2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)精講精練（新教材新高考） 第04講 正弦定理和余弦定理 高頻精講（原卷版+解析版）

第04講正弦定理和余弦定理（精講）

目錄

第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背.............................................................2

第二部分：高考真題回歸...........................................................3

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò).........................................................5

高頻考點(diǎn)一：利用正、余弦定理解三角形........................................5

角度1：三角形個(gè)數(shù)問(wèn)題....................................................5

角度2：利用正弦定理解三角形..............................................6

角度3：利用余弦定理解三角形..............................................7

角度4：正余弦定理綜合應(yīng)用................................................8

頻考點(diǎn)判斷角形的形狀???????????????????????????????????????????????9

高頻考點(diǎn)三：三角形面積相關(guān)問(wèn)題..............................................10

角度1：求三角形面積.....................................................10

角度2：三角形面積的最值（范圍）.........................................12

高頻考點(diǎn)四：三角形周長(zhǎng)（邊）相關(guān)問(wèn)題........................................15

角度1：求三角形周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）.............................................15

角度2：三角形周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）的最值.........................................17

第四部分：數(shù)學(xué)文化題............................................................21

第五部分：高考新題型............................................................22

①開(kāi)放性試題................................................................22

②探究性試題................................................................22

③劣夠性試題................................................................23

第六部分：數(shù)學(xué)思想方法..........................................................23

①函數(shù)與方程的思想..........................................................23

②分類討論的思想??????????????????????????????????????????????????????????24

第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背

1、正弦定理

1.1正弦定理的描述

①文字語(yǔ)言：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.

②符號(hào)語(yǔ)言：在A4BC中，若角A、8及C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為。及J則有一―二工二三

smAsinBsinC

1.2正弦定理的推廣及常用變形公式

在AABC中，若角A、B及C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為“，b及c,其外接圓半徑為R,則

①q=±=，=2R

sinAsinBsinC

②4sin8=/?sinA；Z?sinC=csinB：?sinC=csinA；

③sinA:sinB:s\nC=a:b:c

八abca+b+ca+ba+cb+c-

@-----=-----=--=---------------；—=-----------=-----------=------------=2R

sinAsinBsinCsinA+sin8+sinCsinA+sinBsinA+sinCsin5+sinC

??=2/esinA.b=27esin4,r=2/esinC（可實(shí)現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化）

@sinA=—,sinB=—,sinC=—（可實(shí)現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）

-2R2R2R

2、余弦定理

2.1余弦定理的描述

①文字語(yǔ)言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的枳的兩

倍.

②符號(hào)語(yǔ)言：在A4BC中，內(nèi)角A,屬C,所對(duì)的邊分別是則：

a2=b2+c2-2Z?ccosA:

b2=a2+c2-2。。cosB

c2=a2+h2-labcosC

2.2余弦定理的推論

cosA=

2bc

cosB=

力+/一。?

cosC=

lab

3、三角形常用面積公式

①S=L底X高；

2

@S=—6z/?sinC=—i/csin8='〃csinA；

-222

③S='(a+〃+c)r(其中，。，4c是三角形48c的各邊長(zhǎng)，r是三角形48c的內(nèi)切圓半徑)；

2

④5=也(其中，。泊,c是三角形八8c的各邊長(zhǎng)，R是三角形A8C的外接圓半徑).

4R

4、常用結(jié)論

在三角形中的三角函數(shù)關(guān)系

①sin(A+8)=sinC

②cos(A+8)=-cosC

③tan(A+B)=-tanC

/./A+8、C

④sin(----)=cos—

22

a/4+B、?。

⑤cos(----)=sin—

22

⑥若sin4=sinA<=>A=A

⑦若sin2A=sin28<=>A=8或4-8=工

2

第二部分：高考真題回歸

1.（2022?浙江?統(tǒng)考高考真題）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這

種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白.如果把這個(gè)方法寫成公式，就是

S=,+丁]）工中小也。是三角形的三邊，S是三角形的面積.設(shè)某三角形的三邊

a=0,b=瓜〃=2,則該三角形的面積S=.

