2025-高考科學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案-數(shù)學(xué)-提升版1含答案

2D25-高考科學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案-數(shù)學(xué)-提升版

第一章

集合與常用邏輯用語

第1講集合

［課程標(biāo)準(zhǔn)］1.了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系，能夠在自然語言

和圖形語言的基礎(chǔ)上，用符號語言刻畫集合，了解全集與空集的含義.2.理解集合

之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.3.理解兩個集合的并集與交集的

含義，能求兩個集合的并集與交集，理解在給定集合中一個子集的補集的含義，

能求給定子集的補集，能使用Venn圖表達集合的基本關(guān)系與基本運算，體會圖

形對理解抽象概念的作用.

基礎(chǔ)知識整合

＞知識梳理

1.集合的概念

(1)集合中元素的三個特征：畫確定性、同互異性、畫無序性.

⑵元素與集合的關(guān)系是畫屬于或局不屬于兩種,用符號畫紅或畫學(xué)表

(3)集合的表示法：網(wǎng)列舉法、網(wǎng)描述法、畫圖示法.

(4)常見數(shù)集的記法

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

符號回N回N回攵回R

2.集合間的基本關(guān)系

文字語言符號語言

構(gòu)成兩個集合的元素是回一樣固日網(wǎng)

相等

的BQA^A=B

集合A中任意一個元素都是集合

子集回4-8或83A

8中的元素

集合4是集合8的子集，但存在

真子集國U8或8A

元素工且遙A

任何一個集合是它本身的子集

若A是3的子集，5是。的子集，

A￡8,⑸A￡C

結(jié)論則A是C的子集

空集是國任何集合的子集,是

0GA

國任何非空集合的真子集0B（B羊。）

3.集合的基本運算

X并集交集補集

夜)

圖形

4UB二畫或AC\B=[25\[X\X^A,[uA=[26\[x\x^U,

符號

且xWB}且KA}

4.集合的運算性質(zhì)

(1)并集的性質(zhì)：(4U8)3A;A{JA=A;AU°=4；A\JB=BUA.

(2)交集的性質(zhì)：(4n8)GA；(AnB)QB-,AC\A=A;40。=。；AnB=BC\A.

(3)補集的性質(zhì)：=A；[uU=。；[u。=U；An((u4)=。；AU([cA)=

?知識拓展

1.交集與并集的轉(zhuǎn)化

(CuA)n(Ct/B)=Cu(AUB),([uA)U([u8)=[u(AAB).

2.子集個數(shù)

若有限集A中有〃個元素，則集合A的子集個數(shù)為2〃，真子集的個數(shù)為2〃

-1,非空真子集的個數(shù)為2〃-2.

3.元素個數(shù)

用card(4)表示有限集合A中元素的個數(shù).對任意兩個有限集合45有

card(4U3)=card(A)+card(B)-card(ADB).

A雙基自測

1.(2023?銀川模擬)下列五個式子:①仁⑷；②。工⑷；③伍}曰{。，b}\

④{〃}￡{〃}；⑤。€{乩c,〃}中，正確的是()

A.②④⑤B.②③④⑤

C.②④D.①⑤

答案A

解析①錯誤，應(yīng)改為a^{a}；②正確；③錯誤，應(yīng)改為{〃}{db]\④

正確；⑤正確.

2.(2024.重慶月考)已知集合A={x*<2€Z},則A的真子集的個數(shù)為()

A.3B.4

C.6D.7

答案D

解析因為A=3F<2,x€Z)={-l,0,1},所以其真子集的個數(shù)為23-1

=7.故選D.

2

3.(人教A必修第一冊習(xí)題1.2T5⑴改編)設(shè)集合M={5,x),N={5xt5},

若M=M則實數(shù)無的值組成的集合為()

A.(5)B.{1}

C.{(),5}D.{(),1)

答案C

解析因為M=N,所以1二5廠解得工=0或5,所以實數(shù)x的值組成的集

合為{0,5}.故選C.

4.已知集合4=卜|一14<2},B={X|X>0),則(CRA)C(CRB)=.

答案{x\x^-1)

解析因為AU5={?。?1},所以(CRA)n(CRB)=CR(AUB)={小W-1}.

5.(人教B必修第一冊習(xí)題1-1BT6改編)已知A=[-2,=-目,

且5[RA,則實數(shù)〃的取值范圍是_______.

