2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)§2.6二次函數(shù)與冪函數(shù)【課件】

第二章§2.6二次函數(shù)與冪函數(shù)1.通過具體實(shí)例，了解冪函數(shù)及其圖象的變化規(guī)律.2.掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、對稱性、頂點(diǎn)、最值等).課標(biāo)要求內(nèi)容索引第一部分落實(shí)主干知識第二部分探究核心題型課時(shí)精練第一部分落實(shí)主干知識1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)

叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù).(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象y＝xα(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；②當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)

和

，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)

，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；④當(dāng)α為奇數(shù)時(shí)，y＝xα為

；當(dāng)α為偶數(shù)時(shí)，y＝xα為

.(1,1)(0,0)(1,1)奇函數(shù)偶函數(shù)2.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)＝

.頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為

.零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的

.ax2＋bx＋c(a≠0)(m，n)零點(diǎn)(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象(拋物線)

定義域____值域______________________________R函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)對稱軸x＝_____頂點(diǎn)坐標(biāo)________________奇偶性當(dāng)b＝0時(shí)是

函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)是非奇非偶函數(shù)偶函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)單調(diào)性在

上單調(diào)遞

；在

上單調(diào)遞___在

上單調(diào)遞

；在

上單調(diào)遞___減增增減1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)函數(shù)

是冪函數(shù).(

)(2)若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象恒在x軸下方，則a<0且Δ<0.(

)(3)二次函數(shù)y＝a(x－1)2＋2的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞).(

)(4)若冪函數(shù)y＝xα是偶函數(shù)，則α為偶數(shù).(

)××√×2.已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)(8,2)，則f(9)的值為A.2B.3C.4D.9√3.(2023·南京模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2，x∈(－2,2)，則函數(shù)f(x)的值域?yàn)锳.(2,10)B.[1,2)C.[2,10]D.[1,10)√當(dāng)x∈(－2,2)時(shí)，－3<x－1<1，則f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1∈[1,10).4.已知函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，－3]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.(－∞，4]由函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，－3]上單調(diào)遞減，返回即a≤4，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，4].第二部分探究核心題型例1

(1)(2023·合肥模擬)如圖所示，圖中的曲線是冪函數(shù)y＝xn在第一象限的圖象，已知n取±2，

四個值，則相對應(yīng)曲線C1，C2，C3，C4的n依次為題型一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)√根據(jù)冪函數(shù)y＝xn的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)的圖象：當(dāng)n>0時(shí)，n越大，y＝xn遞增速度越快，所以曲線C1的n＝2，C2的n＝

；當(dāng)n<0時(shí)，|n|越大，曲線越陡峭，所以曲線C3的n＝－

，C4的n＝－2.(2)(2023·德州模擬)已知冪函數(shù)f(x)＝

在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(3)等于√由題意，得m2＋m－5＝1，即m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3，當(dāng)m＝2時(shí)，可得函數(shù)f(x)＝x3，此時(shí)函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)m＝－3時(shí)，可得f(x)＝x－2，此時(shí)函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，不符合題意，即冪函數(shù)f(x)＝x3，則f(3)＝27.(1)對于冪函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x所分區(qū)域.根據(jù)α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.(2)在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較.跟蹤訓(xùn)練1

(1)冪函數(shù)y＝

(0≤m≤3，m∈Z)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則m的值為A.0B.2C.3D.2或3√當(dāng)m＝0時(shí)，y＝x－2，由冪函數(shù)性質(zhì)得，y＝x－2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)m＝1時(shí)，y＝x0，由冪函數(shù)性質(zhì)得，y＝x0在(0，＋∞)上是常函數(shù)；當(dāng)m＝2時(shí)，y＝x4，由冪函數(shù)性質(zhì)得，圖象關(guān)于y軸對稱，y＝x4在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)m＝3時(shí)，y＝x10，由冪函數(shù)性質(zhì)得，圖象關(guān)于y軸對稱，在(0,＋∞)上單調(diào)遞增.(2)已知冪函數(shù)y＝x－1，直線y＝x，y＝1，x＝1將直角坐標(biāo)系第一象限分成八個“卦限”(如圖所示)，那么，冪函數(shù)y＝

