清單07 相似（11個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+核心素養(yǎng)提升+中考聚焦）解析版

清單07相似（11個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+核心素養(yǎng)提升+中考聚焦）【知識(shí)導(dǎo)圖】【知識(shí)清單】知識(shí)點(diǎn)一、圖形的相似的概念形狀相同的圖形叫做相似圖形。1）兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到；2）全等的圖形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀相同，大小也相同；3）判斷兩個(gè)圖形是否相似，就是看兩個(gè)圖形是不是形狀相同，與其他因素?zé)o關(guān)?！纠?】（2022·遼寧鐵嶺·九年級(jí)期末）下列各組圖形中，一定相似的是（

）A．兩個(gè)正方形 B．兩個(gè)矩形 C．兩個(gè)菱形 D．兩個(gè)平行四邊形【答案】A【分析】根據(jù)相似圖形的概念逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、任意兩個(gè)正方形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比也相等，故一定相似，故此選項(xiàng)符合題意；B、任意兩個(gè)矩形對(duì)應(yīng)角相等，但對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，故不一定相似，此選項(xiàng)不符合題意，C、任意兩個(gè)菱形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，但對(duì)應(yīng)角不一定相等，故不一定相似，此選項(xiàng)不符合題意；D、任意兩個(gè)平行四邊形對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，對(duì)應(yīng)角也不一定相等，故不一定相似，此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似圖形的概念，掌握對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等的多邊形，叫做相似多邊形是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)二、成比例線段在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段。1）若四條線段、、、成比例，則記作或。注意：四條線段的位置不能隨意顛倒。2）四條線段、、、的單位應(yīng)一致（有時(shí)為了計(jì)算方便，、的單位一致，、的單位一致也可以）3）判斷四條線段是否成比例：①將四條線段按從小到大（或從大到小）的順序排列；②分別計(jì)算第一和第二、第三和第四線段的比；若相等則是成比例線段，否則就不是。4）比例的重要性質(zhì)：基本性質(zhì)：若，則；反之，也成立。和比性質(zhì)：若，則；更比性質(zhì)：若，則；反比性質(zhì)：若，則；等比性質(zhì)：若，則。5）拓展：eq\o\ac(○,1)比例式中，或中，、叫外項(xiàng)，、叫內(nèi)項(xiàng)，、叫前項(xiàng)，、叫后項(xiàng)，如果，那么叫做、的比例中項(xiàng)。eq\o\ac(○,2)把線段AB分成兩條線段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把線段AB黃金分割，C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)?！纠?】（2022·黑龍江·肇源縣第二中學(xué)九年級(jí)期末）下列四組長(zhǎng)度的線段中，是成比例線段的是（

）A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cmC．5cm，15cm，3cm，9cm D．8cm，4cm，1cm，3cm【答案】C【分析】根據(jù)成比例線段的定義，逐項(xiàng)分析判斷即可，成比例線段，如果兩條線段的比值與另兩條線段的比值相等，即，則為成比例線段．【詳解】A、∵，∴4cm，5cm，6cm，7cm不是成比例線段，故該選項(xiàng)不符合題意；B、∵，∴3cm，4cm，5cm，8cm不是成比例線段，故該選項(xiàng)不符合題意；C、∵，∴5cm，15cm，3cm，9cm是成比例線段，故該選項(xiàng)符合題意；D、∵，∴8cm，4cm，1cm，3cm不是成比例線段，故該選項(xiàng)不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了成比例線段的定義，理解成比例線段的定義是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)三、平行線分線段成比例平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩條直線相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例。【例3】（2022·河北保定師范附屬學(xué)校九年級(jí)期末）如圖，AB∥CD∥EF，若，BD＝5，則DF＝（）A．5 B．10 C．15 D．2.5【答案】B【分析】根據(jù)AB∥CD∥EF，可知，將DF的長(zhǎng)度代入即可．【詳解】解：∵AB∥CD∥EF，∴，∵BD＝5，∴，解得：DF=10，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值，能夠熟練求出相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值是解決本題的關(guān)鍵．【變式】（2022·黑龍江·肇源縣第二中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，是的中線，點(diǎn)在上，，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則：的值是（

）A．： B．： C．： D．：【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)D作與BF交于點(diǎn)G，于是FC=2DG，AF=3DG，∴AF:FC=3DG:2DG=3:2【詳解】過(guò)點(diǎn)D作與BF交于點(diǎn)G，如圖：是的中線即即故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟悉概念是解題關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)四、相似多邊形的性質(zhì)與判定（1）相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等。（2）相似比：相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比稱(chēng)為相似比。（3）判斷兩個(gè)多邊形相似，必須同時(shí)具備：（1）邊數(shù)相同；（2）對(duì)應(yīng)角相等；（3）對(duì)應(yīng)邊的比相等。【例4】（2022·四川宜賓·九年級(jí)期末）如圖，四邊形四邊形，，，，則∠D的度數(shù)為（

）A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】C【分析】利用相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等求得答案即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD∽四邊形，，∴．∵四邊形ABCD的內(nèi)角和為，，，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等．【變式】（2022·福建三明·九年級(jí)期末）兩個(gè)相似多邊形的周長(zhǎng)比是2∶3，其中較小多邊形的面積為12cm2，則較大多邊形的面積為_(kāi)____cm2【答案】27【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似多邊形面積的比等于相似比，即可求出較大多邊形的面積．【詳解】∵∴相似比為：∴∴∴大多邊型的面積為：27cm2故答案為：27．【點(diǎn)睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)．【變式2】（2022·陜西·西安輔輪中學(xué)九年級(jí)期末）寬與長(zhǎng)的比等于黃金比的矩形稱(chēng)為黃金矩形．古希臘很多矩形建筑中寬與長(zhǎng)的比都等于黃金比，如圖，矩形ABCD為黃金矩形，AB＜AD，以AB為邊在矩形ABCD內(nèi)部作正方形ABEF，若AD＝1，則DF＝________．