【優(yōu)化設(shè)計】2020-2021學(xué)年人教版高中數(shù)學(xué)選修2-2模塊綜合檢測(A)

模塊綜合檢測(A)(時間：100分鐘；滿分：120分)一、選擇題(本大題共10小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．若復(fù)數(shù)z滿足(3－4i)z＝|4＋3i|，則z的虛部為()A．－4 B．－eq\f(4,5)C．4 D.eq\f(4,5)解析：選D.∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴z＝eq\f(|4＋3i|,3－4i)＝eq\f(\r(42＋32),3－4i)＝eq\f(53＋4i,25)＝eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i，∴z的虛部為eq\f(4,5).2．求由曲線y＝2x2與直線x＝0，x＝t(t＞0)，y＝0所圍成的曲邊梯形的面積時，將區(qū)間[0，t]等分成n個小區(qū)間，則第i個區(qū)間為()A．[eq\f(i－1,n)，eq\f(i,n)] B．[eq\f(i,n)，eq\f(i＋1,n)]C．[eq\f(ti－1,n)，eq\f(ti,n)] D．[eq\f(ti－2,n)，eq\f(ti－1,n)]解析：選C.把區(qū)間[0，t]等分成n個小區(qū)間后，每個小區(qū)間的長度為eq\f(t,n)，n個小區(qū)間分別為[0，eq\f(t,n)]，[eq\f(t,n)，eq\f(2t,n)]，[eq\f(2t,n)，eq\f(3t,n)]，…，[eq\f(ti－1,n)，eq\f(ti,n)]，…，[eq\f(n－1t,n)，t](其中i＝1,2,3，…，n)．故選C.3．?dāng)?shù)列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28 B．32C．33 D．27解析：選B.由題中數(shù)字可發(fā)覺：2＋3＝5,5＋6＝11,11＋9＝20，故20＋12＝32.4．已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，若z1－z2是純虛數(shù)，則()A．a(chǎn)－c＝0，且b－d≠0B．a(chǎn)－c＝0，且b＋d≠0C．a(chǎn)＋c＝0，且b－d≠0D．a(chǎn)＋c＝0，且b＋d≠0解析：選A.∵z1－z2＝a＋bi－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i為純虛數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－c＝0,b－d≠0)).5．如圖，陰影部分面積為()A.eq\i\in(a,b,)[f(x)－g(x)]dxB.eq\i\in(a,c,)[g(x)－f(x)]dx＋eq\i\in(c,b,)[f(x)－g(x)]dxC.eq\i\in(a,c,)[f(x)－g(x)]dx＋eq\i\in(c,b,)[g(x)－f(x)]dxD.eq\i\in(a,b,)[g(x)－f(x)]dx解析：選B.∵在區(qū)間(a，c)上g(x)＞f(x)，而在區(qū)間(c，b)上g(x)＜f(x)．∴S＝eq\i\in(a,c,)[g(x)－f(x)]dx＋eq\i\in(c,b,)[f(x)－g(x)]dx，故選B.6．用反證法證明命題：“若(a－1)(b－1)(c－1)＞0，則a，b，c中至少有一個大于1”時，下列假設(shè)中正確的是()A．假設(shè)a，b，c都大于1B．假設(shè)a，b，c都不大于1C．假設(shè)a，b，c至多有一個大于1D．假設(shè)a，b，c至多有兩個大于1解析：選B.a，b，c至少有一個大于1的否定為a，b，c都不大于1.7．k棱柱有f(k)個對角面，而k＋1棱柱有對角面的個數(shù)為()A．2f(k) B．k－1＋f(k)C．f(k)＋k D．f(k)＋2解析：選B.新增加的第k＋1條棱與其不相鄰的第k－2條棱構(gòu)成k－2個對角面，與其相鄰的兩條棱構(gòu)成一個對角面，這樣共增加k－1個對角面．8．函數(shù)y＝eq\f(1,2)x2－lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為()A．(－1,1] B．(0,1]C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)解析：選B.依據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于0的解集就是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求解．由題意知，函數(shù)的定義域為(0，＋∞)，又由y′＝x－eq\f(1,x)≤0，解得0＜x≤1，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1]．9．函數(shù)f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值為()A.eq\f(2\r(3),9) B.eq\f(2\r(2),9)C.eq\f(3\r(2),9) D.eq\f(3,8)解析：選A.f(x)＝x－x3，∴f′(x)＝1－3x2，當(dāng)x＝eq\f(\r(3),3)時，f′(x)＝0；當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))時，f′(x)＞0；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))時，f′(x)＜0.∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))＝eq\f(2\r(3),9)為極大值．又f(0)＝0，f(1)＝0，∴f(x)的最大值是feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))＝eq\f(2\r(3),9).10.設(shè)△ABC的三邊長分別為a，b，c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝eq\f(2S,a＋b＋c)，類比這個結(jié)論可知：四周體S－ABC的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球半徑為R，四周體S－ABC的體積為V，則R＝()A.eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) B.eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C.eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) D.eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)解析：選C.設(shè)四周體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個面的距離都是R，所以四周體的體積等于以O(shè)為頂點，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和．則四周體的體積為VS－ABC＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4)，故選C.二、填空題(本大題共5小題，把答案填在題中橫線上)11．復(fù)數(shù)z1＝cosθ＋i，z2＝sinθ－i，則|z1－z2|的最大值為________．解析：|z1－z2|＝|(cosθ－sinθ)＋2i|＝eq\r(cosθ－sinθ2＋4)＝eq\r(5－2sinθcosθ)＝eq\r(5－sin2θ)≤eq\r(6).答案：eq\r(6)12．若P＝eq\r(a)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋3)＋eq\r(a＋4)(a≥0)，則P，Q的大小關(guān)系為________．解析：要比較P與Q的大小，只需比較P2與Q2的大小，只需比較2a＋7＋2eq\r(a·a＋7)與2a＋7＋2eq\r(a＋3a＋4)的大小，只需比較a2＋7a與a2＋7a＋12的大小，即比較0與12的大小，而0＜12.故P＜Q.答案：P＜Q13．設(shè)y＝f(x)為區(qū)間[0,1]上的連續(xù)函數(shù)，且恒有0≤f(x)≤1，可以用隨機模擬方法近似計算積分eq\i\in(0,1,)f(x)dx，先產(chǎn)生兩組(每組N個)區(qū)間[0,1]上的均勻隨機數(shù)x1，x2，…xN和y1，y2，…，yN，由此得到N個點(xi，yi)(i＝1,2，…，N)，再數(shù)出其中滿足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的點數(shù)N1，那么由隨機模擬方案可得積分eq\i\in(0,1,)f(x)dx的近似值為________．解析：eq\i\in(0,1,)f(x)dx的幾何意義是函數(shù)f(x)(其中0≤f(x)≤1)的圖象與x軸、直線x＝0和直線x＝1所圍成圖形的面積，依據(jù)幾何概型易知eq\i\in(0,1,)f(x)dx≈eq\f(N1,N).答案：eq\f(N1,N)14．已知P，Q為拋物線x2＝2y上兩點，點P，Q的橫坐標(biāo)分別為4，－2，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點A，則點A的縱坐標(biāo)為________．解析：由于y＝eq\f(1,2)x2，所以y′＝x，易知P(4,8)，Q(－2,2)，所以在P、Q兩點處切線的斜率的值為4或－2.所以這兩條切線的方程為l1：4x－y－8＝0，l2：2x＋y＋2＝0，將這兩個方程聯(lián)立方程組求得y＝－4.答案：－415．自然數(shù)列按如圖規(guī)律排列，若2013在第m行第n個數(shù)，則eq\f(n,m)＝________.132456109871112131415…解析：觀看圖中數(shù)字的排列規(guī)律，可知自然數(shù)的排列個數(shù)呈等差數(shù)列，所以其總個數(shù)之和與行數(shù)m有關(guān)，為eq\f(mm＋1,2).而eq\f(62×63,2)＜2013＜eq\f(63×64,2)，∴m＝63.而2013－eq\f(62×63,2)＝60，∴n＝60.答案：eq\f(20,21)三、解答題(本大題共5小題，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)16．已知復(fù)數(shù)z＝cosθ＋isinθ(0≤θ≤2π)，求θ為何值時，|1－i＋z|取得最值．并求出它的最值．