2.（2022?全國(guó)（甲卷文理）?統(tǒng)考高考真題）已知中，點(diǎn)。在邊AC上，408=120。）。=2,CD=28,當(dāng)

AC

三取得最小值時(shí)，BD=________.

AB

3.（2022?浙江?統(tǒng)考高考真題）在中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為“，b,c.已知4〃=6c,cosC=].

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)

高頻考點(diǎn)一：利用正、余弦定理解三角形

角度1:三角形個(gè)數(shù)問(wèn)題

典型例題

例題1.（2023春?上海青浦?高一上海市青浦高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）在"C中，〃=6,〃=8,N4=40。，

則的解的個(gè)數(shù)是（）

A.0個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.1個(gè)或2個(gè)

例題2.（2023春?陜西榆林?高一?？茧A段練習(xí)）在中，。=xS=2,N8=45。，若解三角形時(shí)有

兩解，則x的取值范圍是（）

A..r>2B.x<2

C.2<x<2x/2D.2<x<2y/2

例題3.（2023春?上海青浦?高一?？茧A段練習(xí)）如果滿足3=60°,AC=5,8C="的/3C恰有一個(gè)，則

實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

例題4.（2023春?陜西西安?高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知中，A=^,AB=2,

若滿足上述條件的三角形有兩個(gè)，則BC的范圍是.

練透核心考點(diǎn)

1.（2023春?天津靜海?高一靜海一中校考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A、B、。所對(duì)的邊分別為。、b、

c,不解三角形，確定下列判斷正確的是（）

A.8=60°,c=4,b=5,有兩解B.8=600,c=4,b=3.9,有一解

C.Z?-60°,c-4,b-3,有一解D.0-60°,c-4,b-2,無(wú)解

2.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知“IBC的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,4c,若5=a=2,6=x>（）,

若一/WC只有一解，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為（）

A.壯2B.x=GC.x/3<x<2D.xA2或x=G

3.（多選）（2023春?陜西西安?同一統(tǒng)考階段練習(xí)）在.工8c中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,

c,根據(jù)下列條件判斷三角形的情況，則正確的是（）

A.b=T9,A=45。，C=30°,有兩解

B.“=b=2yfi，A=45。，有兩解

C.a=3,b=2五,4=45。，只有一解

D.a=7,b=7,4=75°,只有一解

4.（多選）（2023春?河北保定?高一定州市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）在/8C中，角A&C所對(duì)的邊分別

為a，b,c,且c=8,8=￡.若/BC有兩解，則8的值可以是（）

6

A.4B.5C.7D.10

5.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）不解三角形，判斷下列三角形解的個(gè)數(shù).

（1）?=5,b=4,A=I2O°；

（2）a=9,b=l0,4=60°；

⑶。=72,c=50,C=135°.

角度2：利用正弦定理解三角形

典型例題

例題1.（2023春?甘肅白銀?高一?？茧A段練習(xí)）在工8c中，角4氏。的對(duì)邊分別為“力"，己知

a-V2.h-R=60°.J50-4=（）

A.45°或135°B.135°

C.45°D.60°或120°

例題2.（多選）（2023春?河北邢臺(tái)?高一沙河市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在/8C中，己知〃+c=0-l，

4=30°,的外接圓面積為幾，則NC=（）

A.45°B.60°C.120°D.135°

例題3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在平面四邊形ABC。中，Z4=ZB=ZC=75°,八8=2,求A。

長(zhǎng)度的取值范圍.

練透核心考點(diǎn)

1.（2023春?安徽合肥?高一合肥一中?？茧A段練習(xí)）在“5C中，a,h,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,

a=4i、b=￡,B=],那么A=（）

3兀it3兀_p.”兀

A.—B.-C.-r或一D.-

44443

2.（2023春?上海青浦?高一上海市青浦高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在三角形ABC中，已知

A=120°,B=45。，AC=2,則三角形面積S=.

