2024-2025學年山東省濟寧市嘉祥縣高三第四次考試數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年山東省濟寧市嘉祥縣高三第四次考試數(shù)學檢測試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則等于（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由復數(shù)的除法運算計算可得，再由模長公式即可得出結(jié)果.依題意可得，所以.故選：C2.已知圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為直角，半徑為4的扇形，則此圓錐內(nèi)切球的表面積為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由扇形弧長的計算，可得圓錐底面半徑，畫組合圖形的軸截面，利用三角形內(nèi)切圓以及勾股定理，最后利用球表面積公式，可得答案.由題意可知，圓錐的母線，底面周長，所以圓錐的底面半徑，根據(jù)題意可作圓錐與其內(nèi)切球的軸截面如下：根據(jù)圓錐和球的對稱性可知，球的截面為圓，也即為等腰的內(nèi)切圓，即，，，，在中，，由，，則，在中，，即，可得，解得，所以內(nèi)切球的表面積.故選：A3.已知向量滿足，且在上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（）A B. C. D.【正確答案】C【分析】先利用投影向量求出數(shù)量積，利用夾角公式可得答案.依題意，在上的投影向量為，則，于是，而，則，所以向量與向量的夾角為.故選：C4.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)gx在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)可能的取值為（）A. B.3 C. D.2【正確答案】C【分析】首先可得，然后當時，，然后建立不等式求解即可.因為將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，所以當時，因為函數(shù)gx在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，所以解得故選：C5.已知，則（）A.-3 B.-2 C.3 D.2【正確答案】A【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式和兩角差的余弦公式對題目所給條件進行化簡，再用兩角和的正切公式即可.因為,所以,所以,即,因為,所以所以.故選：A.6.，是直線上的兩點，若沿軸將坐標平面折成的二面角，則折疊后、兩點間的距離是（）A.6 B. C. D.【正確答案】A【分析】作軸于點，作軸于點，將用表示，再根據(jù)數(shù)量積的運算律結(jié)合向量的模的計算公式計算即可.因為，是直線上的兩點，所以，，如圖為折疊后的圖形，作軸于點，作軸于點，則異面直線，所成的角為，即、的夾角為，，，，，則，即折疊后、兩點間的距離為.故選：A.7.在三棱錐中，，，兩兩垂直，且.若為該三棱錐外接球上的一點，則的最大值為（）A.2 B.4 C. D.【正確答案】C【分析】首先將三棱錐放置在正方體中，并建立空間直角坐標系，利用轉(zhuǎn)化向量的方法求數(shù)量積，再代入坐標運算，即可求解.如圖，將三棱錐放置在正方體中，三棱錐的外接球就是正方體的外接球，球心為正方體對角線的交點，，A2,0,0，，，，，設三棱錐外接球的半徑為，，則，，，，，，，，，所以，當時，取得最大值.故選：C關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是三棱錐與外接球組合體的幾何關(guān)系，以正方體為橋梁，建立空間直角坐標系，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積問題.8.已知函數(shù)若關(guān)于的方程有且僅有兩個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用換元法設，則方程等價為，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)求出，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．令，則．①當時，若；若，由，得．所以由可得或．如圖所示，滿足的有無數(shù)個，方程只有一個解，不滿足題意；②當時，若，則；若，由，得．所以由可得，當時，由，可得，因為關(guān)于的方程有且僅有兩個實數(shù)根，則方程在]上有且僅有一個實數(shù)根，若且，故；若且，不滿足題意．綜上所述，實數(shù)的取值范圍是，故選：C．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.一個矩形的周長為，面積為S，則下列四組數(shù)對中，可作為數(shù)對的有（）A. B. C. D.