的圖象在第一象限中經(jīng)過的“卦限”是A.Ⅵ，Ⅶ

B.Ⅳ，Ⅷ

C.Ⅲ，Ⅷ

D.Ⅲ，Ⅶ√顯然，圖中圖象下降的曲線表示的函數(shù)為y＝x－1，所以函數(shù)y＝

在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.則y＝

的圖象在直線y＝1的上方，在y＝x－1的圖象的下方，即y＝

的圖象過Ⅳ；當(dāng)x＝2時(shí)，

則y＝

的圖象在直線y＝1的下方，在y＝x－1的圖象的上方，即y＝

的圖象過Ⅷ.例2

已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定該二次函數(shù)的解析式.題型二二次函數(shù)的解析式方法一(利用“一般式”解題)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).所以所求二次函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二(利用“頂點(diǎn)式”解題)設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因?yàn)閒(2)＝f(－1)，又根據(jù)題意，函數(shù)有最大值8，所以n＝8，解得a＝－4，方法三(利用“零點(diǎn)式”解題)由已知得f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.解得a＝－4.故所求函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.求二次函數(shù)解析式的三個策略(1)已知三個點(diǎn)的坐標(biāo)，宜選用一般式.(2)已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、最大(小)值等，宜選用頂點(diǎn)式.(3)已知圖象與x軸的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，宜選用零點(diǎn)式.跟蹤訓(xùn)練2

已知二次函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(0,3)，對稱軸為直線x＝2，且方程f(x)＝0的兩個根的平方和為10，則f(x)的解析式為________________.f(x)＝x2－4x＋3依題意，設(shè)函數(shù)f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0)，由二次函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(0,3)，得f(0)＝3，所以4a＋h＝3，即h＝3－4a，所以f(x)＝a(x－2)2＋3－4a，令f(x)＝0，即a(x－2)2＋3－4a＝0，所以ax2－4ax＋3＝0，設(shè)方程的兩根為x1，x2，所以f(x)＝x2－4x＋3.題型三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)例3

(多選)(2024·贛州模擬)已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是A.b＝－2a

B.a＋b＋c<0C.a＋c<b

D.abc<0√√命題點(diǎn)1二次函數(shù)的圖象√故A正確；當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝a－b＋c<0，則a＋c<b，故C正確；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝c>0，則abc<0，故D正確；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a＋b＋c>0，故B錯誤.例4

已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3－a，a∈R.(1)若y＝f(x)在區(qū)間[－1,3]上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；命題點(diǎn)2二次函數(shù)的單調(diào)性與最值因?yàn)閒(x)在區(qū)間[－1,3]上是單調(diào)函數(shù)，故a≤－6或a≥2.(2)若當(dāng)0≤x≤2時(shí)，函數(shù)y＝f(x)的最小值是關(guān)于a的函數(shù)m(a)，求m(a)的表達(dá)式.當(dāng)－

≤0，即a≥0時(shí)，f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增，m(a)＝f(0)＝3－a；當(dāng)－

≥2，即a≤－4時(shí)，f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，m(a)＝f(2)＝a＋7.二次函數(shù)定軸動區(qū)間和動軸定區(qū)間問題在含參的二次函數(shù)中，常常出現(xiàn)兩種情況的討論：(1)二次函數(shù)是確定的，但它的定義域區(qū)間是隨參數(shù)而變化的，我們稱這種情況是“定二次函數(shù)在動區(qū)間上的最值”.(2)二次函數(shù)隨著參數(shù)的變化而變化，即其圖象是運(yùn)動的，但定義域區(qū)間是固定的，我們稱這種情況是“動二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值”.微拓展典例(1)已知函數(shù)f(x)＝－