3.（2023春?河南洛陽(yáng)?高一洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在乂8c中，角4B,C的對(duì)邊分別為

/；,c,且Z?cosC+csinB=a,b=6,則—"+2b—=________.

siM+2sinfi

角度3：利用余弦定理解三角形

典型例題

例題1.（2023春?吉林?高一?？茧A段練習(xí)）冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字“冬”為靈感來(lái)源，結(jié)合中國(guó)書法的藝

術(shù)形態(tài)，將悠久的中國(guó)傳統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國(guó)際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國(guó)在新時(shí)代的新形象、新夢(mèng)想.某

同學(xué)查閱資料得知，書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如彎折位置通常采用30°、45°、60°、

90°、120°、150°等特殊角度下.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學(xué)要求.該同學(xué)取端

點(diǎn)繪制了△A8。，測(cè)得45=5,BD=6,4。=疝，4力=3,若點(diǎn)C恰好在邊上，請(qǐng)幫忙計(jì)算sinZACO

例題2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)〕已知銳角/8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,J若。=1,

2cosC+c=2/?,求角A.

例題3.(2023春-河北邢臺(tái)-高一沙河市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))在“AC中.內(nèi)角A.8.C的對(duì)邊分

別為rMe,己知A為銳角，且cos2A=-^.

(1)tube=b2+c2-a2>求實(shí)數(shù)”?的值；

(2)若a=G，求乂3c面積的最大值：

(3)若人8=2,點(diǎn)產(chǎn)為A8的中點(diǎn)，且CF=ACBC,求邊AC的長(zhǎng).

練透核心考點(diǎn)

1.(2023春?河北邢臺(tái)?高一沙河市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))在48C機(jī)角A8,C所對(duì)的邊分別為《瓦J

已知(a+〃+c)(b+c-a)=3bc,則角A=.

2.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為mb,c,若a=8cosC,A=^,則

c=_____

3.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知△ABC的角A,3,C對(duì)邊分別為a也c,滿足匕"，且而；，〃+匕_岳=0

ab-c

⑴求C；

⑵求△ABC外接圓的半徑R.

角度4：正余弦定理綜合應(yīng)用

典型例題

例題1.（2023春?河北衡水?高一河北武強(qiáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知銳角ABC中，角A，B,C的對(duì)

邊分別為。，b?c.^2（cosAcos/i+cosC）=-73sin8,a=3,bc=6,貝!]O+c=（）

A.9B.8C.5D.4

例題2.（多選）（2023春?山西太原?高一太原五中校考階段練習(xí)）在/BC中,。在邊8c上，且0c=3%

BD=2t若AB=4iAD，cosZADB=--t則下列結(jié)論中正確的是（）

3

A.sin/A6O=印B.為銳角三角形C.的外接圓半徑為34D.的內(nèi)切圓半徑為

4（73-72）

例題3.（2023?寧夏銀川?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）以比'中，ZBAC=120°,48=2,BC=2出,。為BC邊

上一點(diǎn)，且4?_LAO,則△450的面積等于.

練透核心考點(diǎn)

1.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在四邊形八BCD中，BD=6BC=SCD=3,^BAD=^,則AC?的最

6

大值為（）

A.25B.21+12&C,16+9石D.9G

2.12023春嚀夏銀川?高一銀川二中唆考階段練習(xí)）在"BC中，若A=60。，/?=1,ZkABC的面積S=石,

則焉…

2>/2

A.3gBr

-I3

3.（2023春?河南鄭州?高??？茧A段練習(xí)）在一/BC中，角A,&C所對(duì)的邊分別為a,b,c.且sinA=GsinB,

C=-,ac=M,則”=______

6

高頻考點(diǎn)二：判斷三角形的形狀

典型例題

例題1.（2023春?河南周口?高三?？茧A段練習(xí)）已知乂8。的三個(gè)內(nèi)角ARC所對(duì)的邊分別為a也j若

sin2A+csinA=sinAsinB+bsinC?則該三角形的形狀一定是（）

A.鈍角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.銳角三角形

例題2.（2023春?江蘇南通?高一統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，若acosB=c，則的形狀是（）

