中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圖形認(rèn)識(shí)初步》專項(xiàng)檢測(cè)卷含答案

第第頁(yè)中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圖形認(rèn)識(shí)初步》專項(xiàng)檢測(cè)卷含答案學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________一．解答題（共30小題）1．如圖，∠AOB＝120°，射線OC在平面內(nèi)．（1）若∠AOC與∠BOC互補(bǔ)，則∠BOC＝；（2）射線OC繞點(diǎn)O從射線OA的反向延長(zhǎng)線的位置出發(fā)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜180°），OM平分∠AOC．①若∠BOC＝90°，則∠MOB的度數(shù)為；②是否存在α的值，使得∠MOC與∠BOC互余，若存在，求出α；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．如圖1，點(diǎn)O是彈力墻MN上一點(diǎn)，魔法棒從OM的位置開(kāi)始繞點(diǎn)O向ON的位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)到ON位置時(shí)，則從ON位置彈回，繼續(xù)向OM位置旋轉(zhuǎn)；當(dāng)轉(zhuǎn)到OM位置時(shí)，再?gòu)腛M的位置彈回，繼續(xù)轉(zhuǎn)向ON位置，…，如此反復(fù)．按照這種方式將魔法棒進(jìn)行如下步驟的旋轉(zhuǎn)：第1步，從OA0（OA0在OM上）開(kāi)始旋轉(zhuǎn)α至OA1；第2步，從OA1開(kāi)始繼續(xù)旋轉(zhuǎn)2α至OA2；第3步，從OA2開(kāi)始繼續(xù)旋轉(zhuǎn)3α至OA3，…．例如：當(dāng)α＝30°時(shí)，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如圖2所示，其中OA3恰好落在ON上，∠A3OA4＝120°；當(dāng)α＝20°時(shí)，OA1，OA2，OA3，OA4，OA5的位置如圖3所示，其中第4步旋轉(zhuǎn)到ON后彈回，即∠A3ON+∠NOA4＝80°，而OA5恰好與OA2重合．解決如下問(wèn)題：（1）若α＝45°，在圖4中借助量角器畫(huà)出OA2，OA3，其中∠A3OA2的度數(shù)是；（2）若α＜40°，且OA3所在的射線平分∠A2ON，求出α的值；（3）若α＜35°，是否存在對(duì)應(yīng)的α值使∠A2OA4＝30°？若存在直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的α值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．3．如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣3，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，且到點(diǎn)A的距離是18；點(diǎn)C在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間，且到點(diǎn)B的距離是到點(diǎn)A距離的2倍．（1）點(diǎn)B表示的數(shù)是；點(diǎn)C表示的數(shù)是；（2）若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿?cái)?shù)軸以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿?cái)?shù)軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為6？（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)P與點(diǎn)C之間的距離表示為PC，點(diǎn)Q與點(diǎn)B之間的距離表示為QB，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻使得PC+QB＝4？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．已知點(diǎn)A，O，C在同一條直線上，射線OB在AC上方，且∠BOC＝20°，（1）若射線OD平分∠AOB，求∠BOD的度數(shù)；（2）射線OM以30°每秒的速度從射線OA開(kāi)始順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，∠POQ開(kāi)始時(shí)與∠BOC重合，其中OP與OB重合，以10°每秒的速度逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)．①當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多長(zhǎng)時(shí)，射線OM和∠POQ的角平分線重合？②試探究是否存在運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻，∠MOP＝∠MOQ？若存在，求出所有符合條件的∠AOM的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．已知：點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O分別畫(huà)射線OC，OE，使得OC⊥OE．（1）如圖，OD平分∠AOC，若∠BOC＝40°，求∠DOE的度數(shù)；請(qǐng)補(bǔ)全下面的解題過(guò)程（括號(hào)中填寫(xiě)推理的依據(jù)）．解：∵點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，∴∠AOC+∠BOC＝180°．∵∠BOC＝40°，∴∠AOC＝140°．∵OD平分∠AOC．∴∠COD＝∠AOC（）．∴∠COD＝°．∵OC⊥OE，∴∠COE＝90°（）．∵∠DOE＝∠+∠，∴∠DOE＝°．（2）在平面內(nèi)有一點(diǎn)D，滿足∠AOC＝2∠AOD．探究：當(dāng)∠BOC＝α（0°＜α＜180°）時(shí)，是否存在α的值，使得∠COD＝∠BOE．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出α的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．如圖，點(diǎn)C在線段AB上，AC＝6cm，CB＝4cm，點(diǎn)M以1cm/s的速度從點(diǎn)A沿線段AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)N以2cm/s從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上做來(lái)回往返運(yùn)動(dòng)（即沿C→B→C→B→…運(yùn)動(dòng)），當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M、N都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．（1）當(dāng)t＝1時(shí)，求MN的長(zhǎng)；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)C為線段MN的中點(diǎn)？（3）若點(diǎn)P是線段CN的中點(diǎn)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)間段，使PM的長(zhǎng)度保持不變？如果存在，求出PM的長(zhǎng)度；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．【閱讀新知】如圖①，射線OC在∠AOB內(nèi)，圖中共有三個(gè)角∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的度數(shù)的2倍，則稱射線OC是∠AOB的“巧線”．【理解運(yùn)用】（1）∠AOB的角平分線這個(gè)角的“巧線”；（填“是”或“不是”）（2）若∠AOB＝90°，射線OC是∠AOB的“巧線”，則∠AOC的度數(shù)是．【拓展提升】如圖②，一副三角板如圖所示擺放在量角器上，邊PD與量角器0°刻度線重合，邊AP與量角器180°刻度線重合，將三角板ABP繞量角器中心點(diǎn)P以每秒5°的速度順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)邊PB與0°刻度線重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)三角板ABP的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（3）求t何值時(shí)，射線PB是∠CPD的“巧線”？（4）若三角板ABP按照原來(lái)方向旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，三角板PCD也繞點(diǎn)P以每秒2°的速度逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，此時(shí)三角板ABP繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的速度比原來(lái)每秒快了3°．當(dāng)三角板ABP停止旋轉(zhuǎn)時(shí)，三角板PCD也停止旋轉(zhuǎn)，問(wèn)：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使三條射線PB、PC、PD中，其中一條恰好是以另兩條組成的角的“巧線”？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．如圖1，點(diǎn)O在直線AB上，過(guò)點(diǎn)O引一條射線OC，使∠AOC＝80°，將一個(gè)直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，直角邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方；將一直尺的一端點(diǎn)也放在點(diǎn)O處，另一端點(diǎn)E在射線OC上．按要求操作：將圖1中的三角尺繞著點(diǎn)O以每秒15°的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)；同時(shí)，直尺也繞著點(diǎn)O以每秒5°的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)一方先完成旋轉(zhuǎn)一周時(shí)停止，另一方同時(shí)也停止轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．（1）如圖2，三角尺旋轉(zhuǎn)過(guò)程中當(dāng)直角邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且OM平分∠BOC時(shí)，∠BON＝°；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，OM⊥OE？（3）試探索：在三角尺與直尺旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使OM、OC、OE中的某一條線是另兩條線所夾角的平分線？若存在，請(qǐng)求出所有滿足題意的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．已知∠AOB＝110°，∠COD＝30°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本題中的角均為大于0°且小于180°的角）（1）如圖1，當(dāng)OB、OC重合時(shí)，求∠EOF的度數(shù)；（2）按以下條件畫(huà)圖并完成探究：探究一：當(dāng)∠COD從圖1所示位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜70）時(shí)，∠AOE﹣∠BOF的值是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；探究二：當(dāng)∠COD從圖1所示位置繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜140，且n≠30，n≠110）時(shí)，是否存在n使得∠AOD+∠EOF＝5∠COD，若存在請(qǐng)求出n的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．