吉林省白城市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)2025屆高三上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)（含解析）

白城市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年度高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4,M為棱DC的中點(diǎn)，N為側(cè)面BC1的中心，過點(diǎn)M的平面αA.45+2B.23C.52.已知角的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π2A.B.C.D.3.某校高一年級(jí)研究性學(xué)習(xí)小組利用激光多普勒測(cè)速儀實(shí)地測(cè)量復(fù)興號(hào)高鐵在某時(shí)刻的速度，其工作原理是：激光器發(fā)出的光平均分成兩束射出，在披測(cè)物體表面匯聚，探測(cè)器接收反射光，當(dāng)被測(cè)物體橫向速度為零時(shí)，反射光與探測(cè)光頻串相同，當(dāng)橫向速度不為零時(shí)，反射光相對(duì)探測(cè)光會(huì)發(fā)生頻移，其中為測(cè)速儀測(cè)得被測(cè)物體的橫向速度，為激光波長(zhǎng)，為兩束探測(cè)光線夾角的一半，如圖若激光測(cè)速儀安裝在距離高鐵處，發(fā)出的激光波長(zhǎng)為，測(cè)得某時(shí)刻頻移為，則該時(shí)刻高鐵的速度約等于（）A.B.C.D.4.設(shè)與為兩個(gè)正四棱錐，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為且，點(diǎn)M在線段AC上，且，將異面直線PD，QM所成的角記為，則的最小值為（）A.B.C.D.5.在側(cè)棱長(zhǎng)為2的正三棱錐A?BCD中，點(diǎn)E為線段BC上一點(diǎn)，且AD⊥AE，則以A為球心，2為半徑的球面與該三棱錐三個(gè)側(cè)面交線長(zhǎng)的和為（

）A.32π4B.2πC.36.已知正三棱錐P－ABC的底面邊長(zhǎng)為23，若半徑為1的球與該正三棱錐的各棱均相切，則三棱錐P－ABCA.2B.22C.3D.7.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，P為線段A1A.2,6B.2,5C.3,58.已知函數(shù)，，對(duì)，，使得成立，則正數(shù)a的取值范圍為（）A.B.C.D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題.每題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.）9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線，過點(diǎn)作斜率為的直線與軸相交于點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，且，則()A.B.C.以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線有公共點(diǎn)D.以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線沒有公共點(diǎn)10.已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C滿足A+sinA.cos2C+cos2B<cosC.b>acosCD.11.已知甲、乙兩名同學(xué)在高三的6次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖，則下列說法正確的是（）A.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為x1ˉ，x2ˉ，則B.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為s12，s22，則C.甲成績(jī)的極差小于乙成績(jī)的極差D.甲成績(jī)比乙成績(jī)穩(wěn)定12.將正四棱錐P?ABCD和正四棱錐Q?ABCD的底面重合組成八面體Ω,AB=PA=2,QA=A.PQ⊥平面ABCDB.PA//QCC.Ω的體積為4D.二面角P?AB?Q的余弦值為?三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知a＞b＞1，若logab＋logba＝，ab＝ba，則a＋2b＝________.14.若函數(shù)在x=2處取極值，則a=______，fx的極大值為______.15.如圖，某登山隊(duì)在山腳A處測(cè)得山頂B的仰角為45°，沿傾斜角為30°的斜坡前進(jìn)2千米后到達(dá)D處，又測(cè)得山頂B的仰角為75°16.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知a是b和b+c的等比中項(xiàng).則2sinA?sin四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知函數(shù)fx=ex(1)求曲線y=fx在點(diǎn)0,f(2)證明：fx在0,+18.在△ABC中，AC=3AB，且BC邊上的中線AD長(zhǎng)為(1)若BC=2AB，求△ABC的面積；(2)若∠ABC=2∠DAC，求BC的長(zhǎng).19.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，四邊形BCC1B1為菱形，D，E分別為BC，AC(1)求證：平面C1DE⊥平面(2)求直線C1E與平面20.記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知an>0,a2=321.經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品．以X（單位：t，100≤X≤150）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，T（單位：元）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)．（1）將T表示為X的函數(shù)；（2）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于49000元的概率．22.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為菱形，PD⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn).(1)設(shè)平面ABE與直線PC相交于點(diǎn)F，求證：EF//(2)若AB=2，∠DAB=60°，PD=42，求直線BE與平面PAD參考答案1.【答案】D【解析】如圖所示，取BC,CC1的中點(diǎn)E,F，分別連接在正方形ABCD中，因?yàn)镸,E分別為DC,BC的中點(diǎn)，可得△ADM∽△DCE，所以∠DAM=∠CDE，∠AMD=∠CED，因?yàn)椤螦DM=90°，所以∠AMD+∠CDE=90°，所以∠DPM=又因?yàn)镋,N分別為BC,BC1的中點(diǎn)，所以因?yàn)镃C1⊥平面ABCD，AM?平面ABCD，所以CC又因?yàn)镈E∩NE=E且DE,NE?平面DNE，所以AM⊥平面DNE，因?yàn)镈N?平面DNE，所以AM⊥DN，同理可證：D1又因?yàn)锳M∩D1M=M且AM,D1M?平面AD即平面α截正方體ABCD?A1B1由正方體ABCD?A1B1在直角△ADD1中，可得在直角△ADM中，可得AM=A在直角△DD1M中，可得所以截面的面積為S=1故選：D.2.【答案】D【解析】由，得，化簡(jiǎn)可得，解得，，tanβ=所以．故選：D．3.【答案】C【解析】由題意：，故，即，故340km/h.故選：C.4.【答案】A【解析】連接交于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎叫芜呴L(zhǎng)為，所以，因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，設(shè)，在直角中，有，故，所以，則，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為，因此的最小值為.故選：A.5.【答案】C【解析】取BC中點(diǎn)F，連接AF、DF，則有AF⊥BC，DF⊥BC，又AF∩DF=F，AF、DF?平面ADF，故BC⊥平面ADF，又AD?平面ADF，故BC⊥AD，又AD⊥AE，BC∩AE=E，BC、AE?平面ABC，故AD⊥平面ABC，又AC、AB?平面ABC，故AD⊥AC，AD⊥AB，由正三棱錐的性質(zhì)可得AD、AB、AC兩兩垂直，故AF=1222+22=2，即以π2×2=故選：C.

