專題09 球（柱）體模型（解析版）-2025版高二物理寒假精-品講義

專題09球（柱）體模型1.圓界面的法線是過(guò)圓心的直線，經(jīng)過(guò)兩次折射后光線向圓心偏折2.球形介質(zhì)對(duì)光的偏折有對(duì)稱性。【例1】如圖，一個(gè)半徑為R的玻璃球，O點(diǎn)為球心。球面內(nèi)側(cè)單色點(diǎn)光源S發(fā)出的一束光在A點(diǎn)射出，出射光線AB與球直徑SC平行，θ＝30°。光在真空中的傳播速度為c。求：(1)玻璃的折射率；(2)從S發(fā)出的光線經(jīng)多次全反射回到S點(diǎn)的最短時(shí)間。【答案】(1)eq\r(3)(2)eq\f(4\r(6)R,c)【解析】(1)根據(jù)題意將光路圖補(bǔ)充完整，如圖所示根據(jù)幾何關(guān)系可知θ1＝θ＝30°，θ2＝60°根據(jù)折射定律有n＝eq\f(sinθ2,sinθ1)解得n＝eq\r(3)(2)設(shè)全反射的臨界角為C，則sinC＝eq\f(1,n)＝eq\f(\r(3),3)，則C<45°光在玻璃球內(nèi)的傳播速度有v＝eq\f(c,n)根據(jù)幾何關(guān)系可知當(dāng)θ＝45°，即光路為圓的內(nèi)接正方形時(shí)，從S發(fā)出的光線經(jīng)多次全反射回到S點(diǎn)的時(shí)間最短，則正方形的邊長(zhǎng)x＝eq\r(2)R則最短時(shí)間為t＝eq\f(4x,v)＝eq\f(4\r(6)R,c)。【總結(jié)提升】(1)解決幾何光學(xué)問(wèn)題應(yīng)先根據(jù)折射定律和反射定律準(zhǔn)確畫好光路圖。(2)充分利用光的可逆性、對(duì)稱性、相似性等幾何關(guān)系以及邊角關(guān)系?！纠?】如圖甲所示，AB為半圓的直徑，O為圓心，在O點(diǎn)左側(cè)用紅色激光筆從E點(diǎn)垂直AB射入的紅光進(jìn)入半球形介質(zhì)后在上表面的入射角恰好等于全反射的臨界角C＝45°。(1)求半球形介質(zhì)的折射率；(2)若取用半球形介質(zhì)制成環(huán)狀介質(zhì)磚，如圖乙所示，內(nèi)徑為R、外徑為R′＝eq\r(2)R的環(huán)狀介質(zhì)磚的圓心為O，一束平行于水平軸O′O的光線由A點(diǎn)進(jìn)入介質(zhì)磚，到達(dá)B點(diǎn)(圖中未標(biāo)出)剛好發(fā)生全反射，求A點(diǎn)處光線的入射角和折射角。【答案】(1)eq\r(2)(2)45°30°【解析】(1)由全反射臨界角的公式有sinC＝eq\f(1,n)即sin45°＝eq\f(1,n)＝eq\f(\r(2),2)，半球形介質(zhì)的折射率n＝eq\r(2)。(2)光線平行于O′O方向射向球面，到達(dá)B點(diǎn)剛好發(fā)生全反射，在B點(diǎn)的入射角等于臨界角C。在△OAB中，OA＝eq\r(2)R，OB＝R，由正弦定理得eq\f(sin（180°－C）,\r(2)R)＝eq\f(sinr,R)可得sinr＝eq\f(1,2)則A點(diǎn)處光線的折射角r＝30°由n＝eq\f(sini,sinr)解得A點(diǎn)處光線的入射角i＝45°?！纠?】電子產(chǎn)品中常用到發(fā)光二極管，其中一種是由半徑為R的半球體透明介質(zhì)和發(fā)光管芯組成，管芯發(fā)光部分是一個(gè)圓心與半球體介質(zhì)的球心O重合的圓面，如圖所示，PQ為發(fā)光圓面的直徑，圓弧ABC在半球體介質(zhì)過(guò)球心O的縱截面上，B、D分別為圓弧ABC、BDC的中點(diǎn)。