已知：如圖1，點(diǎn)A、O、B依次在直線MN上，現(xiàn)將射線OA繞點(diǎn)O沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?°的速度旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線OB繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛞悦棵?°的速度旋轉(zhuǎn)，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t（0秒≤t≤90秒）．（1）用含t的代數(shù)式表示∠MOA的度數(shù)．（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)∠AOB第二次達(dá)到60°時(shí)，求t的值．（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否存在這樣的t，使得射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角（指大于0°而不超過(guò)180°的角）的平分線？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．如圖，平面內(nèi)點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，一直角三角板COD（∠COD＝90°）的直角頂點(diǎn)與O重合，OM平分∠BOD，設(shè)∠AOC＝α．（本題中所有角均小于等于180°）．（1）如圖，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠AOM＝（用含α的式子表示）；（2）若圖中α＝50°，三角板COD從圖中的位置出發(fā)，繞O點(diǎn)以每秒5°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)ON從OA出發(fā)，以每秒2°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜30）．①當(dāng)t為何值時(shí)，∠AOM+∠CON＝270°？②是否存在一負(fù)數(shù)k，使得∠AOM+k∠CON取值與t無(wú)關(guān)．若存在，求此時(shí)k的值；若不存在，說(shuō)明理由．12．已知O為直線AB上的一點(diǎn)，∠COE是直角，OF平分∠AOE．（1）如圖1，若∠COF＝33°，則∠BOE＝；若∠COF＝m°，則∠BOE＝；∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系為．（2）在圖2中，若∠COF＝75°，在∠BOE的內(nèi)部是否存在一條射線OD，使得2∠BOD與∠AOF的和等于∠BOE與∠BOD的差的三分之一？若存在，請(qǐng)求出∠BOD的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）當(dāng)射線OE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，（1）中∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由，若不成立，求出∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系．13．如圖，點(diǎn)A、B和線段CD都在數(shù)軸上，點(diǎn)A、C、D、B起始位置所表示的數(shù)分別為﹣2、0、3、12；線段CD沿?cái)?shù)軸的正方向以每秒1個(gè)單位的速度移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t＝0秒時(shí)，AC的長(zhǎng)為，當(dāng)t＝2秒時(shí)，AC的長(zhǎng)為．（2）用含有t的代數(shù)式表示AC的長(zhǎng)為．（3）當(dāng)t＝秒時(shí)AC﹣BD＝5，當(dāng)t＝秒時(shí)AC+BD＝15．（4）若點(diǎn)A與線段CD同時(shí)出發(fā)沿?cái)?shù)軸的正方向移動(dòng)，點(diǎn)A的速度為每秒2個(gè)單位，在移動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻使得AC＝2BD，若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．如圖1，直線DE上有一點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O在直線DE上方作射線OC．將一直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一條直角邊OA在射線OD上，另一邊OB在直線DE上方．將直角三角板繞著點(diǎn)O按每秒10?的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)直角三角板旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，OA恰好平分∠COD，此時(shí)，∠BOC與∠BOE之間有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．（2）若射線OC的位置保持不變，且∠COE＝140°．①則當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間t＝秒時(shí)，邊AB所在的直線與OC平行？②在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得射線OA，OC與OD中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請(qǐng)求出所有滿足題意的t的取值．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．③在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)邊AB與射線OE相交時(shí)（如圖3），求∠AOC﹣∠BOE的值．15．如圖①，點(diǎn)A、B、C是直線l上的順次三點(diǎn)，AB＝9cm，BC＝16cm．（1）如圖②，點(diǎn)M、N、O分別是線段AB、BC、AC的中點(diǎn)，求線段ON的長(zhǎng)；（2）如圖③，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著直線l勻速向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，將點(diǎn)P到達(dá)AB中點(diǎn)的時(shí)間記為t1，到達(dá)BC中點(diǎn)的時(shí)間記為t2，到達(dá)AC中點(diǎn)的時(shí)間記為t3．試探究t1、t2、t3的關(guān)系，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．（3）如圖④，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著直線l以2cm/s的速度勻速向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)Q也從點(diǎn)C出發(fā)，以3cm/s的速度勻速向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A后沿原路按原速度返回，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C后兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．是否存在某一時(shí)刻t，使得P、Q兩點(diǎn)間的距離恰好等于線段AC的一半，如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．16．如圖1，∠AOB＝120°，∠COE＝60°，OF平分∠AOE（1）若∠COF＝20°，則∠BOE＝°（2）將∠COE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至如圖2位置，求∠BOE和∠COF的數(shù)量關(guān)系（3）在（2）的條件下，在∠BOE內(nèi)部是否存在射線OD，使∠DOF＝3∠DOE，且∠BOD＝70°？若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．17．如圖，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)分別為﹣10和20，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）分別求當(dāng)t＝2及t＝12時(shí)，對(duì)應(yīng)的線段PQ的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)PQ＝5時(shí)，求所有符合條件的t的值，并求出此時(shí)點(diǎn)Q所對(duì)應(yīng)的數(shù)；（3）若點(diǎn)P一直沿?cái)?shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，立即改變運(yùn)動(dòng)方向，沿?cái)?shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，隨即停止運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)Q的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在合適的t值，使得PQ＝8？若存在，求出所有符合條件的t值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．如圖，∠AOB＝120°，射線OC從OA開(kāi)始，繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的速度為每分鐘20°；射線OD從OB開(kāi)始，繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的速度為每分鐘5°，OC和OD同時(shí)旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t（0≤t≤15）．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，射線OC與OD重合；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，射線OC⊥OD；（3）試探索：在射線OC與OD旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得射線OC，OB與OD中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請(qǐng)求出所有滿足題意的t的取值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．已知O為直線AB上的一點(diǎn)，∠COE是直角，OF平分∠AOE．（1）如圖1，若∠COF＝28°，則∠BOE＝；若∠COF＝m°，則∠BOE＝；∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系為．（2）將∠COE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論仍然成立．若∠COF＝65°，在∠BOE的內(nèi)部是否存在一條射線OD，使得2∠BOD+∠AOF＝（∠BOE﹣∠BOD）？若存在，請(qǐng)求出∠BOD的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）當(dāng)∠COE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，（1）中∠BOE和∠COF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，求出∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系．20．已知O為直線AB上的一點(diǎn)，∠COE是直角，OF平分∠AOE（1）如圖1，若∠COF＝34°，則∠BOE＝；若∠COF＝m°，則∠BOE＝；∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系為．（2）在圖2中，若∠COF＝75，在∠BOE的內(nèi)部是否存在一條射線OD，使得2∠BOD與∠AOF的和等于∠BOE與∠BOD的差的三分之一？