《電磁兼容技術(shù)及其應(yīng)用》課件第7章

第七章測試中的數(shù)據(jù)處理技術(shù)

7.1數(shù)據(jù)處理中的幾個(gè)重要原則7.2數(shù)據(jù)處理的一般方法7.3誤差的處理

7.1數(shù)據(jù)處理中的幾個(gè)重要的原則

7.1.1平等性

近代科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)，把數(shù)據(jù)處理的理論和技術(shù)提高到了一個(gè)新階段，其思想觀念是盡量做到簡單、對(duì)稱、和諧。在具體做法上是實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)處理中的幾個(gè)重要的原則或特性，那就是平等性、正常性、約束性和簡潔性。這些近代數(shù)據(jù)處理觀念對(duì)數(shù)據(jù)處理工作帶來新的活力。

平等性是自然界普遍存在的參與性在數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域中的反映。追求平等參與是一個(gè)過程。作為例子，設(shè)有一群平面點(diǎn)(xi,yi)，i=1,2,3,…,n,欲使這批數(shù)據(jù)回歸成一條直線，試求y=kx+b中的k和b。為了說明追求平等性處理的發(fā)展過程，先從不平等性處理說起。

１.最簡單的不平等方法——圖解法處理

將n對(duì)(xi,yi)測量值標(biāo)在坐標(biāo)紙上，若點(diǎn)群形成一條直線帶，則在直線帶中間作一直線，將此直線近似為回歸直線，如圖7.1-1所示。在此回歸直線帶上找出兩端點(diǎn)M1(x1、y1)，M2(x2,y2)，則有

由于缺乏所有試驗(yàn)點(diǎn)（測試點(diǎn)）的全員參與，所以這種處理是不平等的，b、k之解肯定不精確。圖7.1-1圖解法處理２.簡單的平均法處理

把數(shù)據(jù)分成兩組，分別相加后得兩組二元一次方程式：聯(lián)立求解上式,得

由上述可見，試驗(yàn)點(diǎn)的參與性增強(qiáng)了，但由于分組的不確定性，使k、b的解不唯一，平面點(diǎn)群(xi,yi)是分片參與處理，仍然不是完全意義的平等性，見圖7.1-2。(7.1.4)圖7.1-2平均法處理３.線性回歸處理

設(shè)第i組數(shù)據(jù)存在的殘差為(7.1.5)可得(7.1.6)式中,(7.1.7)在線性回歸中,每組數(shù)據(jù)(xi,yi)的地位是平等的，但仍然存在不平等性，主要是因?yàn)棣舏=Δyi未含Δxi的緣故。４.曲線的法向回歸法處理

以上述回歸直線為例，設(shè)平面數(shù)據(jù)點(diǎn)群(xi,yi)回歸成一條直線，使其與直線的法向距離平方和為最小，如圖7.1-3所示。

把x軸旋轉(zhuǎn)θ角，在x′oy′坐標(biāo)系中還原成一般直線線性回歸問題，且直線斜率k′=0。于是有，(7.1.8)圖7.1-3曲線的法向回歸法(7.1.10)(7.1.9)則有,(7.1.11)式中,(7.1.12)法向回歸不但體現(xiàn)了各組數(shù)據(jù)(xi,yi)之間的平等性，還體現(xiàn)了各變量(如坐標(biāo)x,y)之間的平等性，若變量之間存在不等精度，則可作加權(quán)預(yù)處理，加權(quán)后各數(shù)據(jù)組依然是平等的。7.1.2正常性

數(shù)據(jù)處理的主要目標(biāo)之一是盡可能地消除偶然誤差，通常方案是采用多余數(shù)組。按照一般概念，數(shù)據(jù)處理應(yīng)該有解，而且如果所提供的數(shù)據(jù)愈精確，則所得結(jié)果也應(yīng)愈好，這就是數(shù)據(jù)處理的正常性。