答案[6,4-oo)

解析因為A=[-2,1],所以CRA=(-8,-2)U(1,+8),又因為B=

1-8,且3[RA,所以一號忘-2,解得〃26,所以實數(shù)〃的取值范圍是

[6,+8).

核心考向突破

考向一集合的含義及表示

例1(1)(2023?秦皇島模擬)已知集合A二{1,2,3},貝IJ8={(x,y)\x^Aty

|x-y|￡A}中所含元素的個數(shù)為()

A.2B.4

C.6D.8

答案c

解析因為A={1,2,3},根據(jù)|x-)，|€A可知，B={(2,1),

(3,1),(3,2),(I,2),(1,3),(2,3)),8中含有6個元素.故選C.

(2)已知集合A={y|)，=f+1},Z?={(x,y)僅=f+]}(A,臺中)，WR),

則下列結(jié)論中元素與集合的關(guān)系正確的是()

A.2WA,且2WBB.(1,2)￡A,且(1,2)￡B

C.2€A,且(3,10)￡BD.(3,10)￡4,且2cB

答案C

解析由-20,得f+121,所以4={力=f+1}={也21},所以2￡A,

(1,2)弘,(3,l(w；B={(xfy)|y=f+1}中的元素是函數(shù)1二f+1圖象上的點

構(gòu)成的集合，所以263,因為)，=12+I=2,y=32+l=10,所以(1,2)￡B,(3,

(3)(2024.廣東實驗中學(xué)月考)若集合A={xERiat2-3x4-2=0}中只有一個元

素，貝IJ。=()

B身

A.1o

C.0D.0

答案D

解析集合A二｛xERiaM-aY+ZuO｝中只有一個元素，當(dāng)〃=0時，可"得丫

2?

二?集合A中只有一個元素為同當(dāng)。工。時，方程加-3x+2=0只有一個解，

9

即/二一。二可得。=故選

980,RO.D.

口觸類旁通膽解集合的含義的兩個關(guān)注點

(1)明確構(gòu)成集合的元素是什么，即弄清該集合是數(shù)集、點集，還是其他集合.

(2)看集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件是什么.

注意：利用集合元素的限制條件或元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的值或確定集合

中元素的個數(shù)時，要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性.

.即時訓(xùn)練1.(多選)(2024?長沙一中階段考試)已知集合A=｛小=3女-1,kE

Z｝,則下列表示正確的是()

A.一IGAB.-

C.3d-1WAD.-34WA

答案BCD

解析當(dāng)k=0時，戶-1,所以一1￡4,所以A錯誤；令-得

&二-拳Z,所以-1164,所以B正確；令-34=3%-1,得所以-34

WA,所以D正確；因為所以/d6Z,則33-1WA,所以C正確.

2.(2023?徐州模擬)已知集合4=｛1*?4｝,■=｛小CN*,且1刊,則8

=()

A.{0,1}B.{0,1,2)

C.{1,2,3)D.{1,2,3,4)

答案C

解析由已知得A={x|-2WxW2},對于集合8,由x-l￡A,得-2奇-

1W2,即一1WXW3,又x￡N*,所以x=l,2,3,即8={1,2,3).

3.已知集合A={a+2,3+1)2,a2+3a+3),若1WA,則2023a的值為

；若血，則。不可能取得的值為.

-1+J5-1-J5

答案1-2,—1,0,2，2

解析若1&A,〃+2=1,則〃=-1,A={1,0,1},不符合集合中元素的

互異性；伍+1>=1,則。=0或-2,當(dāng)。=0時，A=[2,1,3),符合集合中元

素的互異性，當(dāng)。=-2時，A={0,1,1),不符合集合中元素的互異性；+

+3=1,貝lja=-1或-2,顯然都不符合集合中元素的互異性.因此。=0,2023°

=1.若1住A,a+2W1,解得aW—1;(a+1)?W1,解得aWO,-2;cr+3a+3W1,

解得QH-1,-2.乂〃+2,(a+l)2,/+3〃+3且不相等，由。+2關(guān)Q+l)?得

_]±J5

a75；由a+2Wa?+3。+3彳導(dǎo)aW—1",由(〃+1)?￡/+3a+3彳導(dǎo)aW—2.綜

—I+,\[5—1—y[5

上，。的值不可能為-2,-1,0,---2―，—2?

