【名師一號(hào)】2020-2021學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)選修1-1：第一章-常用邏輯用語-單元同步測試

第一章測試題(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．“a>0”是“|a|>0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析本題考查充要條件的推斷，∵a>0?|a|>0，|a|>0Deq\o(?,/)a>0，∴“a>0”是“|a|>0”的充分不必要條件．答案A2．命題“?x∈R，x2－2x＋4≤0”A．?x∈R，x2－2x＋4≥0 B．?x?R，x2－2x＋4≤0C．?x∈R，x2－2x＋4>0 D．?x?R，x2－2x＋4>0答案C3．“x＝2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)”是“tanx＝1”成立的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析tan(2kπ＋eq\f(π,4))＝taneq\f(π,4)＝1，所以充分；但反之不成立，如taneq\f(5π,4)＝1.答案A4．下列命題中的假命題是()A．?x∈R,2x－1>0 B．?x∈N*，(x－1)2>0C．?x∈R，lgx<1 D．?x∈R，tanx＝2解析對(duì)于B選項(xiàng)x＝1時(shí)，(x－1)2＝0，故選B.答案B5．假如命題“綈p”為真，命題“p∧q”為假，那么()A．q為假 B．q為真C．p或q為真 D．p或q不肯定為真解析∵命題“綈p”為真，∴命題“p”為假，又“p∧q”為假，∴q可真也可以假．∴p或q可真也可以假，故應(yīng)選D.答案D6．下列說法正確的是()①原命題為真，它的否命題為假；②原命題為真，它的逆命題不肯定為真；③一個(gè)命題的逆命題為真，它的否命題肯定為真；④一個(gè)命題的逆否命題為真，它的否命題肯定為真．A．①② B．②③C．③④ D．②③④答案B7．設(shè){an}是首項(xiàng)大于零的等比數(shù)列，則“a1<a2”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案C8．下列命題中的假命題是()A.?x>0且x≠1，都有x＋eq\f(1,x)>2B.?a∈R，直線ax＋y＝a恒過定點(diǎn)(1,0)C.?φ∈R，函數(shù)y＝sin(x＋φ)都不是偶函數(shù)D．?m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是冪函數(shù)，且在(0，＋∞解析A．當(dāng)x>0時(shí)，x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，∵x≠1，∴x＋eq\f(1,x)>2，故A為真命題．B．將(1,0)代入直線ax＋y＝a成立，B為真命題．C．當(dāng)φ＝eq\f(π,2)時(shí)，函數(shù)y＝sin(x＋eq\f(π,2))是偶函數(shù)，C為假命題．D．當(dāng)m＝2時(shí)，f(x)＝x－1是冪函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴D為真命題，故選C.答案C9．下列選項(xiàng)中，p是q的必要不充分條件是()A．p：a＋c>b＋d，q：a>b，且c>dB．p：a>1，b>1，q：f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1)的圖象不過其次象限C.p：x＝1，q：x2＝xD．p：a>1，q：f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上為增函數(shù)答案A10．以下推斷正確的是()A．命題“負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)”不是全稱命題B．命題“?x∈N，x3>x”的否定是“?x0∈N，xeq\o\al(3,0)>x0”C．“a＝1”是“函數(shù)f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期為π”D．“b＝0”是“函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函數(shù)”解析∵“負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)”即?x<0，則x2>0，是全稱命題，∴A不正確；∵對(duì)全稱命題“?x∈N，x3>x”的否定是“?x0∈N，xeq\o\al(3,0)≤x0”，∴B不正確；∵f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，當(dāng)最小正周期為π時(shí)，有eq\f(2π,|2a|)＝π.∴|a|＝1D?a＝1，∴a＝1是“函數(shù)f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期為π”的充分不必要條件，故C不正確；D正確．答案D11．下列四個(gè)命題中，其中真命題是()①“若xy＝1，則lgx＋lgy＝0”②“若a·b＝a·c，則a⊥(b－c)”的否命題；③“若b≤0，則方程x2－2bx＋b2＋b＝0有實(shí)根”的逆否命題；④“等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角均為60°”的逆命題．A．①② B．①②③④C．②③④ D．①③④解析①逆命題：“若lgx＋lgy＝0，則xy＝1”②逆命題：“若a⊥(b－c)，則a·b＝a·c”為真命題，依據(jù)逆命題與否命題的等價(jià)性，則否命題也為真命題．③當(dāng)b≤0時(shí)，Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b≥0，知方程有實(shí)根，故原命題為真命題，所以逆否命題也為真命題．④真命題．答案B12．已知命題p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，命題q：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2－a＝0.若命題“p∧q”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)≤－2或a＝1 B．a(chǎn)≤－2或1≤a≤2C．a(chǎn)≥1 D．－2≤a≤1解析?x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤x2，當(dāng)x∈[1,2]時(shí)恒成立，∴a≤1.?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2－a＝0，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有實(shí)根，∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0，∴a≤－2，或a≥又p∧q為真，故p，q都為真，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤1，,a≤－2，或a≥1.))∴a≤－2，或a＝1.答案A二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)13．寫出命題：“若方程ax2－bx＋c＝0的兩根均大于0，則ac>0”解析一個(gè)命題與其逆否命題等價(jià)，因此只要寫出原命題的逆否命題即可．