不過，在實(shí)際的數(shù)據(jù)處理中有時(shí)也會(huì)遇到反常情況，這就需要做細(xì)微討論且謹(jǐn)慎處理的。

出現(xiàn)反常性的第一種情況是：在構(gòu)造的數(shù)據(jù)處理格式中，若所提供的數(shù)據(jù)越精確，則反而使結(jié)果出現(xiàn)奇異。下面以研究圓的法向回歸為例對(duì)其加以介紹。問題的基本提法是：平面數(shù)據(jù)群(xi,yi)，如圖7.1-4所示。圖7.1-4平面數(shù)據(jù)群將其擬合成一圓，并假定目標(biāo)函數(shù)為

其中，

求回歸圓心(x0，y0)和回歸半徑R。(7.1.13)(7.1.14)根據(jù)目標(biāo)函數(shù)要求，有

，可得(7.1.15)十分明顯，所提供的數(shù)據(jù)愈精確，則上式中的分母

,即會(huì)造成計(jì)算結(jié)果的不確定性，且使結(jié)果趨于異常，將異常轉(zhuǎn)化為正常性的一個(gè)有效手段是重新構(gòu)造數(shù)據(jù)處理格式。對(duì)于上述問題可改進(jìn)迭代方程，如下所示：(7.1.16)

顯然，問題的難點(diǎn)也在于如何構(gòu)造正常的數(shù)據(jù)處理格式。反常性的第二種情況是：數(shù)據(jù)處理出現(xiàn)無解，典型的例子是齊次問題。無誤差方程為

a1x1+a2x2+…+amxm=0

(7.1.17)

假定第i次測量誤差為

εi=a1ix1+a2ix2+…+amixm,i=1,2,3,…,n

(7.1.18)

且目標(biāo)函數(shù)ε的定義為

式中，x1,x2,…,xm為待求量，根據(jù)ε/

xi=0(i=1,2,3,…,n)可得(7.1.19)(7.1.20)亦可簡寫作：Ax=0。我們知道，齊次方程的有解條件是detA=0，其中，det表示矩陣所對(duì)應(yīng)的行列式。但是，由于數(shù)據(jù)的各種偶然誤差，這一條件一般不滿足，從而致使x無解。也就是說，又一次出現(xiàn)了數(shù)據(jù)處理的反常性。7.1.3約束性

最優(yōu)化理論中存在無約束優(yōu)化和帶約束優(yōu)化兩大分支，其主要區(qū)別是優(yōu)化參量的可取域不同。類似地，在數(shù)據(jù)處理問題中也存在無約束和帶約束兩種情況。

約束所起的作用主要是把非獨(dú)立參量之間的約束關(guān)系引入目標(biāo)函數(shù)，或者把無解的問題轉(zhuǎn)化為帶約束的極小解。

作為例子，研究上節(jié)Ax=0，且detA≠0問題。在一般意義下，此問題無解。試引入約束條件：

xTx－c=0

(7.1.21)和Lagrange因子μ，其中，xT表示x的轉(zhuǎn)置矩陣，則帶約束齊次問題的極小解定義為

minε=min{xTATAx－(μ(xTx－c)}

(7.1.22)

由=0,i=1,2,…,n和=0的極小化條件又可得到

其中，I為單位矩陣。在式兩邊點(diǎn)乘xT，再考慮到約束條件，則可知

minxTATAx=minμc

(7.1.24)