【正確答案】AC【分析】利用基本不等式計算一一判定即可.不妨設矩形長寬分別為，則.對于A項，顯然成立，符合，對于C項，顯然成立，符合，即A、C正確；對于B項，顯然不成立，對于D項，顯然不成立，即B、D錯誤.故選:AC10.如圖，在長方體中，，點為線段上動點（包括端點），則下列結(jié)論正確的是（）A.當點為中點時，平面B.當點為中點時，直線與直線所成角的余弦值為C.當點在線段上運動時，三棱錐的體積是定值D.點到直線距離的最小值為【正確答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件建立空間直角坐標系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷A；利用空間向量求出向量夾角余弦判斷B；利用三棱錐體積公式判斷C；利用空間向量求出點到直線的距離最小值判斷D.在長方體中，以點為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，對于A，，，，，，即，而平面，因此平面，A正確；對于B，，，B錯誤；對于C，由選項A知，點到平面的距離為，而的面積，因此三棱錐的體積23是定值，C正確；對于D，，則點到直線的距離，當且僅當時取等號，D正確.故選：ACD11.已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)，其導函數(shù)為，且滿足，則（）A.B.C.D.【正確答案】BC【分析】對于AB，利用賦值法求得，,再根據(jù)中心對稱的定義判斷即可；對CD，利用賦值法后結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)進行相應的累加及等差數(shù)列公式法求和即可得．對于A，令，則有，即，令，則有，所以，所以函數(shù)不關(guān)于中心對稱，故A錯誤B正確；對于C，令，則有,即，則,，故C正確；對于D，令，則有,即，則，即，又，令,，則有，所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項為，公差為1，所以，即，則，故D錯誤．故選：BC．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線在處的切線恰好是曲線的切線，則實數(shù)______.【正確答案】【分析】求出在處的切線方程，設出的切點聯(lián)立方程組可解得.對于，易知，切線斜率為，切點為0,1；則曲線在處的切線為，顯然，設切點，由，解得.故213.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A為鈍角，．則的取值范圍是____________．【正確答案】【分析】由正弦定理得到，即，結(jié)合角的范圍可得，，令，化簡得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．由，根據(jù)正弦定理得：，由于，可知，即，因為為鈍角，則為銳角，即，則，則．．因為為銳角，所以，即，則，設，則，．因為，則，從而．故14.已知是各項均為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，其前n項和為，且成等比數(shù)列.則數(shù)列的通項公式為______；若定義在數(shù)列中，使為整數(shù)的叫做“調(diào)和數(shù)”，則在區(qū)間內(nèi)所有“調(diào)和數(shù)”之和為_________.【正確答案】①.②.1086【分析】空1，利用題意建立等式求解即可；空2，根據(jù)題意求出可能的的值，然后求和即可.因為成等比數(shù)列，所以，因為是各項均為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，設其公差為，所以，所以，所以.設，所以，令，且b為整數(shù)，又由，，所以b可以取1，2，3，4，5，6，此時分別為，所以區(qū)間內(nèi)所有“調(diào)和數(shù)”之和故；1086四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知為函數(shù)的極值點．（1）求的值；（2）設函數(shù)，若對，使得，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）直接根據(jù)極值點求出的值；（2）先由（1）求出的最小值，由題意可得是求的最小值，小于等于的最小值，對求導，判斷由最小值時的的范圍，再求出最小值與最小值的關(guān)系式，進而求出的范圍．【小問1詳解】，由，得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以為函數(shù)的極小值點，所以．【小問2詳解】由（1）知．函數(shù)的導函數(shù)①若，對，使得，即，符合題意．②若，取，對，有，不符合題意．③若，當時，在上單調(diào)遞減；當時，在1,+∞上單調(diào)遞增，所以，若對，使得，只需，即，解得．