由PQ上的M點(diǎn)發(fā)出的一條光線MD經(jīng)D點(diǎn)折射出去后與OB平行，已知θ＝75°。(1)求半球體介質(zhì)的折射率及光從該介質(zhì)射入空氣中的臨界角；(2)為使從發(fā)光圓面射向半球面上的所有光線都能直接射出，則管芯發(fā)光圓面的面積最大為多少？【答案】(1)eq\r(2)45°(2)eq\f(πR2,2)【解析】(1)如圖甲所示，由幾何關(guān)系得光線射到D點(diǎn)的入射角、折射角分別為θ2＝30°、θ1＝45°甲則半球體介質(zhì)的折射率n＝eq\f(sinθ1,sinθ2)＝eq\r(2)又sinC＝eq\f(1,n)，解得臨界角C＝45°。(2)如圖乙所示乙由正弦定理得eq\f(R,sinβ)＝eq\f(r,sinα)整理得sinα＝eq\f(r,R)sinβ當(dāng)β＝90°時(shí)，α最大，即從P或Q點(diǎn)垂直于PQ發(fā)出的光線射到球面上時(shí)入射角最大，則sinαmax＝eq\f(r,R)所有光都能直接射出，應(yīng)滿足sinαmax<sinC，解得r<eq\f(\r(2)R,2)管芯發(fā)光圓面的面積最大為S＝π＝eq\f(πR2,2)。一、單選題1．如圖所示，橫截面為圓環(huán)的柱形容器由折射率為n的玻璃制成，其外徑為R1，內(nèi)徑為R2，MN為一條直徑。有兩束光線，其中光線A在紙平面內(nèi)傳播，從M點(diǎn)射向容器，經(jīng)一次折射后，恰好與容器內(nèi)壁相切，另一束光線B平行于MN射向容器，經(jīng)過(guò)一次折射后，恰好在容器內(nèi)壁發(fā)生全反射，則（）A．光線A入射角的正弦值siniB．光線A射入柱形容器后折射出去的時(shí)間為C．光線B的入射角的正弦值sini'D．光線B到MN的距離等于【答案】C【詳解】A．光線與容器內(nèi)壁相切，光路圖如圖1所示，設(shè)光線在M點(diǎn)的入射角為i，折射角為r，由折射定律得：n由幾何關(guān)系得sinr解得sini故A錯(cuò)誤；B．光線A在柱形容器中通過(guò)的距離為s＝2光線A在柱形容器中傳播速度為v則光線A射入柱形容器后折射出去的時(shí)間為t故B錯(cuò)誤；C．平行于MN的光線射向容器，在容器外壁的入射角為，折射角為，如圖2所示，由折射定律得：光線恰好在容器內(nèi)壁發(fā)生全反射，入射角等于臨界角C，則sinC根據(jù)正弦定理可得nR1解得而即故C正確；D．設(shè)光線B到MN的距離為d，根據(jù)幾何關(guān)系可得故D錯(cuò)誤。故選C。2．半徑為R的半圓柱形透明材料的橫截面如圖所示，某實(shí)驗(yàn)小組將該透明材料的A處磨去少許，使一激光束從A處射入時(shí)能夠沿AC方向傳播。已知AC與直徑AB的夾角為30°，激光束到達(dá)材料內(nèi)表面的C點(diǎn)后同時(shí)發(fā)生反射和折射現(xiàn)象。已知該材料的折射率為，則在C點(diǎn)的反射光束與折射光束的夾角為（

）A．60° B．75° C．90° D．105°【答案】D【詳解】光束在C點(diǎn)的入射角為30°，根據(jù)折射定律有解得根據(jù)反射定律可知反射角為30°，則在C點(diǎn)的反射光束與折射光束的夾角為故選D。3．光導(dǎo)纖維技術(shù)在現(xiàn)代生產(chǎn)、生活與科技方面得以廣泛應(yīng)用，如圖所示，一個(gè)質(zhì)量均勻分布的有機(jī)玻璃圓柱的橫截面，B，C為圓上兩點(diǎn)，一束單色光沿AB方向射入，然后從C點(diǎn)射出，已知，，真空中光速，，，則（）A．光在該有機(jī)玻璃中傳播速度為B．光在該有機(jī)玻璃中的折射率為1.8C．