廣東省揭陽市2024屆高三下學期4月二模考試 數(shù)學

廣東省揭陽市2024屆高三下學期4月二?？荚嚁?shù)學姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為(a,b)，且A．a(chǎn)2+(b+1)C．(a+1)2+b2．已知函數(shù)f(x)=?x2+ax+1在(2A．(2,6) C．(4,12) 3．已知橢圓的長軸長是短軸長的7倍，則該橢圓的離心率為（）A．77 B．147 C．3574．把函數(shù)f(x)=3sin3x的圖象向左平移A．y=3sin(3x+34)C．y=3cos3x 5．已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且l?α，m?β，下列命題為真命題的是（）A．若l//m，則α//β B．若α//β，則l//βC．若l⊥m，則l⊥β D．若α⊥β，則l//m6．如果方程F(x,y)=0能確定y是x的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù).隱函數(shù)的求導方法如下：在方程F(x,y)=0中，把y看成x的函數(shù)y=y(x)，則方程可看成關(guān)于x的恒等式F(x,y(x))=0，在等式兩邊同時對x求導，然后解出y'(x)即可.例如，求由方程x2+y2=1所確定的隱函數(shù)的導數(shù)y'，將方程x2A．x?3y+1=0 B．x+3y?5=0 C．3x?y?5=0 D．2x+3y?7=07．如圖，正四棱臺容器ABCD?A1B1C1D1的高為12cm，A．31πcm B．32πcm8．在研究變量x與y之間的關(guān)系時，進行實驗后得到了一組樣本數(shù)據(jù)(x1,y1)，(x2,y2)，…，(x5,y5A．8 B．12 C．16 D．20二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．若表示集合M和N關(guān)系的Venn圖如圖所示，則M，N可能是（）A．M={0,2B．M={x|x2C．M={x|y=lgx}D．M={(x,y)|10．已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，O為△ABC的重心，cosA=15A．AO=14C．△ABC的面積的最大值為36 D．a(chǎn)的最小值為11．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2+x)?f(2?x)=4x.若f(2x?3)的圖象關(guān)于點(2,1)對稱，且A．f(x)的圖象關(guān)于點(1,B．函數(shù)g(x)=f(x)?2x的圖象關(guān)于直線x=2對稱C．函數(shù)g(x)=f(x)?2x的周期為2D．f(1)+f(2)+???+f(50)=2499三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．智慧農(nóng)機是指配備先進的信息技術(shù)，傳感器、自動化和機器學習等技術(shù)，對農(nóng)業(yè)機械進行數(shù)字化和智能化改造的農(nóng)業(yè)裝備，例如：自動育秧機和自動插秧機.正值春耕備耕時節(jié)，某智慧農(nóng)場計劃新購2臺自動育秧機和3臺自動插秧機，現(xiàn)有6臺不同的自動育秧機和5臺不同的自動插秧機可供選擇，則共有種不同的選擇方案.13．已知sin2α=sin2α，則tan14．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線E：x24?y212=1的左、右焦點，M是E的左支上一點，過F2四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．在等差數(shù)列{an}中，a（1）求a10（2）若bn=1anan+1+a16．為提升基層綜合文化服務(wù)中心服務(wù)效能，廣泛開展群眾性文化活動，某村干部在本村的村民中進行問卷調(diào)查，將他們的成績（滿分：100分）分成7組：[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,（1）求a的值并估計該村村民成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）從成績在[30,40)，[80,90)內(nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人，再從這6人中任選3人，記這3人中成績在[80,17．如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，AB=2PA=2PB=2，（1）證明：平面PBC⊥平面PAE.（2）求二面角D?AP?E的余弦值.18．設(shè)拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，已知點F到圓E：（1）求拋物線C的方程.（2）設(shè)O是坐標原點，點P(2,4)，A，B是拋物線C上異于點P的兩點，直線PA，PB與y軸分別相交于，NM兩點（異于點O），且O是線段MN的中點，試判斷直線19．已知函數(shù)f(x)=ln（1）當a=1時，證明：f(x)是增函數(shù).（2）若f(x)≤x恒成立，求a的取值范圍.（3）證明：ln22+ln3