A.等邊三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

例題3.（2023春?陜西西安?高二西安中學(xué)?？计谥校┤簦?。+〃+c）S-c-4）=3〃c,且sinA=2sin4cosC,

那么“8。是（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰二角形D.等腰直角二角形

例題4.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）在AABC,若筆=",則M3C的形狀是.

cosna

練透核心考點(diǎn)

1.（2023春?寧夏銀川?高一銀川二中?？茧A段練習(xí)）在△A8C中，已知sin24=sin28+sin?C，且

sinA=2sinBcosC,則"BC的形狀是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

2.（2023春?新疆烏魯木齊?高一烏魯木齊市第70中?？茧A段練習(xí)）在.ABC中，角A及。所對(duì)的邊分別為

ahc,已知2cos8（acosC+ccosA）=/?,sinC=哼，則55C的形狀為（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等邊三角形D,等腰直角三角形

3.（2023春?仝國(guó)?高一專題練習(xí)）在“8C中，若sin〃=sinAcosC,則是（）

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

4.（2023春?浙江金華?高一?？茧A段練習(xí)堆“BC中，滿足a8sB-bccsA=c,則^ABC的形狀是.

高頻考點(diǎn)三：三角形面積相關(guān)問(wèn)題

角度1:求三角形面積

典型例題

例題1.（2023?河南鄭州?統(tǒng)考二模）已知在非RlZXABC中，AB=$八。=2,且sin2A-2cos2A=2,

則A48c的面積為（）

A.1B.y/5C.2D.3

例題2.（2023春?山西太原?高一太原五中?？茧A段練習(xí)）在ABC中，已知A8=2,AC'=LNA的平

分線八。=I,則-ABC的面積為.

例題3.（2023春?江蘇鎮(zhèn)江?高一江蘇省丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）在AA3C中，角。所對(duì)的邊

分別為。也。，「°*=3lan4+2.

1-sin2/4

⑴若tanA=求tanB的值；

（2）若A=".c=2,求“BC的面積.

例題4.（2023春?貴州-高二遵義一中校聯(lián)考階段練習(xí)）從①4cos2.4+4cosHcosC+l=4sin8sinC;②

sinC-sin^=CSinC-flSinA；③的外接圓的半徑為2且A<這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在下面

b

問(wèn)題中，并解答.

已知”8C的內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別為a,/“，且”=2百，.

（1）求角A的大?。?/p>

（2）若b=女，求的面積.

注：若選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答給分.

練透核心考點(diǎn)

1.（2023春?陜西安康?高三陜西省安康中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在乂3c中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,

c.若cos2A+cos25-cos2c=l-2sinAsin9,且〃力=4,則該三角形的而枳為（）

A.1B.2C.2D.6

2.（2023?廣東廣州?廣州市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知。是」18C的外心，AB=6,AC=10,若

AO=xAB+yACH2x+lOy=5,則的面積為.

3.（2023?北京??？寄M預(yù)測(cè)）在中，角A,B,C的對(duì)邊分別為mh,c,且〃lan8=2/2sinA.

⑴求角3的大?。?/p>

(2)若5c"A="求/3C的面積.

4.（2023春?山東淄博?高三山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在①cos"+2cosAsin（C+E卜

0,

②〃sin8+csinC=asinA-力sin。，③向量〃?=（2/?+c,a）,〃=（cosAcosC）,〃?j_〃這三個(gè)條件中任選一

個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.

在JBC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為〃、b、c,且.

