2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題06數(shù)學(xué)情景與新文化100題教師版

專題06數(shù)學(xué)情景與新文化100題

類型一：函數(shù)類新文化題型

一、單選題

1.5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：C=Wlog2(l+《).它表示：在受噪聲干

撓的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S、信道內(nèi)

部的高斯噪聲功率N的大小，其中三叫做信噪比.依據(jù)香農(nóng)公式，若不變更帶寬卬，而將

N

信噪比三從1000提升至2000,則C大約增加了()

N

A.10%B.30%C.50%D.100%

【答案】A

【分析】

依據(jù)香農(nóng)公式，分別寫出信噪比為1000和200()時(shí)的傳遞速率為。=卬1隼2(1+1。(川)科

C=VVlog2(l+2()(X)),兩者相比，再依據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算即可估計(jì)得答案.

【詳解】

當(dāng)力=1000時(shí)，C=lVlng2(l+l()(X))

當(dāng)士=2000時(shí)，C=VVlog,(l+2000)

N

Wlog2(l+2000)-Wlog2(l+1(X)0)_log220011+log21(X)0一1=Jg2

則---------------------------=---------1-----------

Wlog2(l+1000)log21(X)1Iog210(X)

I1111

X-=lgW<lg2<lg103=-,依據(jù)選項(xiàng)分析,辟2m

q

所以信噪比方從1。。。提升至2。。。,則C大約增加了1。%.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查學(xué)問的遷移應(yīng)用，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，是中檔題.

2.2024年11月24日4時(shí)30分，我國(guó)在文昌航天放射場(chǎng)用長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)載火箭勝利放射嫦

娥五號(hào)，12月17日凌晨，嫦娥五號(hào)返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域平安

著陸，“繞、落、回”三步探月規(guī)劃完備收官，這為我國(guó)將來月球與行星探測(cè)奠定了堅(jiān)實(shí)基

M

礎(chǔ).已知在不考慮空氣阻力和地球引力的志向狀態(tài)下，可以用公式u=%-ln—計(jì)算火箭的

m

最大速度v(m/s),其中％(m/s)是噴流相對(duì)速度，是火箭(除推動(dòng)劑外)的質(zhì)量，

”(必)是推動(dòng)劑與火箭質(zhì)量的總和，5稱為“總質(zhì)比”?若A型火箭的噴流相對(duì)速度為

lOOOnVs,當(dāng)總質(zhì)比為500時(shí)，A型火箭的最大速度約為(植八0434,lg2?0.301)

()

A.4890ni/sB.5790ni/sC.6219nVsD.6825m/s

【答案】C

【分析】

依據(jù)題意把數(shù)據(jù)代入已知函數(shù)可得答案.

【詳解】

3lg2

v=v0In—=1(X)0xIn5(X)=1(X)0x=1000x-=621.

m1ge1ge

故選；C.

3.埃及金字塔是占埃及的帝王(法老)陵墓，世界七大奇跡之一，其中較為著名的是胡夫

金字塔.令人驚訝的并不僅僅是胡夫金字塔的雄壯身姿，還有發(fā)生在胡夫金字塔上的數(shù)字

“巧合”.如胡夫金字塔的底部周長(zhǎng)假如除以其高度的兩倍,得到的商為3.14159,這就是

圓周率較為精確的近似值.金字塔底部形為正方形，整個(gè)塔形為正四棱錐，經(jīng)古代能工巧

匠建設(shè)完成后，底座邊長(zhǎng)大約230米.因年久風(fēng)化，頂端剝落10米，則胡夫金字塔現(xiàn)高大

約為

A.128.5米B.132.5米C.136.5米D.110.5米

【答案】C

【分析】

設(shè)出胡夫金字塔原高，依據(jù)題意列出等式，解出等式即可依據(jù)題意選出答案.

2

【詳解】

230x4030x4

胡夫金字塔原高為/?,則胃，=3.14159,即〃J二："146.4米,

2h2x3.14159

則胡夫金字塔現(xiàn)高大約為136.4米.故選C.

【點(diǎn)睛】

本題屬于數(shù)學(xué)應(yīng)用題，一般設(shè)出未知數(shù)，再依據(jù)題意列出含未知數(shù)的等式，解出未知數(shù)，

即可得到答案.屬于常規(guī)題型.