綜上所述，的取值范圍為．16.已知直線l過點，圓C：（C為圓心）．（1）若直線l與圓C相切，求直線l的方程．（2）若直線l與圓C交于M，N兩點，P為線段MN的中點，直線l與直線的交點為Q，判斷是否為定值？若是，求定值；若不是，請說明理由．【正確答案】（1）或．（2）為定值2．【分析】（1）考慮直線斜率不存在和存在兩種情況，設出直線方程，利用圓心到直線距離等于半徑得到方程，求出直線方程；（2）設直線l方程為，與直線聯(lián)立求出點坐標，根據(jù)垂徑定理得到直線CP與直線l垂直，表達出直線CP的方程，與直線l聯(lián)立得到點坐標，計算出.【小問1詳解】若直線l的斜率不存在，即直l的方程為，符合題意；若直線l的斜率存在，設直線l的方程為，即．因為直線l與圓C相切，所以，解得．故直線l的方程為或．【小問2詳解】因為直線l與圓C相交，所以直線l的斜率存在，設直線l的方程為．聯(lián)立，解得，即．因為P為線段MN的中點，所以直線CP與直線l垂直，故直線CP方程為，聯(lián)立，解得，即．則．故為定值2．17.某校為了提高教師身心健康號召教師利用空余時間參加陽光體育活動．現(xiàn)有4名男教師，2名女教師報名，本周隨機選取2人參加．（1）求在有女教師參加活動的條件下，恰有一名女教師參加活動的概率；（2）記參加活動的女教師人數(shù)為X，求X的分布列及期望；（3）若本次活動有慢跑、游泳、瑜伽三個可選項目，每名女教師至多從中選擇參加2項活動，且選擇參加1項或2項的可能性均為，每名男教師至少從中選擇參加2項活動，且選擇參加2項或3項的可能性也均為，每人每參加1項活動可獲得“體育明星”積分3分，選擇參加幾項活動彼此互不影響，記隨機選取的兩人得分之和為Y，求Y的期望．【正確答案】（1）（2）分布列及期望見解析.（3）【分析】（1）由條件概率的計算公式即可求解；（2）參加活動的女教師人數(shù)為，則服從超幾何分布，即可寫出的分布列及期望.（3）根據(jù)一名女教師和一名男教師參加活動獲得分數(shù)的期望，即可得，即可求得.【小問1詳解】設“有女教師參加活動”為事件，“恰有一名女教師參加活動”為事件，則，，所以.【小問2詳解】依題意知服從超幾何分布，且，，，所以的分布列為：012.【小問3詳解】設一名女教師參加活動可獲得分數(shù)為，一名男教師參加活動可獲得分數(shù)為，則的所有可能取值為3,6，的所有可能取值為6,9，，，，，有名女教師參加活動，則男教師有名參加活動，，所以.即兩個教師得分之和的期望為分.18.如圖，四棱錐中，平面，底面是邊長為2的菱形，，點E?F?G分別為線段CD??的中點.（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）設直線與平面的交點為，求長度.【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）先利用面面平行的判定定理得出平面，再利用面面平行的性質(zhì)定理即可得證（2）建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面法向量，利用向量夾角公式可求解；（3）設，得到，根據(jù)向量與共面，結(jié)合向量共面定理求出，得到坐標，再用兩點間距離公式結(jié)算即可.【小問1詳解】證明：取線段的中點，連接、，因為點為線段的中點，所以，又平面，平面，所以平面，因為中，點為線段的中點，點為線段的中點，所以，又平面，平面，所以平面，又，且平面，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．【小問2詳解】設平面與平面夾角為，連接和交于點，過點作直線垂直于平面，如圖，以為坐標原點，以向量為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，求得關(guān)鍵點坐標，設平面的法向量為，則，即，取，設平面的法向量為，則，即，取，則，即平面與平面夾角的余弦值為.【小問3詳解】設，則，故，依題意可得向量與共面，所以存在實數(shù)，，使得，即，解得，則.且.則運用兩點間的距離公式計算得到.19.“曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在19世紀由赫爾曼·閔可夫斯基提出來的．如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段是歐式空間中定義的兩點最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點最短距離用表示，又稱“曼哈頓距離”，即，因此“曼哈頓兩點間距離公式”：若，，則（1）①點，，求的值．②求圓心在原點，半徑為1的“曼哈頓單位圓”方程．（2）已知點，直線，求B點到直線的“曼哈頓距離”最小值；（3）設三維空間4個點為，，且，，．設其中所有兩點“曼哈頓距離”的平均值即，求最大值，并列舉最值成立時的一組坐標．【正確答案】（1）①7；②；（2）2；（3）2，，，，.【分析】（1）①②根據(jù)“曼哈頓距離”的定義求解即可；（2）設直線上任意一點坐標為，然后表示，分類討論求的最小值；（3）