光在該有機(jī)玻璃中發(fā)生全反射的臨界角為37°D．若將該材料做成長(zhǎng)300km的光導(dǎo)纖維，此單色光在光導(dǎo)纖維中傳播的最短時(shí)間為【答案】D【詳解】AB．根據(jù)折射定律得則光在有機(jī)玻璃中傳播的速度為故AB錯(cuò)誤；C．根據(jù)全反射的定義故臨界角大于37°，故C錯(cuò)誤；D．當(dāng)光線與光導(dǎo)纖維平行時(shí)，傳播的時(shí)間最短，則傳播的時(shí)間故D正確。故選D。4．光具有能量，也有動(dòng)量p，p方向沿光的傳播方向。，h為普朗克常量，為光的波長(zhǎng)。光照射到物體表面時(shí)會(huì)產(chǎn)生壓力，稱為光壓。光射達(dá)物質(zhì)界面時(shí)會(huì)發(fā)生折射，遵循折射定律，傳播方向發(fā)生變化會(huì)導(dǎo)致其動(dòng)量改變，從而產(chǎn)生光壓。如圖，一束光線從真空中入射到均勻分布的微球的A點(diǎn)，兩次折射后從B點(diǎn)射出。光束經(jīng)過(guò)微球的過(guò)程中，其動(dòng)量變化量（）A．由A指向B，光對(duì)微球產(chǎn)生的沖量指向BB．由A指向B，光對(duì)微球產(chǎn)生的沖量指向AC．與垂直，光對(duì)微球產(chǎn)生的沖量垂直向上D．與垂直，光對(duì)微球產(chǎn)生的沖量垂直向下【答案】C【詳解】做出入射光動(dòng)量方向、折射光動(dòng)量方向以及折射后光線動(dòng)量的變化量如圖所示可知光束經(jīng)過(guò)微球的過(guò)程中，其動(dòng)量變化量與AB垂直，根據(jù)動(dòng)量定理可知，微球?qū)馐饔昧Φ姆较蚺c動(dòng)量變化量的方向相同，其方向垂直AB向下，而根據(jù)牛頓第三定律可知，光束對(duì)微球的作用力與微球?qū)馐淖饔昧Υ笮∠嗟?、方向相反，可知光束?duì)微球的作用力垂直AB向上。由沖量公式可見光對(duì)微球產(chǎn)生的沖量垂直向上。故選C。5．如圖所示，半圓形玻璃磚水平放置，一束復(fù)色光從其上表面左側(cè)射入玻璃磚，分成a、b兩束。隨著入射角增加，下列說(shuō)法正確的是（）A．a(chǎn)的折射角增大，b折射角減小B．a(chǎn)的折射角減小，b折射角增大C．a(chǎn)、b折射角都增大D．a(chǎn)、b折射角都減小【答案】C【詳解】根據(jù)可知，對(duì)于任何顏色的光，隨著入射角增加，折射角都增大。故選C。二、多選題6．如圖為一半圓柱形均勻透明材料的橫截面，一束紅光a從空氣沿半徑方向入射到圓心O，當(dāng)時(shí)，反射光b和折射光c剛好垂直。下列說(shuō)法正確的是（）A．該材料對(duì)紅光的折射率為1.414 B．若，光線c消失C．若入射光a變?yōu)榘坠猓饩€b為白光 D．若入射光a變?yōu)樽瞎?，光線b和c仍然垂直【答案】BC【詳解】A．根據(jù)幾何關(guān)系可知紅光從材料內(nèi)發(fā)生折射時(shí)，光線的折射角為，故折射率為

故A錯(cuò)誤；B．設(shè)臨界角為C，得故故若，會(huì)發(fā)生全反射，光線c消失，故B正確；C．由于光線b為反射光線，反射角等于入射角，故當(dāng)入射光a變?yōu)榘坠?，光線b為白光，故C正確；D．對(duì)同種介質(zhì)，紫光的折射率比紅光大，故若入射光a變?yōu)樽瞎猓凵浣菍⒆兇?，光線b和c不會(huì)垂直，故D錯(cuò)誤。故選BC。三、解答題7．如圖為一半徑為R的半圓柱體玻璃磚的截面圖，O為圓柱截面的圓心，AB為直徑，現(xiàn)將一束垂直于直徑AB的光從M點(diǎn)射入，OM長(zhǎng)度為，光線射到玻璃磚的圓弧面恰好發(fā)生全反射。