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】設(shè)z=a+bi，所以|z+i|=|a+(b+1)i|=4，兩邊平方得到a2故答案為：B.【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義和模長計算公式計算即可.2．【答案】C【解析】【解答】因為函數(shù)對稱軸為x=a2，由已知得2<a故答案為：C.【分析】利用二次函數(shù)對稱軸和區(qū)間的相對位置即可.3．【答案】D【解析】【解答】因為橢圓長軸2a是短軸2b的7倍，得a=7則離心率e=c故答案為：D.【分析】橢圓離心率的公式變形結(jié)合已知條件即可求得離心率.4．【答案】C【解析】【解答】因為f(x)的最小正周期為2π3，14則所求函數(shù)為y=3sin3(x+2π3×故答案為：C.【分析】利用三角函數(shù)變形公式和誘導公式即可求得函數(shù)解析式.5．【答案】B【解析】【解答】對于A：由已知若l//m，則α與β的可以平行，可以相交，故A不正確.對于B：若α//β，則l//β，故B正確.對于C：若l⊥m，則l與β的位置關(guān)系不確定，故C不正確.對于D：若α⊥β，則l與m的位置關(guān)系不確定，故D不正確.故答案為：B.【分析】分析線面、面面位置關(guān)系，進行判斷即可.6．【答案】B【解析】【解答】對曲線xy+lny=2，兩邊同時求導得y+xy'+1y?y'=0，

又因為曲線過(2,1)故答案為：B.【分析】根據(jù)題意兩邊同時求導求得斜率，即可求出切線方程.7．【答案】A【解析】【解答】初始狀態(tài)時，水面正方形的邊長為10+22水面上升后，水面正方形的邊長為6+22所以57個小鐵球的體積之和為13設(shè)小鐵球的半徑為R，

則57×43×π故答案為：A.【分析】根據(jù)相似的比例關(guān)系結(jié)合臺體的體積公式進行計算求得半徑.8．【答案】C【解析】【解答】記x，y分別為未剔除(6,28)和(0,28)數(shù)據(jù)前的記x'，y'分別為剔除(6,28)和(0,因為i=1yi=140則x'=y'?m4=所以x=110(7×y故答案為：C.【分析】對比剔除數(shù)據(jù)前后的平均數(shù)的變化，解方程即可求得m.9．【答案】A,C,D【解析】【解答】由Venn圖可知N，M，對于A：N={4}{0,對于B：{x|x>?1}?{x|x對于C：{y|y=e對于D：{(x,故答案為：ACD.【分析】利用集合間的包含關(guān)系判斷即可.10．【答案】B,C【解析】【解答】對于A：設(shè)BC的中點D，易知，AO=對于B：由AO=13所以36=c2+當且僅當b=c=15所以AB?對于C：由cosA=15由三角形面積公式和基本不等式可知S△ABC對于D：由36=c2+所以a2=b故答案為：BC.【分析】根據(jù)向量中線定理，結(jié)合基本不等式和余弦定理三角形面積公式判斷即可.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】對于A：由已知函數(shù)f(2x?3)的圖象關(guān)于點(2,1)對稱，