考向二集合間的基本關(guān)系

例2(1)(2023.茂名二模)已知集合人={刈x|Wl},B=[x\2x-a<0},若，13,

則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(2,+8)B.[2,+8)

C.(-8,2)D.(—8,21

答案A

解析由已知得A=3—l?1},B=j4v<f),若則41,所以。

>2.

3

<-

(2)已知集合A二{處，=也二7+2},B=X=-<2

〃,則下列結(jié)論正

確的是()

A.A=BB.AQB

C.BAD.AB

答案c

,——13)

解析因為A={x|y=5一1+2}={小21},B邛x=1,lfv〃可二

{小22},所以BA

(3)設(shè)A={x*+4x=0},B={xlx2+2(〃+1)x+a2-1=0},

①若照A,則實數(shù)。的取值范圍為；

②若AG8,則實數(shù)。的取值范圍為.

答案①或。=1}②{1}

解析由題意，得A={-4,()}.①4,.2=?；?={-4}或人{()}

或8={-4,0}.當(dāng)8=0時，x2+2(。+1)x+tz2-1=0無解，即/=4(〃+I)2-4(/

-1)=847+8<0,解得”一1；當(dāng)笈={一4}或8={0}時，f+2(4+1)工+儲一1二0

有兩個相等的實數(shù)根，則/=8〃+8=0,.?.〃=-1,此時8={0},符合條件；當(dāng)

B={一4,0}時，一4和0是方程『+2(〃+l)x+/—1=0的兩個根，則

p=8?+8>0,

，-4+0=-2(。+1),解得。二1.綜上所述，實數(shù)。的取值范圍為伍|4〈-1或

L-4x0=a2-I,

a=\}.?9：AQB,：.B=[-4,()}.由①知a=l.

I觸類旁通I

1.判斷兩集合間關(guān)系的三種方法

2.由集合間的關(guān)系求參數(shù)的解題策略

(1)若集合元素是一一列舉的，則將集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進而

轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系，此時注意集合中元素的互異性.

(2)若集合表示的是不等式的解集，常借助數(shù)軸轉(zhuǎn)化為區(qū)間端點間的關(guān)系，進

而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系，此時需注意端點值能否取到.

提醒：題目中若有條件"A,則應(yīng)分八。和兩種情況進行討論.

&即時訓(xùn)練1.Q023?新課標(biāo)II卷)設(shè)集合A={0,-a}tB={1,?-2,2a-2),

若ACS,則“二()

A.2B.1

2

C.TD.-1

J

答案B

解析因為AG8,若〃-2=0,解得。=2,此時A={0,-2),B={1,0,

2),不符合題意；若2。-2=0,解得“=1,此時,4=(0,-1),^={1,-1,0),

符合題意.綜上所述，。=1.故選巳

2.(2024?合肥模擬)已知集合4={升？-3工+2=0),B={xl0<x<6,x€N),

則滿足條件ACGB的集合C的個數(shù)為()

A.3B.4

C.7D.8

答案c

解析由已知得A={1,2),B={1,2,3,4,5),因為AGB,所以集

合C的個數(shù)為23-1=7.故選C.

3.已知集合A=“|(x+l)(x-6)W0},若BQAt

則實數(shù)m的取值范圍為.

答案,機，〃<一2或OWwWa

解析A=3-1WXW6),若照A,則當(dāng)3=。時，有〃2-1>2m+1,g]m<

{tn-1W2〃？+1,

12-1,解得0W機綜上，實數(shù)〃?的

2m+1W6,

5

取值范圍是"，/〃〈-2或.

多角度探究突破_______________

考向三集合的基本運算

角度1集合間的交、并、補運算

例3(1)(2023?新課標(biāo)I卷)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x\x2-x

-6^0),貝)

A.{-2,-1,0，1)B.{(),1,2)

C.{-2}D.2

答案c

解析因為—x-—-2]U[3,+8),而加={-2,-

1,0,1,2),所以MnN={-2}.故選C.

(2)(2023?全國乙卷)設(shè)集合U=R,集合M={x\x<\],7V={x|-l<x<2},則

{小，2}=()

A.[u(MUMB.NUluM

C.D.MU「uN

答案A

解析由題意可得MUN={x|x<2},貝IJ[u(MUN)={x|x32},A正確；CuM=

{鄧丫21},則NUCuM={^>-1},B錯誤；Mf!N={x|-lavl},貝lJCu(MnM

={4rW-l或x'l},C錯誤；CUN={.E|XW-1或x22},則MUCuN={4El或

A^2},D錯誤.故選A.