6.【答案】A【解析】因?yàn)榍蚺c該正三棱錐的各棱均相切，所以該球的球心在過截面圓圓心且與平面ABC垂直的直線上，又因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為23所以底面正三角形的內(nèi)切圓的半徑為r'又因?yàn)榍虻陌霃絩=1，即r'所以棱切球的球心即為底面正三角形的中心點(diǎn)O，如圖，過球心O作PA的垂線交PA于H，則H為棱切球在PA上的垂足，

所以O(shè)H=r=1，又因?yàn)镺A=12ABcos因?yàn)椤螦OH∈0,π，所以又由題意可知，PO⊥平面ABC，所以PO⊥OA，所以∠POH=30°所以PO=OH所以VP?ABC故選：A.7.【答案】B【解析】如圖，連接BP，過Q作QR⊥BC，垂足為R．在直三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥平面所以CC1⊥BC，故CC過Q作QM⊥B1C1于點(diǎn)M，連接MR，易得BC⊥則BC⊥MR，又BC⊥BB1，所以因?yàn)镼M≤PB1，MR=BB1，QM⊥MR所以QR≤PB，則CC1當(dāng)Q與C1重合時(shí)，QR=CC1=2當(dāng)Q與P重合時(shí)，由BC⊥AB，BC⊥BB1，AB⊥BB1=B,得所以BC⊥PB，所以QR=PB=12+2所以△BCQ的面積的取值范圍為2,5故選：B.8.【答案】C【解析】，當(dāng)時(shí)，，，即值域?yàn)?又，則為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?要使對(duì)，，使得成立，則，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.9.【答案】AD【解析】設(shè)直線方程為，即，則，由，消去整理得，則，,由可得，，則，整理得，所以，解得，.又因?yàn)橹本€過，所以，即，驗(yàn)證，與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn).故A正確，B錯(cuò)誤；可知：準(zhǔn)線方程為，直線的方程：，由弦長(zhǎng)公式得，則以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓心到準(zhǔn)線的距離為，所以以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線沒有公共點(diǎn)，C錯(cuò)誤，D正確．故選：AD．10.【答案】ABC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，不妨取B=C=π6,A=2但cos2C+cos2B=對(duì)于選項(xiàng)B，由A+sinC>π2即sinC?C>構(gòu)造函數(shù)f(x)=sinx?x,x∈(0,π)故f(x)在0,π因?yàn)閒(C)>f(π2?B)，所以C<π可得B,C∈(0,π因?yàn)閥=sinx在(0,π2)上單調(diào)遞增，所以因?yàn)閥=cosx在(0,π2)上單調(diào)遞減，所以可得sinCcosB對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)锳∈(π2,π)，可得b?acosC=b?a?a對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)锳∈(π2,π)，由正弦定理asin可得(2Rsin即sin2C+sin故選：ABC.11.【答案】ACD【解析】由圖知，甲同學(xué)除第二次考試成績(jī)略低于乙同學(xué)，其他5次考試都高于乙同學(xué)，知x1ˉ>x2ˉ，A正確；甲同學(xué)的成績(jī)比乙同學(xué)穩(wěn)定，故s12>s212.【答案】AC【解析】令正方形ABCD的中心為O，連接PO,QO，

