【名師一號(hào)】2020-2021學(xué)年北師大版高中數(shù)學(xué)必修2雙基限時(shí)練29

雙基限時(shí)練(二十九)一、選擇題1．點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(2),2)))到原點(diǎn)O的距離是()A.eq\f(\r(30),6) B．1C.eq\f(\r(33),6) D.eq\f(\r(35),6)解析|OP|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－\r(2),2)))2)＝1.答案B2．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(x，y，z)的坐標(biāo)滿足方程(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2＝1，則點(diǎn)P的軌跡是()A．圓 B．直線C．球面 D．線段解析(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2＝1表示(x，y，z)到點(diǎn)(2，－1，3)的距離的平方為1，它表示以(2，－1,3)為球心，以1為半徑的球面．答案C3．已知點(diǎn)P到三個(gè)坐標(biāo)平面的距離相等，且皆為3，則點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離是()A．3 B．3eq\r(2)C．3eq\r(3) D．3eq\r(3,3)解析|OP|＝eq\r(32＋32＋32)＝3eq\r(3).答案C4．已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(1，－2，－3)，B(－1，－1，－1)，C(0,0，－5)，則△ABC為()A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．銳角三角形 D．鈍角三角形解析∵|AB|＝eq\r(22＋1＋4)＝3，|BC|＝eq\r(12＋12＋42)＝eq\r(18)，|AC|＝eq\r(12＋22＋22)＝3.∵|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，故選B.答案B5．已知A(1,2，－1)，B(1，t，t)(t∈R)，則|AB|的最小值為()A.eq\f(9,2) B．5C.eq\r(5) D.eq\f(3\r(2),2)解析∵|AB|＝eq\r(t－22＋t＋12)＝eq\r(2t2－2t＋5)，∴當(dāng)t＝eq\f(1,2)時(shí)，|AB|min＝eq\f(3\r(2),2).答案D6．到點(diǎn)A(－1，－1，－1)，B(1,1,1)的距離相等的點(diǎn)C(x，y，z)的坐標(biāo)滿足()A．x＋y＋z＝－1 B．x＋y＋z＝0C．x＋y＋z＝1 D．x＋y＋z＝4解析由題意得(x＋1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2，即：x＋y＋z＝0.答案B二、填空題7．若點(diǎn)P(x，y，z)到A(2,3,0)，B(5,1,0)的距離相等，則點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y，z)滿足________．解析由(x－2)2＋(y－3)2＋z2＝(x－5)2＋(y－1)2＋z2，得6x－4y－13＝0.答案6x－4y－13＝08．若A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，則|AB|的最小值為_(kāi)_______，此時(shí)A點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．解析|AB|＝eq\r(x－12＋5－x－x－22＋2x－1－2＋x2)＝eq\r(14x2－32x＋19)＝eq\r(14\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,7)))2＋\f(5,7))，∴當(dāng)x＝eq\f(8,7)時(shí)，|AB|min＝eq\f(\r(35),7).此時(shí)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,7)，\f(27,7)，\f(9,7))).答案eq\f(\r(35),7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,7)，\f(27,7)，\f(9,7)))9．在xOy平面上的直線x＋y＝1上確定一點(diǎn)M，使M到點(diǎn)(6,5,1)的距離最小，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．解析設(shè)M(t,1－t,0)，則M到(6,5,1)的距離d＝eq\r(t－62＋4＋t2＋1)＝eq\r(2t2－4t＋53)，∴當(dāng)t＝1時(shí)d取得最小值，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0,0)．答案(1,0,0)三、解答題10．在xOy平面內(nèi)的直線x＋y＝1上確定一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)N(6,5,1)的距離最?。狻進(jìn)是xOy平面內(nèi)的直線x＋y＝1上的點(diǎn)，則設(shè)M的坐標(biāo)為(x,1－x,0)，由兩點(diǎn)間的距離公式|MN|＝eq\r(x－62＋1－x－52＋0－12)＝eq\r(2x－12＋51).∴當(dāng)x＝1時(shí)，|MN|最小，∴M的坐標(biāo)為(1,0,0)．11．已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)，(1)在x軸上求一點(diǎn)P，使|PA|＝|PB|；(2)在xOz平面內(nèi)的點(diǎn)M到A點(diǎn)與到B點(diǎn)的距離相等，求M點(diǎn)的軌跡．解(1)設(shè)P(a,0,0)，由|PA|＝|PB|，可知eq\r(a－12＋－22＋12)＝eq\r(a－22＋22)，即a2－2a＋6＝a2－4a＋8得a＝1，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0,0)．(2)設(shè)M(x,0，z)，由題意，得eq\r(x－12＋－22＋z＋12)＝eq\r(x－22＋z－22)，整理得2x＋6z－2＝0，即x＋3z－1＝0.∴M點(diǎn)的軌跡是xOz平面內(nèi)的一條直線．12．如圖所示，已知四棱錐P—ABCD的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，PD⊥面ABCD，設(shè)PD＝4eq\r(3)，M為PB的中點(diǎn)，N在線段AB上，求當(dāng)|MN|最短時(shí)，N點(diǎn)所處的位置．解建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A(4,0,0)，B(4,4,0)，P(0,0,4eq\r(3))．∵M(jìn)點(diǎn)為PB的中點(diǎn)，∴M(2,2,2eq\r(3))．又N在線段AB上，∴N(4，b,0)(0≤b≤4)．∴|MN|＝eq\r(4－22＋b－22＋0－2\r(3)2).∴當(dāng)b＝2時(shí)|MN|min＝eq\r(4＋12)＝4.此時(shí)N為AB的中點(diǎn)，∴當(dāng)N為AB的中點(diǎn)時(shí)|MN|最短．思維探究13．在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)，試問(wèn)：(1)在y軸上是否存在點(diǎn)M，滿足|MA|＝|MB|?(2)在y軸上是否存在點(diǎn)M，使△MAB為等邊三角形？若存在，試求出點(diǎn)M坐標(biāo)．解(1)假設(shè)在y軸上存在點(diǎn)M，滿足|MA|＝|MB|，因M在y軸上，可設(shè)M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|，可得eq\r(32＋y2＋12)＝eq\r(12＋y2＋32)，明顯，此式對(duì)任意y∈R恒成立．這就是說(shuō)y軸上全部點(diǎn)都滿足關(guān)系|MA|＝|MB|.(2)假設(shè)在y軸上存在點(diǎn)M，使△MAB為等邊三角形．由(1)可知，y軸上任一點(diǎn)都有|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等邊三角形．由于|MA|＝eq\r(3－02＋0－y2＋1