S觸類旁通?集合基本運算的求解策略

(1)當(dāng)集合是用列舉法表示的數(shù)集時，可以通過列舉集合的元素進行運算，也

可借助Venn圖運算.

(2)當(dāng)集合是用不等式表示時，可運用數(shù)軸求解.對于端點處的取舍，可以單

獨檢驗.

(3)解決抽象集合(沒有給出具體元素的集合)間的關(guān)系判斷和運算的問題的途

徑有兩條：一是利用特殊值法將抽象集合具體化；二是利用圖形化抽象為直觀.

.即時訓(xùn)練1.(2023?運城四模)已知集合A二上尸聲前，B={y|y=-|A-

3|-2},貝IJAU8=()

A.。B.(-00,-2]

C.(-8,())D.(-oo,()]

答案C

1

解析A二'丁=^^j={4r<0},B={y\y=-|x-3|-2}=-2},則

AUB=(—8,o).故選C.

2.(2024?廣州模擬)已知全集U=R,集合A={Mr24或xWO},B={x\x>4

或xW-2},則圖中陰影部分表示的集合為()

A.(-2,0]B.[-2.0J

C.[-2,0]U(4}D.(-2,0]U(4)

答案D

解析因為A={.小24或xWO},3={小>4或xW-2},所以AUB二{#24

或x〈0}U{x\x>4或xW-2}={x|x24或xWO}，八nB={x|x24或xWO}A{x|.r>4

或xW-2}={#>4或.W-2).由題意可知陰影部分表示的集合為[Cu(AAB)]A(A

U8),因為1u(AnB)={x|—2<x<4},所以[Cu(A「8)]n(AU8)={x|-2oW0或x

=4).故選D.

3.已知M,N均為R的子集，且CKA/UN,則A/U(CKN)=()

A.0B.M

C.ND.R

答案B

解析解法一：??,CRMGN,/.M3CR/V,據(jù)此可得MU(CRN)二M.故選B.

BGli

解法二：如圖所示，設(shè)矩形區(qū)域ABC。表示全集R,矩形區(qū)域表示集

合也則矩形區(qū)域CDEH表示集合鼠憶矩形區(qū)域CDFG表示集合N,滿足CRMGN,

結(jié)合圖形可得MUCCRA7)="故選B.

角度2利用集合運算求參數(shù)

例4(1)(2024?無錫模擬)已知集合A={xWZ|-14v3},B=[x\3x-a<()},且

An(CR5)={l,2},則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(0,4)B.(0,4]

C.(0,3]D.(0,3)

答案C

解析由集合A={xeZ|—l<r<3}={0,1,2},B={x\3x-a<0}

可得=因為An(CR8)={l,2),所以解得()<〃W3,即實

數(shù)。的取值范圍是(0,3].故選C.

(2)已知集合A二{工|3『一〃一IWO},8={x\2a<x<a+3]i若其「16二%則實

數(shù)。的取值范圍是________.

「10-

答案色忘-不或心于

解析4=33爐-太-1忘0}二卜一;WxWl,①若8=。，貝1]2。2。+3,解

得。23,符合題意；②若BW。，則

所以實數(shù)。的取值范圍是,〃學(xué)或。*二

[觸類旁通h艮據(jù)集合的運算結(jié)果求參數(shù)的值或取值范圍的方法

(1)將集合中的運算關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個集合之間的關(guān)系.若集合中的元素能一一

列舉，則用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系；若集合是與不等式有關(guān)的集

合，則一般利用數(shù)軸解決，要注意端點值能否取到.

（2）將集合之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為解方程（組）或不等式（組）問題求解.

⑶根據(jù)求解結(jié)果來確定參數(shù)的值或取值范圍.

*即時訓(xùn)練1.已知集合A={x|3?-2x-5<0},B={x\x>a],若=則

實數(shù)。的取值范圍為（）

55

A._8,3B.

C.(一8,-J]D.(-8,-1)

答案C

2x-5<0|={x\(3x-5)(x+1)<()}=x-1<v<!|,而

解析依題意4二國3?-

故AG8,得aW—L故選C.

2.已知集合尸2>0},Q={x\x2+^+b^0},若PUQ二R,PQQ

=(2,3],則a+b=

答案-5

解析-={，/___2>0}=.僅>2或產(chǎn)—1},?.,尸UQ=R,?02=（2,3],

.??。=3-1WXW3},1,3是方程/+然+8=。的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系

得,—a=—1+3=2,b=-3,.,.ab=■—5.