(1)先完成光路圖并求玻璃磚的折射率；(2)求光線在玻璃磚中的傳播時(shí)間（光在真空中的速度用c表示）?！敬鸢浮?1)見解析；2(2)【詳解】（1）光路圖如圖所示，根據(jù)幾何關(guān)系，可知又sin解得（2）由幾何關(guān)系，可知光線在玻璃磚中的傳播路程為根據(jù)可得8．如圖為一半圓柱形均勻透明材料的橫截面，一束紅光a從空氣沿半徑方向入射到圓心O，當(dāng)θ=30°時(shí)，反射光b和折射光c剛好垂直。求：(1)該材料對(duì)紅光的折射率；(2)θ滿足什么條件時(shí)，光線c消失?！敬鸢浮?1)(2)見解析【詳解】（1）根據(jù)幾何關(guān)系可知紅光a在材料內(nèi)發(fā)生折射時(shí)折射角為60°，根據(jù)折射定律可得（2）根據(jù)臨界角與折射率的關(guān)系可得可得所以光線c消失需要滿足9．如圖所示是一直角槽圓柱形玻璃磚的截面，其折射率為，半徑為為軸心。一束光線從距該玻璃磚軸心處的E點(diǎn)垂直于面進(jìn)入玻璃磚，經(jīng)幾次反射后又照射到玻璃磚的面上的某一位置F點(diǎn)（圖中未畫出）。(1)試在圖中補(bǔ)充完整這束光線由E點(diǎn)到F點(diǎn)的光路；(2)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，這束光線是否能從玻璃磚的面射出.F點(diǎn)到軸心O的距離是多少？【答案】(1)見解析(2)能，【詳解】（1）根據(jù)題意，由反射定律和折射定律畫出光路圖，如圖所示：（2）發(fā)生全反射時(shí)有可得光在玻璃磚中發(fā)生全反射的臨界角為根據(jù)（1）中光路圖，由幾何關(guān)系可得則這束光線在F點(diǎn)的入射角小于臨界角，不發(fā)生全反射，這束光線能從玻璃磚的面射出。由幾何關(guān)系有解得即F點(diǎn)到軸心O的距離是。10．半徑為R的透明半圓柱置于空氣中，橫截面如圖所示，為圓心與半圓頂點(diǎn)間連線。真空中波長(zhǎng)為的單色光射入其半圓面上，入射方向與平行，入射點(diǎn)為P，，半圓柱的折射率為。求(1)光從半圓柱出射的位置與O點(diǎn)之間的距離；(2)光線在半圓柱中的波長(zhǎng)?！敬鸢浮?1)(2)【詳解】（1）如圖所示設(shè)光線在透明半圓柱內(nèi)的折射角為，由折射定律得得由幾何關(guān)系可知設(shè)光從半圓柱出射的位置與O點(diǎn)之間的距離為，則由正弦定理得又解得（2）設(shè)該單色光的頻率為，則又聯(lián)立解得11．如圖所示，一束光沿圓心方向從半圓形表面射入玻璃半球后從底面射出。入射光線與法線的夾角為，折射光線與法線的夾角為。已知光在真空中的速度為。求：(1)這束光在此玻璃半球中的折射率(2)這束光在此玻璃半球中的傳播速率?！敬鸢浮?1)(2)【詳解】（1）由折射定律可知解得折射率（2）由折射率與光在介質(zhì)中的速率關(guān)系式解得12．光纖已普遍應(yīng)用到通信領(lǐng)域，具有可彎曲、傳輸速度快、信息量大等優(yōu)點(diǎn)。如圖是一段彎成圓弧的光纖材料，一束光緊貼光纖材料內(nèi)側(cè)垂直射入材料一端，在A點(diǎn)恰好發(fā)生全反射，如圖所示。已知光纖材料的直徑為d，光纖材料內(nèi)側(cè)對(duì)應(yīng)的半徑為R，光在真空中的傳播速度為c。求：(1)光在光纖材料中的折射率；(2)光在光纖材料中的傳播速度大小?！敬鸢浮?1)(2)【詳解】（1）當(dāng)光纖材料彎曲達(dá)到最小半徑時(shí)，光纖恰好在材料內(nèi)發(fā)生全反射，光路圖如圖所示，根據(jù)全反射條件有根據(jù)幾何關(guān)系得聯(lián)立解得（2）光在光纖材料中的傳播速度大小13．如圖所示，MON為一扇形玻璃磚的截面，其圓心角為135°，半徑r=8cm。一束平行單色光沿著ON方向射向OM面，玻璃磚對(duì)此單色光的折射率為，不考慮光線在玻璃磚內(nèi)反射光的再次出射，求圓弧上有光透出的弧長(zhǎng)。