由函數(shù)對稱性可知f(2x?3)+f(2(4?x)?3)=2，

化簡得f(2x?3)+f(5?2x)=2，整理得f(x?3)+f(5?x)=2，

則f(x)的圖象對稱中心為對于B：由f(2+x)?f(2?x)=4x，可得f(2+x)?2(2+x)=f(2?x)?2(2?x)，則g(2+x)=g(2?x)，

所以g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，故B正確.對于C：g(1+x)+g(1?x)=f(1+x)?2(1+x)+f(1?x)?2(1?x)=f(1+x)+f(1?x)?4=?2，則g(x)的圖象關(guān)于點(1,?1)對稱，故g(x)是以4為周期的函數(shù)，即對于D：因為g(0)=f(0)?2×0=0，g(1)=?1，g(2)=?2?g(0)=?2，g(3)=g(1)=?1，所以f(1)+f(2)+???+f(50)=g(1)+g(2)+???+g(50)+2(1+2+???+50)=?4×12?1?2+2550=2499，故D正確.故答案為：ABD.【分析】根據(jù)函數(shù)基本性質(zhì)（對稱性、周期性）相關(guān)知識變形化簡判斷即可.12．【答案】150【解析】【解答】6臺不同的自動育秧機新購2臺自動育秧機有C65臺不同的自動插秧機新購3臺自動插秧機C5則不同的選擇方案共有C6故答案為：150.【分析】根據(jù)分布乘法計數(shù)原理，結(jié)合組合數(shù)計算即可.13．【答案】0或2；1或?3【解析】【解答】由已知：sin當sinα=0時，tanα=0，

當sinα≠0時，sinα?2cosα=0，tanα=2故答案為：0或2；1或-3【分析】利用分類討論思想，結(jié)合兩角和正切公式計算即可.14．【答案】2【解析】【解答】由已知延長F2N，M.因為MN平分∠F1MF2由雙曲線定義可知|PF1|=|MP|?|M故答案為：2.【分析】根據(jù)條件轉(zhuǎn)化求得|PF1|15．【答案】（1）解：設(shè){an}的公差為d得d=2，所以a（2）證明：由（1）得anbn則S【解析】【分析】（1）根據(jù)已知求得等差數(shù)列基本量公差即可求得a10（2）結(jié)合第一問結(jié)論化簡整理利用裂項相消法求和，判斷函數(shù)特征即可證明.16．【答案】（1）解：由圖可知，10(3a+0.01+0.該村村民成績的平均數(shù)約為(35+45+95)×0（2）解：從成績在[30,40)，其中成績在[30,40)內(nèi)的村民有則成績在[80,從中任選3人，則X的取值可能為1，2，3，P(X=1)=C22C則X的分布列為X123P131故E(X)=1×1【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖相關(guān)知識計算平均數(shù)即可.（2）利用超幾何分布相關(guān)知識算出變量取不同值時的概率，結(jié)合期望的計算公式．17．【答案】（1）證明：連接AC.因為底面ABCD為菱形，∠ABC=60°.所以△ACD是正三角形.又E為CD的中點，所以AE⊥CD，則AE⊥AB.因為平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，所以AE⊥平面PAB.因為PB?平面PAB，所以AE⊥PB.因為AB=2PA=2PB=2，所以因為PA∩AE=A，所以PB⊥平面PAE.又PB?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAE.（2）解：取AB的中點O，連接OC，OP.以O(shè)為坐標原點，OB，OC，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(?1,0,0)，B(1,所以AP=(1,0,設(shè)平面PAD的法向量為m=(x,y,令y=1，得m=(由（1）可知，BP是平面PAE的一個法向量，所以cos?m由圖可知，二面角D?AP?E為銳角，所以二面角D?AP?E的余弦值為42【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件得到線線垂直，證明線面垂直，再由面面垂直的判定即可證明．

（2）求出兩個平面的法向量利用向量夾角余弦和二面角余弦的關(guān)系，即可得出答案．18．【答案】（1）解：F點的坐標為(p點F到圓E：(x+3)2+y2=1則拋物線C的方程為y2（2）解：直線AB經(jīng)過定點(0,設(shè)直線AB的方程為x=ty+m，A(x1,聯(lián)立方程組x=ty+m,y2則Δ=64ι2+32m>0，y直線PA的方程為y?4=y令x=0，得yM=4因為O是線段MN的中點，所以4x整理得8x1x則m2?8t若m+4t?2=0，則直線AB經(jīng)過點P，不符合題意.若m?2t=0，則直線AB的方程為x=ty+2t，經(jīng)過定點(0,【解析】【分析】（1）數(shù)形結(jié)合解方程即可得到點P，進而求得拋物線的方程．

（2）直曲聯(lián)立與根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合，根據(jù)已知條件化簡即可進行判斷．19．【答案】（1）證明：當a=1時，f(x)=lnx?x令g(x)=ex+x2?x，則g'則g(x)>g(0)=1，故f'(x)>0在(0,（2）解：當x>0時，f(x)