角度3集合的新定義問題

例5（2023?青島模擬）若一個集合是另一個集合的子集，稱兩個集合構(gòu)成“全

食”；若兩個集合有公共元素，但互不為對方子集，則稱兩個集合構(gòu)成“偏食”.對

于集合4=1,1）,8=國加=1,心0},若兩個集合構(gòu)成“全食”或“偏食”,

則。的值為.

答案0或1或4

解析因為8={犬|加=1,心0},若。=0,則8=。，滿足8為4的真子集，

此時A與B構(gòu)成“全食”；若心0,則B=卜f=%J古，一七.若A與8構(gòu)成“全

食”或“偏食”，則+=1或+=]解得。=1或。=4.綜上，。的值為?；?或4.

7a7a，

觸類旁通曦決以集合為背景的新定義問題要抓住的兩點

(1)緊扣新定義.首先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清

楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點的關(guān)鍵

所在.

(2)用好集合的性質(zhì).解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因

素，在關(guān)鍵之處用好集合的運算與性質(zhì).

查即時訓(xùn)練(2024.泰安期中)對于非空數(shù)集A二{山，6/2,03,…，

其所有元素的算術(shù)平均數(shù)記為E(A),即E(A)+.+;+?！ㄈ舴强諗?shù)集B

滿足下列兩個條件：①B1A;②￡(8)二￡(A),則稱B為A的一個“保均值子集”.據(jù)

此，集合{1,2,3,4,5}的“保均值子集”有()

A.4個B.5個

C.6個D.7個

答案D

解析設(shè)集合A二{1,2,3,4,5},則該集合中所有元素的算術(shù)平均數(shù)反A)

1+2+3+4+5

=------5------=3、所以由新定義可知，只需找到非空數(shù)集B滿足BQA,且

E(B)=3即可.據(jù)此分析易知，集合(1,2,3,4,51,(1,2,4,5),{1,3,

5),(2,3,4},{1,5},{2,4},{3}都符合要求.故集合{1,2,3,4,5}的“保

均值子集”有7個.故選D.

課時作業(yè)

一、單項選擇題

1.(2024?武漢二中質(zhì)檢)已知集合M={%2d-l,2a2-\},若則M

中所有元素之和為()

A.3B.1

C.-3D.-1

答案C

解析若。=1,則%-1=1,不滿足集合元素的互異性；若2〃-1=1,則a

=1,不滿足集合元素的互異性，故解得4=1(舍去)或〃二一1,故M

={-1,-3,1),M中所有元素之和為-3.故選C.

2.(2023?四省高考適應(yīng)性測試)設(shè)集合A=[2,3,a2-2a-3],B={0,3},

C={2}a}.^BQA,AnC={2},貝lj〃=()

A.-3B.-1

C.1D.3

答案B

解析因為照A,所以。2-2。-3=0,解得-1或。=3.若。=-1,則A

={2,3,0),C={2,-1),此時ACC二{2},符合題意；若。=3,則4={2,

3,0),C={2,3),此時ACC={2,3},不符合題意.故選B.

3.(2023?全國甲卷)設(shè)集合A={x|x=3%+1,kSZ},B={x\x=3k+2,&￡Z},

U為整數(shù)集，]u(AUB)=()

A.{x[x=3^,kSZ}B.{x|x=3/:-1,k￡Z)

C.(小=3攵-2,/:€Z}D.。

答案A

解析因為整數(shù)集Z=f4r=3乂?WZ}U{x[x=3V+l,2WZ}U{小=31+2,

kCZ\,U=Z,所以。必1)8)={小=33AWZ}.故選A.

x-1

4.(2023?南京一模汜知集合4=x「<0,若ACN*=。，則實數(shù)。的取

x-a

值范圍是()

A.{1)B.(-oo,1)

C.[1,2]D.(一8,2]

答案D

解析解法一：由題意，得A二1)。-。)<0},當(dāng)a>\時，4={.r|l<A<tz},

因為AnN*=。，所以1<忘2;當(dāng)。<1時，A={^<A<1},因為AC1N*=。，所以

6/<1；當(dāng)。=1時，A=。，滿足題意.綜上所述，實數(shù)〃的取值范圍是(-8,2].故

選D.

解法二：當(dāng)〃=2時，A="|1<E<2},ACIN*=。，故排除A,B;當(dāng)。二0時，

A={X|04<1},AnN*=。，故排除c.故選D.

