2023-2024學年上海師大附中高二（下）期中數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年上海師大附中高二（下）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共4小題，共12分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下表是“膜法世家”形象代言人選舉得票情況統(tǒng)計，其中周柯宇的票數(shù)被污損了無法看清，那么應該當選的人是(

)姓名張元英林正英米卡周柯宇林墨合計票數(shù)250200380■3201550A.米卡 B.周柯宇 C.無法確定 D.合計2.高考數(shù)學試題中，有12道選擇題，每道選擇題有4個選項，其中只有1個選項是正確的，則隨機選擇其中一個選項，正確的概率是14，某家長說：“要是都不會做，每題都隨機選擇其中1個選項，則一定有3道題答對.”這句話(

)A.正確 B.錯誤 C.不一定 D.無法解釋3.如圖，在下列各正方體中，l為正方體的一條體對角線，M、N分別為所在棱的中點，則滿足MN⊥l的是(

)A. B.

C. D.4.已知A，B為同一次試驗中的兩個隨機事件，且P(A)>0，P(B)>0，命題甲：若P(B|A)+P(B?)=1，則事件A與B相互獨立；命題乙：“A與B相互獨立”是“P(AA.甲乙都是真命題 B.甲是真命題，乙是假命題

C.甲是假命題，乙是真命題 D.甲乙都是假命題二、填空題：本題共12小題，共60分。5.某讀書會有5名成員，假期他們每個人閱讀的本數(shù)分別如下：3，5，4，2，1，則這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為______．6.一個圓錐的側面積是其底面積的2倍，則該圓錐的母線與底面所成的角為

．7.已知Cn+14=Cn48.如圖8只小貓圍繞在2×2的單位正方形的交叉點上，隨機選取兩只，它們之間距離為1的概率是______．9.在空間直角坐標系中，已知點A(2,3,1)，B(?1,1,?1)，C(0,?1,1)，D(1,1,x)，若A，B，C，D四點共面，則x=______．10.《九章算術》中的“商功“篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵ABC?A1B1C1中，M是A1C1的中點，AB=2AA1=2AC11.二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩度克?牛頓于1664年、1665年間提出，據(jù)考證，我國至遲在11世紀，北宋數(shù)學家賈憲就已經知道了二項式系數(shù)法則．在(x2?12x12.已知空間向量a=(1,0,1)，b=(1,1,1)，則向量a在向量b上的投影向量的坐標是

．13.在《紅樓夢》中有一道名為“茄鲞”的佳肴，這道菜用到了雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉六種原料，烹飪時要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，最后還需加入精心熬制的雞湯，則烹飪“茄鲞”時不同的下鍋順序共有______種.14.連接空間幾何體上的某兩點的直線，如果把該幾何體繞此直線旋轉角α(0°<α<360°)，使該幾何體與自身重合，那么稱這條直線為該幾何體的旋轉軸.如圖，八面體的每一個面都是正三角形，并且4個頂點A，B，C，D在同一平面內，則這個八面體的旋轉軸共有______條.15.設樣本空間Ω=1，2，3，4，5，6，7，8的樣本點都是等可能出現(xiàn)的，且事件A={1,2,3,4}，事件B={1,2,3,5}，事件C={1,m,n,8}，使得P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，且滿足A，B，C兩兩不獨立，則m+n=______．16.已知正四面體ABCD的棱長為2，動點P滿足AP?CD=0，且PB?PC三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

先后拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，記向上的點數(shù)分別為x，y，將事件“l(fā)og(x+1)y為整數(shù)”記為A，將事件“x+y為偶數(shù)”記為B，將事件“x+2y為奇數(shù)”記為C．

(1)試判斷事件B與事件C是否相互獨立？并說明理由；

(2)求P(A|C)的值．18.(本小題14分)

已知甲組數(shù)據(jù)a1，a2，…，a15的莖葉圖如圖所示，其中數(shù)據(jù)的整數(shù)部分為莖，數(shù)據(jù)的小數(shù)部分(僅一位小數(shù))為葉，例如第一個數(shù)據(jù)為5.3．

(1)甲組數(shù)據(jù)的平均值x1?、方差s12、中位數(shù)M；

(2)乙組數(shù)據(jù)為b1，b2，…，b15，且甲、乙兩組數(shù)據(jù)合并后的30個數(shù)據(jù)的平均值19.(本小題14分)

某企業(yè)為了了解本企業(yè)員工每天慢走與慢跑的情況，對每天慢走時間在25分鐘到55分鐘之間的員工，隨機抽取n人進行調查，將既參加慢走又參加慢跑的人稱為“H族”，否則稱為“非H族”，得如下的統(tǒng)計表以及每天慢走時間在25分鐘到55分鐘之間的員工人數(shù)的頻率分布直方圖(部分)：組數(shù)分組人數(shù)本組中“H族”的比例1[25,30)2000.62[30,35)3000.653[35,40)2000.54[40,45)1500.45[45,50)a0.36[50,55)500.3(1)試補全頻率分布直方圖，并求a與n的值：