4.中國(guó)的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)極大地提高了數(shù)據(jù)傳輸速率，最大數(shù)據(jù)傳輸速率。取

決于信道帶寬優(yōu)經(jīng)科學(xué)探討表明：。與川滿意C=W1og,(l+《)，其中S是信道內(nèi)信號(hào)的

N

平均功率，*是信道內(nèi)部的高斯噪聲功率，?為信噪比.當(dāng)信噪比比較大時(shí)，上式中真數(shù)

N

中的1可以忽視不計(jì).若不變更帶寬隊(duì)而將信噪比?從1000提升至4000,則Q大約增加

N

了()(附:1g2?0.3010)

A.10%B.20%C.30%I).40%

【答案】B

【分析】

先計(jì)算2二1000和1=4000時(shí)的最大數(shù)據(jù)傳輸速率C1和再計(jì)算增大的百分比￡守

NNC(

即可.

【詳解】

當(dāng)士=1000時(shí),C,=Wlog21001?Wlog21000；

N

當(dāng)士=4000時(shí)，G=Wlog?4001=Wlog,4000.

N

G[_Wlog240Q01_lg4000]_lg4+]gl0001

所以增大的百分比為:c,~~c,~-wlog?looo—"igiooo~--IglOOO

Ig4_21g22x0.3010

?0.2=20%.

igiooo—

3

利用指對(duì)互化解出M,可得火箭須要加注的燃料的估算值.

【詳解】

M1M

則U=2ln1+----，所以1+

3100J3100

解得M=3100(c55-1)?3100x243.69=755439(kg卜755.44(t)

故選：C

7.意大利著名天文學(xué)家伽利略曾錯(cuò)誤地揣測(cè)鏈條自然卜.垂時(shí)的形態(tài)是拋物線.直到1690

年，雅各布?伯努利正式提出該問題為“懸錐線”問題并向數(shù)學(xué)界征求答案.1691年他的

弟笫約翰?伯努利和菜布尼茲、惠更斯三人各自都得到了正確答案，給出懸鏈線的數(shù)學(xué)表

XX

達(dá)式一一雙曲余弦函數(shù)：fW=c+acosh-=C(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).當(dāng)

a2

(1、

c=0,a=l時(shí)，記〃=/(-D,機(jī)=/'弓，n=/(2),則P,小，〃的大小關(guān)系為

I2/

().

A.〃<"?<〃B.n<in<pc.m<P<nD.m<n<p

【答案】C

【分析】

先利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+?)上單調(diào)遞增，再結(jié)合單調(diào)性比較大小即可.

【詳解】

-x.x-x.八x2x1

由題意知，f(x)=——,f\x)=---=--

222e

5

當(dāng)x>0時(shí)，r(x)>0,即函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,+?)上單調(diào)遞增

-I

/(-l)=￡ey+-e￡=/(l)

VO<1<1<2,.'./^</(l)</(2),即〃?v〃v，2

故選：C

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)健是利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)/(好的單調(diào)性，再結(jié)合單調(diào)性比較大小.

8.著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，假如物體的初始溫度為a,c,

空氣溫度為4℃,則/min后物體的溫度夕(單位：C)滿意：6>=q+(a-4”-”(其中〃

為常數(shù)，e=2.71828…).現(xiàn)有某物體放在20°。的空氣中冷卻，2min后測(cè)得物體的溫度為

52℃,再經(jīng)過6min后物體的溫度冷卻到24℃,則該物體初始溫度是()

A.8()℃B.82℃C.84℃D.86℃

【答案】C

【分析】

先利用其次次冷卻：仇二52℃,。。=20℃，x6,。=24℃,代入求出&=乎，然后對(duì)第一次冷

6

卻，代入公式，求出初始溫度.

【詳解】

其次次冷卻：4=52℃,4=2()℃，尸6,。=24℃,

即24=20+(52-20”,解得：力=哈

第一次冷卻：夕=52℃，夕°=20℃，片2,,

即52=20+(4-20”與，解得：4=84C；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

6

數(shù)學(xué)建模是中學(xué)數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，在中學(xué)數(shù)學(xué)中，應(yīng)用題是常見考查形式：

(1)求解應(yīng)用性問題時(shí)，首先要弄清題意，分清條件和結(jié)論，抓住關(guān)鍵詞和量，理順數(shù)量關(guān)

系，然后將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；

(2)求解應(yīng)用性問題時(shí)，不僅要考慮函數(shù)本身的定義域，還要結(jié)合實(shí)際問題理解自變量的取

值范圍；

(3)nJ以建立多個(gè)函數(shù)模型時(shí)，要對(duì)每個(gè)模型計(jì)算,進(jìn)行比較,選擇最優(yōu)化模型.