⑴求角A的大?。?/p>

⑵。是線段上的點(diǎn)，且AD=8D=2,CO=3,求△48。的面積.

角度2：三角形面積的最值（范圍）

典型例題

例題1.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知/BC的內(nèi)角AI,C所對(duì)的邊分別為“,尻c,若A=？，。=石,

則面積的最大值為（）

A.—B.—C.1D.73

42'

例題2.（2023春?上海金山?高一華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）在/BC中，A、B、C三

個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊依次為“、b、c,且"+/=〃2+而，若b=4,則“8C的面積的最大值為

例題3.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）在ABC中,角ARC所對(duì)的邊分別為“Ac,若

a=2,2枕in。=VJacosB+6bcosA

⑴求角8.

(2)若角A為鈍角，求工8C面積的取值范圍.

例題4.(2023春?安徽合肥?高一合肥一中校考階段練習(xí))已知JBC為銳角三角形，角A及C所對(duì)的

邊分別為,且?cosC=c(l+cosA).

(1)求￡的取值范圍；

a

(2)若8=2,求/3C面積的取值范圍.

練透核心考點(diǎn)

1.(2023春?新疆烏魯木齊?高一烏魯木齊市第70中?？茧A段練習(xí))在銳角BBC中，角4所。所對(duì)的逅分

別為它的面積等于'(“+m)且二+0?=>+勿,則/8C的面積的取值范圍是.

4

2.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))己知銳角三角形A8C的內(nèi)角A氏C的對(duì)邊分別為aec,且

(c-b)sinC=(優(yōu)os。-sinB+?cosBsinC.

(1)求角A；

(2)若〃為..ABC的垂心，。=2,求."灰'而枳的最大值.

3.(2023春?江蘇鎮(zhèn)江?高一江蘇省丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))在①。=>/5csinA-acosC,

②(2〃-b)sinA+(乃一a)sinB=2csinC這兩個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下列問(wèn)題中,并解答.

已知的角AB,。對(duì)邊分別為。也c,。=6,而且.

(I)求NC：

(ED求工8c面積的最大值.

4.：2023,吉林?統(tǒng)考二模)已知.工8C的三個(gè)角A,R,C的對(duì)邊分別為“，b,c,且bcosC+ccos8=6.

⑴求邊〃：

⑵若“BC是銳角三角形，F(xiàn)L,求」13。的面積S的取值范圍.

要求：從①人=:,②〃+c=10從這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中，并給出解答.如果選抵多

個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

高頻考點(diǎn)四：三角形周長(zhǎng)（邊）相關(guān)問(wèn)題

角度1:求三角形周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）

典型例題

例題1.（2023春?貴州黔西?高一?？茧A段練習(xí)）在A4BC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為〃、6、

c,且acos3+/?sinA=c.

（D求角A的大?。?/p>

（2）若〃=&,A48C的面積為立二，求人+c的值.

2

例題2.（2023春?天津河?xùn)|?高一天津市第四十五中學(xué)校考階段練習(xí)）在./BC中，角A,B,C所對(duì)

的邊分別為“，b,c,且滿足V5“cosC-csin4=0.

（1）求角。的大?。?/p>

⑵已知b=6,乂8C的面積為6打，求邊長(zhǎng)c的值.

例題3.（2023春?江蘇鎮(zhèn)江?高一揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角48,C所對(duì)的邊

分別為a，b,c,且hsin2A+asinB=O.

（1）求角A的大小；

⑵若a=7,一相。的面積為求川K的周長(zhǎng).

例題4.(2023春?上海金山?高一華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí))在JBC中，A、B、C

三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊依次為。、b、C,且〃sin2A+asin8=0.

(1)求角A的大??；

⑵若。=7,的面積為地，求JBC的周長(zhǎng)

4

練透核心考點(diǎn)

1.(2023春?陜西西安?高一西安市第六中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))在JRC中，內(nèi)角人，B,。所對(duì)的邊分別為

a,b,c,J3.(^+c)(sinB+sinC)=?sinA+3/>sinC.