【答案】【分析】先根據(jù)黃金矩形求出AB，再利用正方形的性質(zhì)求出AF，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵矩形ABCD為黃金矩形，AB＜AD，∴，∴，∵四邊形ABEF是正方形，∴AB=AF=，∴DF=AD-AF=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，相似多邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握黃金分割是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022·江西吉安·九年級(jí)期末）如圖，矩形OBCD的一個(gè)頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，兩邊分別在坐標(biāo)軸上，反比例函數(shù)的圖象與該矩形相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，以這兩點(diǎn)為頂點(diǎn)作矩形CEAF，我們約定這個(gè)矩形CEAF為反比例函數(shù)的“相伴矩形”．已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為，BE＝2．(1)求點(diǎn)F的坐標(biāo)；(2)求證：“相伴矩形”CEAF與原矩形OBCD相似．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題意知，，則有相同的縱坐標(biāo)，有相同的橫坐標(biāo)，有，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式為，代入中得，進(jìn)而可得點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求出的長(zhǎng)，計(jì)算可得，進(jìn)而結(jié)論得證．（1）解：由題意知，∴有相同的縱坐標(biāo)，有相同的橫坐標(biāo)∴將代入中，解得∴反比例函數(shù)解析式為將代入中得∴．（2）證明：由題意得，∵，∴∴“相伴矩形”CEAF與原矩形OBCD相似．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)與幾何綜合，相似多邊形．解題的關(guān)鍵在于求出反比例函數(shù)解析式．知識(shí)點(diǎn)五、相似三角形的相關(guān)概念1）、相似三角形的概念：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形是相似三角形。三角形相似具有傳遞性。2）、相似比的概念：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比是有順序的。3、相似三角形與全等三角形的關(guān)系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。若兩個(gè)相似三角形的相似比是1，則這兩個(gè)三角形是全等三角形，由此可見(jiàn)，全等三角形是相似三角形的一種特例?！纠?】下列說(shuō)法一定正確的是（ ）（A）有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且一角相等的兩個(gè)三角形相似（B）對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形不一定相似（C）有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似（D）一條直線截三角形兩邊所得的三角形與原三角形相似【答案】C【解析】根據(jù)判定定理2可知A錯(cuò)誤，C正確；根據(jù)判定定理1可知B錯(cuò)誤，根據(jù)相似三 角形預(yù)備定理可知只有直線與底邊平行時(shí)才相似．【總結(jié)】考查相似三角形的判定定理掌握情況和相關(guān)條件．知識(shí)點(diǎn)六、相似三角形的判定判定1：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似。判定2：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。判定3：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。判定4：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形都相似（此知識(shí)常用，用時(shí)需要證明）?！纠?】（2022·河南·測(cè)試·編輯教研五九年級(jí)期末）如圖，若，，與交于點(diǎn)，且，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖（見(jiàn)解析）所示，延長(zhǎng)到，使，連結(jié)，則，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)，可得，由于，則，于是可證明，然后利用相似三角形的相似比即可算出的值．【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)到，使，連結(jié)又∵，∴∴∵，∴又∵，∴∴即故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建與相似．【變式】如圖，四邊形中，，，E為的中點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，，連結(jié)DE交AC于點(diǎn)F，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由，得到，由直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得到，則，得到，又由即可得到結(jié)論；（2）由，得到，求得，得到，由，得到，進(jìn)一步即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵E為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴．（2）解：如圖，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)七、相似三角形的性質(zhì)1、對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；2、拓展：對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。3、相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方。（相似多邊形周長(zhǎng)比等于相似比，相似多邊形的面積比等于相似比的平方。）【例7】（2022·廣西百色·九年級(jí)期末）如下圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D在線段AC上，且△ABC∽△ADB，則下列結(jié)論一定正確的是(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式整理即可得解．【詳解】解：∵△ABC∽△ADB，∴，∴AB2=AC?AD．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母放在對(duì)應(yīng)位置上并準(zhǔn)確確定出對(duì)應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022·黑龍江·肇源縣第二中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，在矩形中，點(diǎn)、分別在邊、上，∽，，，，求的長(zhǎng)．【答案】【分析】由∽，，，，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得DF的長(zhǎng)，然后利用勾股定理，求EF的長(zhǎng)．【詳解】解：∵△ABE∽△DEF，∴，∵，，，∴，解得：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∴EF＝．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，在的方格紙中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是，是格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在方格頂點(diǎn)處）．(1)在圖1中畫(huà)格點(diǎn)，使與相似，相似比為．(2)在圖2中畫(huà)格點(diǎn)，使與相似，面積比為．（注：圖、圖在答題紙上．）【分析】（1）根據(jù)，相似比為，得，即的各邊長(zhǎng)擴(kuò)大兩倍；（2）根據(jù)，面積比為，則相似比為：，得，即的各邊長(zhǎng)擴(kuò)大倍．