9.2024年9月24日，阿貝爾獎(jiǎng)和菲爾茲獎(jiǎng)雙料得主，英國(guó)89歲高齡的著名數(shù)學(xué)家阿蒂

亞爵士宣布自己證明白黎曼猜想，這?事務(wù)引起了數(shù)學(xué)界的振動(dòng).在1859年，德國(guó)數(shù)學(xué)家

黎曼向科學(xué)院提交了題目為《論小于某值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)》的論文并提出了一個(gè)命題，也就是

著名的黎曼猜想.在此之前著名的數(shù)學(xué)家歐拉也曾探討過這個(gè)問題，并得到小于數(shù)字；的

素?cái)?shù)個(gè)數(shù)大約可以表示為4W之夫的結(jié)論.若依據(jù)歐拉得出的結(jié)論，估計(jì)10000以內(nèi)的

素?cái)?shù)個(gè)數(shù)為(素?cái)?shù)即質(zhì)數(shù)，lgenO.43429,計(jì)算結(jié)果取整數(shù))

A.1089B.1086C.434I).145

【答案】B

【分析】

由題意可知10000以內(nèi)的家數(shù)的個(gè)數(shù)為4(10000)。漓黑，計(jì)算即可得到答案.

【詳解】

由題可知小于數(shù)字4的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)大約可以表示為萬(X)H言,

1000010000lOOOOlg^

則10000以內(nèi)的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)為4(10000卜=2500

InlOOOO41nl04

0.434292500?1086,

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的簡(jiǎn)潔應(yīng)用，考查學(xué)生的審題實(shí)力.

10.2024年6月17日15時(shí)19分，星期三，酒泉衛(wèi)星放射中心，我國(guó)勝利放射長(zhǎng)征二號(hào)

7

丁運(yùn)載火箭，并勝利將高分九號(hào)03星、皮星三號(hào)月星和德五號(hào)衛(wèi)星送入預(yù)定軌道，攜三星

入軌，全程放射獲得圓滿勝利，祖國(guó)威猛.已知火箭的最大速度/（單位：km/s）和燃料

質(zhì)量J/（單位：kg）,火箭質(zhì)量勿（單位：kg）的函數(shù)美系是：n=20001n（l+?）若已

知火箭的質(zhì)顯為3100公尸，燃料質(zhì)量為310噸，則此時(shí)/的值為多少（參考數(shù)值為

In2?0.69；In101=4.62）（）

A.13.8B.9240C.9.24D.1380

【答案】B

【分析】

依據(jù)已知數(shù)據(jù)和函數(shù)關(guān)系式;干脆計(jì)算.

【詳解】

（?1nnnn\

v=2000xIn，3曾（）j=2000x（In101）=2000x4.62=9240km/s,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.為了探討疫情有關(guān)指標(biāo)的變更，現(xiàn)有學(xué)者給出了如下的模型：假定初始時(shí)刻的病例數(shù)

為平均每個(gè)病人可傳染給/個(gè)人，平均每個(gè)病人可以干脆傳染給其他人的時(shí)間為￡

天，在￡天之內(nèi)，病例數(shù)目的增長(zhǎng)隨時(shí)間”單位：天）的關(guān)系式為三M（1+AT,若

.惴=2,小2.4,則利用此模型預(yù)料第5天的病例數(shù)大約為（）（參考數(shù)據(jù)：logr454-

18,log2.1454^7,1*454比5）

A.260B.580C.910D.1200

【答案】C

【分析】

首先依據(jù)題意得到N（5）=2（1+2.4）5=2x3.4’,再依據(jù)參考數(shù)據(jù)求解即可.

【詳解】

8

N⑸=2（1+2.4）'=2X3.45,

因?yàn)閘ogy454。5,所以3.4$*454,

同〒以N（5）=2x3.45^2x454才908之910.