(2)從每天慢走時間在[40,50)(分鐘)內的“H族”中按時間采用分層抽樣法抽取6人參加企業(yè)舉辦的健身沙龍體驗活動，再從這6人中選2人作健身技巧與減脂秘籍的發(fā)言，求這2人每天慢走的時間恰好1人在[40,45)分鐘內，另一個人在[45,50)分鐘內的概率．20.(本小題18分)

如圖所示的空間直角坐標系A?xyz中，所有坐標均為整數(shù)的點稱為整點；已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為a，點P滿足CP=λCD+μCC1，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]．

(1)若a=1，且直線B1P與平面CC1D1D所成角大小為π4，求點P的軌跡長度；

(2)若a=1，21.(本小題18分)

高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，為了紀念他，人們把函數(shù)y=[x](x∈R)稱為高斯函數(shù)，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù).已知：fn(x)=(x+3)n，(n∈N,n≥1)

(1)若fn(?1)=an+3bn，an，bn∈Z，求a4+b4

參考答案1.B

2.B

3.C

4.B

5.3.5

6.60°

7.8

8.279.1

10.11811.?512.(213.12

14.13

15.13

16.317.解：(1)先后兩次拋擲一枚質地均勻的骰子，得到向上的點數(shù)分別為x，y，

則基本事件總數(shù)為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，

(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，

(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，

(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，

(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，

(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36種情況，

滿足事件B的有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共18個，

故P(B)=1836=12，

滿足事件C的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，共18個，

故P(C)=1836=12，

滿足事件BC的有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共9個，

所以P(BC)=936=14=P(B)P(C)，

所以事件B與事件C相互獨立；

(2)滿足事件AC的有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(3,1)，(3,4)18.解：(1)甲組數(shù)據(jù)為5.3，6.5，7.4，7.6，8.1，8.1，8.1，8.2，8.2，8.4，9.5，9.8，10.5，11.0，13.8，

所以甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為M=8.2，

甲組數(shù)據(jù)的平均值為x1?=115(5.3+6.5+7.4+7.6+8.1×3+8.2×2+8.4+9.5+9.8+10.5+11.0+13.8)=8.7．

甲組數(shù)據(jù)的方差為s12=115[(5.3?8.7)2+(6.5?8.7)2+(7.4?8.7)2+(7.6?8.719.解：(1)第二組的頻率為1?(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3，

所以第二組小矩形高為0.35=0.06.補全后的頻率直方圖如下：

第一組的頻率為0.04×5=0.2，所以n=2000.2=1000．

第五組的頻率為0.02×5=0.1，所以a=1000×0.1=100．

(2)因為[40,50)分鐘的“H族”人數(shù)為150×0.4=60，

[45,50)分鐘的“H族”人數(shù)為100×0.3=30，二者比例為60：30=2：1，

所以按時間采用分層抽樣法抽取6人，[40,45)分鐘內抽取4人，[45,50)分鐘內抽取2人．

設這2人每天慢走的時間恰好1人在[40,45)分鐘，另一個人在[45,50)分鐘為事件Q，

在[40,45)分鐘內抽取4人記為A，B，C，D，[45,50)分鐘內抽取2人記為a，b，

則有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，

共15種不同的抽取方法，事件Q有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，共8種，

所以P(Q)=815，即選出發(fā)言的2人每天慢走的時間恰好1人在[40,45)分鐘內，

20.解：(1)空間直角坐標系A?xyz中，所有坐標均為整數(shù)的點稱為整點，

正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為a，點P滿足CP=λCD+μCC1，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，

連接C1P，

∵B1C1⊥平面CDD1C1，C1P為B1P在平面CDD1C1上的射影，

∴直線B1P與平面CC1D1D所成角的平面角為∠B1PC1，

由已知∠B1PC1=π4，

則C1P=B1C1=1，故P點軌跡為以C1為圓心，1為半徑的14圓在正方形CC1D1D內的部分，

∴點P的軌跡長度為14×2π×1=π2，

(2)在正方體ABCD?A1B1C1D1中，以A為坐標原點，

以AB，AD，AA1所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

∵a=1，

∴C(1,1,0)，D(0,1,0)，C1(1,1,1)，A1(0,0,1)，

∵CP=λCD+μCC1，λ=1，

∴CP=CD+μCC1，即DP=μCC1，

∴P點在DD1上運動，則P(0,1,μ)，

過點A1作A1E//PC，交BB1與點E，連接CE，

∵平面BCC1B1/?/平面ADD1A1，

平面BCC1B1∩平面A1ECP=EC，平面ADD1A1∩平面A1ECP=A1P，

∴EC//A1P，又A1E//PC，

∴在正方體中經過點A1，P，C的截面為平行四邊形A1PCE，如圖，

則PC=(1,0,?μ)，A1C=(1,1,?1)，

∴點P到A1C的距離為：

d=|PC|2?(PC?A1C|A1C|)2=1+μ2?(1+μ3)2=2μ2?2μ+23，

∵μ∈[0,1]，故當μ取0或1時，d取到最大值23，

此時截面面積的最大值為2S△A121.解：(