中考數(shù)學二輪復(fù)習題型專練（浙江專用）專題09 中點模型（解析版）

題型九中點模型【要點提煉】在中考中考察幾何時，不論簡單的題目還是較難的題目，都會經(jīng)常見到中點的身影，當題目中提到中點時，往往可以用以下模型來解決問題，將這些模型牢記于心，就可以打開思路【倍長中線或倍長類中線】圖1圖2①倍長中線：如圖1，在▲ABC中，AD是BC邊上的中線，此時我們可以將AD延長一倍，即使DE=AD，并連接CE，即可證明出▲ABD≌▲CDE②倍長類中線（即過中點的其他線段）：如圖2，在▲ABC中，D是BC邊上的中點，此時我們可以將ED延長一倍，即使DF=DE，并連接CF，即可證明出▲BED≌▲CDF【等腰三角形與中點】在題目的題干中同時出現(xiàn)“等腰”和“中點”字樣時，我們就可以做出如圖中AD一樣的中線作為輔助線，此時由于等腰三角形有三線合一的性質(zhì)，即可得出AD⊥BC，AD平分∠BAC的結(jié)論直角三角形與中點在題目的題干中同時出現(xiàn)“直角”和“中點”字樣時，我們就可以做出如圖中CD一樣的中線作為輔助線，此時由于直角三角形有斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，可得出的結(jié)論多個中點時，構(gòu)造中位線如圖，在四邊形ABCD中，M是AD的中點，N是BC的中點，此時在題目中提到了兩個中點，是多個中點的情況，我們就會聯(lián)想到中位線這個知識點，可是圖中沒有已知的三角形和中位線，那就需要構(gòu)造三角形和中位線作法：連接BD（構(gòu)造▲BCD和▲ABD，取BD的中點為G，連接GN即為▲BCD的中位線，連接MG即為▲ABD的中位線【專題訓練】一．選擇題（共5小題）1．（2020?呼倫貝爾）如圖，在△ABC中，BD，CE分別是邊AC，AB上的中線，BD⊥CE于點O，點M，N分別OB，OC的中點，若OB＝8，OC＝6，則四邊形DEMN的周長是（）A．14 B．20 C．22 D．28【答案】B【解答】解：∵BD和CE分別是△ABC的中線，∴DE=12BC，DE∥∵M和N分別是OB和OC的中點，OB＝8，OC＝6，∴MN=12BC，MN∥BC，OM=12OB＝4，∴四邊形MNDE為平行四邊形，∵BD⊥CE，∴平行四邊形MNDE為菱形，∴BC=O∴DE＝MN＝EM＝DN＝5，∴四邊形MNDE的周長為20，故選：B．2．（2020?南通）如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中點，直線l經(jīng)過點D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（）A．6 B．22 C．23 D．32【答案】A【解答】解：如圖，過點C作CK⊥l于點K，過點A作AH⊥BC于點H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH=3在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AC=AH∵點D為BC中點，∴BD＝CD，在△BFD與△CKD中，∠BFD=∠CKD=90°∠BDF=∠CDK∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延長AE，過點C作CN⊥AE于點N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，當直線l⊥AC時，最大值為6，綜上所述，AE+BF的最大值為6．故選：A．3．（2020?寧波）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為中線，延長CB至點E，使BE＝BC，連接DE，F(xiàn)為DE中點，連接BF．若AC＝8，BC＝6，則BF的長為（）A．2 B．2.5 C．3 D．4【答案】B【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB=A又∵CD為中線，∴CD=12∵F為DE中點，BE＝BC即點B是EC的中點，∴BF是△CDE的中位線，則BF=12故選：B．4．（2019?銅仁市）如圖，D是△ABC內(nèi)一點，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點，則四邊形EFGH的周長為（）A．12 B．14 C．24 D．21【答案】A【解答】解：∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，∴BC=B∵E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點，∴EH＝FG=12BC，EF＝GH=∴四邊形EFGH的周長＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，又∵AD＝7，∴四邊形EFGH的周長＝7+5＝12．故選：A．5．（2019?黃石）如圖，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于點D，∠BCD和∠BDC的角平分線相交于點E，F(xiàn)為邊AC的中點，CD＝CF，則∠ACD+∠CED＝（）A．125° B．145° C．175° D．190°【答案】C【解答】解：∵CD⊥AB，F(xiàn)為邊AC的中點，∴DF=12AC＝又∵CD＝CF，∴CD＝DF＝CF，∴△CDF是等邊三角形，∴∠ACD＝60°，∵∠B＝50°，∴∠BCD+∠BDC＝130°，∵∠BCD和∠BDC的角平分線相交于點E，∴∠DCE+∠CDE＝65°，∴∠CED＝115°，∴∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°，故選：C．