【全程復(fù)習(xí)方略】2020年北師版數(shù)學(xué)文(陜西用)課時作業(yè)：第二章-第十節(jié)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)(十三)一、選擇題1.函數(shù)y=x5·ax(a>0且a≠1)的導(dǎo)數(shù)是()(A)y′=5x4·axlna(B)y′=5x4·ax+x5·axlna(C)y′=5x4·ax+x5·ax(D)y′=5x4·ax+x5·axlogax2.(2021·合肥模擬)若拋物線y=x2在點(a,a2)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為16,則a=()(A)4(B)±4(C)8(D)±83.(2021·寶雞模擬)若函數(shù)f(x)=excosx,則此函數(shù)圖像在點(1,f(1))處的切線的傾斜角為()(A)0(B)銳角(C)直角(D)鈍角4.(2021·贛州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上周期為2的可導(dǎo)函數(shù),若f(2)=2,且QUOTE=-2,則曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程是()(A)y=-2x+2(B)y=-4x+2(C)y=4x+2(D)y=-QUOTEx+25.如圖,其中有一個是函數(shù)f(x)=QUOTEx3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖像,則f(-1)為()(A)2 (B)-QUOTE (C)3 (D)-QUOTE6.(2021·安慶模擬)若存在過點(1,0)的直線與曲線y=x3和y=ax2+QUOTEx-9都相切,則a等于()(A)-1或-QUOTE (B)-1或QUOTE(C)-QUOTE或-QUOTE (D)-QUOTE或7二、填空題7.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且滿足f(x)=3x2+2xf′(2),則f′(5)=.8.(2021·宜春模擬)若過原點作曲線y=ex的切線,則切點的坐標(biāo)為,切線的斜率為.9.(力氣挑戰(zhàn)題)若曲線f(x)=ax3+lnx存在垂直于y軸的切線,則實數(shù)a的取值范圍是.三、解答題10.求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=(x+1)(x+2)(x+3).(2)y=.(3)y=QUOTE.11.(2021·宿州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=ax-,曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式.(2)證明:曲線y=f(x)上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值,并求此定值.12.(力氣挑戰(zhàn)題)設(shè)函數(shù)y=x2-2x+2的圖像為C1,函數(shù)y=-x2+ax+b的圖像為C2,已知過C1與C2的一個交點的兩條切線相互垂直.(1)求a,b之間的關(guān)系.(2)求ab的最大值.答案解析1.【解析】選B.y′=(x5)′·ax+x5·(ax)′=5x4ax+x5·axlna.2.【解析】選B.y′=2x,所以在點(a,a2)處的切線方程為:y-a2=2a(x-a),令x=0,得y=-a2;令y=0,得x=QUOTEa,所以切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S=QUOTE×|-a2|×|QUOTEa|=QUOTE|a3|=16,解得a=±4.3.【解析】選D.由已知得:f′(x)=excosx-exsinx=ex(cosx-sinx),∴f′(1)=e(cos1-sin1).∵QUOTE>1>QUOTE,而由正、余弦函數(shù)性質(zhì)可得cos1<sin1.∴f′(1)<0,即f(x)在(1,f(1))處的切線的斜率k<0,∴切線的傾斜角是鈍角.4.【解析】選B.由于f(x)的周期為2,所以f(0)=f(2)=2.由QUOTE=-2得QUOTE=-2,即QUOTEf′(0)=-2,得f′(0)=-4,故曲線y=f(x)在點(0,2)處的切線方程為y=-4x+2.5.【解析】選B.∵f′(x)=x2+2ax+(a2-1),∴導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖像開口向上.又∵a≠0,∴其圖像必為(3).由圖像特征知f′(0)=0,且對稱軸x=-a>0,∴a=-1,故f(-1)=-QUOTE.6.【思路點撥】先設(shè)出切點坐標(biāo),再依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程,最終由點(1,0)在切線上求出切點后再求a的值.【解析】選A.設(shè)過點(1,0)的直線與曲線y=x3相切于點(x0,QUOTE),所以切線方程為y-QUOTE=3QUOTE(x-x0),即y=3QUOTEx-2QUOTE.又(1,0)在切線上,則x0=0或x0=QUOTE,當(dāng)x0=0時,由y=0與y=ax2+QUOTEx-9相切可得Δ=(QUOTE)2-4a(-9)=0,解得a=-QUOTE,同理,當(dāng)x0=QUOTE時,由y=QUOTEx-QUOTE與y=ax2+QUOTEx-9相切可得a=-1,所以選A.