【全程復(fù)習(xí)方略】2020年人教A版數(shù)學(xué)理(廣東用)課時(shí)作業(yè)：第八章-第五節(jié)曲線與方程

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(D)x2+(y+QUOTE)2=17.(2021·鄭州模擬)在△ABC中,A為動(dòng)點(diǎn),B,C為定點(diǎn),B(-QUOTE,0),C(QUOTE,0)(a>0)且滿足條件sinC-sinB=QUOTEsinA,則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程是()(A)QUOTE-QUOTE=1(y≠0)(B)QUOTE-QUOTE=1(x≠0)(C)QUOTE-QUOTE=1(x<-QUOTE)(D)QUOTE-QUOTE=1(x>QUOTE)二、填空題8.平面上有三個(gè)點(diǎn)A(-2,y),B(0,QUOTE),C(x,y),若QUOTE⊥QUOTE,則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程是.9.已知P是橢圓QUOTE+QUOTE=1上的任意一點(diǎn),F1,F2是它的兩個(gè)焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),QUOTE=QUOTE+QUOTE,則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是.10.(2021·佛山模擬)曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1(-1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a>1)的點(diǎn)的軌跡,給出下列三個(gè)結(jié)論:①曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn);②曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);③若點(diǎn)P在曲線C上,則△F1PF2的面積不大于QUOTEa2.其中,全部正確結(jié)論的序號(hào)是.11.(力氣挑戰(zhàn)題)設(shè)橢圓方程為x2+QUOTE=1,過(guò)點(diǎn)M(0,1)的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P滿足QUOTE=QUOTE(QUOTE+QUOTE),當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.三、解答題12.(2021·天津模擬)已知圓C與兩圓x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圓C的圓心軌跡方程為L(zhǎng),設(shè)L上的點(diǎn)與點(diǎn)M(x,y)的距離的最小值為m,點(diǎn)F(0,1)與點(diǎn)M(x,y)的距離為n.(1)求圓C的圓心軌跡L的方程.(2)求滿足條件m=n的點(diǎn)M的軌跡Q的方程.(3)在(2)的條件下,摸索究軌跡Q上是否存在點(diǎn)B(x1,y1),使得過(guò)點(diǎn)B的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于QUOTE.若存在,懇求出點(diǎn)B的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.13.(力氣挑戰(zhàn)題)已知線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A,B分別在x軸、y軸上滑動(dòng),|AB|=3,點(diǎn)M滿足2QUOTE=QUOTE.(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程.(2)若曲線E的全部弦都不能被直線l:y=k(x-1)垂直平分,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.答案解析1.【解析】選D.設(shè)P(x,y),則|PM|2+|PN|2=|MN|2,所以x2+y2=4(x≠±2).【誤區(qū)警示】本題易誤選B.錯(cuò)誤的根本緣由是忽視了曲線與方程的關(guān)系,從而導(dǎo)致漏掉了x≠±2.2.【解析】選D.原方程等價(jià)于QUOTE?QUOTE?QUOTE或QUOTE3.【解析】選D.∵x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,∴QUOTE=QUOTE=2QUOTE.則P(x,2QUOTE).設(shè)P(x1,y1),即QUOTE消去x得QUOTE=4ax1(x1≥0,y1≥0),故點(diǎn)P的軌跡為拋物線的一部分.4.【解析】選A.由于以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(1,-1),∴CA⊥CB,故△ACB為直角三角形,又M為斜邊AB中點(diǎn),∴|MC|=QUOTE|AB|=3,故點(diǎn)M的軌跡是以C(1,-1)為圓心,3為半徑的圓,其方程為(x-1)2+(y+1)2=9.5.【思路點(diǎn)撥】設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)t為參數(shù),來(lái)表示|OP|=|OQ|,QUOTE·QUOTE=0,并消去參數(shù)得軌跡方程,從而確定軌跡.【解析】選B.設(shè)P(1,t),Q(x,y),由題意知|OP|=|OQ|,∴1+t2=x2+y2,①又QUOTE·QUOTE=0,∴x+ty=0,∴t=-QUOTE,y≠0.②把②代入①,得(x2+y2)(y2-1)=0,即y=±1.所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是兩條平行直線.6.【解析】選A.設(shè)P(x,y),R(x0,y0),則有QUOTE=(1-x0,-y0),QUOTE=(x-1,y),又QUOTE=2QUOTE,∴QUOTE∴QUOTE又R(x0,y0)在圓x2+y2=4上,∴(-2x+3)2+(-2y)2=4,即(x-QUOTE)2+y2=1.7.【解析】選D.∵sinC-sinB=QUOTEsinA,由正弦定理得到|AB|-|AC|=QUOTE|BC|=QUOTEa(定值).∴A點(diǎn)軌跡是以B,C為焦點(diǎn)的雙曲線右支(不包括點(diǎn)(QUOTE,0)),其中實(shí)半軸長(zhǎng)為QUOTE,焦距為|BC|=a.∴虛半軸長(zhǎng)為QUOTE=QUOTEa.