2022屆《創(chuàng)新設(shè)計(jì)》數(shù)學(xué)一輪(文科)浙江專用配套練習(xí)-3-1-任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)

第三章三角函數(shù)、解三角形第1講任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．若sinα＜0且tanα＞0，則α是()A．第一象限角 B．其次象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析∵sinα＜0，則α的終邊落在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸；又tanα＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限．答案C2．若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角α∈(0，π)的弧度數(shù)為()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,2)C.eq\r(3) D．2解析設(shè)圓半徑為r，則其內(nèi)接正三角形的邊長為eq\r(3)r，所以eq\r(3)r＝α·r，∴α＝eq\r(3).答案C3．已知點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,4)，cos\f(3π,4)))落在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為()A.eq\f(π,4) B.eq\f(3π,4)C.eq\f(5π,4) D.eq\f(7π,4)解析由sineq\f(3π,4)＞0，coseq\f(3π,4)＜0知角θ是第四象限的角，∵tanθ＝eq\f(cos\f(3π,4),sin\f(3π,4))＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝eq\f(7π,4).答案D4．若α是第三象限角，則下列各式中不成立的是()A．sinα＋cosα＜0 B．tanα－sinα＜0C．cosα－tanα＜0 D．tanαsinα＜0解析α是第三象限角，sinα＜0，cosα＜0，tanα＞0，則可排解A，C，D，故選B.答案B5．給出下列命題：①其次象限角大于第一象限角；②三角形的內(nèi)角是第一象限角或其次象限角；③不論是用角度制還是用弧度制度量一個(gè)角，它們與扇形的半徑的大小無關(guān)；④若sinα＝sinβ，則α與β的終邊相同；⑤若cosθ<0，則θ是其次或第三象限的角．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析由于第一象限角370°不小于其次象限角100°，故①錯；當(dāng)三角形的內(nèi)角為90°時(shí)，其既不是第一象限角，也不是其次象限角，故②錯；③正確；由于sineq\f(π,6)＝sineq\f(5π,6)，但eq\f(π,6)與eq\f(5π,6)的終邊不相同，故④錯；當(dāng)cosθ＝－1，θ＝π時(shí)既不是其次象限角，又不是第三象限角，故⑤錯．綜上可知只有③正確．答案A二、填空題6．已知α是其次象限的角，則180°－α是第________象限的角．解析由α是其次象限的角可得90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，則180°－(180°＋k·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k·360°)，即－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案一7．已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，則y＝______.解析由于sinθ＝eq\f(y,\r(42＋y2))＝－eq\f(2\r(5),5)，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.答案－88．函數(shù)y＝eq\r(2cosx－1)的定義域?yàn)開_______．解析∵2cosx－1≥0，∴cosx≥eq\f(1,2).由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊的范圍(如圖陰影所示)．∴x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)三、解答題9．已知角α的終邊上有一點(diǎn)的坐標(biāo)是P(3a,4a)，其中a≠0，求sinα，costanα.解r＝eq\r(3a2＋4a2)＝5|a|.當(dāng)a＞0時(shí)，r＝5a∴sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(4a,5a)＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(3a,5a)＝eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(4a,3a)＝eq\f(4,3)；當(dāng)a＜0時(shí)，r＝－5a，∴sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝－eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(4,3).10．一個(gè)扇形OAB的面積是1cm2，它的周長是4cm，求圓心角的弧度數(shù)和弦長AB.解設(shè)圓的半徑為rcm，弧長為lcm，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)lr＝1，,l＋2r＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝2.))∴圓心角α＝eq\f(l,r)＝2弧度．如圖，過O作OH⊥AB于H，則∠AOH＝1弧度．∴AH＝1·sin1＝sin1(cm)，∴AB＝2sin1(cm)．力氣提升題組(建議用時(shí)：35分鐘)11．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，則實(shí)數(shù)a()A．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]解析由cosα≤0，sinα＞0可知，角α的終邊落在其次象限或y軸的正半軸上，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))解得－2＜a≤3.答案A12．已知圓O：x2＋y2＝4與y軸正半軸的交點(diǎn)為M，點(diǎn)M沿圓O順時(shí)針運(yùn)動eq\f(π,2)弧長到達(dá)點(diǎn)N，以O(shè)N為終邊的角記為α，則tanα＝()A．－1B．1C．－2D．2解析圓的半徑為2，eq\f(π,2)的弧長對應(yīng)的圓心角為eq\f(π,4)，故以O(shè)N為終邊的角為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,4)))，k∈Z))，故tanα＝1.答案B13．(2021·金華聯(lián)考)函數(shù)y＝lg(2sinx－1)＋eq\r(1－2cosx)的定義域?yàn)開_______．解析要使原函數(shù)有意義，必需有：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2sinx－1＞0，,1－2cosx≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＞\f(1,2)，,cosx≤\f(1,2).))如圖，在單位圓中作出相應(yīng)三角函數(shù)線，由圖可知，原函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)14．已知sinα＜0，tanα＞0.(1)求α角的集合；(2)求eq\f(α,2)終邊所在的象限；(3)試推斷taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)的符號．解(1)由sinα＜0，知α的終邊在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸上；由tanα＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2k＋1π＜α＜2kπ＋\f(3π,2)))，k∈Z)).(2)由(2k＋1)π＜α＜2kπ＋eq\f(3π,2)，得kπ＋eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z，故eq\f(α,2)終邊在其次、四象限．(3)當(dāng)eq\f(α,2)在其次象限時(shí)，taneq\f(α,2)＜0，sineq\f(α,2)＞0，coseq\f(α,2)＜0，所以taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)取正號；當(dāng)eq\f(α,2)在第四象限時(shí)，taneq\f(α,2)＜0，sineq\f(α,2)＜0，coseq\f(α,2)＞0，所以taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)也取正號．因此，taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)取正號．15．已知扇形AOB的周長為8.(1)若這個(gè)扇形的面積為3，求圓心角的大??；(2)求這個(gè)扇形的面積取得最大值時(shí)圓心角的大小和弦長AB.解設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為α，(1)由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝3,l＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝6，))∴α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,3)或α＝eq\f(l,r)＝6.(2)∵2r＋l＝8，∴S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,4)l·2r≤eq\f(1,4)e