完全立方差公式

完全立方差公式完全立方差公式，又稱為Three-TermIdentity（三項(xiàng)式恒等式），是統(tǒng)計(jì)學(xué)中使用的一種重要公式。該公式可以分解一個(gè)數(shù)據(jù)集的總離差平方和，得到該數(shù)據(jù)集的因素離差平方和、交互離差平方和以及誤差離差平方和。這種分解方式是一種常用的方差分解方法，常用于方差分析中。完全立方差公式的表達(dá)式為：$$\\sum_{i=1}^n(x_i-\\bar{x})^2=\\sum_{i=1}^n(x_i-\\bar{y_i})^2+\\sum_{i=1}^n(\\bar{y_i}-\\bar{x})^2+\\sum_{i=1}^n(y_i-\\bar{y_i})^2$$其中，$n$表示數(shù)據(jù)集的樣本量，$x_i$表示數(shù)據(jù)集中的第$i$個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，$\\bar{x}$表示數(shù)據(jù)集的均值，$y_i$表示數(shù)據(jù)集被分為的子集中的第$i$個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，$\\bar{y_i}$表示對應(yīng)子集的均值。該公式的左邊表示原始數(shù)據(jù)的總離差平方和，右邊的第一個(gè)求和式表示數(shù)據(jù)集的因素離差平方和，該部分反映的是不同分類或處理之間的差異；第二個(gè)求和式表示交互離差平方和，該部分反映的是不同分類或處理之間的交互影響；第三個(gè)求和式表示誤差離差平方和，該部分反映的是每個(gè)分類或處理內(nèi)的數(shù)據(jù)誤差。完全立方差公式的意義在于，它將方差分解成三個(gè)獨(dú)立和可識別的部分，從而使我們可以更好地理解數(shù)據(jù)集的方差來源。這種分解方式也提供了一種靈活的工具，可以用于分析適合不同分配的方差分量，以檢驗(yàn)因素之間的區(qū)別是否顯著。完全立方差公式的實(shí)際應(yīng)用完全立方差公式是方差分析的核心方法，它可以幫助我們了解不同因素對總方差的影響程度。完全立方差公式適用于一維的數(shù)據(jù)集，也適用于在某些情況下適用于二維或更高維數(shù)據(jù)集。以一維數(shù)據(jù)集為例，完全立方差公式可以用于檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)因素在整個(gè)數(shù)據(jù)集中是否顯著。為了說明其實(shí)際應(yīng)用，我們考慮以下數(shù)據(jù)集和問題：有一個(gè)月份的銷售數(shù)據(jù)，記錄每個(gè)月的銷售額和公司的人均培訓(xùn)時(shí)間?，F(xiàn)在想知道，是否可以認(rèn)為銷售額與人均培訓(xùn)時(shí)間之間存在顯著的關(guān)聯(lián)，并檢驗(yàn)這種關(guān)聯(lián)的顯著性水平。首先，我們可以使用完全立方差公式來分解總方差。這里我們將銷售額作為響應(yīng)變量，人均培訓(xùn)時(shí)間作為因素變量。經(jīng)計(jì)算，數(shù)據(jù)集的總離差平方和為$SS_{TOTAL}=21911$，人均培訓(xùn)時(shí)間的因素離差平方和為$SS_{FACTOR}=15191$，銷售額和人均培訓(xùn)時(shí)間之間的交互離差平方和為$SS_{INTERACTION}=1873$，誤差離差平方和為$SS_{ERROR}=480=>SS_{RESIDUAL}=4625$。接下來，我們可以計(jì)算得到因素變量的均方值和誤差變量的均方值。由于數(shù)據(jù)集中有兩個(gè)自由度，我們可以根據(jù)$F$分布理論來測試$H_0$假設(shè)：$$H_0:\\mu_{y_1}=\\mu_{y_2}=\\dots=\\mu_{y_k}\\(k=2)$$$$H_1:\\text{有至少一個(gè)}\\\\mu_{y_i}\\\\text{不同于其他}\\\\mu_{y_j}$$其中，$y_i$表示人均培訓(xùn)時(shí)間分類中的任意一組數(shù)據(jù)。我們可以先計(jì)算得到$\\text{F-Value}=\\frac{SS_{FACTOR}/k}{SS_{ERROR}/(n-k)}=\\frac{15191/1}{(480)/(12-1)}\\approx39.61$。然后，我們可以查表得到$\\alpha=0.05$時(shí)的臨界值為$4.34$。根據(jù)結(jié)果可知，$\\text{F-Value}>\\text{F-Threshold}$，即得到的結(jié)果比臨界值更極端，因此可以拒絕$H_0$假設(shè)，認(rèn)為人均培訓(xùn)時(shí)間與銷售額之間存在顯著的關(guān)聯(lián)。這個(gè)結(jié)果表明，在這個(gè)數(shù)據(jù)集中，人均培訓(xùn)時(shí)間確實(shí)可以對銷售額產(chǎn)生顯著的影響。總結(jié)完全立方差公式是解釋方差分解的核心公式之一，可以幫助我們更好地理解數(shù)據(jù)的方差來源。應(yīng)用于一維數(shù)據(jù)集中，完全立方差公式可以幫助我們分析不同因素之間的關(guān)系。在使用完全立方差公式時(shí)，我們需要首先計(jì)算總離差平方和，然后將其分解為因素離差平方和、交互離差平方和、誤差離差平方和三個(gè)部分，并計(jì)算出每個(gè)部分的平均值。根據(jù)這些值，我們可以使用$F$分布理論來進(jìn)