【創(chuàng)新設(shè)計】2021高考數(shù)學(xué)(理)(江西)二輪專題限時練4

eq\a\vs4\al\co1(限時練四)(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．已知i為虛數(shù)單位，a∈R，若(a－1)(a＋1＋i)是純虛數(shù)，則a的值為()．A．－1或1 B．1C．－1 D．3解析∵(a－1)(a＋1＋i)＝(a2－1)＋(a－1)i是純虛數(shù)，∴a2－1＝0，且a－1≠0，∴a＝－1.答案C2．若命題p：φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，命題q：f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函數(shù)，則p是q的 ()．A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件解析當(dāng)φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z時，f(x)＝±cosωx是偶函數(shù)，所以p是q的充分條件；若函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函數(shù)，則sinφ＝±1，即φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，所以p是q的必要條件，故p是q的充要條件．答案A3．已知a＝21.2，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－0.8，c＝2log52，則a，b，c的大小關(guān)系為 ()．A．c<b<a B．c<a<bC．b<a<c D．b<c<a解析先把不同底指數(shù)化成同底指數(shù)，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，最終利用中間值與對數(shù)函數(shù)值進(jìn)行比較大小．a(chǎn)＝21.2>2，而b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－0.8＝20.8，所以1<b<2，c＝2log52＝log54<1，所以c<b<a.答案A4．已知等差數(shù)列{an}，且3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，則數(shù)列{an}的前13項之和為 ()．A．24 B．39C．52 D．104解析∵3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，由等差數(shù)列的性質(zhì)得6a4＋6a10＝48，∴a7＝4，∴數(shù)列{an}的前13項和為13a7＝52.答案C5.執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸出的結(jié)果為3，則可輸入的實(shí)數(shù)x值的個數(shù)為()．A．1 B．2C．3 D．4解析此程序框圖的算法功能是分段函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞2，,x2－1，x≤2))的求值，當(dāng)y＝3時，相應(yīng)的x值分別為±2,8.答案C6．登山族為了了解某山高y(km)與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計了4次山高與相應(yīng)的氣溫，并制作了對比表：氣溫(℃)181310－1山高(km)24343864由表中數(shù)據(jù)，得到線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋eq\o(a,\s\up6(^))(eq\o(a,\s\up6(^))∈R)．由此估量山高為72(km)處氣溫的度數(shù)為 ()．A．－10 B．－8C．－6 D．－4解析∵eq\x\to(x)＝10，eq\x\to(y)＝40，∴樣本中心點(diǎn)為(10,40)，∵回歸直線過樣本中心點(diǎn)，∴40＝－20＋eq\o(a,\s\up6(^))，即eq\o(a,\s\up6(^))＝60，∴線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋60，∴山高為72(km)處氣溫的度數(shù)為－6.答案C7．曲線f(x)＝ex(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線y＝－x＋3和x軸所圍成的區(qū)域為D(包含邊界)，點(diǎn)P(x，y)為區(qū)域D內(nèi)的動點(diǎn)，則z＝x－3y的最大值為 ()．A．3 B．4C．－1 D．2解析∵f′(x)＝ex，∴f′(0)＝1，∴曲線f(x)＝ex在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y＝x＋1，其與直線y＝－x＋3及x軸圍成的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，當(dāng)直線z＝x－3y過點(diǎn)A(3,0)時，目標(biāo)函數(shù)z＝x－3y取得最大值3.答案A8．三棱錐S－ABC及其三視圖中的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則棱SB的長為 ()．A．2eq\r(11) B．4eq\r(2)C.eq\r(38) D．