【詳解】（1）畫(huà)法不唯一，如下圖1：由題意得，，，，∵，相似比為，∴，∴的各邊長(zhǎng)擴(kuò)大兩倍，∴，，．（2）畫(huà)法不唯一，如圖2：由（1）得：，，，∴，面積比為，∴相似比為：，∴，∴的各邊長(zhǎng)擴(kuò)大倍，∴，，．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的面積比等于相似比的平方．知識(shí)點(diǎn)八、利用相似三角形測(cè)高1）、利用相似三角形的性質(zhì)測(cè)量河的寬度，計(jì)算不能直接測(cè)量的物體的高度或深度。2）、利用三角形的性質(zhì)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的核心是構(gòu)造相似三角形，在構(gòu)造的相似三角形中，被測(cè)物體必須是其中一邊，注意要把握其余的對(duì)應(yīng)邊易測(cè)這一原則?！纠?】如圖，直立在B處的標(biāo)桿AB=2.4m，直立在F處的觀測(cè)者從E處看到標(biāo)桿頂A、樹(shù)頂C在同一條直線上（點(diǎn)F，B，D也在同一條直線上）．已知BD=8m，F(xiàn)B=2.5m，人高EF=1.5m，求樹(shù)高CD．【答案與解析】解：過(guò)E作EH⊥CD交CD于H點(diǎn)，交AB于點(diǎn)G，如下圖所示：由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴四邊形EFDH為矩形，∴EF=GB=DH=1.5米，EG=FB=2.5米，GH=BD=8米，∴AG=AB﹣GB=2.4﹣1.5=0.9米，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴AG∥CH，∴△AEG∽△CEH，∴=，∴=，解得：CH=3.78米，∴DC=CH+DH=3.78+1.5=5.28米．答：故樹(shù)高DC為5.2米．【總結(jié)升華】本題考查了相似三角形在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用，關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形．知識(shí)點(diǎn)九、位似的概念及性質(zhì)1）兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，象這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心。這時(shí)的相似比又稱(chēng)為位似比。相似圖形與位似圖形的區(qū)別與聯(lián)系：1、區(qū)別：①位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，相似圖形沒(méi)有；②位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行，相似圖形沒(méi)有。2、聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。2）相似圖形與位似圖形的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別：①位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，相似圖形沒(méi)有；②位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行，相似圖形沒(méi)有。聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。3）、位似圖形是特殊的相似圖形，故具有相似圖形的一切性質(zhì)。4)、位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比等于相似比?！纠?】（2022·浙江·諸暨市浣紗初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，與位似，點(diǎn)O為位似中心．已知，則與的面積比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出相似比，然后根據(jù)面積比等于相似比的平方即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，∴與的相似比為，∴與的面積比為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換，相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的面積比等于相似比的平方是解本題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)十、利用位似變換作圖（放大或縮小圖形）利用位似變換可以把一個(gè)圖形放大或縮小，若位似比大于1，則通過(guò)位似變換把原圖形放大；若位似比小于1，則通過(guò)位似變換把原圖形縮小。畫(huà)位似圖形的一般步驟：①確定位似中心；②連線并延長(zhǎng)（分別連接位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)并延長(zhǎng)）；③根據(jù)相似比確定各線段的長(zhǎng)度；④順次連接上述個(gè)點(diǎn)，得到圖形。【例10】如圖，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，以原點(diǎn)O為位似中心，將放大為原來(lái)的2倍得.(1)在圖中第一象限內(nèi)畫(huà)出符合要求的（不要求寫(xiě)畫(huà)法）(2)計(jì)算的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)6【分析】（1）利用位似圖形的性質(zhì)，結(jié)合對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)同乘以2，進(jìn)而得出答案；（2）利用經(jīng)過(guò)點(diǎn)的矩形的面積減去3個(gè)直角三角形的面積即可求得的面積．【詳解】（1）解：三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，以原點(diǎn)O為位似中心，將放大為原來(lái)的2倍得，∴，順次連接，如圖所示：即為所求；（2）的面積為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了位似變換，利用位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．【變式1】（2022·山西朔州·九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與是位似圖形，則位似中心是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】找位似圖形的位似中心直接連接位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)并延長(zhǎng)，延長(zhǎng)線的交點(diǎn)即所找位似中心，寫(xiě)出坐標(biāo)即可．【詳解】作圖如下：延長(zhǎng)線的交點(diǎn)為(7,0)，位似中心即為(7,0)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了找位似圖形的位似中心，理解位似中心的定義做出圖像是做出本題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·山西晉中·九年級(jí)期末）如圖所示，小華在學(xué)習(xí)《圖形的位似》時(shí)，利用幾何畫(huà)板軟件，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出了△ABC的位似圖形△A1B1C1．(1)在圖中標(biāo)出△ABC與△A1B1C1的位似中心M點(diǎn)的位置，并寫(xiě)出M點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若以點(diǎn)O為位似中心，請(qǐng)你幫小華在圖中給定的網(wǎng)格內(nèi)畫(huà)出△A1B1C1的位似圖形△A2B2C2，且△A1B1C1與△A2B2C2的位似比為2：1（只畫(huà)一種類(lèi)型）．【答案】(1)圖見(jiàn)解析，(2)圖見(jiàn)解析【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，再利用待定系數(shù)法分別求出直線的解析式，然后聯(lián)立兩個(gè)解析式，解方程組即可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）畫(huà)在軸左側(cè)的情況，先根據(jù)位似比求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再描點(diǎn)、連接起來(lái)即可得．