對(duì)于A，由正四棱錐P?ABCD，得PO⊥平面ABCD，同理QO⊥平面ABCD，則P,O,Q共線，因此PQ⊥平面ABCD，A正確；對(duì)于B，連接AC，顯然O是AC的中點(diǎn)，AO=12AC=2QO=QA2?AO2=22，O不是PQ的中點(diǎn)，因此四邊形對(duì)于C，Ω的體積V=VP?ABCD+對(duì)于D，取AB中點(diǎn)M，連接PM,QM，則PM⊥AB,QM⊥AB，∠PMQ是二面角P?AB?Q的平面角，而PM=PA2?AM2故選：AC.13.【答案】8【解析】由logab＋logba＝，且logab·logba＝1，所以logab，logba是方程x2－x＋1＝0的兩根，解得logba＝2或logba＝，又a＞b＞1，所以logba＝2，即a＝b2，又ab＝ba，從而b2b＝ba，則a＝2b，且a＝b2，則b＝2，a＝4，所以a＋2b＝8.14.【答案】-10【解析】，由題可知，解得a=-10，所以，當(dāng)f'x>0時(shí)，得2<x當(dāng)f'x<0時(shí)，得0<x<2或x所以fx在0,2，5,+∞上單調(diào)遞減，在2,5故fx的極大值為．故答案為：-10，．15.【答案】2【解析】由題意得，所以，且，在△ABD中，由正弦定理得，即，，解得，所以，故答案為2.16.【答案】0,【解析】因?yàn)閍是b和b+c的等比中項(xiàng)，所以a2=bb+c，即由余弦定理可得cosA=b2+c2?由正弦定理可得sinB=即sin=sin又A,B∈0,π，所以B=A?B，即所以0<B<π0<A=2B<π0<C=π?3B<π由2sin令fx=2sinf令f'x>0，得cosx>12，得0<x<π令f'x<0，得cosx<12，得π3因?yàn)閒π3=332，故fx∈0,332，即故答案為：0,317.【答案】(1)解因?yàn)閒'所以f'0=1所以曲線y=fx在點(diǎn)0,f0處的切線方程為即x?y+2=0．(2)證明由(1)知，f'因?yàn)閏osx≥?1，x>0所以xcos所以f設(shè)?x=ex所以?x在0,+所以?x所以f'所以fx在0,+18.【答案】解(1)由題可知AB=c,AC=3由勾股定理得，A=π2，所以又sin∠ABC=32，所以又BC邊上中線AD=1，所以BC=2，AB=1，AC=3所以SΔ(2)由題可知AB=c,AC=3設(shè)∠ABC=2θ,∠DAC=θ,∠ADB=α，則∠ADC=π在△ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB=AD在△ADC中，由正弦定理得DCsin∠DAC=AC所以1sin2θ=a在△ABD和△ADC中，由余弦定理得cos所以a2在△ADC中，由余弦定理得DC即a22=1將a2=8c2由①④得3a2=c2+22即2c6+7c因?yàn)閏>0，所以c2=1，則a2=8故BC的長(zhǎng)為2.19.【答案】(1)證明由AB=BC=2，AC=22可得A∴AB⊥BC，∵D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，∴DE∥AB，且DE=12連接BC1，則由條件可得△BCC1又C1E=2，∴∴DE⊥C1D．又C1D∩BC=D，且C1D∴DE⊥平面BCC1B1，又DE?∴平面C1DE⊥平面(2)解由(1)可得AB⊥平面BCC1B1，C又DE∩BC=D，DE,BC?平面ABC，故C1D⊥平面如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA所在直線分別為x軸、y軸，過點(diǎn)B且與C1D平行的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系B-則B0,0,0，A0,2,0，B1?1,0∴BA→=0,2,0，B設(shè)平面ABB1A1由n→·BA→令x=3，可得n設(shè)直線C1E與平面ABB1則sinθ=即直線C1E與平面ABB120.【答案】證明∵數(shù)列Sn是等差數(shù)列，設(shè)公差為d=S∴Sn=a1∴Sn=a1∴當(dāng)n≥2時(shí)，a=2a當(dāng)n=1時(shí)，2a1×1?a1∴an的通項(xiàng)公式為an=2a∴a∴an21.【答案】解（1）當(dāng)X∈[100,130)時(shí)，T=500X-300(130-X)=800X-39000.當(dāng)X∈[130,150]時(shí)，T=500×130=65000.所以T=（2）由（1）知，當(dāng)130≤X≤150時(shí)，T=65000>490