故選：C

12.干支紀(jì)年法是中國(guó)歷法上自占以來就始終運(yùn)用的紀(jì)年方法、干支是天干和地支的總

稱，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸為天干：子、丑、寅、卯、辰、已、午、

未，申、西、戌、亥為地支.把十天干和十二地支依次楣配，如甲對(duì)子、乙對(duì)丑、丙對(duì)

貢、…癸對(duì)寅，其中天干比地支少兩位，所以天干先循環(huán)，甲對(duì)戊、乙對(duì)亥、…接下來地

支循環(huán)，丙對(duì)子、丁對(duì)丑、.，以此用來紀(jì)年，今年2024年是庚子年，那么中華人民共和

國(guó)建國(guó)10（）周年即2049年是（）

A.戊辰年B.己巳年C.庚T年D.庚子年

【答案】B

【分析】

由題意2024年是干支紀(jì)年法中的庚子年，則2049的天干為己,地支為巳，即可求出答

案.

【詳解】

天干是以10為一周期，地支是以12為一周期，

2024年是干支紀(jì)年法中的庚子年，而2049-2020=29=2x10+9=2x12+5,所以2049的天

干為己，地支為己，

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)學(xué)文化，實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)應(yīng)用，關(guān)鍵在于運(yùn)用閱讀理解實(shí)力將生活中的數(shù)據(jù)

和用語轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的概念和數(shù)據(jù)，屬于中檔題.

13.2024年初，新冠病毒肺炎（仞1//〃-19）疫情在武漢爆發(fā)，并以極快的速度在全國(guó)傳

播開來.因該病毒暫無臨宋特效藥可用，因此防控難度極大.湖北某地防疫防控部門確定

進(jìn)行全面入戶排查4類人員：新冠患者、疑似患者、一股感冒發(fā)熱者和新冠親密接觸者，

過程中排查到一戶5口之家被確認(rèn)為新冠肺炎親密接觸者，按要求進(jìn)一步對(duì)該5名成員逐

9

一進(jìn)行核糖核酸檢測(cè)，若出現(xiàn)陽性，則該家庭定義為“感染高危戶”，設(shè)該家庭每個(gè)成員檢

測(cè)呈陽性的概率相同均為〃(0<〃<1)，且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測(cè)了4人才能確定為

“感染高危戶”的概率為f(P),當(dāng)〃=%時(shí)，"P)最大，此時(shí)局=()

A.姮B.巫C.嶼D.1m

5555

【答案】A

【分析】

由題意可得，該家庭至少檢測(cè)了4人才能確定為“感染高危戶”，則前3人檢測(cè)為陰性，第

4人為陽性，或前4人檢測(cè)為陰性，第5人為陽性.求出/(〃)，求/(〃)，利用導(dǎo)數(shù)求當(dāng)

最大時(shí)，〃的值.

【詳解】

由題意可得，該家庭至少檢測(cè)了4人才能確定為“感染高危戶”，則前3人檢測(cè)為陰性，第

4人為陽性，或前4人檢測(cè)為陰性，第5人為陽性.

???/(P)=(l-

(〃)二-3(1-〃『〃+(1-〃)3-4(1一〃)3p+(l-p?=(l—p)2(5//-10p+2)

八、2(5+gj5-呵

Q0<p<p)2〃—5+<o,

XZ

令/(〃)>()，得/(p)<o,得^^<〃<1.

55

」?/(〃)在［0,---J上老調(diào)速增，在I---單倜速減，

.?.〃=三普時(shí)，〃〃)最大，即〃尸三普=1—孚.

故選：A.

10

【點(diǎn)睛】

本題考查相互獨(dú)立事務(wù)、互斥事務(wù)的概率計(jì)算公式，考查利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于中檔題.

14.復(fù)興號(hào)動(dòng)車組列車，是中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)車組的中文命名，由中國(guó)鐵路總公司牽頭組織研

制、具有完全自主學(xué)問產(chǎn)權(quán)、達(dá)到世界先進(jìn)水平的動(dòng)車組列車.2024年12月30日，

a?400Ab-C智能復(fù)興號(hào)動(dòng)車組在京張高鐵實(shí)現(xiàn)時(shí)速35Dkm自動(dòng)駕駛，不僅速度比一般列

車快，而且車內(nèi)噪聲更小.我們用聲強(qiáng)/（單位：W/nf表示聲音在傳播途徑中每平方米上

的聲能流密度，聲強(qiáng)級(jí)L（單位：dB與聲強(qiáng)/的函數(shù)關(guān)系式為L(zhǎng)=101g（R）,已知

hlO'W/m?時(shí)，L=IO,出.若要將某列車的聲強(qiáng)級(jí)降低30dB,則該列車的聲強(qiáng)應(yīng)變?yōu)樵?/p>

強(qiáng)的（）

A.10-5倍B.KT4倍C.10-3倍0.ICT?倍

【答案】C

【分析】

由題設(shè)可得〃=10一3,代入函數(shù)式，由指對(duì)數(shù)的關(guān)系有/=10h3,進(jìn)而求聲強(qiáng)級(jí)降低3CdB

的聲強(qiáng)應(yīng)用指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)求聲強(qiáng)的比值.