若存在，請(qǐng)求出∠BOD的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）當(dāng)射線OE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，（1）中∠BOE和∠COF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由，若不成立，求出∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系．21．【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠COA＝∠AOB，則我們稱射線OC是射線OA的“友好線”．例如，如圖1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，則∠AOC＝∠AOB，稱射線OC是射線OA的友好線；同時(shí)，由于∠BOD＝∠AOB，稱射線OD是射線OB的友好線．【知識(shí)運(yùn)用】（1）如圖2，∠AOB＝120°，射線OM是射線OA的友好線，則∠AOM＝°；（2）如圖3，∠AOB＝180°，射線OC與射線OA重合，并繞點(diǎn)O以每秒2°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線OD與射線OB重合，并繞點(diǎn)O以每秒3°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OD與射線OA重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止；①是否存在某個(gè)時(shí)刻t（秒），使得∠COD的度數(shù)是40°，若存在，求出t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)射線OC、OD相遇后，射線OC、OD中恰好有一條射線是另一條射線的友好線，求此時(shí)t的值．22．如圖1，直線DE上有一點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O在直線DE上方作射線OC，將一直角三角板AOB（其中∠OAB＝30°）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一條直角邊OA在射線OD上，另一邊OB在直線DE上方，將直角三角板繞著點(diǎn)O按每秒10°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)直角三角板旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，OA恰好平分∠COD，此時(shí)，∠BOC與∠BOE之間數(shù)量關(guān)系為；（2）若射線OC的位置保持不變，且∠COE＝130°．①在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得射線OA，OC，OD中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請(qǐng)求出所有滿足題意t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；②如圖3，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，邊AB與射線OE相交，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠AOC﹣∠BOE的值．23．如圖，∠AOB＝120°，射線OC在平面內(nèi)．（1）若∠AOC與∠BOC互補(bǔ)，則∠BOC＝；（2）射線OC繞點(diǎn)O從射線OA的反向延長(zhǎng)線的位置出發(fā)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜180°），OM平分∠AOC．①若∠BOC＝90°，則∠MOB的度數(shù)為；②是否存在α的值，使得∠MOC與∠BOC互余，若存在，求出α；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．24．如圖1，O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，使∠AOC＝60°，將一個(gè)含30°角的三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得ON落在射線OB上，此時(shí)三角板旋轉(zhuǎn)的角度為；（2）繼續(xù)將圖2中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使得ON在∠AOC的內(nèi)部，試探究∠AOM與∠CON之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）若三角板從圖1開(kāi)始繞點(diǎn)O按每秒30°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)270°，在這個(gè)過(guò)程中，是否存在OM所在的直線平分∠BOC和∠AOC中的一個(gè)角，ON所在的直線平分另一個(gè)角的時(shí)刻？若存在，直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)時(shí)間；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．25．如圖，C是線段AB上一點(diǎn)，AB＝20cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向右運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BA向左運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A．已知P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs．（1）AC＝cm；（2）當(dāng)x＝s時(shí)，P、Q重合；（3）是否存在某一時(shí)刻，使得C、P、Q這三個(gè)點(diǎn)中，有一個(gè)點(diǎn)恰為另外兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)？若存在，求出所有滿足條件的x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．26．如圖1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分別為∠AOB和∠BOD的角平分線．（1）若∠MON＝70°，則∠BOC＝°；（2）如圖2，∠COD從第（1）問(wèn)中的位置出發(fā)，繞點(diǎn)O逆時(shí)針以每秒4°的速度旋轉(zhuǎn)；當(dāng)OC與OA重合時(shí)，∠COD立即反向繞點(diǎn)O順時(shí)針以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，直到OC與OA互為反向延長(zhǎng)線時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠COD的大小不變，OC旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)射線記為OC′，OD旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)射線記為OD′，∠BOD′的角平分線記為ON′，∠AOD′的角平分線記為OP．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①當(dāng)OC′平分∠BON′時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的t的值；②請(qǐng)問(wèn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)間段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不變？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)定值及其對(duì)應(yīng)的t的取值范圍（包含運(yùn)動(dòng)的起止時(shí)間，角度都小于180°）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．27．如圖，數(shù)軸上線段AB＝2（單位長(zhǎng)度），CD＝4（單位長(zhǎng)度），點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是﹣10，點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)是16．若線段AB以6個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段CD以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．（1）問(wèn)運(yùn)動(dòng)多少時(shí)BC＝8（單位長(zhǎng)度）？（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)到BC＝8（單位長(zhǎng)度）時(shí)，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)是；（3）P是線段AB上一點(diǎn)，當(dāng)B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段CD上時(shí)，是否存在關(guān)系式＝3，若存在，求線段PD的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．28．如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作射線OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖2的位置，使得ON落在射線OB上，此時(shí)三角板旋轉(zhuǎn)的角度為度；（2）繼續(xù)將圖2中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖3的位置，使得ON在∠AOC的內(nèi)部．試探究∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）在上述直角三角板從圖1開(kāi)始繞點(diǎn)O按30°每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)270°的過(guò)程中，是否存在OM所在直線平分∠BOC和∠AOC中的一個(gè)角，ON所在直線平分另一個(gè)角？若存在，直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)時(shí)間t，若不存在，說(shuō)明理由．29．已知AB＝6cm，試探究并回答下列問(wèn)題：（1）是否存在一點(diǎn)C，使它到A、B兩點(diǎn)的距離之和等于5cm？并說(shuō)明理由；（2）是否存在一點(diǎn)C，使它到A，B兩點(diǎn)的距離之和等于6cm？如果存在，那么它的位置是唯一的嗎？（3）當(dāng)點(diǎn)C到A，B兩點(diǎn)的距離之和等于12cm時(shí)，試說(shuō)明點(diǎn)C的位置．30．已知D為直線AB上的一點(diǎn)，∠COE是直角，OF平分∠AOE．（1）如圖1，若∠COF＝18°，則∠BOE＝；若∠COF＝m°，則∠BOE＝；∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系為．（2）當(dāng)射線OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，（1）中∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？如成立，請(qǐng)寫(xiě)出關(guān)系式并寫(xiě)出推理過(guò)程；如不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）在圖3中，若∠COF＝70°，在∠BOE的內(nèi)部是否存在一條射線OD，使得2∠BOD與∠AOF的和等于∠BOE與∠BOD的差的一半？若存在，請(qǐng)求出∠BOD的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案與試題解析一．解答題（共30小題）1．如圖，∠AOB＝120°，射線OC在平面內(nèi)．（1）若∠AOC與∠BOC互補(bǔ)，則∠BOC＝30°；（2）射線OC繞點(diǎn)O從射線OA的反向延長(zhǎng)線的位置出發(fā)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜180°），OM平分∠AOC．