【詳解】（1）解：如圖，連接，交點(diǎn)即為所求，由圖可知，，，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，解得，則直線的解析式為，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，解得，則直線的解析式為，聯(lián)立，解得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．（2）解：畫(huà)在軸左側(cè)的情況，與的位似比為，且，，即，則畫(huà)出如圖所示：【點(diǎn)睛】本題考查了畫(huà)位似圖形、一次函數(shù)，熟練掌握位似圖形的畫(huà)法和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)十一、圖形的變換與坐標(biāo)1）、平移：（1）圖形沿x軸平移后，所得新圖形的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，當(dāng)向右平移n個(gè)單位時(shí)，橫坐標(biāo)應(yīng)相應(yīng)地加n個(gè)單位，反之則減；（2）圖形沿y軸平移后，所得新圖形的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)上加、下減。2）、軸對(duì)稱(chēng):（1）圖形沿x軸翻折后所得新圖形的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）圖形沿y軸翻折后所得新圖形的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。3）、以原點(diǎn)為位似中心的位似變換在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變化是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k（對(duì)應(yīng)點(diǎn)在位似中心同側(cè)）或者－k（對(duì)應(yīng)點(diǎn)在位似中心異側(cè)）。即：若設(shè)原圖形的某一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則其位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或。【例11】已知點(diǎn)，，以原點(diǎn)O為位似中心，把線段縮短為原來(lái)的，點(diǎn)D與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)．則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【詳解】解：以原點(diǎn)為位似中心，把線段縮短為原來(lái)的，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或．即或．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于或．【變式】已知：△ABC在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是一個(gè)單位長(zhǎng)度）．(1)畫(huà)出△ABC向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到的△A1B1C1，點(diǎn)C1的坐標(biāo)是；(2)以點(diǎn)B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫(huà)出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1；(3)四邊形AA2C2C的面積是平方單位．【答案】(1)（2，﹣2）(2)見(jiàn)解析(3)7.5【分析】（1）將△ABC向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到的△A1B1C1，如圖所示，找出所求點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）以點(diǎn)B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫(huà)出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1，找出所求點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）根據(jù)四邊形的面積等于兩個(gè)三角形面積之和解答即可．（1）如圖所示，畫(huà)出△ABC向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到的△A1B1C1，點(diǎn)C1的坐標(biāo)是（2，﹣2）；（2）如圖所示，以B為位似中心，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1，∴，根據(jù)畫(huà)出點(diǎn)，∴，根據(jù)畫(huà)出點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，連接、、，即可得到△A2B2C2；（3）四邊形AA2C2C的面積是＝故答案為：7.5【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用平移變換和位似變換進(jìn)行作圖，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握：平移圖形時(shí)，要先找到圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，分別把這幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)按照平移的方向和距離確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)后，再順次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可得到平移后的圖形．【核心素養(yǎng)提升】數(shù)學(xué)建模-構(gòu)建相似三角形模型解決實(shí)際問(wèn)題1．（2022·江西吉安·九年級(jí)期末）在同一時(shí)刻兩根木竿在太陽(yáng)光下的影子如圖所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墻上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的長(zhǎng)度為_(kāi)____．【答案】3.2m【分析】連接AC，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥PQ，根據(jù)同一時(shí)刻物體影子與實(shí)際高度成比例得，進(jìn)行計(jì)算即可得PF的長(zhǎng)度，即可得．【詳解】解：如圖所示，連接AC，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥PQ，∵PQ⊥QN，MN⊥QN，∴四邊形FQNM是矩形，∴FQ=MN=0.8，∵同一時(shí)刻物體影子與實(shí)際高度成比例，∴，∴，∴PF=2.4，∴PQ=PF+FQ=2.4+0.8=3.2（m），故答案為：3.2m．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用相似三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要能夠從實(shí)際問(wèn)題中抽象出簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，然后列出相關(guān)數(shù)據(jù)的比例關(guān)系式，從而求出結(jié)論．2.邏輯推理-利用相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行推理2．（2022·福建三明·九年級(jí)期末）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)F是BC邊上一點(diǎn)，連接AF，以AF為對(duì)角線作正方形AEFG，邊FG與AC相交于點(diǎn)H，連接DG．以下四個(gè)結(jié)論：①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG；②△ACF∽△ADG；③；④DG⊥AC．其中正確的是_____．