特別，當(dāng)取c=1時(shí)，則更簡化為

minxTATAx=minμ

(7.1.23)也即我們要求的極小解等于最小本征值μ，進(jìn)一步考慮A矩陣的對(duì)稱性，則有：

問題得到又一次簡化，所需的x即為minλ所對(duì)應(yīng)之解。上面討論的就是齊次方程的帶約束極小解。

應(yīng)該指出：根據(jù)實(shí)際要求，約束的形式可以是多種多樣的，這里僅表示其中一種對(duì)稱約束。(7.1.25)7.1.4簡潔性

簡單一直是科學(xué)研究追求的主要目標(biāo)之一。數(shù)據(jù)處理問題中所謂的簡潔性是指所需的信息種類盡可能少，方法簡單，邏輯思路簡潔。

需要提到的是，這一性質(zhì)對(duì)我們來說，不僅有理論意義，還有重要的實(shí)用價(jià)值。例如，在物理光學(xué)中，“光輻射場的位相恢復(fù)問題”始終占有十分顯要的地位。因?yàn)楣鈭鲈跈z測過程中只能獲得其強(qiáng)度而無法測定其相位。如果光學(xué)反演問題能從振幅中獲取全部信息，則將會(huì)使物理學(xué)的發(fā)展跨前一大步。又例如，在微波和電磁的反演和網(wǎng)絡(luò)參數(shù)測定中，如果只要求振幅信息對(duì)于自動(dòng)化技術(shù)是十分有利的，甚至可以用標(biāo)量網(wǎng)絡(luò)分析儀局部取代矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀。總之，數(shù)據(jù)處理理論不僅在方法上而且在思想上給出若干重要原則，這對(duì)于其發(fā)展和研究都是十分必要的?；跍y量的數(shù)據(jù)處理，廣義地說是對(duì)某種目標(biāo)的反演。倘若說經(jīng)典的數(shù)據(jù)處理是以誤差作為討論的主要內(nèi)容，那么近年來，關(guān)于模糊反演或不完全信息反演的概念業(yè)已提出，這些思想對(duì)于數(shù)據(jù)處理理論的進(jìn)一步發(fā)展無疑會(huì)有深刻的影響，也為今后的研究工作指出了方向。

7.2數(shù)據(jù)處理的一般方法

7.2.1組合測量的數(shù)據(jù)處理

組合測量是經(jīng)常使用的一種測量方法，通過直接測量待測參數(shù)的各種不同組合量(一般為等精度測量)，可間接求得各待測參數(shù)，這需要用到線性參數(shù)的最小二乘法處理的知識(shí)。以下討論都是居于等精度的多次測量，測得值無系統(tǒng)誤差、不存在粗大誤差。

精密測量三個(gè)電容值x1、x2、x3，采用多種方案(等權(quán))測得獨(dú)立值和組合值x1、x2、x1+x3、x2+x3，可列出待解的數(shù)學(xué)模型，即

這是一個(gè)超定方程組，即方程的個(gè)數(shù)多于待求量的個(gè)數(shù)，不存在唯一的確定解。由于測量有誤差，按殘余誤差的平方和函數(shù)式對(duì)x1、x2、x3求偏導(dǎo)求極值，并令其等于零，得到如下的確定性方程組：(7.2.1)

由以上方程組可求出唯一解x1=0.325、x2=－0.425、x3=0.150。這組解稱為原超定方程組的最小二乘解。

1.最小二乘原理

用φ(x)擬合m對(duì)數(shù)據(jù)(xk,yk)(k=1,2,…,m)，使得誤差平方和最小，這種求φ(x)的方法稱為最小二乘法。若采用直線擬合，則y=φ(x)=a0+a1x，于是(7.2.2)即a0、a1是方程組的解。最小二乘估計(jì)法作為求回歸方程式中參數(shù)的最一般方法,由其計(jì)算而得的估計(jì)量在所有的線性無偏估計(jì)中具有最小方差,這是高斯-馬爾可夫定理的基本結(jié)論。最小二乘法對(duì)于誤差的表示，是通過［yk－φ(xk)］2來描述的，當(dāng)然也可以有別的誤差表達(dá)形式，如

[yk－φ(xk)]n，其中，n可以取任意正整數(shù)。這樣用φ(x)擬合m對(duì)數(shù)據(jù)(xk，yk)(k=1,2,…,m)，使得最小，可以稱之為最小n乘法。在最小n乘法中，最小二乘法作為擬合直線的一種特例方法，所得到的擬合直線也不一定是最佳直線。最小二乘法的基本做法就是使點(diǎn)到直線離差的平方和最小。如果對(duì)點(diǎn)到擬合直線的離差絕對(duì)值化，就是最小絕對(duì)值估計(jì)法，即最小一乘法。對(duì)于最小二乘估計(jì)法，每一個(gè)離差的損失是離差的平方。對(duì)于最小一乘估計(jì)法，每一個(gè)離差的損失是該離差的絕對(duì)值。兩者的損失函數(shù)都是關(guān)于離差符號(hào)對(duì)稱的函數(shù)。通常認(rèn)為離差的重要性與其數(shù)量大小成正比。當(dāng)處理的數(shù)據(jù)含有異常點(diǎn)時(shí)，很可能不止一個(gè)。采用人為修改異常點(diǎn)是缺乏說服力的，因?yàn)樗鼈冇锌赡芊从车氖亲兞块g的重要關(guān)系，不能輕易地將其舍棄，必須再進(jìn)行奇異點(diǎn)有效性判斷。如果奇異點(diǎn)有效并且偏差較大，采用最小二乘法就不太合適。在最小二乘法失效的情況下，可以嘗試采用最小一乘法。

