2020-2021學年高中數(shù)學第四章圓與方程422圓與圓的位置關系課件新人教A版必修2

4.2.2圓與圓的位置關系

圓與圓的位置關系若兩圓的半徑分別為r1,r2,圓心距為d,則兩圓有以下位置關系:位置關系公共點個數(shù)圓心距與半徑的關系圖示兩圓外離0個d>r1+r2

兩圓內含d<|r1-r2|

位置關系公共點個數(shù)圓心距與半徑的關系圖示兩圓相交2個|r1-r2|<d<r1+r2兩圓內切1個d=|r1-r2|

兩圓外切d=r1+r2

【思考】(1)當兩圓外離、外切、相交、內切、內含時,公切線的條數(shù)分別是多少?提示:公切線的條數(shù)分別是4,3,2,1,0.(2)當兩圓相交、外切、內切時,連心線有什么性質?提示:當兩圓相交時,連心線垂直平分公共弦;當兩圓外切時,連心線垂直于過兩圓公共點的公切線;當兩圓內切時,連心線垂直于兩圓的公切線.【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)若兩圓有唯一的公共點,則兩圓外切. (

)(2)若兩圓沒有公切線,則兩圓內含. (

)(3)若兩圓的半徑分別為r1,r2,圓心距為d,當d<|r1-r2|時,兩圓相交. (

)提示:(1)×.兩圓也可能內切.(2)√.只有兩圓內含時,兩圓才沒有公切線.(3)×.當d<|r1-r2|時,兩圓內含.2.圓x2+y2=4與圓(x-3)2+(y-4)2=49的位置關系為

(

)A.內切B.相交C.外切D.相離【解析】選A.因為圓心距為=5,大圓半徑減小圓半徑為7-2=5,故兩圓內切.3.已知☉O1與☉O2的方程分別為(x-1)2+y2=1,(x+1)2+y2=r2(r>1),若兩圓相交,則r的取值范圍是________.

【解析】因為圓心距d=|O1O2|=2,且兩圓相交,所以r-1<d<r+1,即r-1<2<r+1,所以1<r<3.答案:1<r<3類型一兩圓位置關系的判定【典例】1.(2019·重慶高一檢測)已知圓C1:x2+y2+4x+2y-1=0,圓C2:x2+y2+2x+8y-8=0,則圓C1與圓C2的位置關系是 (

)A.相離B.相交C.外切D.內切2.(2019·青島高一檢測)圓A:x2+y2=1與圓B:x2-4x+y2-5=0的公共點個數(shù)為 (

)A.0 B.3 C.2 D.1【思維·引】1.將兩圓方程變?yōu)闃藴市问?利用圓心距與半徑的關系判斷.2.判斷兩圓的位置關系后得出交點個數(shù).【解析】1.選B.圓C1:x2+y2+4x+2y-1=0,即(x+2)2+(y+1)2=6,圓心為C1(-2,-1),半徑為.圓C2:x2+y2+2x+8y-8=0即(x+1)2+(y+4)2=25,圓心為C2(-1,-4),半徑為5.所以兩圓的圓心距d=因為故兩個圓相交.2.選D.因為圓B:(x-2)2+y2=1,其圓心為B(2,0),半徑為1,圓A的圓心為A(0,0),半徑為1,所以圓心距為|AB|=2,半徑之和為1+1=2,所以兩圓外切,只有一個公共點.【內化·悟】判斷兩圓位置關系需要計算哪些量?提示:準確得出兩圓的圓心、半徑,計算出圓心距.【類題·通】幾何法判斷圓與圓的位置關系的步驟(1)將兩圓的方程化為標準方程.(2)求兩圓的圓心坐標和半徑r1,r2.(3)求兩圓的圓心距d.(4)比較d與|r1-r2|,r1+r2的大小關系,從而判斷兩圓的位置關系.【習練·破】圓C1:(x+1)2+(y+2)2=4與圓C2:(x-1)2+(y+1)2=9有幾條公切線 (

)A.0 B.2 C.3 D.4【解析】選B.圓C1:(x+1)2+(y+2)2=4的圓心C1(-1,-2),半徑r1=2,圓C2:(x-1)2+(y+1)2=9的圓心C2(1,-1),半徑r2=3,|C1C2|=所以|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2,所以圓C1:(x+1)2+(y+2)2=4與圓C2:(x-1)2+(y+1)2=9相交,所以圓C1:(x+1)2+(y+2)2=4與圓C2:(x-1)2+(y+1)2=9有2條公切線.【加練·固】圓O1:(x-2)2+(y+3)2=4與圓O2:(x+1)2+(y-1)2=9的公切線有 (

)A.4條B.3條C.2條D.1條【解析】選B.兩圓O1:(x-2)2+(y+3)2=4與圓O2:(x+1)2+(y-1)2=9的圓心距為=5,兩個圓的半徑和為5,所以兩個圓外切,公切線有3條.類型二兩圓相切問題【典例】1.(2019·煙臺高一檢測)兩圓x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4ay+4a2-1=0恰有三條公切線,則a2=________.