5.(2023?青島二模)已知A,8均為R的子集，且從「(。3)=4則下列結(jié)論

中一定成立的是()

A.BQAB.AU8=R

C.AC\B=0D.A=QRB

答案C

解析VAA(CRB)=/4,.T.AQ^RB,用Verm匡表示如右.由圖

可知，AClB=。,即C一定成立，A一定不成立，B,D都不一定

成立.故選C.

6.(2024.鄭州一中質(zhì)檢)已知集合”={標(biāo)-3衣0},7V={x|log2X<4},且全集

U=[-1,20],貝IJU=()

A.MCRuN)B.NC(CuM)

C.MU(CuMD.NU(CuM)

答案D

解析由已知得集合”=((),3),N=(0,16),貝IJMn(CuN)=。，NC0uM)

=[3,16),MU(QW)=[-1,3)U[16,20],NU(CuA/)=[-1,2()]=U.故選D.

7.(2024?濰坊模擬)設(shè)集合M={xezRd00<2、},則M的所有子集的個數(shù)為

()

A.3B.4

C.8D.16

答案C

解析解不等式fvlOO,得-104V10,解不等式100<2工，得x>log2100,由

于Iog226<log2100<log227,所以{xeZ|A2<100<2t)={xez|log2100<x<10)=(7,

8,9),所以M的所有子集的個數(shù)為23=8.故選C

8.調(diào)查了100名攜帶藥品出國的旅游者，其中75人帶有感冒藥，80人帶有

胃藥，那么對于既帶感冒藥又帶胃藥的人數(shù)統(tǒng)計中，下列說法正確的是()

A.最多人數(shù)是55B.最少人數(shù)是55

C.最少人數(shù)是75D.最多人數(shù)是80

答案B

解析設(shè)100名攜帶藥品出國的旅游者組成全集/,其中

帶感冒藥的人組成集合4帶胃藥的人組成集合及又設(shè)所攜/)

帶藥品既非感冒藥又非胃藥的人數(shù)為占則20],以|」

上兩種藥都帶的人數(shù)為F根據(jù)題意列出Venn圖，如圖所示.由圖可知，X+75+

80-y=100,/.y=55+x.V0<x<20,A55<><75,故最少人數(shù)是55.故選B.

二、多項選擇題

9.(2024.無錫一中月考)已知集合A=3-1VW3),B={x\M^2),則下列關(guān)

系式正確的是()

A.AClB=0B.AU8二口|-2?}

C.4U(CRB)={.E|啟-1或心>2}D.An(CRB)={x[2<xW3}

答案BD

解析?：A={x\-\<x^3}i3=L4r|W2}={M-2WxW2},：.AC\B={x\-

14W3}n*|-2WxW2}={x|-14W2},A不正編;AUB={x|-K}U3-

2WxW2}={x|-2WxW3},B正確;2CRB={*v-2或心>2},/.AU(CRB)={x|x<

-2或心>-l},AA(CRB)={X|24W3},C不正確,D正確.

10.(2023?濟南模擬)圖中陽影部分用集合符號可以表示

為()

A.ACI(BUC)B.AU(Bn。

C.An[u(8nc)D.(AClB)U(An。

答案AD

解析圖中陰影部分用集合符號可以表示為40(31；0或508)1；

(AnC).故選AD.

11.設(shè)集合4={Rx=m+,m,n€N(：},若對于任意xi€A,€4,均

有第十則運算e可能是()

A.加法B.減法

C.乘法D.除法

答案AC

解析由題意可設(shè)XI="21X2=儂+73"2,其中〃2I,"Z2,/n,712€N\

貝ljXI+12=(〃?1+m2)+、。(〃1+〃2),XI+X2EA,所以加法滿足條件，A正確；XI-

X2=(〃ZI-〃?2)+小(川-〃2),當(dāng)〃1=〃2時，XI72在A,所以減法不滿足條件，B錯

誤；x\xi=mimi+3n\m+\^(m\n2+min\),x\xi€A,所以乘法滿足條件，C正確；

rini]+yl3n\[n\>?|ri

-=----a，當(dāng)嬴二7二人a>0)時，不A,所以除法不滿足條件，D錯誤.