【方法技巧】導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點處切線的斜率,應(yīng)用時主要體現(xiàn)在以下幾個方面:(1)已知切點A(x0,f(x0))求斜率k,即求該點處的導(dǎo)數(shù)值:k=f′(x0).(2)已知斜率k,求切點A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.(3)已知過某點M(x1,f(x1))(不是切點)的切線斜率為k時,常需設(shè)出切點A(x0,f(x0)),利用k=QUOTE求解.7.【解析】對f(x)=3x2+2xf′(2)求導(dǎo),得f′(x)=6x+2f′(2).令x=2,得f′(2)=-12.再令x=5,得f′(5)=6×5+2f′(2)=6.答案:68.【解析】y′=ex,設(shè)切點坐標(biāo)為(x0,y0),則QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,∴x0=1,因此切點的坐標(biāo)為(1,e),切線的斜率為e.答案:(1,e)e9.【思路點撥】求出導(dǎo)函數(shù),依據(jù)導(dǎo)函數(shù)有零點,求a的取值范圍.【解析】由題意可知f′(x)=3ax2+QUOTE,又由于存在垂直于y軸的切線,所以3ax2+QUOTE=0?a=QUOTE(x>0)?a∈(-∞,0).答案:(-∞,0)10.【解析】(1)方法一:y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y′=3x2+12x+11.方法二:y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)·(x+3)′=[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)·(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.(2)∵y=QUOTE+QUOTE=QUOTE,∴y′=(QUOTE)′=QUOTE=QUOTE.(3)∵y=QUOTE=cosx-sinx,∴y′=-sinx-cosx.11.【解析】(1)方程7x-4y-12=0可化為y=QUOTEx-3.當(dāng)x=2時,y=QUOTE.又f′(x)=a+QUOTE,于是QUOTE解得QUOTE故f(x)=x-QUOTE.(2)設(shè)P(x0,y0)為曲線上任一點,由y′=1+QUOTE知曲線在點P(x0,y0)處的切線方程為y-y0=(1+QUOTE)(x-x0),即y-(x0-QUOTE)=(1+QUOTE)(x-x0).令x=0得y=-QUOTE,從而得切線與直線x=0的交點坐標(biāo)為(0,-QUOTE).令y=x得y=x=2x0,從而得切線與直線y=x的交點坐標(biāo)為(2x0,2x0),所以點P(x0,y0)處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形面積為S=QUOTE|-QUOTE||2x0|=6.故曲線y=f(x)上任一點處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形的面積為定值,此定值為6.【變式備選】已知函數(shù)f(x)=x3+x-16.(1)直線l為曲線y=f(x)的切線,且經(jīng)過原點,求直線l的方程及切點坐標(biāo).(2)假如曲線y=f(x)的某一切線與直線y=-QUOTEx+3垂直,求切點坐標(biāo)與切線的方程.【解析】(1)方法一:設(shè)切點為(x0,y0),則直線l的斜率為f′(x0)=3QUOTE+1,∴直線l的方程為y=(3QUOTE+1)(x-x0)+QUOTE+x0-16.又∵直線l過點(0,0),∴0=(3QUOTE+1)(-x0)+QUOTE+x0-16,整理得,QUOTE=-8,∴x0=-2,∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13,∴直線l的方程為y=13x,切點坐標(biāo)為(-2,-26).方法二:設(shè)直線l的方程為y=kx,切點為(x0,y0),則k=QUOTE=QUOTE.又∵k=f′(x0)=3QUOTE+1,∴QUOTE=3QUOTE+1,解得x0=-2,∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13,∴直線l的方程為y=13x,切點坐標(biāo)為(-2,-26).(2)∵切線與直線y=-QUOTEx+3垂直,∴切線的斜率k=4.設(shè)切點的坐標(biāo)為(x0,y0),則f′(x0)=3QUOTE+1=4,∴x0=±1,∴QUOTE或QUOTE∴切點坐標(biāo)為(1,-14)或(-1,-18),切線方程為y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.12.【解析】(1)對于C1:y=x2-2x+2,有y′=2x-2,對于C2:y=-x2+ax+b,有y′=-2x+a,設(shè)C1與C2的一個交點為(x0,y0),由題意知過交點(x0,y0)的兩條切線相互垂直,∴(2x0-2)(-2x0+a)=-1,即4