基于最小二乘原理的數(shù)據(jù)處理方法是解決如上述實(shí)際問題的有效方法，在各學(xué)科領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用，它可用于解決參數(shù)的最可信賴值的估計(jì)、組合測量的數(shù)據(jù)處理、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的線性回歸等問題。處理過程可用代數(shù)式或矩陣形式表達(dá)兩種不同的形式表達(dá)。

現(xiàn)有線性測量方程組為

yi=ai1x1+ai2x2+…+aitxt(i=1,2,…，n)

(7.2.3)

式中，有n個(gè)直接測得量y1，y2，…，yn，t個(gè)待求量x1，x2，…，xt，且n＞t，各yi等權(quán)、無系統(tǒng)誤差和無粗大誤差。因yi含有測量的隨機(jī)誤差，每個(gè)測量方程都不嚴(yán)格成立，故有相應(yīng)的測量誤差方程組

式中，vi稱為殘差。即為

v1=y1－(a11x1+a12x2+…+a1txt)

v2=y2－(a21x1+a22x2+…+a2txt)

vn=yn－(an1x1+an2x2+…+antxt)(7.2.4)…線性參數(shù)的最小二乘法借助矩陣進(jìn)行討論將有許多方便之處，下面給出矩陣形式。設(shè)有以下列向量：

系數(shù)的n×t階矩陣為(7.2.5)式中，各矩陣元素：

y1，y2，…，yn為n個(gè)直接測得量(已獲得的測量數(shù)據(jù))；

x1，x2，…，xt為t個(gè)待求量的估計(jì)量；

v1，v2，…，vn為n個(gè)直接測量結(jié)果的殘余誤差；

a11，a12，…，ant為n個(gè)誤差方程的n×t個(gè)系數(shù)。

則測量殘差方程組可表示為(7.2.6)即為V=Y－AX

按最小二乘原理,即要求

(Y－AX)T(Y－AX)=Min

按條件求解，中間過程可得正規(guī)方程組：

[aiy]－{[ata1]x1+[ata2]x2+…+[atat]xt}=0

式中，i=1，2，…，t。

經(jīng)變換可表示為因而它可表示為

即矩陣表示的正規(guī)方程為

ATV=0

(7.2.8)