⑴求角A的大??；

(2)若“=c，且的而枳為右，求B3c的周長(zhǎng).

2.12023春?浙江湖州?高一湖州中學(xué)校考階段練習(xí))已知小b,c分別為58C三個(gè)內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊,

且?cosC+>/3as\nC-b-c=0.

(1)求4

(2)若。=2,則A8C的面積為求ABC的周長(zhǎng).

3.(2023春?甘肅白銀?高一?？茧A段練習(xí))在以8c中，角A、8、C的對(duì)邊分別為。、I)、。，且

3asinB+\/3/>cos^4=0.

⑴求角A的大??；

⑵若5=4,?8。的面積S=2j5,求》8c的周長(zhǎng).

4.（2023春?陜西西安?高二西安中學(xué)?？计谥校┮阎獊V8C中，角AB,。所對(duì)的邊分別為4瓦c,且

S+2：）cos4_sin（8+［）=o,9BC外接圓的半徑為4>/7.

（1）求4的值;

（2）若S.C=24"5,求的周長(zhǎng).

角度2：三角形周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）的最值

典型例題

例題1.（2023?甘肅蘭州??？寄M預(yù)測(cè)）若AABC的內(nèi)角人，B,。的對(duì)邊分別為。，b,。，滿足

sin'八-sin'ft-sin*C=sinHsinC.

（1）求角A;

（2）若〃=6,求A43C周長(zhǎng)的取值范圍.

例題2.(2023春?云南?高二校聯(lián)考階段練習(xí))<3。的內(nèi)角4RC的對(duì)邊分別為〃八c,已知3=120.

(1)若〃==，求A的值；

⑵若〃=3,求周長(zhǎng)的最大值.

例題3.(2023春?重慶萬(wàn)州?高三重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)的內(nèi)角A，B，C

的對(duì)邊分別為〃，b?c,且〃sin8+asinA="sinA+csinC.

(1)求角C；

(2)若c=26,求"+力的取值范圍.

例題4.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))在①cosC=2—f；②1+岑=華；③

a2atanBh

(c-0)sE(A+6)=(a-〃)(siuA+siu6)這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，井進(jìn)行求解.

問(wèn)題:在一A5C中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為“，b,C,已知,。=4,

⑴求A：

⑵求/BC周長(zhǎng)的取值范圍

例題5.（2023春?山西太原?高一太原五中?？茧A段練習(xí)）己知銳角/8C的面積是S,ABAC==^-S.

⑴求sinA的值；

（2）若8C=26,求ABC周長(zhǎng)的取值范圍.

練透核心考點(diǎn)

1.（2023春?重慶北培?高一西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）記工8c的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為“，b,

c,已知“人（12sin2yJ-l<?.

⑴求

（2）若6=6,求58C周長(zhǎng)的取值范圍.

2.（2023春?河北邢臺(tái)?高三邢臺(tái)市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在四邊形ABC。中，4B,C,。四點(diǎn)共圓，AB=5,

3

BC=3,CQSZJ\BC=——.

（1）若sin/ACO=里，求人。的長(zhǎng)；

⑵求四邊形ABCD周長(zhǎng)的最大值.

3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在4ABe中,角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,。,^.h=2acosAcosC+2ccos:A.

⑴求角A：

(2)若a=4,求c-功的取值范圍.

4.(2023春?浙江?高一校聯(lián)考階段練習(xí))在下列3個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題，并給出問(wèn)題的解

答.

①3csin4-acosC-2”=0；(2)cos4+(cos/?+>/3siii/?)cosC=0；—：

tanBb

己知的內(nèi)角八，B,C所對(duì)的邊分別是a,h,c,。為AB邊上的一點(diǎn)，.

(1)求角C；

⑵若CO為角平分線，且8=1,求a+〃最小值.

