中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識梳理+考點精講專題18 全等三角形（解析版）

專題18全等三角形中考命題解讀中考命題解讀全等三角形主要包括全等圖形、全等三角形的概念與性質(zhì)，全等三角形的判定和角平分線的性質(zhì)。在中考中，全等三角形的直接考查主要以選擇和填空為主，有時也會以證明的形式考查，難度一般較??；但大多數(shù)情況下，全等三角形的知識多作為工具性質(zhì)與其他幾何知識結(jié)合，用于輔助證明線段相等、角相等，考查面較廣，難度較大，需要考生能夠熟練運用全等三角形的性質(zhì)和判定定理?？紭艘罂紭艘?.熟悉全等三角形常考5種模型2.掌握全等三角形性質(zhì)，并運用全等三角形性質(zhì)解答。考點精講考點精講考點1：全等三角形的概念及性質(zhì)概念兩個能完全重合的三角形叫做全等三角形．性質(zhì)1.兩全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．2.全等三角形的對應(yīng)邊上的高相等，對應(yīng)邊上的中線相等，對應(yīng)角的平分線相等．3.全等三角形的周長、面積相等．考點2：全等三角形的判定模型一：平移型模型分析：此模型特征是有一組邊共線或部分重合，另兩組邊分別平行，常要在移動的方向上加（減）公共線段，構(gòu)造線段相等，或利用平行線性質(zhì)找到對應(yīng)角相等.模型示例模型二：軸對稱模型模型分析:所給圖形可沿某一直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，重合的頂點就是全等三角形的對應(yīng)頂點，解題時要注意隱含條件，即公共邊或公共角相等.模型三：旋轉(zhuǎn)型模型解讀：將三角形繞著公共頂點旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個三角形能夠完全重合，則稱這兩個三角形為旋轉(zhuǎn)型三角形．旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形存在兩種情況：①無重疊：兩個三角形有公共頂點，無重疊部分，一般有一對隱含的等角②有重疊：兩個三角形含有一部分公共角，運用角的和差可得到等角.模型四：一線三垂直型模型解讀：一線：經(jīng)過直角頂點的直線；三垂直：直角兩邊互相垂直，過直角的兩邊向直線作垂直，利用“同角的余角相等”轉(zhuǎn)化找等角9模型五：半角模型1、等邊角形半角作輔助線：延長FC到G，使得CG=BE，連接DG結(jié)論：▲DEF≌▲DGF；EF=BE+CF2、正方形含半角作輔助線：延長CB到G，使得CG=DF，連接AG結(jié)論：▲AEF≌▲AGE；EF=BE+DF母題精講母題精講【典例1】（2021秋?余干縣期中）已知：如圖，點A、B、C、D在一條直線上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．（1）求證：△ACE≌△BDF；（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度數(shù)．【答案】（1）略（2）∠E的度數(shù)為60°【解答】證明：（1）∵EA∥FB，∴∠A＝∠FBD，∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，在△EAC與△FBD中，，∴△EAC≌△FBD（SAS）；（2）∵△EAC≌△FBD，∴∠ECA＝∠D＝80°，∵∠A＝40°，∴∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，答：∠E的度數(shù)為60°．【典例2】（2021?長安區(qū)一模）如圖，△ABC和△EBD都是等邊三角形，連接AE，CD．求證：AE＝CD．【答案】略【解答】證明：∵△ABC和△EBD都是等邊三角形，∴AB＝CB，BE＝BD，∴∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，即∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD．【典例3】（2020春?海淀區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點E是∠ACB內(nèi)部一點，連接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為點D，E．（1）求證：△BCE≌△CAD；（2）請直接寫出AD，BE，DE之間的數(shù)量關(guān)系：．【答案】（1）略（2）AD＝BE+DE【解答】證明：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°．∵∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA，在△BCE和△CAD中，，∴△BCE≌△CAD（AAS）；（2）∵△BCE≌△CAD，∴BE＝DC，AD＝CE，∴AD＝CE＝CD+DE＝BE+DE，故答案為：AD＝BE+DE．真題精選真題精選模型1平移型模型1平移型1．（2022?柳州）如圖，點A，D，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三個條件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）請在上述三個條件中選取一個條件，使得△ABC≌△DEF．你選取的條件為（填寫序號）（只需選一個條件，多選不得分），你判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的結(jié)論△ABC≌△DEF．求證：AB∥DE．【解答】（1）解：在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴在上述三個條件中選取一個條件，使得△ABC≌△DEF，選取的條件為①，判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是SSS．故答案為：①，SSS；（答案不唯一）．（2）證明：∵△ABC≌△DEF．∴∠A＝∠EDF，∴AB∥DE．模型2對稱型模型2對稱型2．（2022?長沙）如圖，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分別為B，D．（1）求證：△ABC≌△ADC；（2）若AB＝4，CD＝3，求四邊形ABCD的面積．【解答】（1）證明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴∠B＝90°＝∠D，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS）；（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，∴S△ABC＝AB?BC＝×4×3＝6，∴S△ADC＝6，∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12，答：四邊形ABCD的面積是12．模型3旋轉(zhuǎn)型模型3旋轉(zhuǎn)型3．（2021?廣東模擬）如圖，△ABC與△ADE是以點A為公共頂點的兩個三角形，且AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠CAB＝90°，且線段BD、CE交于F．（1）求證：△AEC≌△ADB．（2）求∠BFC的度數(shù)．【答案】（1）略（2）∠BFC＝90°【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD與△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），（2）解：由（1）知，△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，∵∠BAC＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠BFC＝90°．4．（2022?黑龍江）△ABC和△ADE都是等邊三角形．（1）將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，連接BD，CE并延長相交于點P（點P與點A重合），有PA+PB＝PC（或PA+PC＝PB）成立（不需證明）；（2）將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；（3）將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不需要證明．【解答】解：（2）PB＝PA+PC，理由如下：如圖②，在BP上截取BF＝PC，連接AF，∵△ABC、△ADE都是等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，即∠DAB＝∠EAC，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，BF＝CP，∴△BAF≌△CAP（SAS），∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，∴∠BAC＝∠PAF＝60°，∴△AFP是等邊三角形，∴PF＝PA，∴PB＝BF+PF＝PC+PA；（3）PC＝PA+PB，理由如下：如圖③，在PC上截取CM＝PB，連接AM，同理得：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，PB＝CM，∴△AMC≌△APB（SAS），∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，∴∠BAC＝∠PAM＝60°，∴△AMP是等邊三角形，∴PM＝PA，∴PC＝P