①若∠BOC＝90°，則∠MOB的度數(shù)為105°；②是否存在α的值，使得∠MOC與∠BOC互余，若存在，求出α；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）分如圖1所示，當(dāng)OC、OB在OA的同側(cè)時(shí)，如圖2所示，當(dāng)OC、OB在OA的兩側(cè)時(shí)，兩種情況根據(jù)補(bǔ)角的定義進(jìn)行求解即可；（2）①先畫(huà)出圖形，求出∠AOC＝30°，根據(jù)角平分線的定義得到∠AOM＝15°，則∠MOB＝∠AOB﹣∠AOM＝105°；②分如圖3所示，當(dāng)OC在OB左側(cè)時(shí)，如圖4所示，當(dāng)OC在OB右側(cè)時(shí)，兩種情況利用余角的定義進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）如圖1所示，當(dāng)OC、OB在OA的同側(cè)時(shí)，∵∠AOC與∠BOC互補(bǔ)，∴∠AOC+∠BOC＝180°，∵∠AOB＝120°，∴∠BOC+∠BOC+120°＝180°，∴∠BOC＝30°；如圖2所示，當(dāng)OC、OB在OA的兩側(cè)時(shí)，∵∠AOC與∠BOC互補(bǔ)，∴∠AOC+∠BOC＝180°，∵∠AOB＝120°，∴∠BOC+∠BOC﹣120°＝180°，∴∠BOC＝150°；綜上所述，∠BOC＝30°或∠BOC＝150°；（2）①如圖，∵∠BOC＝90°，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝30°，∵OM平分∠AOC，∴，∴∠MOB＝∠AOB﹣∠AOM＝105°；②如圖3所示，當(dāng)OC在OB左側(cè)時(shí)，∵∠MOC與∠BOC互余，∴∠BOC＝90°﹣∠MOC，∵OM平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠MOC，∵∠AOB＝120°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOB＝60°，∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝∠MOC﹣30°，∵∠COD+∠AOC＝180°，∴2∠MOC+∠MOC﹣30°＝180°，∴∠MOC＝70°，∴α＝∠COD＝40°；如圖4所示，當(dāng)OC在OB右側(cè)時(shí)，∵∠MOC與∠BOC互余，∴∠BOM＝∠BOC+∠MOC＝90°，∴∠AOM＝180°﹣∠BOD﹣∠BOM＝30°，∵OM平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠AOM＝60°，∴α＝∠COD＝180°﹣∠AOC＝120°；綜上所述，存在α＝40°或α＝120°使得∠MOC與∠BOC互余．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線的定義，余角與補(bǔ)角的定義，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．2．如圖1，點(diǎn)O是彈力墻MN上一點(diǎn)，魔法棒從OM的位置開(kāi)始繞點(diǎn)O向ON的位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)到ON位置時(shí)，則從ON位置彈回，繼續(xù)向OM位置旋轉(zhuǎn)；當(dāng)轉(zhuǎn)到OM位置時(shí)，再?gòu)腛M的位置彈回，繼續(xù)轉(zhuǎn)向ON位置，…，如此反復(fù)．按照這種方式將魔法棒進(jìn)行如下步驟的旋轉(zhuǎn)：第1步，從OA0（OA0在OM上）開(kāi)始旋轉(zhuǎn)α至OA1；第2步，從OA1開(kāi)始繼續(xù)旋轉(zhuǎn)2α至OA2；第3步，從OA2開(kāi)始繼續(xù)旋轉(zhuǎn)3α至OA3，…．例如：當(dāng)α＝30°時(shí)，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如圖2所示，其中OA3恰好落在ON上，∠A3OA4＝120°；當(dāng)α＝20°時(shí)，OA1，OA2，OA3，OA4，OA5的位置如圖3所示，其中第4步旋轉(zhuǎn)到ON后彈回，即∠A3ON+∠NOA4＝80°，而OA5恰好與OA2重合．解決如下問(wèn)題：（1）若α＝45°，在圖4中借助量角器畫(huà)出OA2，OA3，其中∠A3OA2的度數(shù)是45°；（2）若α＜40°，且OA3所在的射線平分∠A2ON，求出α的值；（3）若α＜35°，是否存在對(duì)應(yīng)的α值使∠A2OA4＝30°？若存在直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的α值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)題意，明確每次旋轉(zhuǎn)的角度，利用角的和差關(guān)系計(jì)算即可；（2）根據(jù)各角的度數(shù)，找出等量關(guān)系式，列出方程，求出α的度數(shù)即可；（3）類比第（2）小題的算法，分三種情況討論，求出α的度數(shù)即可；【解答】解：（1）如圖所示．a(chǎn)＝45°，由題意，得∠A2ON+∠NOA3＝3×45°＝135°，∵∠NOA2＝180°﹣∠A0OA1﹣∠A1OA2＝180°﹣45°﹣2×45°＝45°，∴∠A3OA2＝135°﹣2∠NOA2＝135°﹣2×45°＝45°，故答案為：45°；（2）如圖所示．∵α＜40°，∴∠A0OA2＜180°，3α＜180°．∵OA3平分∠A2ON，∴6α＞180°，∴α＞30°，∴180﹣3α＝2（6α﹣180°），解得α＝36°；當(dāng)α＜30°，即OA3不從ON回彈時(shí)，易得α＝20°；（3）分三種情況：①OA4和OA3都不從ON回彈時(shí)，如圖2，3α+4α＝30，α＝（）°；②OA4在OA2的右邊時(shí)，如圖3，根據(jù)題意得：3α﹣30+2（180﹣6α）＝4α，α＝（）°；③OA4在OA2的左邊時(shí)，如圖4，根據(jù)題意得：4α﹣（180﹣6α）＝3α+30，α＝30°；綜上，對(duì)應(yīng)的α值是（）°或（）°或30°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角度的計(jì)算的相關(guān)知識(shí)，可結(jié)合平角的性質(zhì)及角度的加減進(jìn)行計(jì)算分析．3．如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣3，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，且到點(diǎn)A的距離是18；點(diǎn)C在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間，且到點(diǎn)B的距離是到點(diǎn)A距離的2倍．（1）點(diǎn)B表示的數(shù)是15；點(diǎn)C表示的數(shù)是3；（2）若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿?cái)?shù)軸以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿?cái)?shù)軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為6？（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)P與點(diǎn)C之間的距離表示為PC，點(diǎn)Q與點(diǎn)B之間的距離表示為QB，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻使得PC+QB＝4？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可求點(diǎn)B表示的數(shù)，根據(jù)線段的倍分關(guān)系可求點(diǎn)C表示的數(shù)；（2）分點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇前，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇后兩種情況討論即可求解；（3）分點(diǎn)P在點(diǎn)C左側(cè)時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)兩種情況討論即可求解．【解答】解：（1）點(diǎn)B表示的數(shù)是﹣3+18＝15；點(diǎn)C表示的數(shù)是﹣3+18×＝3．故答案為：15，3；（2）點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇前，4t+2t＝18﹣6，解得t＝2；點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇后，4t+2t＝18+6，解得t＝4；（3）假設(shè)存在，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C左側(cè)時(shí)，PC＝6﹣4t，QB＝2t，∵PC+QB＝4，∴6﹣4t+2t＝4，解得t＝1．此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)是1；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，PC＝4t﹣6，QB＝2t，∵PC+QB＝4，∴4t﹣6+2t＝4，解得t＝．此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)是．綜上所述，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中存在PC+QB＝4，此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)為1或．【點(diǎn)評(píng)】考查了數(shù)軸、兩點(diǎn)間的距離，本題滲透了分類討論的思想，體現(xiàn)了思維的嚴(yán)密性，在今后解決類似的問(wèn)題時(shí)，要防止漏解．4．已知點(diǎn)A，O，C在同一條直線上，射線OB在AC上方，且∠BOC＝20°，（1）若射線OD平分∠AOB，求∠BOD的度數(shù)；（2）射線OM以30°每秒的速度從射線OA開(kāi)始順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，∠POQ開(kāi)始時(shí)與∠BOC重合，其中OP與OB重合，以10°每秒的速度逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)．①當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多長(zhǎng)時(shí)，射線OM和∠POQ的角平分線重合？②試探究是否存在運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻，∠MOP＝∠MOQ？若存在，求出所有符合條件的∠AOM的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）首先求出∠AOB的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義可得∠BOD的度數(shù)；（2）①根據(jù)題意畫(huà)出圖形，可得方程30t+10°+10t+20°＝180°，解方程可得答案；②分兩種情況：當(dāng)OM在∠POQ內(nèi)部和當(dāng)OM在∠POQ外部，根據(jù)題意分別列出方程可得t的值，再根據(jù)∠AOM＝30t可得答案．【解答】解：（1）∵∠BOC＝20°，點(diǎn)A、O、C在同一條直線上，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝180°﹣20°＝160°，∵射線OD平分∠AOB，∴∠BOD＝AOB＝80°；（2）①如圖，由題意得，∠AOM＝30t，∠POB＝10t，∠POQ＝20°，∵射線OM和∠POQ的角平分線重合，∴∠MOP＝POQ＝10°，∴∠AOP＝30t﹣10°，∵∠AOP+∠POB+∠BOC＝180°，∴30t﹣10°+10t+20°＝180°，解得t＝，答：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，射線OM和∠POQ的角平分線重合；②當(dāng)OM在∠POQ內(nèi)部時(shí)，∵∠MOP＝∠MOQ，∴∠MOP＝POQ，∵∠MOP＝∠AOM﹣∠AOP＝30t﹣（160°﹣10t）＝40t﹣160°，∴40t﹣160°＝20°，解得t＝，此時(shí)∠AOM＝30t＝125°；當(dāng)OM在∠POQ外部時(shí)，∵∠MOP＝∠MOQ，∴∠MOP＝∠POQ，∵∠MOP＝∠AOP﹣∠AOM＝（160°﹣10t）﹣30t＝20°，∴160°﹣40t＝20°，解得t＝，此時(shí)，∠AOM＝30t＝105°；綜上，當(dāng)t＝或時(shí)，∠MOP＝∠MOQ，此時(shí)∠AOM＝125°或105°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元一次方程的知識(shí)，熟練根據(jù)角的關(guān)系列方程求解是解題的關(guān)鍵．