【答案】【詳解】當(dāng)光線經(jīng)玻璃磚折射后恰好在圓弧面發(fā)生全反射，所以圓弧面上只有BC段有光透出，如圖所示

根據(jù)折射定律可得根據(jù)幾何關(guān)系可得所以，根據(jù)臨界角與折射率的關(guān)系可得所以根據(jù)幾何關(guān)系可得所以所以圓弧上有光透出的弧長(zhǎng)為14．如圖所示，有一折射率為的透明材料制成的中空管道，其橫截面內(nèi)圓半徑為，外圓半徑未知，單色光線以的入射角平行于橫截面從A點(diǎn)入射，經(jīng)折射后在內(nèi)圓的表面恰好發(fā)生全反射，已知光在真空中的速度為，求：(1)管道的外圓半徑；(2)只考慮光線在透明材料內(nèi)的一次反射，則該光線從進(jìn)入透明材料到射出透明材料所用的時(shí)間是多少？【答案】(1)(2)【詳解】（1）單色光線經(jīng)折射后在內(nèi)圓的表面恰好發(fā)生全反射，根據(jù)可得光線圖如圖所示根據(jù)折射定律可得可得根據(jù)正弦定理可得解得管道的外圓半徑為（2）光在透明材料內(nèi)的傳播速度為根據(jù)幾何關(guān)系可知，設(shè)光在透明材料內(nèi)的傳播距離為，根據(jù)幾何關(guān)系可得可得則該光線從進(jìn)入透明材料到射出透明材料所用的時(shí)間為15．10分）如圖所示，玻璃磚的截面是半徑為R的半圓，O為圓心，玻璃磚上表面水平，一束單色光斜射在O點(diǎn)，入射角為，折射光線出射后照射在水平面上的A點(diǎn)，保持入射方向不變，將入射點(diǎn)從O點(diǎn)向左移到D點(diǎn)（圖中未標(biāo)出），使折射光線剛好照射到圓弧的最低點(diǎn)B點(diǎn)，光線從B點(diǎn)出射后仍照射到A點(diǎn)，已知B點(diǎn)到水平面的距離，光在真空中傳播速度為c，求：(1)玻璃磚對(duì)光的折射率；(2)光從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所用時(shí)間為多少?！敬鸢浮?1)(2)【詳解】（1）從點(diǎn)入射的光線折射后從點(diǎn)射出，則光從點(diǎn)射出時(shí)傳播方向與點(diǎn)入射光線平行，由此可知，由于根據(jù)幾何關(guān)系可知?jiǎng)t三角形為等腰三角形，由此可知，光在點(diǎn)的折射角則折射率（2）根據(jù)幾何關(guān)系光在玻璃磚中傳播速度傳播時(shí)間16．如圖所示為用某種特殊透明材料制作的半徑為R的半圓形磚，在圓心O點(diǎn)處垂直于磚直徑MN邊射入一束由紅綠雙色光混合的激光，當(dāng)激光束緩慢向左平移到距O點(diǎn)位置時(shí)發(fā)現(xiàn)半圓形曲面恰好只有單色光射出，射出光線與入射方向夾角為，不考慮反射。求：(1)該透明材料分別對(duì)兩種單色光的折射率；(2)在直徑MN的范圍內(nèi)垂直射入的光束中，求從弧面射出的總寬度。【答案】(1)；2(2)【詳解】（1）紅光的折射率小于綠光的折射率，所以半圓形曲面恰好只有單色光射出時(shí)紅光發(fā)生折射，綠光恰好發(fā)生全反射，如圖所示，由幾何知識(shí)可知曲面上光束的入射角滿足解得折射角為。根據(jù)折射率的定義式，可得，（2）當(dāng)紅光恰好發(fā)生全反射時(shí)有所以總長(zhǎng)度為17．