人2W2+\3??2m?〃2X2

三、填空題

y—1

12.已知集合A=2x,-―,If,3={父，x+y,()},若A=B,則x+)，=

答案2

解析顯然產(chǎn)1,即4={2羽0,1},B={記，x+l,0}.若尤+1=1,貝心

=0,集合A中元素不滿足互異性，舍去，且2x=x+l,.,.x=l,故x

+y=2.

13.(2024.西安鐵一中月考)已知集合4={]￡為

|x+2|<3),B={x￡R|a-〃2)(x-2)<0},且AnB=(-1,〃)，貝ljm=

答案-11

解析A={x￡R||x+2|<3}={x￡R|-5<x<l),由AnB=(-1,〃)，可知m<\,

則5={彳|加《2},畫出數(shù)軸，可得〃?=-1,〃=L

&g「1r

-5-10124

14.(2024?南昌二中質(zhì)檢)已知集合4={小=坨(〃-x)}]=31V<2},且(CRB)

UA=R,則實數(shù)。的取值范圍是_______.

答案[2,+8)

解析由已知可得4二(一8,。)，[RB=(-8,1]U[2,+8),./￡/)IM

=R,..a22.

四、解答題

2x-1

15.已知集合4=xy=、1j,3=3-lWx+〃W2}.

(1)求集合A;

⑵若照A,求實數(shù)。的取值范圍.

2x—1

解(1)由二77-120,

x-2

即二得x<-1或x22,

111

所以集合4={小<一1或x22}.

(2)集合B={x|-lWx+aW2}={x\-1--WxW2-4},由BOA得2-cK-1

或-1-心2,解得〃>3或QW-3,所以實數(shù)。的取值范圍為(-8,-3]U(3,

+8).

4

16.(2023?臨沂模擬)在①A=x；②A={x|/一2x-3v0}；③A二{川仇

-1|<2}這三個條件中任選一個，補充在下面橫線上，并解答問題：

設(shè)集合,B={A|(X-2w)(x-/w2-1)<0)(/??1),

(1)當(dāng)〃z=-l時，求ACB,BU(CRA);

(2)若AUB=A,求實數(shù)〃?的取值范圍.

解(1)當(dāng)〃?二一1時，B={x\(x+2)(x-2)<0}={x\-2<x<2],

443—x

若選①：.+]>1-]+]一?>0=(+[>0=(x-3)(x+1)<0,解得-I<x<3,

所以A={x\-l<x<3},

所以An3=3—14v2},

[RA={A#W-1或X?3},

BU(CRA)={小<2或x23}.

若選②：x2-2x-3<0<=>(x-3)(x+l)<0,

解得_1V<3,所以A={X|-14<3},

下同選①.

若選③：由|x-1|<2得-24-1<2,

解得一l<x<3,所以{3一l<x<3},

下同選①.

⑵由⑴知4=國-14<3}.

因為，”W1,所以〃。+1-2〃?=(〃?-1)2>0,EPm2+1>2m,B=(2ni,/n2+1),

因為AU8=A,所以BGA,

所以、m解得-啦.

1<3,2

所以實數(shù)〃?的取值范圍為一/“U(l,啦］.

第2講充分條件與必要條件

［課程標(biāo)準(zhǔn)11.理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系2理解充

分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關(guān)系.3.理解充要條件的意義，理解數(shù)

學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.

基礎(chǔ)知識整合

＞知識梳理

充分條件、必要條件與充要條件

若〃=夕，則〃是一的畫充分條件,。是〃的畫必要條件

p是q的畫充分不必要條件pnq且q4p

〃是g的1-1必要不充分條件q且qnp

P是q的國充要條件

pcq

〃是g的函既不充分也不必要條件p冷q旦qnp

1.(1)若〃是4的充分不必要條件，O是廣的充分不必要條件，則〃是一的充

分不必要條件.

(2)若p是q的充分不必要條件，則q是p的必要不充分條件.

2.若A=3P(X)},B={x0(x)},貝lj

(1)若AG8,則〃是4的充分條件；

(2)若心伉則〃是夕的必要條件；

⑶若A=3,則〃是g的充要條件；

(4)若AB,則〃是q的充分不必要條件；

(5)若A&則〃是夕的必要不充分條件；

(6)若A8且AB,則，是夕的既不充分也不必要條件.

總結(jié)：小推大，大不可推小.

＞雙基自測

I.(2024.福清三中月考)已知〃：x(x-1)=(),q'x=\,則〃是“的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析m—1）=（）心=（）或x=l,因此由〃：Hr-1）=0不一定能推出4：x

二1,但是由4"二1一定能推出P：Mx-1）=0,所以〃是。的必要不充分條件.故

選B.