∴動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為QUOTE-QUOTE=1(x>QUOTE).8.【解析】QUOTE=(0,QUOTE)-(-2,y)=(2,-QUOTE),QUOTE=(x,y)-(0,QUOTE)=(x,QUOTE),∵QUOTE⊥QUOTE,∴QUOTE·QUOTE=0,∴(2,-QUOTE)·(x,QUOTE)=0,即y2=8x.∴動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為y2=8x.答案:y2=8x9.【解析】設(shè)P點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M,由QUOTE=QUOTE+QUOTE,又QUOTE+QUOTE=QUOTE=2QUOTE=-2QUOTE,設(shè)Q(x,y),則QUOTE=-QUOTE=-QUOTE(x,y)=(-QUOTE,-QUOTE),即P點(diǎn)坐標(biāo)為(-QUOTE,-QUOTE),又P在橢圓上,則有QUOTE+QUOTE=1,即QUOTE+QUOTE=1.答案:QUOTE+QUOTE=110.【解析】由于原點(diǎn)O到兩個(gè)定點(diǎn)F1(-1,0),F2(1,0)的距離的積是1,而a>1,所以曲線C不過(guò)原點(diǎn),即①錯(cuò)誤;由于F1(-1,0),F2(1,0)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以|PF1||PF2|=a2對(duì)應(yīng)的軌跡關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),即②正確;由于QUOTE=QUOTE|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤QUOTE|PF1||PF2|=QUOTEa2,即面積不大于QUOTEa2,所以③正確.答案:②③11.【思路點(diǎn)撥】設(shè)直線l的斜率為k,用參數(shù)法求解,但需驗(yàn)證斜率不存在時(shí)是否符合要求.【解析】直線l過(guò)點(diǎn)M(0,1),當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)其斜率為k,則l的方程為y=kx+1.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題設(shè)可得點(diǎn)A,B的坐標(biāo)(x1,y1),(x2,y2)是方程組QUOTE的解,將①代入②并化簡(jiǎn)得,(4+k2)x2+2kx-3=0,所以QUOTE于是QUOTE=QUOTE(QUOTE+QUOTE)=(QUOTE,QUOTE)=(QUOTE,QUOTE).設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則QUOTE消去參數(shù)k得4x2+y2-y=0,③當(dāng)斜率不存在時(shí),A,B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0),也滿足方程③,所以點(diǎn)P的軌跡方程為4x2+y2-y=0.答案:4x2+y2-y=0【方法技巧】利用參數(shù)法求軌跡方程的技巧參數(shù)法是求軌跡方程的一種重要方法,其關(guān)鍵在于選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù).一般來(lái)說(shuō),選參數(shù)時(shí)要留意:①動(dòng)點(diǎn)的變化是隨著參數(shù)的變化而變化的,即參數(shù)要能真正反映動(dòng)點(diǎn)的變化特征;②參數(shù)要與題設(shè)的已知量有著親熱的聯(lián)系;③參數(shù)要便于軌跡條件中的各種相關(guān)量的計(jì)算,也要便于消去.常見(jiàn)的參數(shù)有角度、斜率、點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)等.12.【解析】(1)兩圓的半徑都為1,兩圓的圓心分別為C1(0,-4),C2(0,2),由題意得|CC1|=|CC2|,可知圓心C的軌跡是線段C1C2的垂直平分線,C1C2的中點(diǎn)為(0,-1),直線C1C2的斜率不存在,故圓心C的軌跡是線段C1C2的垂直平分線,其方程為y=-1,即圓C的圓心軌跡L的方程為y=-1.(2)由于m=n,所以M(x,y)到直線y=-1的距離與到點(diǎn)F(0,1)的距離相等,故點(diǎn)M的軌跡Q是以y=-1為準(zhǔn)線,以點(diǎn)F(0,1)為焦點(diǎn),頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線,QUOTE=1,即p=2,所以,軌跡Q的方程是x2=4y.(3)假設(shè)存在點(diǎn)B滿足條件.由(2)得y=QUOTEx2,y′=QUOTEx,所以過(guò)點(diǎn)B的切線的斜率為k=QUOTEx1,切線方程為y-y1=QUOTEx1(x-x1).令x=0得y=-QUOTE+y1,令y=0得x=-QUOTE+x1.由于點(diǎn)B在x2=4y上,所以y1=QUOTE,故y=-QUOTE,x=QUOTEx1,所以切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S=QUOTE|x||y|=QUOTE|-QUOTE||QUOTEx1|=QUOTE|QUOTE|,所以QUOTE|QUOTE|=QUOTE,解得|x1|=2,所以x1=±2.當(dāng)x1=2時(shí),y1=1,當(dāng)x1=-2時(shí),y1=1,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,1)或(-2,1).13.【解析】(1)設(shè)M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),則QUOTE+QUOTE=9,QUOTE=(x-x0,y),QUOTE=(-x,y0-y).由2QUOTE=QUOTE,得QUOTE解得QUOTE代入QUOTE+QUOTE=9,化簡(jiǎn)得點(diǎn)M的軌跡方程為QUOTE+y2=1.(2)由題意知k≠0,假設(shè)存在弦CD被直線l垂直平分,設(shè)直線CD的方程為y=-QUOTEx+b,由QUOTE消去y化簡(jiǎn)得(k2+4)x2-8kbx+4k2(b2-1)=0,Δ=(-8kb)2-4(k2+4)·4k2(b2-1)=-16k2(k2b2-k2-4)>0,k2b2-k2-4<0,設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),CD中點(diǎn)P(xp,yp),則x1+x2=QU