wmmegx}=\\frac{\\mathrmcqyg0giy}{\\mathrmaekyegwu}\\cdot\\frac{\\mathrmgokkum0u}{\\mathrmmaa00kmx}=\\cos(x^2+1)\\cdot2x$$五、總結(jié)鏈?zhǔn)?/p>