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①②④【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，有對(duì)頂角相等，可證∠EAB＝∠BFE，由可證∠EAB＝∠DAG，可判斷結(jié)論①正確；由，，兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等即可得△ACF∽△ADG，可判斷結(jié)論②正確；由結(jié)論②可知，可得DG平分，由正方形可知是等腰直角三角形，可推出DG⊥AC，結(jié)論④正確；利用兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得△ACF∽△AFH，根據(jù)相似的性質(zhì)可得，則，又有，則結(jié)論③錯(cuò)誤．【詳解】解：設(shè)AB與EF相交于點(diǎn)O，如圖所示，∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，∴，．又∵，∴．∵，∴，∴，故結(jié)論①正確；∵AC、AF是正方形ABCD和正方形AEFG的對(duì)角線，∴，，∴．又∵，∴，即．∴△ACF∽△ADG．故結(jié)論②正確；由△ACF∽△ADG可知，∴DG平分．∵是等腰直角三角形，∴DG⊥AC．故結(jié)論④正確；∵，，∴△ACF∽△AFH，∴，∴．∵在等腰直角中，，∴，故結(jié)論③錯(cuò)誤，∴正確的結(jié)論是①②④，故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定定理證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．3.分類(lèi)討論思想3．（2022·河南南陽(yáng)·九年級(jí)期末）在中，，過(guò)點(diǎn)B作射線．動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)E作交射線于F，G是中點(diǎn)，連接．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，當(dāng)與相似且點(diǎn)D位于點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，t的值為_(kāi)____________．【答案】3或【分析】若與相似，分情況討論，則或，由相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：如下圖：，是的中點(diǎn)，．點(diǎn)D位于點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，即，，解得：，，若與相似，則或，或，或故答案為：3或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是利用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題．4.方程的思想4．（2022·廣西梧州·九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．點(diǎn)P從點(diǎn)O開(kāi)始沿OA向點(diǎn)A以1厘米/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BO向點(diǎn)O以1厘米/秒的速度移動(dòng)．當(dāng)一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止．如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t(秒)表示移動(dòng)的時(shí)間(0＜t＜6)，求當(dāng)POQ與AOB相似時(shí)t的值．【答案】4或2【分析】分△POQ∽△AOB和△POQ∽△BOA兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)分類(lèi)求解即可．【詳解】解:由題意，OP=t，OQ=6-t，有兩種情況：①若△POQ∽△AOB，則有

即，解得t＝4．②若△POQ∽△BOA，則有即，解得t＝2．∴當(dāng)t＝4或t＝2時(shí)，△POQ與△AOB相似．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)、解一元一次方程，熟練掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解答的關(guān)鍵．5．（2021秋?楊浦區(qū)期末）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，點(diǎn)D為射線AB上一動(dòng)點(diǎn)，且BD＜AD，點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)E，射線AE與射線CD交于點(diǎn)F．（1）當(dāng)點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，①求證：∠AFC＝45°；②延長(zhǎng)AF與邊CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，如果△EBG與△BDC相似，求線段BD的長(zhǎng)；（2）聯(lián)結(jié)CE、BE，如果S△ACE＝12，求S△ABE的值．【分析】（1）①如圖1，連接CE，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得：EC＝BC，∠ECF＝∠BCF，設(shè)∠ECF＝∠BCF＝α，則∠BCE＝2α，∠ACE＝90°﹣2α，再利用等腰三角形性質(zhì)即可證得結(jié)論；②如圖2，連接BE，CE，由△EBG∽△BDC，可得出∠G＝∠BCD＝22.5°，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB交BC于點(diǎn)H，則△BDH是等腰直角三角形，推出CH＝DH＝BD，再根據(jù)CH+BH＝BC＝5，建立方程求解即可；（2）分兩種情況：Ⅰ．當(dāng)點(diǎn)D在AB上時(shí)，如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AE于點(diǎn)M，連接BF，利用勾股定理、三角形面積建立方程求解即可；Ⅱ．當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖4，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AE于點(diǎn)M，連接BF，利用勾股定理、三角形面積建立方程求解即可．【解答】解：（1）①證明：如圖1，連接CE，∵點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)E，∴EC＝BC，∠ECF＝∠BCF，設(shè)∠ECF＝∠BCF＝α，則∠BCE＝2α，∴∠ACE＝90°﹣2α，∵AC＝BC，∴AC＝EC，∴∠AEC＝∠EAC＝[180°﹣（90°﹣2α）]＝45°+α，∵∠AEC＝∠AFC+∠ECF＝∠AFC+α，∴∠AFC＝45°；②如圖2，連接BE，CE，∵B、E關(guān)于直線CF對(duì)稱(chēng)，∴CF垂直平分BE，由（1）知：∠AFC＝45°，∴∠BEF＝45°，∵△EBG與△BDC相似，∠BEG＝∠DBC＝45°，∵∠EBG與∠BDC均為鈍角，∴△EBG∽△BDC，∴∠G＝∠BCD＝∠BAG，∵∠G+∠BAG＝∠ABC＝45°，∴∠G＝∠BCD＝22.5°，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB交BC于點(diǎn)H，則△BDH是等腰直角三角形，∴DH＝BD，BH＝BD，∠BHD＝45°，∵∠CDH＝∠BHD﹣∠BCD＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠BCD，∴CH＝DH＝BD，∵CH+BH＝BC＝5，∴BD+BD＝5，∴BD＝＝5﹣5，∴線段BD的長(zhǎng)為5﹣5；（2）Ⅰ．當(dāng)點(diǎn)D在AB上時(shí)，如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AE于點(diǎn)M，連接BF，∵AC＝EC＝BC＝5，∴AM＝EM＝AE，∴①AM2+CM2＝AC2＝25，∵S△ACE＝AE?CM＝12，∴②AM?CM＝12，①+②×2，得：（AM+CM）2＝49③，①﹣②×2，得：（AM﹣CM）2＝49③，∵CM＞AM＞0，∴AM＝3，CM＝4，∴AE＝6，由（1）知：∠AFC＝45°，BE⊥CF，∴∠BEF＝45°，∵∠AFC＝∠ABC＝45°，∴A、C、B、F四點(diǎn)共圓，∴∠AFB+∠ACB＝180°，∴∠AFB＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BF，設(shè)EF＝BF＝x，則AE＝x+6，在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，∴（x+6）2+x2＝50，解得：x＝1或x＝﹣7（舍去），∴BF＝1，∴S△ABE＝AE?BF＝×6×1＝3；Ⅱ．