中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)梳理+考點(diǎn)精講專題19 相似三角形（解析版）

專題19相似三角形中考命題解讀中考命題解讀相似三角形的應(yīng)用在中考中主要考察熱點(diǎn)有：8字圖、A字圖等簡(jiǎn)單相似模型。出題類型可以是選擇填空這類小題，也可以是18~19這類解答題，難度通常不大，問(wèn)題背景多以現(xiàn)實(shí)中的實(shí)物如樹(shù)高、樓高、物體尺寸等為背景，提煉出數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而利用（或構(gòu)造）簡(jiǎn)單相似模型求解長(zhǎng)度等問(wèn)題?？紭?biāo)要求考標(biāo)要求1.比例的基本性質(zhì)，線段的比。成比例線段2.認(rèn)識(shí)圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)3.相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，面積的比等于對(duì)應(yīng)邊比的平方4.兩個(gè)三角形相似的概念，圖形的位似5.探索兩個(gè)三角形相似的條件6.利用位似將一個(gè)圖形放大或縮小考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講考點(diǎn)1：平行線分線段成比例定理1、比例線段的有關(guān)概念：在比例式（）中，、叫外項(xiàng)，、叫內(nèi)項(xiàng)，、叫前項(xiàng)，、叫后項(xiàng)，叫第四比例項(xiàng)，如果，那么叫做、的比例中項(xiàng)．2、把線段AB分成兩條線段AC和BC，使，叫做把線段AB黃金分割，C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)。比例性質(zhì)：；；；4、平行線分線段成比例定理（1）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．如圖，已知∥∥，可得等．（2）推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．由DE∥BC可得：．此推論較原定理應(yīng)用更加廣泛．（3）推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．那么這條直線平行于三角形的第三邊．此定理給出了一種證明兩直線平行方法，即：利用比例式證平行線．定理：平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例．考點(diǎn)2：相似三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例.性質(zhì)2：相似三角形中的重要線段的比等于相似比.相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.注意：要特別注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段.性質(zhì)3：相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比如圖一：∽，則由比例性質(zhì)可得：圖一性質(zhì)4：相似三角形面積的比等于相似比的平方如圖二，∽，則分別作出與的高和，則圖二考點(diǎn)3：相似三角形的判定1．判定方法（1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.2．判定方法（2）：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似.3．判定方法（3）：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.4.判定方法（4）：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