【詳解】

由題設(shè)，101g（10%）=i0,解得a=10-3,則乙=10糖（10-3/）=10（坨/-3）,

//-30/

*,?j_IQIO*3?要使聲強(qiáng)級(jí)降低30dB，則jf_JQ=|Q|Q,

.?二里=爐.

,10小

故選：C

15.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，用其名

字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)xeR,用國(guó)表示不超過x的最大整數(shù)，則>二國(guó)稱為高斯

函數(shù)，也稱取整函數(shù)，如：卜3.7]=-4,[2.3]=2,已知〃.1）=1\一1,則函數(shù)

產(chǎn)3[〃力]一2"（一切的值域?yàn)椋ǎ?/p>

11

A.{-3,0,2}B.{-1,2}C.{-3,0,-2}D.{-2,0,3}

【答案】A

【分析】

化簡(jiǎn)得出f(x)=l-/.可得人>(州寸，[/(x)]=0:工=0時(shí)，0")]=。；x<0時(shí),

[/(x)]=-l,即可求出.

【詳解】

?2（22）-22

/W=2r+l2x+\21+1

當(dāng)x>0時(shí)，2、+l￡(2,y),則島?()/)，則”力40,1),此時(shí)[/(x)]=0,

當(dāng)x=()時(shí)，/(-r)=0,Wi[/(x)]=0.

當(dāng)K<0時(shí)，2、+le(l,2),貝ij島e(l,2),則/(x)e(T,0),此時(shí)[/(x)]=-1,

則對(duì)于函數(shù)丁=3[/(力]一2]/(—力],

當(dāng)x>()時(shí)，-x<(),此時(shí))，=3[/(x)]-2[/(-x)]=3x0-2x(-1)=2；

當(dāng)x=()時(shí)，T=0,此時(shí))，=3[/(力]-2[/(「i)]=3x0—2x0=0；

當(dāng)”0時(shí),T>0,此時(shí)<=3[/⑼-2[F(T)]=3X(T)-2X0=_3,

故y=3[〃切-2"(一切的值域?yàn)閧-3,0,2}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是化簡(jiǎn)得出/(力=1-島，分別求出x>0，x=0，x<0時(shí)/(力的取

值范圍.

16.我國(guó)于2024年5月勝利研制出目前國(guó)際上超導(dǎo)量子比特?cái)?shù)量最多的量子計(jì)算原型機(jī)

12

“祖沖之號(hào)”，操控的超導(dǎo)量子比特為62個(gè).已知1個(gè)超導(dǎo)量子比特共有“10>,11>"2

種疊加態(tài)，2個(gè)超導(dǎo)量子比特共有“|00>,|01>,|10>,種疊加態(tài)，3個(gè)超導(dǎo)

量子比特共有“|000>,|001>,|010>,|011>,|100>,|101>,|110>,1111>v8

種疊加態(tài)，…，只要增加1個(gè)超導(dǎo)量子比特，其疊加態(tài)口勺種數(shù)就呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng).設(shè)62個(gè)超

導(dǎo)量子比特共有N種疊加態(tài)，則N是一個(gè)（）位的數(shù).（參考數(shù)據(jù)：愴2。0.3010）

A.18B.19C.62I).63

【答案】B

【分析】

依據(jù)題意〃個(gè)超導(dǎo)晟子比特共有2”種疊加態(tài)，進(jìn)而兩邊取以1（）為底的對(duì)數(shù)化簡(jiǎn)整理即可得

答案.

【詳解】

依據(jù)題意，設(shè)〃個(gè)超導(dǎo)量子比特共有2〃種疊加態(tài)，

所以當(dāng)有62個(gè)超導(dǎo)量子比特共有N=262種疊加態(tài)。

兩邊取以1()為底的對(duì)數(shù)得lgN=lg262=62愴2。62x0.3010=18.662,

所以N=1018662=10°662x1以,由于10。v10°662<10',

故N是一個(gè)19位的數(shù).