當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖4，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AE于點(diǎn)M，連接BF，由（1）知：∠AFC＝45°，CF垂直平分BE，∴∠BEF＝45°，BF＝EF，∴∠EBF＝∠BEF＝45°，∴∠BFE＝90°，∵AC＝EC＝BC＝5，∴AM＝EM＝AE，與Ⅰ同理可得：AM＝EM＝4，CM＝3，AE＝8，設(shè)BF＝EF＝y(tǒng)，則AF＝8﹣y，在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，∴（8﹣y）2+y2＝50，解得：y＝1或y＝7（舍去），∴BF＝1，∴S△ABE＝AE?BF＝×8×1＝4；綜上，S△ABE的值為3或4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形面積，等腰直角三角形性質(zhì)和判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)變換的性質(zhì)，勾股定理等，解題關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用分類(lèi)討論思想和方程思想解決問(wèn)題．【中考熱點(diǎn)聚焦】熱點(diǎn)1.相似三角形的性質(zhì)1．（2023?重慶）若兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)的比為1：4，則這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，求解即可．【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)的比為1：4，∴這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比為1：4，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023?懷化）在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB為等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．把△A0B按如圖所示的方式放置，并將△AOB進(jìn)行變換：第一次變換將△AOB繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，同時(shí)邊長(zhǎng)擴(kuò)大為△AOB邊長(zhǎng)的2倍，得到△A1OB1；第二次旋轉(zhuǎn)將△A1OB1繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，同時(shí)邊長(zhǎng)擴(kuò)大為△A1OB1邊長(zhǎng)的2倍，得到△A2OB2，…．依次類(lèi)推，得到△A2023OB2023，則△A2023OB2023的邊長(zhǎng)為22023，點(diǎn)A2023的坐標(biāo)為（22022，﹣22022）．【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，探究規(guī)律后，利用規(guī)律解決問(wèn)題．【解答】解：由題意OA＝1＝20，OA1＝2＝21，OA2＝4＝22，OA3＝8＝23，…OAn＝2n，∴△A2023OB2023的邊長(zhǎng)為22023，∵2023÷6＝337…1，∴A2023與A1都在第四象限，坐標(biāo)為（22022，﹣22022?）．故答案為：22023，（22022，﹣22022）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的性質(zhì)，規(guī)律型—點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．熱點(diǎn)2.相似三角形的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用3．（2023?雅安）如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，CF交BD于點(diǎn)E，CF的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，EF＝1，EC＝3，則GF的長(zhǎng)為（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，于是推出△DEF∽△BEC，△DFC∽△AFG，先求出DF與BC的比值，繼而得出DF與AF的比值，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出GF的長(zhǎng)．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，∵AD∥BC，∴△DEF∽△BEC，∴，∵EF＝1，EC＝3，∴，即，∴，∵AB∥CD，∴△DFC∽△AFG，∴，∵EF＝1，EC＝3，∴CF＝4，∴，∴GF＝8，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握這些圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023?哈爾濱）如圖，AC，BD相交于點(diǎn)O，AB∥DC，M是AB的中點(diǎn)，MN∥AC，交BD于點(diǎn)N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，則MN的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】由AB∥DC易得△CDO∽△ABO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得＝，于是AC＝OA+OC＝OA+OA＝12，求出OA＝8，易得MN為△AOB的中位線，則MN＝OA．【解答】解：∵AB∥DC，∴△CDO∽△ABO，∴，∵DO：OB＝1：2，∴＝，∴OC＝OA，∵AC＝OA+OC＝12，∴OA+OA＝12，∴OA＝8，∵M(jìn)N∥AC，M是AB的中點(diǎn)，∴MN為△AOB的中位線，∴MN＝OA＝＝4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理，熟記“8”字模型相似三角形，以及三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．5．（2023?東營(yíng)）如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，則AD的長(zhǎng)為（）A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2【分析】先證∠CAD＝∠BDE，再根據(jù)∠B＝∠C＝60°，得出△ADC∽△DEB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出AD的長(zhǎng)．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，∴∠CAD+∠ADC＝120°，∵∠ADE＝60°．∴∠BDE+∠ADC＝120°，∴∠CAD＝∠BDE，∴△ADC∽△DEB，∴，∵BD＝4DC，∴設(shè)DC＝x，則BD＝4x，∴BC＝AC＝5x，∴，∴AD＝3，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，掌握有兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵．6．（2023?東營(yíng)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，連接DF，分別交AE，AC于點(diǎn)G，M．P是線段AG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥AC，垂足為N，連接PM．有下列四個(gè)結(jié)論：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值為3；③CF2＝GE?AE；④S△ADM＝6．其中正確的是（）A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③【分析】①先根據(jù)正方形的性質(zhì)證得△ADE和△DCF全等，再利用ASA證得△AGM和△AGD全等，即可得出AE垂直平分DM；②連接BD與AC交于點(diǎn)O，交AG于點(diǎn)H，連接HM，根據(jù)題意當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)H重合時(shí)，PM+PN的值最小，即PM+PN的最小值是DO的長(zhǎng)，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出BD的長(zhǎng)，從而得出，即PM+PN的最小值；③先證△DGE∽△ADE，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及CF＝DE，即可判斷；④先求出AM的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．