16eq\r(3)解析取AC的中點(diǎn)D，連接BD，SD，由正視圖及側(cè)視圖得，BD⊥平面SAC，SC⊥平面ABC，則∠SDB＝90°，且BD＝2eq\r(3)，SD＝2eq\r(5)，∴SB＝4eq\r(2).答案B9．在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c且滿足csinA＝eq\r(3)acosC，則sinA＋sinB的最大值是 ()．A．1 B．eq\r(2)C．3 D．eq\r(3)解析∵csinA＝eq\r(3)acosC∴sinCsinA＝eq\r(3)sinAcosC，∵sinA≠0，∴tanC＝eq\r(3)，∵0＜C＜π，∴C＝eq\f(π,3)，∴sinA＋sinB＝sinA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))＝eq\f(3,2)sinA＋eq\f(\r(3),2)cosA＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))，∵0＜A＜eq\f(2π,3)，∴eq\f(π,6)＜A＋eq\f(π,6)＜eq\f(5π,6)，∴eq\f(\r(3),2)＜eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))≤eq\r(3)，∴sinA＋sinB的最大值為eq\r(3).答案D10．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩個焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2.若線段MF1的中點(diǎn)在此雙曲線上，則雙曲線的離心率為 ()．A．4＋2eq\r(3) B．eq\r(3)－1C.eq\f(\r(3)－1,2) D．eq\r(3)＋1解析∵正三角形MF1F2的邊長為2c，設(shè)MF1的中點(diǎn)為N，∴F2N⊥NF1，在Rt△NF1F2中，簡潔求得，|NF2|＝eq\r(3)c，|NF1|＝c，又N在雙曲線上，∴|NF2|－|NF1|＝2a，∴2a＝eq\r(3)c－c，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)－1)＝eq\r(3)＋1.答案D11．若k∈[－3,3]，則k的值使得過A(1,1)可以做兩條直線與圓(x－k)2＋y2＝2相切的概率等于 ()．A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)解析點(diǎn)在圓外，過該點(diǎn)可做兩條直線與圓相切，故需圓心與點(diǎn)A距離大于半徑即可，即(1－k)2＋1＞2，解得k＜0或k＞2，所以所求k∈[－3,0)∪(2,3]，概率為P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).答案C12．已知函數(shù)f(x)的定義域為[－1,5]，部分對應(yīng)值如下表，f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖，下列關(guān)于函數(shù)f(x)的四個命題：x－1045f(x)1221①函數(shù)y＝f(x)是周期函數(shù)；②函數(shù)f(x)在[0,2]上是減函數(shù)；③假如當(dāng)x∈[－1，t]時，f(x)的最大值是2，那么t的最大值為4；④當(dāng)1<a<2時，函數(shù)y＝f(x)－a有4個零點(diǎn)．其中真命題的個數(shù)是 ()．A．4 B．3C．2 D．1解析首先排解①，不能確定周期性，f(x)在[0,2]上時f′(x)<0，故②正確，當(dāng)x∈[－1，t]時，f(x)的最大值是2，結(jié)合原函數(shù)的單調(diào)性知0≤t≤5，所以排解③；不能確定在x＝2時函數(shù)值和a的大小，故不能確定幾個零點(diǎn)，故④錯誤．答案D二、填空題13．已知a＝(1,2)，b＝(x,6)，且a∥b，則|a－b|＝________.解析∵a∥b，∴1×6－2x＝0，∴x＝3.故|a－b|＝eq\r(3－12＋6－22)＝2eq\r(5).答案2eq\r(5)14.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x3)))5開放式中的常數(shù)項為________．解析Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(x2)5－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x3)))r＝Ceq\o\al(r,5)(－2)rx10－5r，令10－5r＝0得r＝2.所以常數(shù)項為T3＝Ceq\o\al(2,5)(－2)2＝40.答案4015．在三棱錐P-ABC中，側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，PA＝1，PB＝2，PC＝3，則三棱錐的外接球的表面積為________．解析∵側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，∴三棱錐P-ABC的外接球就是以PC，PB，PA為長，寬，高的長方體的外接球，∵PA＝1，PB＝2，PC＝3，∴長方體的體對角線即外接球的直徑為eq\r(14)，∴此三棱錐的外接球的表面積為14π.答案14π16．若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足|b＋a2－3lna|＋(c－d＋2)2＝0，則(a－c)2＋(b－d)2的最小值為______．解析∵|b＋a2－3lna|＋(c－d＋2)2＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝3lna－a2，,d＝