二．解答題（共6小題）6．（2020?天水）性質(zhì)探究如圖（1），在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，則底邊AB與腰AC的長度之比為3：1．理解運用（1）若頂角為120°的等腰三角形的周長為4+23，則它的面積為3；（2）如圖（2），在四邊形EFGH中，EF＝EG＝EH，在邊FG，GH上分別取中點M，N，連接MN．若∠FGH＝120°，EF＝20，求線段MN的長．類比拓展頂角為2α的等腰三角形的底邊與一腰的長度之比為2sinα：1．（用含α的式子表示）【解析】解：性質(zhì)探究：如圖1中，過點C作CD⊥AB于D．∵CA＝CB，∠ACB＝120°，CD⊥AB，∴∠A＝∠B＝30°，AD＝BD，∴AB＝2AD＝2AC?cos30°=3AC∴AB：AC=3故答案為：3：1．理解運用：（1）設(shè)CA＝CB＝m，則AB=3m由題意2m+3m＝4+23∴m＝2，∴AC＝CB＝2，AB＝23，∴AD＝DB=3，CD＝AC∴S△ABC=12?AB?CD故答案為：3．（2）如圖2中，連接FH．∵∠FGH＝120°，EF＝EG＝EH，∴∠EFG＝∠EGF，∠EHG＝∠EGH，∴∠EFG+∠EHG＝∠EGF+∠EGH＝∠FGH＝120°，∵∠FEH+∠EFG+∠EHG+∠FGH＝360°，∴∠FEH＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∵EF＝EH，∴△EFH是頂角為120°的等腰三角形，∴FH=3EF＝203∵FM＝MG．GN＝NH，∴MN=12FH＝10類比拓展：如圖1中，過點C作CD⊥AB于D．∵CA＝CB，∠ACB＝2α，CD⊥AB，∴∠A＝∠B，AD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝α∴AB＝2AD＝2AC?sinα∴AB：AC＝2sinα：1．故答案為：2sinα：1．7．（2020?泰安）若△ABC和△AED均為等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°．（1）如圖（1），點B是DE的中點，判定四邊形BEAC的形狀，并說明理由；（2）如圖（2），若點G是EC的中點，連接GB并延長至點F，使CF＝CD．求證：①EB＝DC，②∠EBG＝∠BFC．【解析】解：（1）四邊形BEAC是平行四邊形，理由如下：∵△AED為等腰三角形，∠EAD＝90°，B是DE的中點，∴∠E＝∠BAE＝45°，∠ABE＝90°，∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠BAE＝45°，∠ABE＝∠BAC＝90°，∴BC∥AE，AC∥BE，∴四邊形BEAC是平行四邊形；（2）①∵△ABC和△AED均為等腰三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，∴AE＝AD，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，∴△AEB≌△ADC（SAS），∴BE＝CD；②延長FG至點H，使GH＝FG，∵G是EC的中點，∴EG＝CG，又∵∠EGH＝∠FGC，∴△EGH≌△CGF（SAS），∴∠BFC＝∠H，CF＝EH，∵CF＝CD，CD＝BE，∴EH＝BE，∴∠H＝∠EBG，∴∠EBG＝∠BFC．8．（2020?泰安）小明將兩個直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，∠ACB與∠ECD恰好為對頂角，∠ABC＝∠CDE＝90°，連接BD，AB＝BD，點F是線段CE上一點．探究發(fā)現(xiàn)：（1）當點F為線段CE的中點時，連接DF（如圖（2）），小明經(jīng)過探究，得到結(jié)論：BD⊥DF．你認為此結(jié)論是否成立？是．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）將（1）中的條件與結(jié)論互換，即：BD⊥DF，則點F為線段CE的中點．請判斷此結(jié)論是否成立．若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．問題解決：（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的長．【解析】解：（1）如圖（2）中，∵∠EDC＝90°，EF＝CF，∴DF＝CF，∴∠FCD＝∠FDC，∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∵BA＝BD，∴∠A＝∠ADB，∵∠ACB＝∠FCD＝∠FDC，∴∠ADB+∠FDC＝90°，∴∠FDB＝90°，∴BD⊥DF．故答案為是．（2）結(jié)論成立：理由：∵BD⊥DF，ED⊥AD，∴∠BDC+∠CDF＝90°，∠EDF+∠CDF＝90°，∴∠BDC＝∠EDF，∵AB＝BD，∴∠A＝∠BDC，∴∠A＝∠EDF，∵∠A+∠ACB＝90°，∠E+∠ECD＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴∠A＝∠E，∴∠E＝∠EDF，∴EF＝FD，∵∠E+∠ECD＝90°，∠EDF+∠FDC＝90°，∴∠FCD＝∠FDC，∴FD＝FC，∴EF＝FC，∴點F是EC的中點．（3）如圖3中，取EC的中點G，連接GD．則GD⊥BD．∴DG=12EC∵BD＝AB＝6，在Rt△BDG中，BG=D∴CB=15在Rt△ABC中，AC=AB2∵∠ACB＝∠ECD，∠ABC＝∠EDC，∴△ABC∽△EDC，∴ACEC∴35∴CD=9∴AD＝AC+CD＝35+9．