5．已知：點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O分別畫(huà)射線OC，OE，使得OC⊥OE．（1）如圖，OD平分∠AOC，若∠BOC＝40°，求∠DOE的度數(shù)；請(qǐng)補(bǔ)全下面的解題過(guò)程（括號(hào)中填寫(xiě)推理的依據(jù)）．解：∵點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，∴∠AOC+∠BOC＝180°．∵∠BOC＝40°，∴∠AOC＝140°．∵OD平分∠AOC．∴∠COD＝∠AOC（角平分線的定義）．∴∠COD＝70°．∵OC⊥OE，∴∠COE＝90°（垂線的定義）．∵∠DOE＝∠COE+∠COD，∴∠DOE＝160°．（2）在平面內(nèi)有一點(diǎn)D，滿足∠AOC＝2∠AOD．探究：當(dāng)∠BOC＝α（0°＜α＜180°）時(shí)，是否存在α的值，使得∠COD＝∠BOE．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出α的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和角的和差可得答案；（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，根據(jù)角的和差可得答案．【解答】解：（1）∵點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，∴∠AOC+∠BOC＝180°．∵∠BOC＝40°，∴∠AOC＝140°．∵OD平分∠AOC．∴∠COD＝∠AOC（角平分線的定義）．∴∠COD＝70°．∵OC⊥OE，∴∠COE＝90°（垂線的定義）．∵∠DOE＝∠COE+∠COD，∴∠DOE＝160°．故答案為：角平分線的定義，70，垂線的定義，COE，COD，160；（2）存在，如圖，∵∠AOC＝2∠AOD，∴∠COD＝AOC＝（180°﹣α）＝90°﹣，∵∠BOE＝∠BOC﹣∠COE＝α﹣90°，∵∠COD＝∠BOE，∴90°﹣＝α﹣90°，解得α＝120°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了角平分線的定義和垂線的定義，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．6．如圖，點(diǎn)C在線段AB上，AC＝6cm，CB＝4cm，點(diǎn)M以1cm/s的速度從點(diǎn)A沿線段AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)N以2cm/s從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上做來(lái)回往返運(yùn)動(dòng)（即沿C→B→C→B→…運(yùn)動(dòng)），當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M、N都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．（1）當(dāng)t＝1時(shí)，求MN的長(zhǎng)；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)C為線段MN的中點(diǎn)？（3）若點(diǎn)P是線段CN的中點(diǎn)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)間段，使PM的長(zhǎng)度保持不變？如果存在，求出PM的長(zhǎng)度；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）當(dāng)t＝1時(shí)，AM＝1cm，CN＝2cm，MN＝7cm；（2）由題意，得：AM＝tcm，MC＝（6﹣t）cm，根據(jù)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M、N都停止運(yùn)動(dòng)，可得0≤t≤6，分三種情況：①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，點(diǎn)N從C向B運(yùn)動(dòng)，可求得t＝2；②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，點(diǎn)N從B向C運(yùn)動(dòng)，求出t＝2不合題意；③當(dāng)4＜t≤6時(shí)，點(diǎn)N從C向B運(yùn)動(dòng)，可求得t＝；（3）存在某個(gè)時(shí)間段，使PM的長(zhǎng)度保持不變，與（2）一樣分三種情況分別探究即可．【解答】解：（1）當(dāng)t＝1時(shí)，AM＝1cm，CN＝2cm，∴MC＝AC﹣AM＝6﹣1＝5（cm），∴MN＝MC+CN＝5+2＝7（cm）；（2）由題意，得：AM＝tcm，MC＝（6﹣t）cm，∵點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M、N都停止運(yùn)動(dòng)，∴0≤t≤6，①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，點(diǎn)N從C向B運(yùn)動(dòng)，CN＝2tcm，∵點(diǎn)C為線段MN的中點(diǎn)，∴MC＝CN，即6﹣t＝2t，解得：t＝2；②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，點(diǎn)N從B向C運(yùn)動(dòng)，BN＝（2t﹣4）cm，CN＝4﹣（2t﹣4）＝（8﹣2t）cm，∵點(diǎn)C為線段MN的中點(diǎn)，∴MC＝CN，即6﹣t＝8﹣2t，解得：t＝2（舍去）；③當(dāng)4＜t≤6時(shí)，點(diǎn)N從C向B運(yùn)動(dòng)，CN＝（2t﹣8）cm，∵點(diǎn)C為線段MN的中點(diǎn)，∴MC＝CN，即6﹣t＝2t﹣8，解得：t＝；綜上所述，當(dāng)t＝2或時(shí)，點(diǎn)C為線段MN的中點(diǎn).（3）如圖2，①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，點(diǎn)N從C向B運(yùn)動(dòng)，CN＝2tcm，∵點(diǎn)P是線段CN的中點(diǎn)，∴CP＝CN＝tcm，∴PM＝MC+CP＝6﹣t+t＝6cm，此時(shí)，PM的長(zhǎng)度保持不變；②當(dāng)2＜t＜4時(shí)，點(diǎn)N從B向C運(yùn)動(dòng)，CN＝（8﹣2t）cm，∵點(diǎn)P是線段CN的中點(diǎn)，∴CP＝CN＝（8﹣2t）＝（4﹣t）cm，∴PM＝MC+CP＝6﹣t+（4﹣t）＝（10﹣2t）cm，此時(shí)，PM的長(zhǎng)度變化；③當(dāng)4≤t≤6時(shí)，點(diǎn)N從C向B運(yùn)動(dòng)，CN＝（2t﹣8）cm，∵點(diǎn)P是線段CN的中點(diǎn)，∴CP＝CN＝（2t﹣8）＝（t﹣4）cm，∴PM＝MC+CP＝6﹣t+（t﹣4）＝2cm，此時(shí)，PM的長(zhǎng)度保持不變；綜上所述，當(dāng)0≤t≤2或4≤t≤6時(shí)，使PM的長(zhǎng)度保持不變；PM的長(zhǎng)度分別為6cm或2cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，兩點(diǎn)之間距離的概念，中點(diǎn)定義，線段和差計(jì)算等，運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．7．【閱讀新知】如圖①，射線OC在∠AOB內(nèi)，圖中共有三個(gè)角∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的度數(shù)的2倍，則稱射線OC是∠AOB的“巧線”．【理解運(yùn)用】（1）∠AOB的角平分線是這個(gè)角的“巧線”；（填“是”或“不是”）（2）若∠AOB＝90°，射線OC是∠AOB的“巧線”，則∠AOC的度數(shù)是30°或45°或60°．【拓展提升】如圖②，一副三角板如圖所示擺放在量角器上，邊PD與量角器0°刻度線重合，邊AP與量角器180°刻度線重合，將三角板ABP繞量角器中心點(diǎn)P以每秒5°的速度順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)邊PB與0°刻度線重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)三角板ABP的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（3）求t何值時(shí)，射線PB是∠CPD的“巧線”？（4）若三角板ABP按照原來(lái)方向旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，三角板PCD也繞點(diǎn)P以每秒2°的速度逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，此時(shí)三角板ABP繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的速度比原來(lái)每秒快了3°．當(dāng)三角板ABP停止旋轉(zhuǎn)時(shí)，三角板PCD也停止旋轉(zhuǎn)，問(wèn)：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使三條射線PB、PC、PD中，其中一條恰好是以另兩條組成的角的“巧線”？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)巧線的定義直接判斷即可；（2）分三種情況計(jì)算即可；（3）用含t的式子表示∠CPD，再分三種情況計(jì)算即可；（4）由（3）的思路分情況解答即可．【解答】解：（1）如圖，∵OC是∠AOB的平分線，∴∠AOB＝2∠AOC，∴OC是∠AOB的“巧線”，故答案為：是；（2）∵∠AOB＝90°，射線OC是∠AOB的“巧線”，∴∠AOC＝∠AOB，即∠AOC＝30°，∠AOC＝∠AOB，即∠AOC＝45°，∠AOC＝∠AOB，即∠AOC＝60°，綜上，∠AOC的度數(shù)是30°或45°或60°，故答案為：30°或45°或60°；（3）如圖，由題意得，0≤t≤27，∠CPB＝5t﹣75°，∠CPD＝60°，∵射線PB是∠CPD的“巧線“，∴∠CPB＝∠CPD，即5t﹣75＝20，t＝19，∠CPB＝∠CPD，即5t﹣75＝30，t＝21，∠CPB＝∠CPD，即5t﹣75＝40，t＝23，綜上，t的值是19或21或23；（4）由題意得0≤t≤16，分三種情況：①PC在∠BPD內(nèi)部，PC是∠BPD的巧線，∠BPC＝75﹣10t，∠CPD＝60°，∠BPC＝∠CPD，∴75°﹣10t＝60°，t＝1.5．∠BPC＝∠CPD時(shí)，75°﹣10t＝30°，t＝4.5．②PB在∠CPD內(nèi)部，PB是∠CPD的巧線，∠BPC＝10t﹣75，∠CPD＝60°，∴∠BPC＝∠CPD，10t﹣75＝20，t＝9.5，∠BPC＝∠CPD，10t﹣75＝30，t＝10.5，∠BPC＝∠CPD，10t﹣75＝40，t＝11.5；③PD在∠CPB內(nèi)部，PD是∠BPC的巧線，∠BPC＝10t﹣75，∠CPD＝60°，∴∠CPD＝∠BPC，60＝（10t﹣75），t＝25.5（舍去），∠CPD＝∠BPC，60＝（10t﹣75），t＝19.5（舍去），∠CPD＝∠BPC，60＝（10t﹣75），t＝16.5；綜上，t的值是1.5或4.5或9.5或10.5或11.5或16.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角的計(jì)算，根據(jù)題意列出方程是解題關(guān)鍵．8．如圖1，點(diǎn)O在直線AB上，過(guò)點(diǎn)O引一條射線OC，使∠AOC＝80°，將一個(gè)直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，直角邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方；將一直尺的一端點(diǎn)也放在點(diǎn)O處，另一端點(diǎn)E在射線OC上．