2.已知圓O1:x2+y2-8x-8y+48=0,圓O2過點A(0,-4),若圓O2與圓O1相切于點B(2,2),求圓O2的方程. 【思維·引】1.由公切線條數(shù)確定兩圓的位置關系,從而求a的值.2.首先判斷兩圓是內切還是外切,其次根據(jù)相切的性質設出圓的方程,最后求出圓的方程.【解析】1.由題意知兩圓外切,兩圓的標準方程分別為(x+a)2+y2=4和x2+(y-2a)2=1,圓心分別為C(-a,0),D(0,2a),半徑分別為2和1,所以=2+1,解得a2=.答案:

2.圓O1的方程變?yōu)?16,所以圓心O1(4,4),因為圓O2與圓O1相切于點B(2,2),所以圓O2的圓心在直線y=x上,不妨設為(a,a),因為圓O2過點A(0,-4),所以圓O2與圓O1外切,因為圓O2過B(2,2),所以a2+(a+4)2=2(a-2)2,所以a=0,所以圓O2的方程為x2+y2=16.【內化·悟】處理兩圓相切問題的前提是什么?提示:判斷是外切還是內切,不能確定的分兩種情況討論.【類題·通】解決兩圓相切問題的兩個步驟(1)定性,即必須準確把握是內切還是外切,若只是告訴相切,則必須考慮分兩圓內切還是外切兩種情況討論.(2)轉化思想,即將兩圓相切的問題轉化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對值(內切時)或兩圓半徑之和(外切時).【習練·破】(2019·武邑高一檢測)若圓x2+y2=4與圓x2+y2-2ax+a2-1=0相內切,則a的值為 (

)A.1

B.-1

C.±1

D.0【解析】選C.由圓x2+y2-2ax+a2-1=0,得(x-a)2+y2=1,得圓心為(a,0),半徑為1,又由于兩圓內切,所以圓心距等于兩圓半徑之差,即=2-1,解得:a=±1.【加練·固】求和圓(x-2)2+(y+1)2=4相切于點(4,-1)且半徑為1的圓的方程.【解析】設所求圓的圓心為P(a,b),所以=1.①(1)若兩圓外切,則有=1+2=3.②由①②,解得a=5,b=-1.所以所求圓的方程為(x-5)2+(y+1)2=1.(2)若兩圓內切,則有=2-1=1.③由①③,解得a=3,b=-1.所以所求圓的方程為(x-3)2+(y+1)2=1.綜上,可知所求圓的方程為(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.類型三兩圓相交問題角度1與弦長相關的問題【典例】(2019·淮南高一檢測)已知圓x2+y2=4與圓x2+y2-2y-6=0,則兩圓的公共弦長為 (

)A.

B.2

C.2

D.1【思維·引】先求出公共弦所在的直線方程,再利用兩圓中的一個求弦長.【解析】選B.圓x2+y2=4與圓x2+y2-2y-6=0的方程相減可得公共弦所在的直線方程為y=-1,由于圓x2+y2=4的圓心到直線y=-1的距離為1,且圓x2+y2=4的半徑為2,故公共弦的長為2=2.【素養(yǎng)·探】在解決圓與圓相交時的弦長問題時,常常用到數(shù)學運算的核心素養(yǎng),通過求公共弦的方程、解決相關的弦長問題.將本例中的兩圓改為圓C1:x2+y2+4x-4y=0和C2:x2+y2+2x-8=0,求兩圓的公共弦MN的長.【解析】圓C1的圓心為(-2,2),半徑r1=2,圓C2的圓心為(-1,0),半徑r2=3,直線MN的方程為(x2+y2+4x-4y)-(x2+y2+2x-8)=0,變形可得:2x-4y+8=0,即x-2y+4=0,圓C2的圓心到直線x-2y+4=0的距離d=則|MN|=2×=2×角度2圓與圓位置關系的應用【典例】(2019·白銀高一檢測)已知圓C滿足:圓心在直線x+y=0上,且過圓C1:x2+y2-2x+10y-24=0與圓C2:x2+y2+2x+2y-8=0的交點A,B.(1)求弦AB所在的直線方程和圓C的方程.(2)過點M(-4,1)的直線l被圓C截得的弦長為6,求直線l的方程.【思維·引】(1)利用兩圓方程相減得弦的方程,再利用兩圓相交時的性質設圓的方程,求方程.(2)分斜率存在、不存在兩種情況,利用弦長、圓的半徑、圓心距的關系解題.【解析】(1)由題意:圓C1:x2+y2-2x+10y-24=0與圓C2:x2+y2+2x+2y-8=0的交點A(-4,0),B(0,2).兩式相減得:4x-8y+16=0,即x-2y+4=0,所以弦AB所在的直線方程為x-2y+4=0.圓心在直線x+y=0上,設圓心為(a,-a),那么它到兩交點A,B的距離相等,故有(a+4)2+a2=a2+(2+a)2,可得:a=-3,即圓心為(-3,3),r2=10,圓C的方程為(x+3)2+(y-3)2=10.(2)當k存在時,設直線l的方程為y-1=k(x+4),即kx-y+1+4k=0,直線l被圓C截得的弦長為6,即9=r2-d2,所以d2=1.即=1,可得:k=,所以直線l的方程為3x-4y+16=0;當k不存在時,直線l的方程為x+4=0.直線l被圓C截得的弦長為6,符合題意.故所求直線l的方程為x+4=0或3x-4y+16=0.【類題·通】公共弦長的求法(1)代數(shù)法:將兩圓的方程聯(lián)立,解出交點坐標,利用兩點間的距離公式求出弦長.(2)幾何法:求出公共弦所在直線的方程,利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形,根據(jù)勾股定理求解.【習練·破】(2019·杭州高一檢測)已知圓C1:x2+y2=1與圓C2:(x-4)2+(y-4)2=R2(R>0).(1)R為何值時,圓C1與圓C2外切.(2)在(1)的條件下,設切點為P,過P作直線l與圓C1相交于E點,若|PE|=,求直線l的方程.【解析】(1)由已知圓的方程可得:C1(0,0),C2(4,4),則|C1C2|=4=R+1,所以R=4-1.(2)因為C1(0,0),C2(4,4),所以P為直線C1C2與圓C1的交點在第一象限.聯(lián)立得P