（2020?常德）已知D是Rt△ABC斜邊AB的中點，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，過點D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，連接CE并延長CE到P，使EP＝CE，連接BE，F(xiàn)P，BP，設(shè)BC與DE交于M，PB與EF交于N．（1）如圖1，當D，B，F(xiàn)共線時，求證：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如圖2，當D，B，F(xiàn)不共線時，連接BF，求證：∠BFD+∠EFP＝30°．【解析】證明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，同理∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，∴AC∥DE，∴∠DMB＝∠ACB＝90°，∵D是Rt△ABC斜邊AB的中點，AC∥DM，∴BMBC即M是BC的中點，∵EP＝CE，即E是PC的中點，∴ED∥BP，∴∠CBP＝∠DMB＝90°，∴△CBP是直角三角形，∴BE=12PC＝②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，∴BC∥EF，由①知：∠CBP＝90°，∴BP⊥EF，∵EB＝EP，∴EF是線段BP的垂直平分線，∴PF＝BF，∴∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如圖2，延長DE到Q，使EQ＝DE，連接CD，PQ，F(xiàn)Q，∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，∴△QEP≌△DEC（SAS），則PQ＝DC＝DB，∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分線，∴QF＝DF，∵CD＝AD，∴∠ACD＝∠A＝60°，∴∠ADC＝60°，∴∠CDB＝120°，∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，∴△FQP≌△FDB（SAS），∴∠QFP＝∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分線，∴∠QFE＝∠EFD＝30°，∴∠QFP+∠EFP＝30°，∴∠BFD+∠EFP＝30°．10．（2020?金華）如圖，在△ABC中，AB＝42，∠B＝45°，∠C＝60°．（1）求BC邊上的高線長．（2）點E為線段AB的中點，點F在邊AC上，連接EF，沿EF將△AEF折疊得到△PEF．①如圖2，當點P落在BC上時，求∠AEP的度數(shù)．②如圖3，連接AP，當PF⊥AC時，求AP的長．【解析】解：（1）如圖1中，過點A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，AD＝AB?sin45°＝42×（2）①如圖2中，∵△AEF≌△PEF，∴AE＝EP，∵AE＝EB，∴BE＝EP，∴∠EPB＝∠B＝45°，∴∠PEB＝90°，∴∠AEP＝180°﹣90°＝90°．②如圖3中，由（1）可知：AC=AD∵PF⊥AC，∴∠PFA＝90°，∵△AEF≌△PEF，∴∠AFE＝∠PFE＝45°，∴∠AFE＝∠B，∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴AFAB=AE∴AF＝23，在Rt△AFP，AF＝FP，∴AP=2AF＝26方法二：AE＝BE＝PE可得直角三角形ABP，由PF⊥AC，可得∠AFE＝45°，可得∠FAP＝45°，即∠PAB＝30°．AP＝ABcos30°＝26．11．（2019?沈陽）思維啟迪：（1）如圖1，A，B兩點分別位于一個池塘的兩端，小亮想用繩子測量A，B間的距離，但繩子不夠長，聰明的小亮想出一個辦法：先在地上取一個可以直接到達B點的點C，連接BC，取BC的中點P（點P可以直接到達A點），利用工具過點C作CD∥AB交AP的延長線于點D，此時測得CD＝200米，那么A，B間的距離是200米．思維探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，將△ADE繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，把點E在AC邊上時△ADE的位置作為起始位置（此時點B和點D位于AC的兩側(cè)），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，連接BD，點P是線段BD的中點，連接PC，PE．①如圖2，當△ADE在起始位置時，猜想：PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是PC＝PE，PC⊥PE．；②如圖3，當α＝90°時，點D落在AB邊上，請判斷PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；③當α＝150°時，若BC＝3，DE＝1，請直接寫出PC2的值．【解析】（1）解：∵CD∥AB，∴∠C＝∠B，在△ABP和△DCP中，BP=CP∠APB=∠DPC∴△ABP≌△DCP（AAS），∴DC＝AB．∵AB＝200米．∴CD＝200米，故答案為：200．（2）①PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別