【解答】解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，∵BF＝CE，∴BC﹣BF＝DC﹣CE，即CF＝DE，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADG＝90°，∴∠DAE+∠ADG＝90°，∴∠AGD＝90°，∴∠AGM＝90°，∴∠AGM＝∠AGD，∵AE平分∠CAD，∴∠MAG＝∠DAG，又AG為公共邊，∴△AGM≌△AGD（ASA），∴GM＝GD，又∵∠AGM＝∠AGD＝90°，∴AE垂直平分DM，故①正確；②如圖，連接BD與AC交于點(diǎn)O，交AG于點(diǎn)H，連接HM，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，即DO⊥AM，∵AE垂直平分DM，∴HM＝HD，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)H重合時(shí)，PM+PN的值最小，此時(shí)PM+PN＝HM+HO＝HD+HO＝DO，即PM+PN的最小值是DO的長(zhǎng)，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∴AC＝BD＝，∴，即PM+PN的最小值為，故②錯(cuò)誤；③∵AE垂直平分DM，∴∠DGE＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠DGE＝∠ADE，又∵∠DEG＝∠AED，∴△DGE∽△ADE，∴，即DE2＝GE?AE，由①知CF＝DE，∴CF2＝GE?AE，故③正確；④∵AE垂直平分DM，∴AM＝AD＝4，又，∴，故④錯(cuò)誤；綜上，正確的是：①③，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，最短路徑問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．7．（2023?恩施州）如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AC，AB于點(diǎn)D，E，EF∥AC交BC于點(diǎn)F，，BF＝8，則DE的長(zhǎng)為（）A． B． C．2 D．3【分析】由DE∥BC，EF∥AC，得四邊形EFCD是平行四邊形，DE＝CF，設(shè)DE＝CF＝x，由△AED∽△ABC，＝可得＝，即可解得答案．【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AC，∴四邊形EFCD是平行四邊形，∴DE＝CF，設(shè)DE＝CF＝x，∵BF＝8，∴BC＝BF+CF＝8+x，∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，∴＝，即＝，解得x＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，列出方程解決問(wèn)題．8．（2023?內(nèi)江）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E為邊AB的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F、G在邊BC上，AC∥DG∥EF，點(diǎn)H為AF與DG的交點(diǎn)．若AC＝12，則DH的長(zhǎng)為（）A．1 B． C．2 D．3【分析】首先根據(jù)點(diǎn)D、E為邊AB的三等分點(diǎn)得AB＝3BE，AE＝2AD，再根據(jù)EF∥AC得△BEF和△BAC相似，從而可求出EF＝4，然后根據(jù)DG∥EF得△ADH和△AEF相似，進(jìn)而可求出DH的長(zhǎng)．【解答】解：∵點(diǎn)D、E為邊AB的三等分點(diǎn)，∴AD＝DE＝EB，∴AB＝3BE，AE＝2AD，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴EF：AC＝BE：AB，∵AC＝12，AB＝3BE，∴EF：12＝BE：3BE，∴EF＝4，∵DG∥EF，∴△ADH∽△AEF，∴DH：EF＝AD：AE，∵EF＝4，AE＝2AD，∴DH：4＝AD：2AD，∴DH＝2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是理解平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所截得的三角形與原三角形相似，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．9．（2023?邵陽(yáng)）如圖，CA⊥AD，ED⊥AD，點(diǎn)B是線段AD上的一點(diǎn)，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4．（1）證明：△ABC∽△DEB．（2）求線段BD的長(zhǎng)．【分析】（1）利用同角的余角相等得∠C＝∠DBE，可證明結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．【解答】（1）證明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，∴∠C+∠CBA＝90°，∠CBA+∠DBE＝90°，∴∠C＝∠DBE，∴△ABC∽△DEB；（2）解：∵△ABC∽△DEB，∴＝，∴＝，∴BD＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，利用同角的余角相等得∠C＝∠DBE是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．10．（2023?云南）如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上異于B、C的點(diǎn)．⊙O外的點(diǎn)E在射線CB上，直線EA與CD垂直，垂足為D，且DA?AC＝DC?AB．設(shè)△ABE的面積為S1，△ACD的面積為S2．（1）判斷直線EA與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若BC＝BE，S2＝mS1，求常數(shù)m的值．【分析】（1）通過(guò)證明△ABC∽△DAC，可得∠ACB＝∠ACD，可證OA⊥DE，即可求解；（2）設(shè)BO＝OC＝OA＝a，則BC＝2a，由相似三角形的性質(zhì)可求CD的長(zhǎng)，即可求解．【解答】解：（1）AE與⊙O相切，理由如下：如圖，連接OA，∵DA?AC＝DC?AB，∴，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°＝∠ADC，∴△ABC∽△DAC，∴∠ACB＝∠ACD，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACB＝∠ACD，∴OA∥CD，∴∠OAE＝∠CDE＝90°，∴OA⊥DE，又∵OA為半徑，∴AE與⊙O相切；（2）如圖，∵OA∥CD，∴△AOE∽△DCE，∴，設(shè)BO＝OC＝OA＝a，則BC＝2a，∵BC＝BE＝2a，∴S△ABE＝S△ABC，EO＝3a，EC＝4a，∴，∴CD＝a，∵△ABC∽△DAC，∴，∴AC2＝BC?CD＝a2，∵△ABC∽△DAC，∴＝（）2＝，∴S2＝S1，∴m＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關(guān)知識(shí)，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．11．（2023?蘇州）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，AC＝，BC＝2，點(diǎn)F在AB上，連接CF并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，作BE⊥CD，垂足為E．（1）求證：△DBE∽△ABC；（2）若AF＝2，求ED的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得∠BDE＝∠BAC，進(jìn)而可以證明結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為G，證明△DBE∽△ABC，得＝，代入值即可解決問(wèn)題．