解：|1－i＋z|＝|cosθ＋isinθ＋1－i|＝eq\r(cosθ＋12＋sinθ－12)＝eq\r(2cosθ－sinθ＋3)＝eq\r(2\r(2)cosθ＋\f(π,4)＋3)，當(dāng)θ＝eq\f(7π,4)時，|1－i＋z|max＝eq\r(2)＋1；當(dāng)θ＝eq\f(3π,4)時，|1－i＋z|min＝eq\r(2)－1.17．已知sinα＋cosα＝1，求證：sin6α＋cos6α＝1.證明：要證sin6α＋cos6α＝1，只需證(sin2α＋cos2α)(sin4α－sin2αcos2α＋cos4α)＝1.即證sin4α－sin2αcos2α＋cos4α＝1，只需證(sin2α＋cos2α)2－3sin2αcos2α＝1，即證1－3sin2αcos2α＝1，即證sin2αcos2α＝0，由已知sinα＋cosα＝1，所以sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1，所以sinαcosα＝0，所以sin2αcos2α＝0，故sin6α＋cos6α＝1.18．用數(shù)學(xué)歸納法證明eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋…＋eq\f(1,n2)＜1－eq\f(1,n)(n≥2，n∈N*)．證明：當(dāng)n＝2時，左式＝eq\f(1,22)＝eq\f(1,4)，右式＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，由于eq\f(1,4)＜eq\f(1,2)，所以不等式成立．假設(shè)n＝k(k≥2，k∈N*)時，不等式成立，即eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋…＋eq\f(1,k2)＜1－eq\f(1,k)，則當(dāng)n＝k＋1時，eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋…＋eq\f(1,k2)＋eq\f(1,k＋12)＜1－eq\f(1,k)＋eq\f(1,k＋12)＝1－eq\f(k＋12－k,kk＋12)＝1－eq\f(k2＋k＋1,kk＋12)＜1－eq\f(kk＋1,kk＋12)＝1－eq\f(1,k＋1)，所以當(dāng)n＝k＋1時，不等式也成立．綜上所述，對任意n≥2的正整數(shù)，不等式都成立．19.如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC為正三角形，M、N、G分別是棱CC1、AB、BC的中點．且CC1＝eq\r(2)AC.求證：(1)CN∥平面AMB1；(2)B1M⊥平面AMG.證明：(1)設(shè)AB1的中點為P，連結(jié)NP、MP.∵CM綊eq\f(1,2)AA1，NP綊eq\f(1,2)AA1，∴CM綊NP，∴CNPM是平行四邊形，∴CN∥MP.∵CN?平面AMB1，MP?平面AMB1，∴CN∥平面AMB1.(2)∵CC1⊥平面ABC，∴平面CC1B1B⊥平面ABC，∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC1B1B，∴B1M⊥AG.∵CC1⊥平面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1⊥B1C1，設(shè)AC＝2a，則CC1＝2eq\r(2)a.在Rt△MCA中，AM＝eq\r(CM2＋AC2)＝eq\r(6)a.同理，B1M＝eq\r(6)a.∵BB1∥CC1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB，∴AB1＝eq\r(B1B2＋AB2)＝eq\r(C1C2＋AB2)＝2eq\r(3)a；∴AM2＋B1M2＝ABeq\o\al(2,1)，∴B1M⊥AM，又AG∩AM＝A，∴B1M⊥平面AMG.20．設(shè)f(x)＝ln(x＋1)＋eq\r(x＋1)＋ax＋b(a，b∈R，a，b為常數(shù))，曲線y＝f(x)與直線y＝eq\f(3,2)x在(0,0)點相切．(1)求a，b的值；(2)證明：當(dāng)0＜x＜2時，f(x)＜eq\f(9x,x＋6).解：(1)由y＝f(x)過(0,0)點，得b＝－1.由y＝f(x)在(0,0)點的切線斜率為eq\f(3,2)，又y′eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＝0＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋1)＋\f(1,2\r(x＋1))＋a))))x＝0＝eq\f(3,2)＋a，得a＝0.(2)證明：法一：由均值不等式，當(dāng)x>0時，2eq\r(x＋1·1)<x＋1＋1＝x＋2，故eq\r(x＋1)<eq\f(x,2)＋1.記h(x)＝f(x)－eq\f(9x,x＋6)，則h′(x)＝eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,2\r(x＋1))－eq\f(54,x＋62)＝eq\f(2＋\r(x＋1),2x＋1)－eq\f(54,x＋62)<eq\f(x＋6,4x＋1)－eq\f(54,x＋62)＝eq\f(x＋63－216x＋1,4x＋1x＋62).令g(x)＝(x＋6)3－216(x＋1)，則當(dāng)0<x<2時，g′(x)＝3(x＋6)2－216<0.因此g(x)在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù)．又由g(0)