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)學(xué)文化，對(duì)數(shù)運(yùn)算，考查學(xué)問的遷移與應(yīng)，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于依據(jù)

材料得〃個(gè)超導(dǎo)量了?比特共有2”種播加態(tài)，進(jìn)而依據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算求解.

17.2024年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器勝利實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)

航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸須要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面

與探測(cè)器的通訊聯(lián)系.為解決這個(gè)問題，放射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍

繞地月拉格朗日4點(diǎn)的軌道運(yùn)行.4點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上.設(shè)地球質(zhì)

量為M，月球質(zhì)量為明，地月距離為尼右點(diǎn)到月球的距離為人依據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和

萬有引力定律，/?滿意方程：

”=(7?+，)素.

(R+rYrR

13

r4-4"44-

設(shè)a市,由于。的值很小，因此在近似計(jì)算中則/的近似值為

B.-%-Aq

2Ml

D.5

。?附V3M

【答案】D

【分析】

本題在正確理解題意的基礎(chǔ)上，將有關(guān)式子代入給定公式，建立。的方程，解方程、近似

計(jì)算.題目所處位置應(yīng)是“解答題”，但由于題干較長(zhǎng)，易使考生“望而生畏”,留意了閱

讀理解、數(shù)學(xué)式子的變形及運(yùn)算求解實(shí)力的考杳.

【詳解】

由a=—,得r=aR

R

M.M,…、陷

因?yàn)闃?biāo)尸丁二便"下，

~.MM,八、M.

，

所以同7k市=（+a）~Rr

1

miM、i優(yōu)+3/+3標(biāo)-3

即="Kl+a)—7;~-rl=---—a3a，

(l+a)~(1+a廠

解得

所以f=假兄

【點(diǎn)睛】

由于本題題干較長(zhǎng)，所以，易錯(cuò)點(diǎn)之一就是能否靜心讀題，正確理解題意;易錯(cuò)點(diǎn)之

二是困難式子的變形出錯(cuò).

18.中國(guó)的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式:

14

C=Wlog2（l+5）.它表示：在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度。取決于信道帶

寬#;信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S,信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中三叫做信噪比.

當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)里面的1可以忽視不計(jì).依據(jù)香農(nóng)公式，若帶寬/增大到原

來的1.1倍，信噪比三從1000提升到16000,則。大約增加了（附：館2=0.3）（）

A.21%B.32%C.43%D.54%

【答案】1）

【分析】

利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，由香農(nóng)公式分別計(jì)算信噪比為1000和16000時(shí)C的比值即可求解.

【詳解】

LlWlog,1600D?,1216000,,.3+41g2,八一

解?由題意--------------1=1.lx--------------1=1.lx---------——1=0.54,所以C大約增加

腫.出您忌Wlog2l（）（X）1g10003人/皿川

了54%.

故選：D.

19.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，用其名

字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)xwR,用卜]表示不超過x的最大整數(shù)，則y=國(guó)稱為高斯

函數(shù)，也稱取整函數(shù)，如：卜2.1]=-3,[3.1]=3,已知/（耳=占^,則函數(shù)尸[/（切

的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.{。，-3}B.{。,一1}C.{0,-1,-2}D.{1,0,—1,-2}

【答案】C

【分析】

結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求得了（X）的值域，然后再依據(jù)新定義求）』"（x）]的值域.

【詳解】

77

y-2明顯3川+1>1——;—€(0,-),

fM=33+|+1)3

1+3川3』+133(33+1)

15

所以/（刈的值域是

當(dāng)一2v/（x）v—1時(shí)，"。）］二一2,

-l<x<OW，［/（A）］=-I,當(dāng)OW/（x）v；時(shí)"（切=0,

所以所求值域是{-2,7,0}.

故選：C.

