中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識梳理+考點(diǎn)精講專題26 點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系（原卷版）

專題26點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系中考命題解讀中考命題解讀直線與圓位置關(guān)系的判定是中考考查的熱點(diǎn)，通常出現(xiàn)在選擇題中．考查的重點(diǎn)是切線的性質(zhì)和判定，題型多樣，常與三角形、四邊形、相似、函數(shù)等知識結(jié)合在一起綜合考查．圓與圓位置關(guān)系的判定一般借助兩圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)或利用兩圓半徑與圓心距的關(guān)系來判定，通常出現(xiàn)在選擇題、填空題中.考標(biāo)要求考標(biāo)要求1.探索并了解點(diǎn)和圓、直線和圓以及圓和圓的位置關(guān)系．2．知道三角形的內(nèi)心和外心．3．了解切線的概念，并掌握切線的判定和性質(zhì)，會(huì)過圓上一點(diǎn)畫圓的切線.考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講考點(diǎn)1點(diǎn)與圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑是r，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，則有：d<r點(diǎn)P在⊙O內(nèi)；d=r點(diǎn)P在⊙O上；d>r點(diǎn)P在⊙O外。考點(diǎn)2過三點(diǎn)的圓過三點(diǎn)的圓不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。三角形的外接圓經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓。3、三角形的外心三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它叫做這個(gè)三角形的外心?？键c(diǎn)3直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離無交點(diǎn)；2、直線與圓相切有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線與圓相交有兩個(gè)交點(diǎn)；考點(diǎn)4切線的性質(zhì)與判定定理1、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵且過半徑外端∴是⊙的切線2、性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖）推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。推論2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：即：①過圓心；②過切點(diǎn)；③垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)?？键c(diǎn)5切線長定理切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：∵、是的兩條切線∴；平分考點(diǎn)6三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心1、三角形的內(nèi)切圓與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。2、三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它叫做三角形的內(nèi)心。注意：內(nèi)切圓及有關(guān)計(jì)算。（1）三角形內(nèi)切圓的圓心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等。（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，則內(nèi)切圓的半徑r=。BOAD（3）S△ABC=BOAD（4）弦切角：角的頂點(diǎn)在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。如圖，BC切⊙O于點(diǎn)B，AB為弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。C母題精講母題精講【典例1】（2022秋?寬城區(qū)校級期末）如圖，BD是⊙O的直徑，A是BD延長線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在⊙O上，BC⊥AE，交AE的延長線于點(diǎn)C，BC交⊙O于點(diǎn)F，且點(diǎn)E是的中點(diǎn)．求證：AC是⊙O的切線．【變式1-1】（2022秋?河西區(qū)校級期末）如圖，⊙O的直徑AB＝4，∠ABC＝30°，BC交⊙O于點(diǎn)D，D是BC的中點(diǎn)．（1）求BC的長；（2）過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，求證：直線DE是⊙O的切線．【變式1-2】（2022秋?天河區(qū)校級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，AC的中點(diǎn)D在⊙O上，DE⊥BC于E．求證：DE是⊙O的切線．【典例2】（2022秋?長樂區(qū)期中）如圖，在△OAB中，OA＝OB＝5，AB＝8，⊙O的半徑為3．求證：AB是⊙O的切線．【變式2-1】（2022秋?平潭縣校級期中）如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，以點(diǎn)O為圓心，OD的長為半徑作⊙O．求證：AC是⊙O的切線．【典例3】（2022?鞍山）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)E為⊙O上一點(diǎn)，EF∥AC交AB的延長線于點(diǎn)F，CE與AB交于點(diǎn)D，連接BE，若∠BCE＝∠ABC．（1）求證：EF是⊙O的切線．（2）若BF＝2，sin∠BEC＝，求⊙O的半徑．【變式3-1】（2022秋?河西區(qū)校級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的一點(diǎn)，OD⊥AB交AC于點(diǎn)E，∠D＝2∠A．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）求證：DE＝DC；（3）若OD＝10，CD＝6，求AE的長．【變式3-2】（2022?菏澤）如圖，在△ABC中，以AB為直徑作⊙O交AC、BC于點(diǎn)D、E，且D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，交BA的延長線于點(diǎn)H．（1）求證：直線HG是⊙O的切線；（2）若HA＝3，cosB＝，求CG的長．真題精選真題精選命題點(diǎn)1切線性質(zhì)的有關(guān)證明與計(jì)算命題點(diǎn)1切線性質(zhì)的有關(guān)證明與計(jì)算1．（2022?河池）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∠ABC＝25°，OC的延長線交PA于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)是（）A．25° B．35° C．40° D．50°2．（2022?長沙）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，若∠AOB＝128°，則∠P的度數(shù)為（）A．32° B．52° C．64° D．72°3．（2022?眉山）如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿PA，PB分別相切于點(diǎn)A，B，不倒翁的鼻尖正好是圓心O，若∠OAB＝28°，則∠APB的度數(shù)為（）A．28° B．50° C．56° D．62°4．（2022?重慶）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，連接AO交⊙O于點(diǎn)C，延長AO交⊙O于點(diǎn)D，連接BD．若∠A＝∠D，且AC＝3，則AB的長度是（）A．3 B．4 C．3 D．45．（2021?西寧）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，AC分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，連接OE，OF，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，則陰影部分的面積為（）A． B． C．4﹣π D．6．（2022?衢州）如圖，AB切⊙O于點(diǎn)B，AO的延長線交⊙O于點(diǎn)C，連結(jié)BC．若∠A＝40°，則∠C的度數(shù)為．7．（2022?青島）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，OA與⊙O交于點(diǎn)C，以點(diǎn)A為圓心、以O(shè)C的長為半徑作，分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．若OC＝2，AB＝4，則圖中陰影部分的面積為．命題點(diǎn)2切線判定的有關(guān)證明與計(jì)算命題點(diǎn)2切線判定的有關(guān)證明與計(jì)算 8．（2022秋?任城區(qū)期末）如圖，已知△ABC是等邊三角形，以AB為直徑作⊙O，交BC邊于點(diǎn)D，交AC邊于點(diǎn)F，作DE⊥AC于點(diǎn)E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若△ABC的邊長為4，求EF的長度．9．（2022秋?亭湖區(qū)校級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，F(xiàn)為⊙O上一點(diǎn)，AC平分∠FAB交⊙O于點(diǎn)C．過點(diǎn)C作CD⊥AF交AF的延長線于點(diǎn)D．（1）求證：CD是⊙O的切線．（2）若DC＝3，AD＝9，求⊙O半徑．10．（2022?東營）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，BD⊥CE于點(diǎn)D，BC平分∠ABD．（1）求證：直線CE