如圖甲所示為一個(gè)足球玻璃球，其簡(jiǎn)化模型的正視圖如圖乙所示，為球心，是沿水平方向的直徑。一束激光從點(diǎn)平行于射入玻璃球內(nèi)部，從右側(cè)點(diǎn)射出。已知真空中的光速，該玻璃球?qū)す獾恼凵渎蕿?，玻璃球的半徑為。且球?nèi)的足球是不透光體，不考慮反射光的情況下，求：(1)該激光在玻璃球內(nèi)的光速；(2)玻璃球內(nèi)足球的最大直徑?！敬鸢浮?1)(2)【詳解】（1）根據(jù)可得（2）根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合光路可逆，作出光路圖如圖所示根據(jù)幾何關(guān)系有解得，光束從C點(diǎn)射入時(shí)恰能從右側(cè)射出且射出點(diǎn)為B，表明內(nèi)部光線與足球相切，根據(jù)幾何關(guān)系可知，足球的直徑為18．某種透明材料制成的空心球體外徑是內(nèi)徑R的兩倍，其過(guò)球心的某截面如圖所示，一束單色光（在紙面內(nèi)）從外球面上A點(diǎn)射入，當(dāng)入射角為45°時(shí)，光束經(jīng)外球面折射后恰好與內(nèi)球面相切于B點(diǎn)。已知真空中的光速為c，求：(1)該光束在透明材料中的傳播速度：(2)現(xiàn)改變光束在A點(diǎn)的入射角，使其折射后能在內(nèi)球面上發(fā)生全反射，求入射角i的范圍?！敬鸢浮?1)(2)【詳解】（1）由幾何關(guān)系可知，光線在A點(diǎn)的折射角為折射率該光束在透明材料中的傳播速度（2）如圖，設(shè)在A點(diǎn)的入射角為i'時(shí)，光束經(jīng)折射后到達(dá)內(nèi)球面上C點(diǎn)，并在C點(diǎn)恰發(fā)生全反射，則光束在內(nèi)球面上的入射角∠ACD恰等于臨界角C，由代入數(shù)據(jù)得∠ACD=C=45°由正弦定理有因AO=2R，CO=R解得由折射定律有解得sini'=0.5即此時(shí)的入射角i'=30°即若使其折射后能在內(nèi)球面上發(fā)生全反射，則需滿足。19．如圖所示，ABCDE是一透明材料做成的光學(xué)元件的截面圖，AB為半徑為a的四分之一圓弧，O為弧AB的圓心，OCDE為邊長(zhǎng)為的正方形。O點(diǎn)放置一點(diǎn)光源，CD段上有光射出的長(zhǎng)度為a，只考慮首次射向CD和DE的光線，已知光在真空中的傳播速度為c，求：(1)該光學(xué)元件的折射率；(2)從CD邊射出的光線，在此元件中傳播的最長(zhǎng)時(shí)間t；(3)從AB段上有部分區(qū)域射入元件的光線不能直接射出，求AB段上該部分的弧長(zhǎng)為多少？【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）如圖所示由于段上由光射出的長(zhǎng)度為，設(shè)照射到點(diǎn)的光恰好發(fā)生全反射，有根據(jù)幾何關(guān)系可得解得折射率（2）光在光學(xué)元件中的傳播速度為根據(jù)幾何關(guān)系可知在此元件中傳播的最長(zhǎng)時(shí)間為解得（3）根據(jù)題意可知，從邊射出的光，對(duì)應(yīng)的圓心角為同理可知，從邊射出的光，對(duì)應(yīng)的圓心角也為，則光線在段部分區(qū)域不能直接射出，弧長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的圓心角為，則弧長(zhǎng)為。20．如圖所示，為半圓柱體玻璃的橫截面，為直徑，為圓心，半徑為，一束光沿方向從真空射入玻璃，光線會(huì)達(dá)到玻璃磚邊