2（）.2024年第三屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)開幕，時(shí)值初冬呼吸系統(tǒng)傳染病高發(fā)期，防疫檢測(cè)

由上海交通高校附屬瑞金丟院與上海聯(lián)通公司合作研發(fā)的“5G發(fā)熱門診才智解決方案”完

成.該方案基于5G網(wǎng)絡(luò)技術(shù)實(shí)現(xiàn)了患者體溫檢測(cè)、人證核驗(yàn)、導(dǎo)診、診療、藥品與標(biāo)本配

送的無人化和智能化.5G技術(shù)中數(shù)學(xué)原理之一就是香農(nóng)公式：。=卬1/2（1+5）.它表示：

在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度C（單位：bit/s）取決于信道帶寬W（單

位：HZ）、信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S（單位：dB）>信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N（單位：

dB）的大小，其中三叫做信噪比.依據(jù)香農(nóng)公式，若不變更帶寬W,而將信噪比三從

NN

1000提升至2000,則C大約是原來的（）

A.2倍B.1.1倍C.0.9倍D.0.5倍

【答案】B

【分析】

GWlog,2001?！?111

由題可得不=卬31001'禧2+1,依據(jù);=lgl（T<lg2<lgl（T=：可求出.

【詳解】

???C=Wlog2（l+?）

當(dāng)3=1000時(shí)，G=IVlog2（I+JOOO）=VVIog21（X）1,

當(dāng)士=2000時(shí)，C=Wlog,（1+2000）=Wlog,2001,

N

16

C2_Wlog?2001J。氏2000_log?2+1。氏1000_1?i-】gi1

J3

c,iviogjooilogjooologjoooiog2io3m'

乂L=lgl(r<lg2<lgl()3=L則；lg2*0.l,即U=LL

433a

故選:B.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是得出及pfg2+l,再利用

1111

^?=lgl04<lg2<lgio3=：求出.

17

類型二：三角形類新文化題型

21.《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實(shí)生活中的體育競(jìng)技活動(dòng)，刻畫的是一名強(qiáng)健的男子在擲

鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的

“弓”，擲鐵餅者的手臂長(zhǎng)約為9TT米，肩寬約為TTg米，“弓”所在圓的半徑約為1.25米，

48

則擲鐵餅者雙手之間的距離約為（）

A.1.012米B.1.768米C.2.043米D.2.945米

【答案】B

【分析】

由題分析出這段弓所在弧長(zhǎng)，結(jié)合弧長(zhǎng)公式求出其所對(duì)圓心角，雙手之間的距離為其所對(duì)

弦長(zhǎng).

【詳解】

解：由題得：引聽在的弧長(zhǎng)為：/=

18

c

???兩手之間的距離d=2Rsin2=&X1.25=1.768.

4

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓心角，弧長(zhǎng)以及半徑之間的基本關(guān)系，本題的關(guān)鍵在于讀懂題目，能提取

出有效信息.

22.達(dá)芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》著名遐邇.如圖，畫中女子神奇的微笑，，數(shù)百年來讓

多數(shù)欣賞者人迷.某業(yè)余愛好者對(duì)《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進(jìn)行了粗略測(cè)繪，將畫中女

子的嘴唇近似看作一個(gè)I圓弧，在嘴角AC處作圓弧的切線，兩條切線交于8點(diǎn)，測(cè)得如下

數(shù)據(jù)：43=6"幾房=6"5。=10.392°〃（其中正=0.866）.依據(jù)測(cè)量得到的結(jié)果推

2

算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角大約等于（）

【答案】A

【分析】

由已知4A=AC=6,設(shè)N4BC=20.可得⑸e=N驍=0X66.于是可得8.進(jìn)而得出結(jié)

19

論.

【詳解】

解：依題意A8=8C=6,設(shè)ZA8C=2^.

則sin0=^^=O.866。立.

62

:.0=2,20=—.

33

設(shè)《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為

則a+2^=;r,

71

3

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)的單調(diào)性、切線的性質(zhì)，考查了推理實(shí)力與

計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.

23.《九章算術(shù)》成書于公元一世紀(jì)，是中國(guó)古代乃至東部的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著.

書中記載這樣一個(gè)問題“今有宛田，下周三十步，徑十六步.問為田幾何？"（一步=1.5

米）意思是現(xiàn)有扇形田，弧長(zhǎng)為45米，直徑為24米，那么扇形田的面積為

A.135平方米B.270平方米C.540平方米D.1080平方米

【答案】B

【分析】

干脆利用扇形面積計(jì)算得到答案.

【詳解】

I]24

依據(jù)扇形的面積公式，計(jì)算扇形田的面積為S=；刀=]X45X/=270（平方米）.

故選：B.

20

【點(diǎn)睛】

本題考查了扇形面積，屬于簡(jiǎn)潔題.