相似三角形的基本圖形：

1、“A”字型DE∥BC2、“X”字型AB∥CD3、斜交型∠1=∠24、蝴蝶型∠A=∠D或∠B=∠C5、雙垂型，6、雙垂型拓展圖∠ABD=∠C母題精講母題精講【典例1】（2022?杭州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF．已知四邊形BFED是平行四邊形，＝．（1）若AB＝8，求線段AD的長(zhǎng)．（2）若△ADE的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．【解答】解：（1）∵四邊形BFED是平行四邊形，∴DE∥BF，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵AB＝8，∴AD＝2；（2）∵△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE的面積為1，∴△ABC的面積是16，∵四邊形BFED是平行四邊形，∴EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，∴＝（）2＝，∴△EFC的面積＝9，∴平行四邊形BFED的面積＝16﹣9﹣1＝6．真題精選真題精選命題點(diǎn)1相似三角形的有關(guān)計(jì)算命題點(diǎn)1相似三角形的有關(guān)計(jì)算1．（2022?蘭州）已知△ABC∽△DEF，＝，若BC＝2，則EF＝（）A．4 B．6 C．8 D．16【答案】A【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴，∵＝，BC＝2，∴，∴EF＝4，故選：A．2．（2022?貴陽(yáng)）如圖，在△ABC中，D是AB邊上的點(diǎn)，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，則△ADC與△ACB的周長(zhǎng)比是（）A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4【答案】B【解答】解：∵∠B＝∠ACD，∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴＝＝，故選：B．3．（2022?百色）已知△ABC與△A'B'C'是位似圖形，位似比是1：3，則△ABC與△A'B'C'的面積比是（）A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1【答案】C【解答】解：∵△ABC與△A'B'C'是位似圖形，位似比是1：3，∴△ABC與△A'B'C'相似比是1：3，∴△ABC與△A'B'C'的面積比是1：9．故選：C．4．（2022?臨沂）如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，則EC＝（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∴，∴，∴EC＝．故選：C．5．（2022?賀州）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，則S△ADE：S△ABC的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵DE∥BC，∴S△ADE∽S△ABC，∵DE＝2，BC＝5，∴S△ADE：S△ABC的值為，故選：B．6．（2022?達(dá)州）如圖，點(diǎn)E在矩形ABCD的AB邊上，將△ADE沿DE翻折，點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，若CD＝3BF，BE＝4，則AD的長(zhǎng)為（）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠EBF＝∠BCD＝90°，∵將矩形ABCD沿直線DE折疊，∴AD＝DF＝BC，∠A＝∠DFE＝90°，∴∠BFE+∠DFC＝∠BFE+∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD，∴△BEF∽△CFD，∴，∵CD＝3BF，∴CF＝3BE＝12，設(shè)BF＝x，則CD＝3x，DF＝BC＝x+12，∵∠C＝90°，∴Rt△CDF中，CD2+CF2＝DF2，∴（3x）2+122＝（x+12）2，解得x＝3（舍去0根），∴AD＝DF＝3+12＝15，故選：C．7．（2022?東營(yíng)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)F、G在BC上，點(diǎn)E、H分別在AB、AC上，四邊形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的長(zhǎng)為．【答案】【解答】解：設(shè)AD交EH于點(diǎn)R，∵矩形EFGH的邊FG在BC上，∴EH∥BC，∠EFC＝90°，∴△AEH∽△ABC，∵AD⊥BC于點(diǎn)D，∴∠ARE＝∠ADB＝90°，∴AR⊥EH，∴＝，∵EF⊥BC，RD⊥BC，EH＝2EF，∴RD＝EF＝EH，∵BC＝8，AD＝6，AR＝6﹣EH，∴＝，解得EH＝，∴EH的長(zhǎng)為，故答案為：．命題點(diǎn)相似三角形的實(shí)際應(yīng)用命題點(diǎn)相似三角形的實(shí)際應(yīng)用8．（2022?百色）數(shù)學(xué)興趣小組通過(guò)測(cè)量旗桿的影長(zhǎng)來(lái)求旗桿的高度，他們?cè)谀骋粫r(shí)刻測(cè)得高為2米的標(biāo)桿影長(zhǎng)為1.2米，此時(shí)旗桿影長(zhǎng)為7.2米，則旗桿的高度為米．【答案】12【解答】解：設(shè)旗桿的高度為x米，根據(jù)題意得：＝，解得x＝12，∴旗桿的高度為12米，故答案為：12．9．（2022?廣西）古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯曾利用立桿測(cè)影的方法，在金字塔影子的頂部直立一根木桿，借助太陽(yáng)光測(cè)金字塔的高度．如圖，木桿EF長(zhǎng)2米，它的影長(zhǎng)FD是4米，同一時(shí)刻測(cè)得OA是268米，則金字塔的高度BO是米．【答案】134【解答】解：據(jù)相同時(shí)刻的物高與影長(zhǎng)成比例，設(shè)金字塔的高度BO為x米，則可列比例為，，解得：x＝134，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝134是原方程的解，∴BO＝134．故答案為：134．10．（2022?陜西）在20世紀(jì)70年代，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國(guó)大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所作EF將矩形窗框ABCD分為上下兩部分，其中E為邊AB的黃金分割點(diǎn)，即BE2＝AE?AB．已知AB為2米，則線段BE的長(zhǎng)為米．【答案】（﹣1+）【解答】解：∵BE2＝AE?AB，設(shè)BE＝x，則AE＝（2﹣x），∵AB＝2，∴x2＝2（2﹣x），即x2+2x﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1﹣（舍去），∴線段BE的長(zhǎng)為（﹣1+）米．故答案為：（﹣1+）．11．（2022?菏澤）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是邊AC上一點(diǎn)，且BE＝BC，過(guò)點(diǎn)A作BE的垂線，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，求證：△ADE∽△ABC．【解答】證明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠CEB，∵∠CEB＝∠AED，∴∠C＝∠AED，∵AD⊥BE，∴∠D＝∠ABC＝90°，∴△ADE∽△ABC．12．（2022?陜西）小明和小華利用陽(yáng)光下的影子來(lái)測(cè)量一建筑物頂部旗桿的高．如圖所示，在某一時(shí)刻，他們?cè)陉?yáng)光下，分別測(cè)得該建筑物OB的影長(zhǎng)OC為16米，OA的影長(zhǎng)OD為20米，小明的影長(zhǎng)FG為2.4米，其中O、C、D、F、G五點(diǎn)在同一直線上，A、B、O三點(diǎn)在同一直線上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF為1.