【解答】（1）證明：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∵BE⊥CD，∴∠BED＝90°，∵所對(duì)的圓周角為∠BDE和∠BAC，∴∠BDE＝∠BAC，∴△DBE∽△ABC；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為G，∵∠ACB＝90°，AC＝，BC＝2，∴AB＝＝5，∵CG⊥AB，∴AG＝ACcosA＝×＝1，∵AF＝2，∴FG＝AG＝1，∴AC＝FC，∴∠CAF＝∠CFA＝∠BFD＝∠BDF，∴BD＝BF＝AB﹣AF＝5﹣2＝3，∵△DBE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴ED＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解決本題的關(guān)鍵是得到△DBE∽△ABC．熱點(diǎn)3.應(yīng)用相似三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題12．（2023?南充）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為測(cè)量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為1.6m，同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，則旗桿高度為（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m【分析】根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)，△ABC∽△EDC，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可．【解答】解：如圖：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△EDC，∴，即，∴DE＝8（m），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．應(yīng)用鏡面反射的基本性質(zhì)，得出三角形相似，再運(yùn)用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可解答．13．（2023?鎮(zhèn)江）如圖，用一個(gè)卡鉗（AD＝BC，＝＝）測(cè)量某個(gè)零件的內(nèi)孔直徑AB，量得CD長(zhǎng)度為6cm，則AB等于18cm．【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可以求得AB的長(zhǎng)．【解答】解：∵＝＝，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD＝3，∵CD＝6cm，∴AB＝6×3＝18（cm），故答案為：18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的應(yīng)用，求出AB的值是解答本題的關(guān)鍵．14．（2023?濰坊）在《數(shù)書(shū)九章》（宋?秦九韶）中記載了一個(gè)測(cè)量塔高的問(wèn)題：如圖所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿頂端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A、C、E在一條水平直線上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人從點(diǎn)F遠(yuǎn)眺塔頂B，視線恰好經(jīng)過(guò)竹竿的頂端D，可求出塔的高度．根據(jù)以上信息，塔的高度為18.2米．【分析】過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CD，垂足為G，延長(zhǎng)FG交AB于點(diǎn)H，根據(jù)題意可得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，從而可得∠DGF＝∠BHF＝90°，DG＝5.6米，然后證明A字模型相似三角形△FDG∽△FBH，從而利用相似三角形的性質(zhì)求出BH的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CD，垂足為G，延長(zhǎng)FG交AB于點(diǎn)H，由題意得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，∴∠DGF＝∠BHF＝90°，∵CD＝7米，∴DG＝CD﹣CG＝7﹣1.4＝5.6（米），∵∠DFG＝∠BFH，∴△FDG∽△FBH，∴＝，∴＝，∴BH＝16.8，∴AB＝BH+AH＝16.8+1.4＝18.2（米），∴塔的高度為18.2米，故答案為：18.2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．15．（2023?婁底）鮮艷的中華人民共和國(guó)國(guó)旗始終是當(dāng)代中華兒女永不褪色的信仰，國(guó)旗上的每顆星都是標(biāo)準(zhǔn)五角星，為了增強(qiáng)學(xué)生的國(guó)家榮譽(yù)感、民族自豪感等，數(shù)學(xué)老師組織學(xué)生對(duì)五角星進(jìn)行了較深入的研究，延長(zhǎng)正五邊形的各邊直到不相鄰的邊相交，得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)五角星，如圖，正五邊形ABCDE的邊BA、DE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，∠EAF的平分線交EF于點(diǎn)M．（1）求證：AE2＝EF?EM；（2）若AF＝1，求AE的長(zhǎng)；（3）求的值．【分析】（1）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得∠BAE＝∠AED＝108°，從而利用平角定義可得∠FAE＝∠AEF＝72°，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理可得∠F＝36°，然后利用角平分線的定義可得∠FAM＝∠MAE＝36°，從而可得∠F＝∠MAE，進(jìn)而可證△AEM∽△FEA，最后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）設(shè)AE＝x，利用（1）的結(jié)論可得：∠F＝∠FAM＝36°，從而可得FM＝AM，在利用（1）的結(jié)論可得：∠FAE＝∠AEF＝72°，從而可得FA＝FE＝1，然后利用三角形的外角性質(zhì)可得∠AME＝∠AEF＝72°，從而可得AM＝AE，進(jìn)而可得AM＝AE＝FM＝x，再利用線段的和差關(guān)系可得ME＝1﹣x，最后利用（1）的結(jié)論可得：AE2＝EF?EM，從而可得x2＝1?（1﹣x），進(jìn)行計(jì)算即可解答；（3）連接BE，CE，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得AB＝AE＝DE＝CD＝BC，∠BAE＝∠AED＝∠EDC＝∠ABC＝∠BCD＝108°，從而可得△ABE≌△DCE，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABE＝∠AEB＝36°，∠DEC＝∠DCE＝36°，從而可得∠EBC＝∠ECB＝72°，然后利用（1）的結(jié)論可得：∠FAE＝∠FEA＝72°，從而可證利用ASA可證△FAE≌△EBC，再利用（2）的結(jié)論可得：＝，從而可得＝，進(jìn)而可得＝，最后設(shè)△ABE的面積為（﹣1）k，則△AEF的面積為2k，從而可得△ABE的面積＝△DEC的面積＝（﹣1）k，△AEF的面積＝△BCE的面積＝2k，進(jìn)而可求出五邊形ABCDE的面積＝2k，再進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】（1）證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠BAE＝∠AED＝108°，∴∠FAE＝180°﹣∠BAE＝72°，∠AEF＝180°﹣∠AED＝72°，∴∠F＝180°﹣∠FAE﹣∠AEF＝36°，∵AM平分∠FAE，∴∠FAM＝∠MAE＝∠FAE＝36°，∴∠F＝∠MAE，∵∠AEM＝∠AEF，∴△AEM∽△FEA，∴＝，∴AE2＝EF?EM；（2）解：設(shè)AE＝x，由（1）可得：∠F＝∠FAM＝36°，∴FM＝AM，由（1）可得：∠FAE＝∠AEF＝72°，∴FA＝FE＝1，∵∠AME＝∠F+∠FAM＝72°，∴∠AME＝∠AEF＝72°，∴AM＝AE，∴AM＝AE＝FM＝x，∴ME＝EF﹣FM＝1﹣x，由（1）可得：AE2＝EF?EM，∴x2＝1?（1﹣x），解得：x＝或x＝（舍去），∴AE＝，∴AE的長(zhǎng)為；（3）連接BE，CE，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴AB＝AE＝DE＝CD＝BC，∠BAE＝∠AED＝∠EDC＝∠ABC＝∠BCD＝108°，∴△ABE≌△DCE（SAS），∵AB＝AE，ED＝DC，∠BAE＝∠CDE＝108°，∴∠ABE＝∠AE