x2＋x在區(qū)間[a，b]上的最小值為3a，最大值為3b，則a＋b等于√開口向下，函數(shù)在(－∞，1]上單調(diào)遞增，在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，(2)若函數(shù)f(x)＝x2－2bx＋3a在區(qū)間[0,1]上的最大值為M，最小值為m，則M－m的值A(chǔ).與a無關(guān)，與b有關(guān)B.與a有關(guān)，與b無關(guān)C.與a有關(guān)，且與b有關(guān)D.與a無關(guān)，且與b無關(guān)√函數(shù)f(x)＝x2－2bx＋3a的圖象開口向上，且對稱軸為直線x＝b，①當(dāng)b>1時(shí)，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，則M＝f(0)＝3a，m＝f(1)＝1－2b＋3a，此時(shí)M－m＝2b－1，故M－m的值與a無關(guān)，與b有關(guān)；②當(dāng)b<0時(shí)，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，則M＝f(1)＝1－2b＋3a，m＝f(0)＝3a，此時(shí)M－m＝1－2b，故M－m的值與a無關(guān)，與b有關(guān)；③當(dāng)0≤b≤1時(shí)，m＝f(b)＝3a－b2，若0≤b≤，則f(1)≥f(0)，有M＝f(1)＝1－2b＋3a，∴M－m＝b2－2b＋1，故M－m的值與a無關(guān)，與b有關(guān)，∴M－m＝b2，故M－m的值與a無關(guān)，與b有關(guān)，綜上，M－m的值與a無關(guān)，與b有關(guān).二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動，不論哪種類型，解題的關(guān)鍵都是對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論.跟蹤訓(xùn)練3

(1)(2024·宣城模擬)已知y＝(x－m)(x－n)＋2023(m<n)，且α，β(α<β)是方程y＝0的兩根，則α，β，m，n的大小關(guān)系是A.α<m<n<β

B.m<α<n<βC.m<α<β<n

D.α<m<β<n√y＝(x－m)(x－n)＋2023(m<n)為二次函數(shù)，圖象開口向上，因?yàn)棣?，?α<β)是方程y＝0的兩根，故α，β(α<β)為二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其中f(m)＝f(n)＝2023，畫出大致圖象如圖所示，顯然m<α<β<n.(2)(2023·鎮(zhèn)江模擬)函數(shù)f(x)＝x2－4x＋2在區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)閇－2,2]，則b－a的取值范圍是________.[2,4]解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，得x＝0或x＝4，解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，得x＝2，由于函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)閇－2,2].若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，則[a，b]＝[0,2]或[a，b]＝[2,4]，此時(shí)b－a取得最小值2；若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上不單調(diào)，且當(dāng)b－a取最大值時(shí)，[a，b]＝[0,4]，所以b－a的最大值為4，所以b－a的取值范圍是[2,4].返回課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1.已知冪函數(shù)f(x)＝(m2－2m－2)xm－2的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則m的值為A.－1B.1C.3D.2√12345678910111213141234567891011121314令m2－2m－2＝1，解得m＝－1或m＝3.當(dāng)m＝－1時(shí)，f(x)＝x－3的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)；當(dāng)m＝3時(shí)，f(x)＝x的圖象經(jīng)過原點(diǎn).所以m的值為3.2.(2023·保定模擬)已知