24.希波克拉底是古希臘英學(xué)家，他被西方尊為“醫(yī)學(xué)之父”，除了醫(yī)學(xué)，他也探討數(shù)學(xué).

特殊是與“月牙形”有關(guān)的問題.如圖所示.陰影部分的月牙形的邊緣都是圓弧，兩段圓弧

分別是-A4C的外接圓和以A3為直徑的圓的一部分，若=AC=BC=\,則該

月牙形的面積為（）

1兀

4-24

【答案】A

【分析】

求出，48。的外接圓半徑，得弓形面積，再求得大的半圓面積,相減可得結(jié)論.

【詳解】

解析由已知可得回=△的的外接圓半徑為八?焉"由題意，內(nèi)側(cè)圓弧為

八3c的外接圓的一部分，且其對(duì)應(yīng)的圓心角為彳，則弓形A8C的面積為

IxPxf3i-sin—1---—外側(cè)的圓弧以48為直徑，所以半圓48的面積為

2I33；34

%*圖=1，則月牙形的面積為-用邛+盤.

故選：A.

25.故宮是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)古建筑群.故宮宮殿房檐設(shè)計(jì)

恰好使北房在冬至前后陽光滿屋，夏至前后屋檐遮陰.已知北京地區(qū)夏至前后正午太陽高

21

度角約為75，冬至前后正午太陽高度角約為30.圖1是頂部近似為正四棱錐、底部近似

為正四棱柱的宮殿，圖2是其示意圖，則其出檐A8的長(zhǎng)度（單位：米）約為（）

圖1圖2

A.3B.4C.6(75-1)D.3(75+1)

【答案】C

【分析】

依據(jù)題意，建立解三角形的數(shù)學(xué)模型，將問題轉(zhuǎn)化為利用正弦定理解三角問題求解即可.

【詳解】

如圖，依據(jù)題意得NAC4—15,zMCD-105,ZADC-30,CD-24,

所以NC4O=45,

CDAC24AC

所以在△ACD由正弦定理得，即

sinZCAD~sinZACDsin45sin30

解得4c=12近,

rjA6

所以在RtAACB中,sinZACB=—,gpsinl5=百萬,

6&1

解得AB=12&sinl5=12x/2sin(60-45)=12夜x-------X-----------—x

222

=\2&gH=3雙導(dǎo)吟

22

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)學(xué)問題，解三角形的應(yīng)用問題，考查數(shù)學(xué)建模思想，數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是中檔題.

本題解題的關(guān)鍵在于依據(jù)題意，建立三角形模型，利用衛(wèi)弦定理求解即可.

26.東寺塔與西寺塔為“昆明八景”之一，兩塔一西一東，遙遙相對(duì)，已有1100多年歷

史.東寺塔基座為正方形，塔身有13級(jí)，塔頂四角立有四只銅皮做成的鳥，俗稱金雞，所

以也有“金雞塔”之稱.如圖，在力點(diǎn)測(cè)得：塔在北偏東30°的點(diǎn)。處，塔頂。的仰角為

30°,且8點(diǎn)在北偏東60°.A8相距80（單位：m）,在B點(diǎn)測(cè)得塔在北偏西60°,則

塔的高度。。約為（）m

C

A

A.69B.40C.35D.23

【答案】B

23

【分析】

依據(jù)題意構(gòu)造四面體C-ABD,再運(yùn)用線面位置關(guān)系及三角形相關(guān)學(xué)問求解出相應(yīng)的線段長(zhǎng)即

可.

【詳解】

如圖，依據(jù)題意，圖中CQ_L平面/劭,NCAQ=30°,N陰。=30。,448。=60。）8=80

一ABD中，NBAD=30。,NABD=60。,,.ZAD13=90o

：.AD=ABcos^A^W°=?

又?.CO_L平面/仍〃，是直角三角形

RtACD中，ACAD=30°,Z.ADC=900.4D=406

??.CO=ADtan3()。=40Gx亞=40,選項(xiàng)B正確,選項(xiàng)ACD錯(cuò)誤

3

故選：B.

27.三國(guó)時(shí)期，吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽繪制“勾股圓方圖”證明白勾股定理（西方稱之為“畢達(dá)哥

拉斯定理”）.如圖，四個(gè)完全相同的直角三角形和中間的小正方形拼接成一個(gè)