5.(2023?河南開(kāi)封?開(kāi)封高中?？寄M預(yù)測(cè))在M?。中,角4,B,5的對(duì)邊分別是a,b,c,

tanB+tanC_2tanB

tanCtanA

(1)證明：a2=2bccosA；

(2)求2的取值范圍.

第四部分：數(shù)學(xué)文化題

1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）勾股定理被稱為兒何學(xué)的基石，相傳在商代由商高發(fā)現(xiàn)，又稱商高定理，

漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖（又稱趙爽弦圖，它由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，如圖1）,證

明了商高結(jié)論的正確性，現(xiàn)將弦圖中的四條股延長(zhǎng)，相同的長(zhǎng)度（如將延長(zhǎng)至得到圖2.在圖2中，

若4）=5,咫）=3M，D,E兩點(diǎn)間的距離為Ji存，則弦圖中小正方形的邊長(zhǎng)為（）

fB考

2.（2023春青海西宇?高三校考開(kāi)學(xué)考試）1904年，瑞典數(shù)學(xué)家利赫構(gòu)造了一種曲線，取一個(gè)正三角形，

在每個(gè)邊以中間的三分之一部分為一邊，向外凸出作一個(gè)正三角形，再把原來(lái)邊上中間的三分之一部分擦

掉，就成了一個(gè)很像雪花的六角星，幻圖所示.現(xiàn)在向圓中均勻散落1000粒豆子，則落在六角星中的豆子數(shù)

約為（兀乏3,x/3*1.732）（）

A.331B.481C.508D.577

3.（2023春?江蘇南京?高三南京師大附中?？奸_(kāi)學(xué)考試）我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》卷九"勾股"中有

一測(cè)量問(wèn)題："今有立木，系索其末，委地三尺.引索卻行，去本八尺而索盡，問(wèn)索長(zhǎng)幾何?這個(gè)問(wèn)題體現(xiàn)了

古代對(duì)直角三角形的研究，現(xiàn)有一豎立的木頭柱子，高4米，繩索系在柱子上端，牽著繩索退行，當(dāng)繩索

與底面夾角為75。時(shí)繩索未用盡，再退行4G米繩索用盡（繩索與地面接觸），則繩索長(zhǎng)為（）

A.米B.46米C.5及米D.16G米

4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）我國(guó)油紙傘的制作工藝巧妙.如圖（1）,傘不管是張開(kāi)還是收攏，傘柄A戶始

終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角/8AC，且A8=AC,從而保證傘圈/）能夠沿著傘柄滑動(dòng).如圖（2）,

傘完全收攏時(shí)，傘圈。已滑到的位置，且A,8,三點(diǎn)共線，/l〃=40cm,3為AD'的中點(diǎn),當(dāng)傘從

完全張開(kāi)到完全收攏，傘圈。沿著傘柄向下滑動(dòng)的距離為24cm,則當(dāng)傘完全張開(kāi)時(shí)，/胡。的余弦值是（）

8

D.

25

第五部分：高考新題型

①開(kāi)放性試題

1.2（023春?河北保定?高一定州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知2.4M是一個(gè)銳角三角形的三邊長(zhǎng)，請(qǐng)寫出

個(gè)“的值.

2.（2022秋?山東青島?高三?？茧A段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)。在線段AAh,ZG4D=3O0,ZCDB=50°,DB=4.

若再給出一條線段的長(zhǎng)度，可以使一地。唯一確定，這個(gè)線段可以是（只需寫出代表該線段的字母,

無(wú)需給出長(zhǎng)度）

3.（2023春?河南?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）記/BC的內(nèi)用A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且送8。外接

圓的面積為4兀，請(qǐng)寫出一組滿足上述條件的邊和角：a=,A=.

②探究性試題

1.（2023?遼寧丹東?統(tǒng)考一模）△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,h,c,若sin?A>sii?5+sin2c.