按要求操作：將圖1中的三角尺繞著點(diǎn)O以每秒15°的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)；同時(shí)，直尺也繞著點(diǎn)O以每秒5°的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)一方先完成旋轉(zhuǎn)一周時(shí)停止，另一方同時(shí)也停止轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．（1）如圖2，三角尺旋轉(zhuǎn)過(guò)程中當(dāng)直角邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且OM平分∠BOC時(shí)，∠BON＝40°；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，OM⊥OE？（3）試探索：在三角尺與直尺旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使OM、OC、OE中的某一條線是另兩條線所夾角的平分線？若存在，請(qǐng)求出所有滿足題意的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）先由∠AOC＝80°，求得∠BOC的度數(shù)，再由OM平分∠BOC，可得∠BON的度數(shù)；（2）先分兩種情況畫(huà)圖：①當(dāng)OM追上OE之前時(shí)；②當(dāng)OM超過(guò)OE之后時(shí)；然后根據(jù)題意列出關(guān)于t的一元一次方程，解方程即可；（3）先計(jì)算出t的取值范圍，再分以下三種情況畫(huà)圖：①當(dāng)OC平分∠MOE時(shí)；②當(dāng)OM平分∠COE時(shí)；③當(dāng)OE平分∠COM時(shí)；然后分別列出關(guān)于t的一元一次方程并求解即可．【解答】解：（1）∵∠AOC＝80°∴∠BOC＝180°﹣80°＝100°∴當(dāng)OM平分∠BOC時(shí)，∠BOM＝50°∴∠BON＝90°﹣50°＝40°故答案為：40；（2）因?yàn)镺M⊥OE，所以∠EOM＝90°，①當(dāng)OM追上OE之前時(shí)，∵∠EOB＝∠EOC+∠COB＝5t+100，∠EOB＝∠EOM+∠MOB＝15t+90，∴5t+100＝15t+90，解這個(gè)方程得：t＝1；②當(dāng)OM超過(guò)OE之后時(shí)，∵直角三角尺旋轉(zhuǎn)的度數(shù)＝（∠BOC+∠COE+∠EOM）的度數(shù)，∴15t＝100+5t+90，∴t＝19綜上，當(dāng)t＝1或t＝19時(shí)，OM⊥OE．（3）∵360÷15＝24（秒），∴0≤t≤24①當(dāng)OC平分∠MOE時(shí)，∠MOC＝∠EOC，∠COB﹣∠MOB＝∠EOC∴100﹣15t＝5t∴t＝5；②當(dāng)OM平分∠COE時(shí)，則有：，∴∴t＝8；③當(dāng)OE平分∠COM時(shí)，∴大于180°的∠MOC＝2∠EOC∴15t﹣100＝2×5t∴t＝20；綜上：t＝5秒或8秒或20秒．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程在角的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．9．已知∠AOB＝110°，∠COD＝30°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本題中的角均為大于0°且小于180°的角）（1）如圖1，當(dāng)OB、OC重合時(shí)，求∠EOF的度數(shù)；（2）按以下條件畫(huà)圖并完成探究：探究一：當(dāng)∠COD從圖1所示位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜70）時(shí)，∠AOE﹣∠BOF的值是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；探究二：當(dāng)∠COD從圖1所示位置繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜140，且n≠30，n≠110）時(shí)，是否存在n使得∠AOD+∠EOF＝5∠COD，若存在請(qǐng)求出n的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）首先根據(jù)角平分線的定義求得∠EOB和∠COF的度數(shù)，然后根據(jù)∠EOF＝∠EOB+∠COF求解；（2）探究一：∠AOE﹣∠BOF的值是定值．由題意得：∠AOB＝110°，∠COD＝30°，∠BOC＝n°，∠AOC＝110°+n°，∠BOD＝n°+30°，再運(yùn)用角平分線定義即可求得答案；探究二：分三種情況討論：①當(dāng)0＜n＜30時(shí)，②當(dāng)30＜n＜110時(shí)，③當(dāng)110＜n＜140時(shí)．【解答】解：（1）如圖1，當(dāng)OB、OC重合時(shí)，∵∠AOB＝110°，∠COD＝30°，∴∠AOC＝∠AOB＝110°，∠BOD＝∠COD＝30°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠BOE＝∠AOC＝55°，∠BOF＝∠BOD＝15°，∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝55°+15°＝70°；（2）探究一：∠AOE﹣∠BOF的值是定值．理由如下：如圖2，∵∠AOB＝110°，∠COD＝30°，∠BOC＝n°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝110°+n°，∠BOD＝∠BOC+∠COD＝n°+30°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE＝∠AOC＝55°+n°，∠BOF＝∠BOD＝n°+15°，∴∠AOE﹣∠BOF＝（55°+n°）﹣（n°+15°）＝40°，∴∠AOE﹣∠BOF的值為40°，是定值；探究二：①當(dāng)0＜n＜30時(shí)，如圖3，∠BOC＝n°，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝110°﹣n°，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝30°﹣n°，∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝110°+30°﹣n°＝140°﹣n°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠EOC＝∠AOC＝55°﹣n°，∠BOF＝∠BOD＝15°﹣n°，∴∠EOF＝∠EOC+∠BOC+∠BOF＝（55°﹣n°）+n°+（15°﹣n°）＝70°，∵∠AOD+∠EOF＝5∠COD，∴140°﹣n°+70°＝5×30°，解得：n＝60（不符合題意，舍去）；②當(dāng)30＜n＜110時(shí)，如圖4，∠BOC＝n°，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝110°﹣n°，∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝n°﹣30°，∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝110°﹣（n°﹣30°）＝140°﹣n°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠EOC＝∠AOC＝55°﹣n°，∠DOF＝∠BOD＝n°﹣15°，∴∠EOF＝∠EOC+∠COD+∠DOF＝（55°﹣n°）+30°+（n°﹣15°）＝70°，∵∠AOD+∠EOF＝5∠COD，∴140°﹣n°+70°＝5×30°，解得：n＝60，符合題意；③當(dāng)110＜n＜140時(shí)，如圖5，∠BOC＝n°，∠AOC＝∠BOC﹣∠AOB＝n°﹣110°，∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝n°﹣30°，∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝110°﹣（n°﹣30°）＝140°﹣n°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠EOA＝∠AOC＝n°﹣55°，∠DOF＝∠BOD＝n°﹣15°，∴∠EOF＝∠EOA+∠AOD+∠DOF＝（n°﹣55°）+140°﹣n°+（n°﹣15°）＝70°，∵∠AOD+∠EOF＝5∠COD，∴140°﹣n°+70°＝5×30°，解得：n＝60（不符合題意，舍去）；綜上所述，n的值為60．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角度的計(jì)算以及角的平分線的性質(zhì)，理解角度之間的和差關(guān)系是關(guān)鍵．10．已知：如圖1，點(diǎn)A、O、B依次在直線MN上，現(xiàn)將射線OA繞點(diǎn)O沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?°的速度旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線OB繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛞悦棵?°的速度旋轉(zhuǎn)，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t（0秒≤t≤90秒）．（1）用含t的代數(shù)式表示∠MOA的度數(shù)．（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)∠AOB第二次達(dá)到60°時(shí)，求t的值．（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否存在這樣的t，使得射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角（指大于0°而不超過(guò)180°的角）的平分線？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）∠AOM的度數(shù)等于OA旋轉(zhuǎn)速度乘以旋轉(zhuǎn)時(shí)間；（2）當(dāng)∠AOB第二次達(dá)到60°時(shí)，射線OB在OA的左側(cè)，根據(jù)∠AOM+∠BON﹣∠MON＝60°列方程求解可得；（3）射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線有三種情況：①OB平分∠AOM時(shí)，根據(jù)∠AOM＝∠BOM，列方程求解，②OB平分∠MON時(shí)，根據(jù)∠BOM＝∠MON，列方程求解，③OB平分∠AON時(shí)，根據(jù)∠BON＝∠AON，列方程求解．【解答】解：（1）∠MOA＝2t°；（2）如圖，根據(jù)題意知：∠AOM＝2t°，∠BON＝4t°，當(dāng)∠AOB第二次達(dá)到60°時(shí)，∠AOM+∠BON﹣∠MON＝60°，即2t+4t﹣180＝60，解得：t＝40，故t＝40秒時(shí)，∠AOB第二次達(dá)到60°；（3）射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線有以下三種情況：①OB平分∠AOM時(shí)，∵∠AOM＝∠BOM，∴t＝180﹣4t，解得：t＝36；②OB平分∠MON時(shí)，∵∠BOM＝∠MON，即∠BOM＝90°，∴4t＝90，或4t﹣180＝90，解得：t＝22.5，或t＝67.5；③OB平分∠AON時(shí)，∵∠BON＝∠AON，∴4t＝（180﹣2t），解得：t＝18；綜上，當(dāng)t的值分別為18、22.5、36、67.5秒時(shí)，射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角的計(jì)算和角平分線性質(zhì)的運(yùn)用，OB為角平分線時(shí)分類討論是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．11．如圖，平面內(nèi)點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，一直角三角板COD（∠COD＝90°）的直角頂點(diǎn)與O重合，OM平分∠BOD，設(shè)∠AOC＝α．（本題中所有角均小于等于180°）．（1）如圖，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠AOM＝135°+（用含α的式子表示）；（2）若圖中α＝50°，三角板COD從圖中的位置出發(fā)，繞O點(diǎn)以每秒5°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)ON從OA出發(fā)，以每秒2°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜30）．