2.（人教A必修第一冊習(xí)題1.4T6改編）在AABC中，“"+802=AC"是

“△ABC為直角三角形”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析在△ABC中，AB2+BC2=AC\則/3=90°,即△ABC為直角三

角形；若△A8C為直角三角形，推不出N5=90°,所以A82+8C2=Ad不一定

成立.綜上，“序+8。2=AC?”是“△ABC為直角三角形”的充分不必要條件.故

選A.

3.（人教A必修第一冊習(xí)題1.4T3⑶改編）若p：AB,q：AUB=B,貝lj〃

是^的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析因為AB,所以可以推出AU3=4;又因為AU8=B,所以

當(dāng)A=3時，推不出AB.故選A.

4.（人教A必修第一冊習(xí)題1.4T2⑵改編）已知命題p：一元二次方程+

"2=0有實數(shù)根，q；加這;，則〃是。的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案C

解析若方程/-工+〃2=0有實數(shù)根，貝必=1-4/g0,解得〃W不所以〃

是夕的充要條件.故選C.

5.已知p：x>a是q：2V<3的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是

答案（-8,2]

解析由已知，得*|24<3}{x\x>a）,所以實數(shù)。的取值范圍是（-8,2].

核心考向突破

考向一充分、必要條件的判斷

例1（1）（2024.濟南模擬）“Q），”的一個充分條件可以是（）

A.2V-V>1B.『>），2

C..>1D.x^yt2

答案D

解析因為由"》尸，可得所以匕尸力產(chǎn)是）>），”的充分條件，所以D

3y1

->-

符合題意.由得工一丁>一1,當(dāng)工=1,22

不能推出x>y；由爐曠，可得國術(shù)|,不一定能推出Q），，例如當(dāng)x=-3,），=2

時，*>）?成立，但心>），不成立；若$1,當(dāng)）《）時，可得x<y.因此A,B,C均不

符合題意.故選D.

（2）（2023?全國甲卷）"sii?a+sin2^=1”是“sina+cosQ=0”的（）

A.充分條件但不是必要條件

B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件

D.既不是充分條件也不是必要條件

答案B

71

解析當(dāng)sin%+sin%=l時，例如a=5，4=。，但sina+cos^WO,即sin2a

+sin%=l推不出sin?+cos/?=0;當(dāng)sina+cos/?=0時，sin2c(+sin2/?=(-cos^)2

+sin%=1,EPsina+cos。=0能推出sin2G+sin2/?=1.綜上可知，"sin2a+sin2/9=1"

是力恒+856=0”的必要條件但不是充分條件.故選B.

(3)(2023?南京師范大學(xué)附屬揚子中學(xué)模擬)設(shè)乙的充分不必要條件是甲，乙是

丙的充要條件，丁是丙的必要不充分條件，那么甲是丁的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析由已知條件可知甲京乙Q丙二丁，所以甲=丁，丁冬甲，即甲是丁的

充分不必要條件.故選A.

「觸類旁通I判斷充分條件、必要條件的兩種方法

(1)定義法

(2)集合法

基本思路根據(jù)P,夕成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進行判斷

適用范圍多適用于命題中涉及字母取值范圍的推斷問題

抓住“以小推大'的技巧，即小范圍推得大范圍，簡記為“小充

解題技巧

分，大必要”

?即時訓(xùn)練1.(2023?無錫模擬)已知x￡R,則"#0”是。+k|>0"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析由x+|x|>0可解得x>0,“xWO”是&>0”的必要不充分條件，。

W0”是“x+|x|>0"的必要不充分條件.故選B.

2.(2023?湖南師大附中二模)設(shè)等比數(shù)列｛〃〃｝的首項為S，公比為小5rs<0

且0%<「'是"對于任意，KN'都有。小“〃”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析??Z〃+i=a的，“m<0且0〈如1”="對于任意.TN*都有的+1>的”；

n

“對于任意n€N*都有〃〃+\>a?4%i<0且0<如1"，如an=2〃，滿足。〃+\>an,n

WN*,但m=2,q=2,「?"mvO且0<4<1”是“對于任意〃WN*都有的

充分不必要條件.故選A.

考向二根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的范圍

2

例2已知土二｛蟲---2。^。｝,非空集合S=｛x\\-fn