，則A.b<a<c

B.a<b<cC.b<c<a

D.c<a<b1234567891011121314√由題意得

所以b<a<c.3.(2023·成都模擬)若函數(shù)f(x)＝4x2－kx－8在[4,5]上是單調(diào)函數(shù)，則k的取值范圍是A.[32,40]B.(－∞，32]∪[40，＋∞)C.(－∞，32]D.[40，＋∞)√12345678910111213141234567891011121314所以k的取值范圍是(－∞，32]∪[40，＋∞).4.若關(guān)于x的方程9x＋3x＋1－m＋1＝0有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A.(1，＋∞) B.C.(－∞，3] D.(1,3]√1234567891011121314方程9x＋3x＋1－m＋1＝0有解，∴(3x)2＋3×3x－m＋1＝0有解，令t＝3x>0，則原式可化為t2＋3t－m＋1＝0有正根，則t2＋3t＝m－1在(0，＋∞)上有解，又當(dāng)t∈(0，＋∞)時(shí)，t2＋3t∈(0，＋∞)，∴m－1>0，即m>1.12345678910111213145.已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋5在區(qū)間[0，m]上的值域?yàn)閇5,6]，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A.(0,1]B.[1,3]C.(0,2]D.[1,2]1234567891011121314√1234567891011121314f(x)＝－x2＋2x＋5＝－(x－1)2＋6，f(x)的圖象開口向下，對稱軸為直線x＝1，畫出f(x)的圖象如圖所示，由于f(x)在區(qū)間[0，m]上的值域?yàn)閇5,6]，由圖可知，m的取值范圍是[1,2].√12345678910111213141234567891011121314由|AB|＝|CD|，二、多項(xiàng)選擇題7.(2023·合肥模擬)已知函數(shù)f(x)＝xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,2)，則下列說法正確的是A.函數(shù)f(x)為偶函數(shù)B.函數(shù)f(x)為增函數(shù)C.當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>11234567891011121314√√√由于函數(shù)f(x)＝xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,2)，故有4α＝2，顯然，函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù)，且為增函數(shù)，故A錯誤，B正確；由于函數(shù)f(x)為上凸型函數(shù)，12345678910111213148.設(shè)abc<0，則函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象可能是1234567891011121314√√1234567891011121314A中，a<0，b<0，c<0，∴abc<0，符合題意；B中，a<0，b>0，c>0，∴abc<0，符合題意；C中，a>0，b>0，c>0，∴abc>0，不符合題意；D中，a>0，b<0，c<0，∴abc>0，不符合題意.三、填空題9.(2023·大慶模擬)已知函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)·x4m＋3是冪函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(2)＝_____.1234567891011121314211解得m＝2，所以f(x)＝x11，f(2)＝211.10.已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(－3,0)，(1,0)，且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2，則二次函數(shù)的表達(dá)式為_______________________________.1234567891011121314因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象過點(diǎn)(－3,0)，(1,0)，所以可設(shè)二次函數(shù)為y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展開得y＝ax2＋2ax－3a，1234567891011121314由于二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離為2，四、解答題11.已知冪函數(shù)f(x)＝(m2＋4m＋4)xm＋2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.(1)求m的值；1234567891011121314由冪函數(shù)的定義可得m2＋4m＋4＝1，即m2＋4m＋3＝0，解得m＝－1或m＝－3.因?yàn)閒(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以m＋2<0，即m<－2，則m＝－3.(2)若(2a－1)－m<(a＋3)－m，求a的取值范圍.1234567891011121314設(shè)g(x)＝x3，則g(x)是增函數(shù).由(1)可知(2a－1)－m<(a＋3)－m，即(2a－1)3<(a＋3)3，則2a－1<a＋3，解得a<4，即a的取值范圍為(－∞，4).123456789101112131412.(2024·郴州模擬)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，且滿足條件：①不等式f(x)<0的解集為{x|1<x<2}；②函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)(3,2).(1)求函數(shù)f(x)的解析式；1234567891011121314條件①：因?yàn)椴坏仁絝(x)<0的解集為{x|1<x<2}，所以1,2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根，條件②：函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)(3,2)，所以9a＋3b＋c＝2.1234567891011121314此時(shí)f(x)＝x2－3x＋2.1234567891011121314(2)設(shè)g(x)＝f(x)－mx，若函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值為3，求實(shí)數(shù)m的值.1234567891011121314g(x)min＝g(1)＝3－(m＋3)＝－m＝3，解得m＝－3；g(x)min＝g(2)＝6－(2m＋6)＝－2m＝3，1234567891011121314綜上所述，所求實(shí)數(shù)m的值為－3.13.函數(shù)f(x)＝

是冪函數(shù)，對任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，滿足

<0，若a，b∈R，且a<0<b，|a|<|b|，則f(a)＋f(b