答案若ac≤0，則方程ax2－bx＋c＝0的兩根不都大于014．已知p：x2－x≥2，q：|x－2|≤1，且p∧q與綈q同時(shí)為假命題，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為________．解析由x2－x≥2，得x≥2，或x≤－1，|x－2|≤1，得1≤x≤3，∵p∧q與綈q同時(shí)為假命題，∴q為真命題，p為假命題，∴1≤x<2.答案1≤x<215．已知直線l1：2x－my＋1＝0與l2：x＋(m－1)y－1＝0，則“m＝2”是l1⊥l2解析若l1⊥l2，只需2×1＋(－m)(m－1)＝0，即m2－m－2＝0，即m＝2，或m＝－1，∴m＝2是l1⊥l2的充分不必要條件．答案充分不必要16．下列四種說法：①命題“?x∈R，都有x2－2<3x”的否定是“?x∈R，使得x2－2≥3x”；②若a，b∈R，則2a<2b是logeq\f(1,2)a>logeq\f(1,2)b的必要不充分條件；③把函數(shù)y＝sin(－3x)(x∈R)的圖象上全部的點(diǎn)向右平移eq\f(π,4)個(gè)單位即可得到函數(shù)y＝sin(－3x－eq\f(π,4))(x∈R)的圖象；④若向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，且a與b的夾角為eq\f(2π,3)，則|a＋b|＝eq\r(3).其中正確的說法是________．解析①正確．②若2a<2b，則a<b，當(dāng)a或b為負(fù)數(shù)時(shí)，logeq\f(1,2)a>logeq\f(1,2)b不成立，若logeq\f(1,2)a>logeq\f(1,2)b，∴0<a<b，∴2a<2b.故②正確．③把y＝sin(－3x)的圖象上全部點(diǎn)向右平移eq\f(π,4)，得到y(tǒng)＝sin[－3(x－eq\f(π,4))]＝sin(－3x＋eq\f(3π,4))，故③不正確．④由題可知，a·b＝1×2coseq\f(2π,3)＝－1，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝3，∴|a＋b|＝eq\r(3)，故④正確．答案①②④三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)推斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并推斷其真假．(1)平面內(nèi)，凸多邊形的外角和等于360°；(2)有一些奇函數(shù)的圖象過原點(diǎn)；(3)?x0∈R,2xeq\o\al(2,0)＋x0＋1<0；(4)?x∈R，sinx＋cosx≤eq\r(2).解(1)可以改寫為“平面內(nèi)，全部凸多邊形的外角和等于360°”，故是全稱命題，且為真命題．(2)“有一些”是存在量詞，故該命題為特稱命題，明顯是真命題．(3)是特稱命題．∵2xeq\o\al(2,0)＋x0＋1＝2(x0＋eq\f(1,4))2＋eq\f(7,8)>0，∴不存在x0∈R，使2xeq\o\al(2,0)＋x0＋1<0，故該命題為假命題．(4)是全稱命題．∵sinx＋cosx＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))≤eq\r(2)恒成立，∴對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，sinx＋cosx≤eq\r(2)都成立，故該命題是真命題．18．(12分)寫出命題“已知a，b∈R，若關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，則a2≥4b”的逆命題，并推斷其真假．解逆命題為：“已知a，b∈R，若a2≥4b，則關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集”．由a2≥4b知，Δ＝a2－4b≥0.這說明拋物線y＝x2＋ax＋b與x軸有交點(diǎn)，那么x2＋ax＋b≤0必有非空解集．故逆命題是真命題．19．(12分)設(shè)集合M＝{x|y＝log2(x－2)}，P＝{x|y＝eq\r(3－x)}，則“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的什么條件？解由題設(shè)知，M＝{x|x>2}，P＝{x|x≤3}．∴M∩P＝(2,3]，M∪P＝R當(dāng)x∈M，或x∈P時(shí)x∈(M∪P)＝RDeq\o(?,/)x∈(2,3]＝M∩P.而x∈(M∩P)?x∈R∴x∈(M∩P)?x∈M，或x∈P.故“x∈M，或x∈P”是“x∈(M∩P)”的必要不充分條件．20．(12分)寫出下列各命題的否定形式并分別推斷它們的真假．(1)面積相等的三角形是全等三角形；(2)有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)；(3)全部的方程都不是不等式；(4)自然數(shù)的平方是正數(shù)．解原命題的否定形式：(1)面積相等的三角形不肯定是全等三角形，為真命題．(2)全部質(zhì)數(shù)都不是奇數(shù)，為假命題．(3)至少存在一個(gè)方程是不等式，為假命題．(4)自然數(shù)的平方不都是正數(shù)，為真命題．21．(12分)已知a>0，a≠1，設(shè)p：函數(shù)y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，q：函數(shù)y＝x2＋(2a－3)x＋1的圖象與x軸交于不同的兩點(diǎn)．假如p∨q真，p∧q假，求實(shí)數(shù)a解對(duì)于命題p：當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以假如p為真命題，那么0<a<1.假如p為假命題，那么a>1.對(duì)于命題q：假如函數(shù)y＝x2＋(2a－3)x＋1的圖象與x那么Δ＝(2a－3)2即4a2－12a＋5>0?a<eq\f(1,2)，或a>eq\f(5,2).又∵a>0，所以假如q為真命題，那么0<a<eq\f(1,2)或a>eq\f(5,2).假如q為假命題，那么eq\f(1,2)≤a<1，或1<a≤eq\f(5,2).∵p∨q為真，p∧q為假，∴p與q一真一假．假如p真q假，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,\f(1,2)≤a<1，或1<a≤\f(5,2)，))?eq\f(1,2)≤a<1.假如p假q真，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,0<a<\f(1,2)，或a>\f(5,2)，))?a>eq\f(5,2).∴a的取值范圍是[eq\f(1,2)，1)∪(eq\f(5,2)，＋∞)．22．(12分)設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0.命題q：實(shí)數(shù)x滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－6≤0，,x2＋2x－8>0.))(1)當(dāng)a＝1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(2)若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解(1)由x2－4ax＋3a2<0，得a<x<3a(當(dāng)a＝1時(shí)，1<x<3，所以p：1<x<3.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－6≤0，,x2＋2x