高一數(shù)學(xué)必修4課件：平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義新人教A版培訓(xùn)教材

平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義高一數(shù)學(xué)必修4第二章一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s（如圖）θFS那么力F所做的功W為：從運(yùn)算結(jié)果知，功的大小等于兩向量的模與其夾角余弦的乘積.情景引入W=|F||S|cosθ其中θ是F與S的夾角數(shù)量積的定義規(guī)定：

．（1）兩向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，注意

已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為

，我們把數(shù)量

叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b

，即（2）a·b不能寫成a×b，‘·’不能省.物理上力所做的功實(shí)際上是將力正交分解，只有在位移方向上的力做功．θsF？對非零向量a與b，定義|b|cosθ叫向量b在a方向上的投影．|a|cosθ叫向量a在b方向上的投影．?dāng)?shù)量積的幾何意義，過點(diǎn)B作則的數(shù)量是|b|cosθ（不是向量）a·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上投影|b|cos

的乘積。

θ為銳角時(shí)，|b|cosθ＞0θ為鈍角時(shí)，|b|cosθ＜0θ為直角時(shí)，|b|cosθ=0數(shù)量積的幾何意義

OABbaB1B1OAB

baOAB

ba數(shù)量積的性質(zhì)：（3）≤設(shè)a，b都是非零向量，則：（1）a⊥b

a·b=0（4）|a·b||a|·|b|（2）當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b=

當(dāng)a與b反向時(shí)，．

|a|·|b|，a·b=－|a|·|b|判斷垂直的又一條件求模的方法求角特別地:回顧實(shí)數(shù)運(yùn)算中有關(guān)的運(yùn)算律，類比數(shù)量積得運(yùn)算律:

在實(shí)數(shù)中在向量運(yùn)算中交換律:ab=ba()結(jié)合律：(ab)c=a(bc)()()分配律：(a+b)c=ab+bc()消去律:ab=bc(b≠0)a=c

()√√√

×

×數(shù)量積的運(yùn)算律

則：(a+b)·c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=a·c+b·c.

ONMa+bbac

向量a、b、a+b在c上的射影的數(shù)量分別是OM、MN、ON,證明運(yùn)算律(3)數(shù)量積的運(yùn)算律已知向量a、b、c和實(shí)數(shù)，則:判斷正誤，并說理.1.已知向量a、b、c和實(shí)數(shù)1．若ab=0，則a、b中至少有一個(gè)為0．2.若b≠0，a·b＝c·b

，則a=c4.對任意向量a有3.(a·b)c=a(b·c)××××√鞏固練習(xí)2.已知△ABC中,AB=a,AC=b,當(dāng)a·b<0,a·b=0時(shí),△ABC各是什么三角形？當(dāng)a

·

b＜0時(shí)，cos<0，為鈍角三角形當(dāng)a

·

b=0時(shí)，為直角三角形鞏固練習(xí)3.在△ABC中a=5,b=8,C=60o,求典型例題例1.已知向量a，b,求證下列各式證明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b

＝a·a＋b·a－a·b－b·b＝a2－b2.向量的數(shù)量積運(yùn)算類似于多項(xiàng)式運(yùn)算解：a+kb與a-kb互相垂直