①當(dāng)t為何值時(shí)，∠AOM+∠CON＝270°？②是否存在一負(fù)數(shù)k，使得∠AOM+k∠CON取值與t無(wú)關(guān)．若存在，求此時(shí)k的值；若不存在，說(shuō)明理由．【分析】（1）利用平角的定義和角平分線的定義解答即可；（2）①依題意列出關(guān)于t的方程，解方程即可得出結(jié)論；②利用①中的方法用t表示，求得∠AOM+k∠CON的值，整理后令t的系數(shù)為0即可求得結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠AOC＝α，∠COD＝90°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝90°﹣α．∵OM平分∠BOD，∴∠BOM＝∠BOD＝45°﹣α．∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝135°+．故答案為：135°+；（2）①根據(jù)題意需要分以下三種情況：Ⅰ、當(dāng)OD在直線AB上方時(shí)，如題圖，此時(shí)0＜t＜8：由題意得：t秒后，∠AOC＝50°+5°t，∴∠BOD＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°﹣5°t＝40°﹣5°t．∵OM平分∠BOD，∴∠BOM＝∠BOD＝20°﹣2.5°t．∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝160°+2.5°t．t秒后，∠CON＝∠AOC+∠AON＝50°+7°t，∵∠AOM+∠CON＝270°，∴160+2.5t+50+7t＝270，解得：t＝，Ⅱ、當(dāng)射線OD在直線AB下方，且OC，ON共線前，如圖，此時(shí)8＜t＜，由題意得：t秒后，∠AOC＝50°+5°t，∴∠BOD＝5°t﹣40°．∵OM平分∠BOD，∴∠BOM＝∠BOD＝2.5°t﹣20°．∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝200°﹣2.5°t．t秒后，∠CON＝∠AOC+∠AON＝50°+7°t，∵∠AOM+∠CON＝270°，∴200﹣2.5t+50+7t＝270，解得：t＝＜8，舍去；Ⅲ、當(dāng)OC，ON共線后，如圖，此時(shí)＜t＜30，由Ⅱ可知，∠AOM＝180°﹣∠BOM＝200°﹣2.5°t．t秒后，∠CON＝360°﹣（50°+5°t）﹣2°t＝310°﹣7°t，∵∠AOM+∠CON＝270°，∴200﹣2.5t+310﹣7t＝270，解得：t＝＜，舍去；故t的值為或；②根據(jù)題意需要分以下三種情況：Ⅰ、當(dāng)OD在直線AB上方時(shí)，如題圖，此時(shí)0＜t＜8：由上可知，∠AOM＝160°+2.5°t，∠CON＝50°+7°t，∴∠AOM+k∠CON＝160°+2.5°t+50°k+7°kt＝（7k+2.5）°t+160°+50°k，∵∠AOM+k∠CON取值與t無(wú)關(guān)，∴7k+2.5＝0，解得：k＝﹣；Ⅱ、當(dāng)射線OD在直線AB下方，且OC，ON共線前，如圖，此時(shí)8＜t＜，由上可知，∠AOM＝200°﹣2.5°t，∠CON＝50°+7°t，∴∠AOM+k∠CON＝200°﹣2.5°t+50°k+7°kt＝（7k﹣2.5）°t+200°+50°k，∴7k﹣2.5＝0，解得：k＝，不合題意，舍去；Ⅲ、當(dāng)OC，ON共線后，如圖，此時(shí)＜t＜30，由上可知，∠AOM＝200°﹣2.5°t，∠CON＝310°﹣7°t，∴∠AOM+k∠CON＝200°﹣2.5°t+310°k﹣7°kt＝（﹣7k﹣2.5）°t+200°+310°k，∴﹣7k﹣2.5＝0，解得：k＝﹣，綜上可知，存在，此時(shí)k＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的計(jì)算，利用角的和或差得出等量關(guān)系，再利用等量代換最后得出結(jié)論，解決本題的關(guān)鍵是分情況畫(huà)圖討論．12．已知O為直線AB上的一點(diǎn)，∠COE是直角，OF平分∠AOE．（1）如圖1，若∠COF＝33°，則∠BOE＝66°；若∠COF＝m°，則∠BOE＝2m°；∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系為BOE＝2∠COF．（2）在圖2中，若∠COF＝75°，在∠BOE的內(nèi)部是否存在一條射線OD，使得2∠BOD與∠AOF的和等于∠BOE與∠BOD的差的三分之一？若存在，請(qǐng)求出∠BOD的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）當(dāng)射線OE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，（1）中∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由，若不成立，求出∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）由∠COF＝33°，∠COE是直角，易求∠EOF，而OF平分∠AOE，可求∠AOE，進(jìn)而可求∠BOE，若∠COF＝m°，則∠BOE＝2m°；進(jìn)而可知∠BOE＝2∠COF；（2）由前面的結(jié)論，當(dāng)∠COF＝75°，得到∠BOE＝2×75°＝150°，并且∠EOF＝∠AOF＝90°﹣75°＝15°，再根據(jù)2∠BOD與∠AOF的和等于∠BOE與∠BOD的差的三分之一，可得到關(guān)于∠BOE的方程，解方程得到∠BOD＝15°，因此在∠BOE的內(nèi)部存在一條射線OD，滿足條件；（3）由于∠COE是直角，于是∠EOF＝90°﹣∠COF，而OF平分∠AOE，得出∠EOF＝（180°﹣x）÷2，∠FOC＝（180°﹣x）÷2+90°＝（360°﹣x）÷2，由此可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠COF＝33°，∠COE是直角，∴∠EOF＝90°﹣33°＝57°，又∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF＝114°，∴∠BOE＝180°﹣114°＝66°，若∠COF＝m°，則∠BOE＝2m°；故∠BOE＝2∠COF；故答案是66°；2m°；∠BOE＝2∠COF；（2）存在．理由如下：如圖2，∵∠COF＝75°，∴∠BOE＝2×75°＝150°，∠EOF＝∠AOF＝90°﹣75°＝15°，而2∠BOD與∠AOF的和等于∠BOE與∠BOD的差的一半，∴2∠BOD+15°＝（150°﹣∠BOD），∴∠BOD＝15°．（3）∠BOE和∠COF的關(guān)系不成立．設(shè)∠BOE＝x，則∠EOF＝（180°﹣x）÷2，∠FOC＝（180°﹣x）÷2+90°＝（360°﹣x）÷2，∴∠BOE+2∠FOC＝360°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；也考查了角平分線的定義以及互余互補(bǔ)的含義．13．如圖，點(diǎn)A、B和線段CD都在數(shù)軸上，點(diǎn)A、C、D、B起始位置所表示的數(shù)分別為﹣2、0、3、12；線段CD沿?cái)?shù)軸的正方向以每秒1個(gè)單位的速度移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t＝0秒時(shí)，AC的長(zhǎng)為2，當(dāng)t＝2秒時(shí)，AC的長(zhǎng)為4．（2）用含有t的代數(shù)式表示AC的長(zhǎng)為t+2．（3）當(dāng)t＝6秒時(shí)AC﹣BD＝5，當(dāng)t＝11秒時(shí)AC+BD＝15．（4）若點(diǎn)A與線段CD同時(shí)出發(fā)沿?cái)?shù)軸的正方向移動(dòng)，點(diǎn)A的速度為每秒2個(gè)單位，在移動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻使得AC＝2BD，若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）依據(jù)A、C兩點(diǎn)間的距離＝|a﹣b|求解即可；（2）t秒后點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的距離為t個(gè)單位長(zhǎng)度，從而點(diǎn)C表示的數(shù)；根據(jù)A、C兩點(diǎn)間的距離＝|a﹣b|求解即可．（3）t秒后點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的距離為t個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的距離為t個(gè)單位長(zhǎng)度，從而可得到點(diǎn)A、點(diǎn)D表示的數(shù)；根據(jù)兩點(diǎn)間的距離＝|a﹣b|表示出AC、BD，根據(jù)AC﹣BD＝5和AC+BD＝15得到關(guān)于t的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，分別解方程即可得出結(jié)論；（4）假設(shè)能夠相等，找出AC、BD，根據(jù)AC＝2BD即可列出關(guān)于t的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）當(dāng)t＝0秒時(shí)，AC＝|﹣2﹣0|＝|﹣2|＝2；當(dāng)t＝2秒時(shí)，移動(dòng)后C表示的數(shù)為2，∴AC＝|﹣2﹣2|＝4．故答案為：2；4．（2）點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣2，點(diǎn)C表示的數(shù)為t；∴AC＝|﹣2﹣t|＝t+2．故答案為t+2．（3）∵t秒后點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的距離為t個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的距離為t個(gè)單位長(zhǎng)度，∴C表示的數(shù)是t，D表示的數(shù)是3+t，∴AC＝t+2，BD＝|12﹣（3+t）|，∵AC﹣BD＝5，∴t+2﹣|12﹣（t+3）|＝5．解得：t＝6．∴當(dāng)t＝6秒時(shí)AC﹣BD＝5；∵AC+BD＝15，∴t+2+|12﹣（t+3）|＝15，t＝11；當(dāng)t＝11秒時(shí)AC+BD＝15，故答案為6，11；（4）假設(shè)能相等，則點(diǎn)A表示的數(shù)為2t﹣2，C表示的數(shù)為t，D表示的數(shù)為t+3，B表示的數(shù)為12，∴AC＝|2t﹣2﹣t|＝|t﹣2|，BD＝|t+3﹣12|＝|t﹣9|，∵AC＝2BD，∴|t﹣2|＝2|t﹣9|，解得：t1＝16，t2＝．故在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中使得AC＝2BD，此時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為16秒和秒．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)軸以及一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．14．如圖1，直線DE上有一點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O在直線DE上方作射線OC．將一直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一條直角邊OA在射線OD上，另一邊OB在直線DE上方．將直角三角板繞著點(diǎn)O按每秒10?的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)直角三角板旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，OA恰好平分∠COD，此時(shí)，∠BOC與∠BOE之間有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．（2）若射線OC的位置保持不變，且∠COE＝140°．①則當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間t＝7或25秒時(shí)，邊AB所在的直線與OC平行？②在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得射線OA，OC與OD中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請(qǐng)求出所有滿足題意的t的取值．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．③在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)邊AB與射線OE相交時(shí)（如圖3），求∠AOC﹣∠BOE的值．