（1）證明；△ABC是鈍角三角形；

在四個(gè)條件①sinR=*@sinC=^③〃=2④C-五中，哪三個(gè)條件同時(shí)成立能使AC存

在？請(qǐng)說(shuō)明理由.

③劣夠性試題

1.（2023?吉林延邊?統(tǒng)考二模）在;.ABC中，內(nèi)角A,R,。的對(duì)邊分別為mc,已知c=%cos8,C=y.

⑴求&

（2）在下面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已印，使存在旦唯一確定，并求3C邊上的中線的長(zhǎng)度.

①乂BC的周長(zhǎng)為4+26：②面積為S38C=￥.

2.（2023?遼寧鞍山?統(tǒng)考二模）請(qǐng)從①asinB-回COS8COSC=>/5CCOS2B；

（2）（sin>4-sinC）2=sin2^-sin4sinC：③J拓sin"=）這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并加

I+cosB

以解答（如未作出選擇，則按照選擇①評(píng)分.選擇的編號(hào)請(qǐng)?zhí)顚懙酱痤}卡對(duì)應(yīng)位置上）

在△48C中，a,b,c分別是角A,B,。的對(duì)邊，若,

（1）求角6的大?。?/p>

（2）若△ABC為銳角三角形，c=l,求a?+從的取值范圍.

第六部分：數(shù)學(xué)思想方法

①函數(shù)與方程的思想

1.（2023?全國(guó)偈一專題絳習(xí)）化“A8C中，角八，aC所對(duì)的邊分別為。，仇c,〃=2,cos2C=cos2A+4sin2B?

則.ABC面積的最大值是（）

24

A.-B.1C.-D.2

A7

2.(2023?廣東廣州?高三校考)已知MBC的內(nèi)角人民。的對(duì)邊分別為滿足4sin2]-cos2(B+C)=a，

⑴求A；

(2)。是線段8C邊上的點(diǎn)，若人。=3D=2,CO=3,求..A8C的面積.

3.(2023?高二課時(shí)練習(xí))若A5=2,AC=08。，求S柳°的最大值.

②分類討論的思想

1.(2023秋?吉林?高一吉林一中?？茧A段練習(xí))已知中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,h,c,

(sinA+sin-sinC)(sin^-sinA-sinC)=-sin^sinC,b-4.若ACC為直角三角形，貝ijAGC的面積為

2.(2023?遼寧?高二統(tǒng)考)“8C中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為〃，h,c,若人=2asin8.

⑴求A的大小：

(2)若方=2有，c=3,求a.

3.(2023春?云南文山?高一?？茧A段練習(xí))在“8。中，已知c=G，b=l,8=30。.

⑴求角A：

(2)求AABC的面積.

第04講正弦定理和余弦定理（精講）

目錄

第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背.............................................................2

第二部分：高考真題回歸...........................................................3

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò).........................................................5

高頻考點(diǎn)一：利用正、余弦定理解三角形........................................5

角度1：三角形個(gè)數(shù)問(wèn)題....................................................5

角度2：利用正弦定理解三角形..............................................6

角度3：利用余弦定理解三角形..............................................7

角度4；正余弦定理綜合應(yīng)用................................................8

高頻考點(diǎn)二：判斷三角形的形狀.................................................9

高頻考點(diǎn)三：三角形面積相關(guān)問(wèn)題..............................................10

角度1：求三角形面積.....................................................10

角度2：三角形面積的最值（范圍）.........................................12

高頻考點(diǎn)四：三角形局長(zhǎng)（邊）相關(guān)問(wèn)題........................................15

角度1：求三角形周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）.............................................15

角度2：三角形周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）的最值.........................................17

第四部分：數(shù)學(xué)文化題............................................................21

第五部分：高考新題型............................................................22

①開(kāi)放性試題................................................................22

②探窕性試題................................................................22

③劣夠性試題................................................................23

第六部分：數(shù)學(xué)思想方法..........................................................