【分析】（1）由∠AOB＝90°知∠BOC+∠AOC＝90°、∠AOD+∠BOE＝90°，根據(jù)∠AOD＝∠AOC可得答案；（2）①由∠COE＝140°知∠COD＝40°，分AB在直線DE上方和下方兩種情況，根據(jù)平行線的性質(zhì)分別求得∠AOD度數(shù)，從而求得t的值；②當(dāng)OA平分∠COD時(shí)∠AOD＝∠AOC、當(dāng)OC平分∠AOD時(shí)∠AOC＝∠COD、當(dāng)OD平分∠AOC時(shí)∠AOD＝∠COD，分別列出關(guān)于t的方程，解之可得；③由∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝140°﹣∠AOE、∠BOE＝90°﹣∠AOE得∠AOC﹣∠BOE＝（140°﹣∠AOE）﹣（90°﹣∠AOE）＝50°．【解答】解：（1）∠BOC＝∠BOE，∵∠AOB＝90°，∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，∵OA平分∠COD，∴∠AOD＝∠AOC，∴∠BOC＝∠BOE；（2）①∵∠COE＝140°，∴∠COD＝40°，如圖1，當(dāng)AB在直線DE上方時(shí)，∵AB∥OC，∴∠AOC＝∠A＝30°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝70°，即t＝7；如圖2，當(dāng)AB在直線DE下方時(shí)，∵AB∥OC，∴∠COB＝∠B＝60°，∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝20°，則∠AOD＝90°+20°＝110°，∴t＝＝25，故答案為：7或25；②當(dāng)OA平分∠COD時(shí)，∠AOD＝∠AOC，即10t＝20，解得t＝2；當(dāng)OC平分∠AOD時(shí)，∠AOC＝∠COD，即10t﹣40＝40，解得t＝8；當(dāng)OD平分∠AOC時(shí)，∠AOD＝∠COD，即360﹣10t＝40，解得：t＝32；綜上，t的值為2、8、32；③∵∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝140°﹣∠AOE，∠BOE＝90°﹣∠AOE，∴∠AOC﹣∠BOE＝（140°﹣∠AOE）﹣（90°﹣∠AOE）＝50°，∴∠AOC﹣∠BOE的值為50°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、余角的性質(zhì)及角的計(jì)算，根據(jù)題意全面考慮所有可能以分類討論是解題的關(guān)鍵．15．如圖①，點(diǎn)A、B、C是直線l上的順次三點(diǎn)，AB＝9cm，BC＝16cm．（1）如圖②，點(diǎn)M、N、O分別是線段AB、BC、AC的中點(diǎn)，求線段ON的長(zhǎng)；（2）如圖③，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著直線l勻速向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，將點(diǎn)P到達(dá)AB中點(diǎn)的時(shí)間記為t1，到達(dá)BC中點(diǎn)的時(shí)間記為t2，到達(dá)AC中點(diǎn)的時(shí)間記為t3．試探究t1、t2、t3的關(guān)系，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．（3）如圖④，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著直線l以2cm/s的速度勻速向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)Q也從點(diǎn)C出發(fā)，以3cm/s的速度勻速向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A后沿原路按原速度返回，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C后兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．是否存在某一時(shí)刻t，使得P、Q兩點(diǎn)間的距離恰好等于線段AC的一半，如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)線段的和差與線段中點(diǎn)的定義可得答案；（2）分別求出點(diǎn)P到達(dá)三個(gè)點(diǎn)的路程，再根據(jù)速度不變可得時(shí)間的關(guān)系；（3）分兩種情況：在點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A之前和在點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A之后，分別列方程即可．【解答】解：（1）∵AB＝9cm，BC＝16cm，∴AC＝9+16＝25cm，∵點(diǎn)N、O分別是線段BC、AC的中點(diǎn)，∴CN＝BC＝8cm，OC＝＝12.5cm，∴ON＝OC﹣CN＝4.5cm；（2）由（1）得，AM＝AB＝4.5cm，AN＝AC﹣CN＝17cm，AO＝AC＝12.5cm，∴AM+AO＝AN，∵點(diǎn)P是勻速運(yùn)動(dòng)，∴t1+t3＝t2；（3）①在點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A之前，PA＝2t，QA＝25﹣3t，PQ＝|25﹣3t﹣2t|＝|25﹣5t|，∵AC＝25cm，∴|25﹣5t|＝12.5，解得t＝2.5或7.5，；②在點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A之后，PA＝2t，QA＝3t﹣25，PQ＝|3t﹣25﹣2t|＝|t﹣25|，∴|t﹣25|＝12.5，解得t＝12.5或37.5（舍）．綜上，t的值是2.5或7.5或12.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩點(diǎn)間的距離，掌握各線段之間的關(guān)系并利用一元一次方程求解是解題關(guān)鍵．16．如圖1，∠AOB＝120°，∠COE＝60°，OF平分∠AOE（1）若∠COF＝20°，則∠BOE＝40°（2）將∠COE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至如圖2位置，求∠BOE和∠COF的數(shù)量關(guān)系（3）在（2）的條件下，在∠BOE內(nèi)部是否存在射線OD，使∠DOF＝3∠DOE，且∠BOD＝70°？若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE，求出∠AOE即可解決問(wèn)題；（2）由題意∠AOE＝2∠EOF，可得120°﹣∠BOE＝2（60°﹣∠COF）即可推出∠BOE＝2∠COF；（3）存在．∠DOF＝3∠DOE，設(shè)∠DOE＝α，∠DOF＝3α，構(gòu)建方程求出α，求出∠DOF，∠COF即可；【解答】解：（1）∵∠COE＝60°，∠COF＝20°，∴∠EOF＝60°﹣20°＝40°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝40°，∴∠AOE＝80°，∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝120°﹣80°＝40°，故答案為40；（2）∵∠AOE＝2∠EOF，∴120°﹣∠BOE＝2（60°﹣∠COF）∴∠BOE＝2∠COF；（3）存在．理由如下：∵∠DOF＝3∠DOE，設(shè)∠DOE＝α，∠DOF＝3α，∴∠EOF＝∠AOF＝2α，∠AOD＝5α，∵∠AOD+∠BOD＝120°，∴5α+70°＝120°，∴α＝10°，∴∠DOF＝30°，∠AOE＝40°，∠AOC＝60°﹣40°＝20°，∴∠COF＝40°，∴＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角的計(jì)算，角平分線等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．17．如圖，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)分別為﹣10和20，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）分別求當(dāng)t＝2及t＝12時(shí)，對(duì)應(yīng)的線段PQ的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)PQ＝5時(shí)，求所有符合條件的t的值，并求出此時(shí)點(diǎn)Q所對(duì)應(yīng)的數(shù)；（3）若點(diǎn)P一直沿?cái)?shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，立即改變運(yùn)動(dòng)方向，沿?cái)?shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，隨即停止運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)Q的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在合適的t值，使得PQ＝8？若存在，求出所有符合條件的t值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）找出運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)P、Q對(duì)應(yīng)的數(shù)，由此可用含t的代數(shù)式表示出PQ的長(zhǎng)度，分別代入t＝2、t＝12即可得出結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論結(jié)合PQ＝5可得出關(guān)于t的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，解之即可得出t值，再將t值代入點(diǎn)Q表示的數(shù)中即可得出結(jié)論；（3）找出運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)P、Q對(duì)應(yīng)的數(shù)，分0＜t≤15和15＜t≤30兩種情況找出關(guān)于t的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為t，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為2t﹣10，∴PQ＝|t﹣（2t﹣10）|＝|t﹣10|．當(dāng)t＝2時(shí)，PQ＝|2﹣10|＝8；當(dāng)t＝12時(shí)，PQ＝|12﹣10|＝2．答：當(dāng)t＝2時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)度為8；當(dāng)t＝12時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)度為2．（2）根據(jù)題意得：|t﹣10|＝5，解得：t＝5或t＝15，當(dāng)t＝5時(shí)，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為2t﹣10＝0；當(dāng)t＝15時(shí)，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為2t﹣10＝20．答：當(dāng)PQ＝5時(shí)，t的值為5或15，此時(shí)點(diǎn)Q所對(duì)應(yīng)的數(shù)為0或20．（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為t，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為．當(dāng)0＜t≤15時(shí)，PQ＝|t﹣（2t﹣10）|＝|t﹣10|，|t﹣10|＝8，解得：t1＝2，t2＝18（舍去）；當(dāng)15＜t≤30時(shí)，PQ＝|t﹣[20﹣2（t﹣15）]|＝|3t﹣50|，|3t﹣50|＝8，解得：t3＝，t4＝14（舍去）．綜上所述：在點(diǎn)Q的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在合適的t值，使得PQ＝8，此時(shí)t的值為2或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩點(diǎn)間的距離、數(shù)軸以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）用含t的代數(shù)式表示出PQ的長(zhǎng)度；（2）由（1）的結(jié)論結(jié)