以V=Y－AX代入上式，則為

ATAX=ATY

(7.2.9)(7.2.7)若A的秩等于t，則矩陣ATA是滿秩的，即其行列式|ATA|

≠0，方程有解：

X=(ATA)－1ATY

X這就是待求量的解。

綜合前面的分析，可以得到以下結(jié)論：

對(duì)于最小二乘法和最小一乘法，如果數(shù)據(jù)組不存在異常點(diǎn)，兩種方法得到的線性擬合系數(shù)差別不大，但是最小一乘法擬合所獲得的平均絕對(duì)值誤差比最小二乘法擬合的要小。最小一乘法較最小二乘法具有更高的準(zhǔn)確性。如果數(shù)據(jù)組存在異常點(diǎn)，那么兩種方法得到的線性擬合系數(shù)的差異會(huì)很大，但是最小一乘法的結(jié)果更準(zhǔn)確、真實(shí)。這是因?yàn)樽钚《朔紤]的是偏差的平方，故受個(gè)別異常值的影響很大。由于異常值與真值有較大的偏差，其平方的相對(duì)偏差更大，為了壓低平方和，異常點(diǎn)會(huì)把擬合直線拉得離它更近一些，從而使擬合直線與真實(shí)直線相差較遠(yuǎn)。對(duì)最小一乘法而言，由于僅考慮偏差的一次方而非平方,因此它受異常點(diǎn)的影響比最小二乘法要小得多。對(duì)于所有的數(shù)據(jù)組分布，最小一乘法擬合得到的結(jié)果準(zhǔn)確性都要比最小二乘法高。但是，最小一乘法自身也存在缺點(diǎn)和不足，那就是計(jì)算復(fù)雜，不如最小二乘法簡單，所以應(yīng)用不如最小二乘法廣泛。但是在某些特殊情況下，如異常點(diǎn)存在，由于最小一乘法對(duì)異常點(diǎn)不比最小二乘法敏感，具有更好的穩(wěn)健性，因此建議這種情況下采用最小一乘法。

2.組合測量的數(shù)據(jù)處理

現(xiàn)有一檢定，如圖7.2-1所示，要求檢定刻線A、B、C、D間的三段間距x1、x2、x3，按圖7.2-2所示，用組合測量方法測得如下數(shù)據(jù)：

l1＝1.015mm；l2＝0.985mm；l3＝1.020mm；

l4＝2.016mm；l5＝1.981mm；l6＝3.032mm。圖7.2-1長度檢定圖7.2-2組合測量則有

v1=l1－x1

v2=l2－x2

v3=l3－x3

v4=l4－(x1+x2)

v5=l5－(x3+x2)

v6=l6－(x1+x2+x3)矩陣形式表達(dá)為其中，所以，結(jié)果為即解得7.2.2線性回歸處理

1.經(jīng)驗(yàn)公式的總結(jié)

在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和工程測試中經(jīng)常得到一系列的測量數(shù)據(jù)，其數(shù)值隨著一些因素的改變而變化，可以通過在特定的坐標(biāo)系上描出相應(yīng)的點(diǎn)，得到反映變量關(guān)系的曲線圖。如果能找到一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，正好反映變量之間如同曲線表示的關(guān)系，就可以把全部測量數(shù)據(jù)用一個(gè)公式來代替，這不僅簡明扼要，而且便于作進(jìn)一步的后續(xù)運(yùn)算。通過一系列數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，歸納得到函數(shù)關(guān)系式的方法稱為回歸。得到的公式稱為回歸方程，通常也稱為經(jīng)驗(yàn)公式，有時(shí)也稱為數(shù)學(xué)模型。建立回歸方程所用的方法稱為回歸分析法。根據(jù)變量個(gè)數(shù)的不同及變量之間關(guān)系的不同，可分為一元線性回歸(直線擬合)、一元非線性回歸(曲線擬合)、多元線性回歸和多項(xiàng)式回歸等。其中一元線性回歸最常見，也是最基本的回歸分析方法。而一元非線性回歸通常可采用變量代換，將其轉(zhuǎn)化為一元線性方程回歸的問題。

回歸方程的大致步驟如下：

(1)以輸入自變量作為橫坐標(biāo)，輸出量即測量值作為縱坐標(biāo)，描繪出測量曲線。

(2)對(duì)所描繪曲線進(jìn)行分析，確定公式的基本形式。

如果數(shù)據(jù)點(diǎn)基本上成一直線，則可以用一元線性回歸方法確定直線方程。

如果數(shù)據(jù)點(diǎn)描繪的是曲線，則要根據(jù)曲線的特點(diǎn)判斷曲線屬于何種函數(shù)類型。可對(duì)比已知的數(shù)學(xué)函數(shù)曲線形狀加以對(duì)比、區(qū)分。如果測量曲線很難判斷屬于何種類型，則可以按多項(xiàng)式回歸處理。

(3)確定擬合方程(公式)中的常量。直線方程表達(dá)式為y＝b+kx，可根據(jù)一系列測量數(shù)據(jù)確定方程中的常量(即直線的截距b和斜率k)，其方法一般有圖解法、平均法及最小二乘法。確定k、b后，對(duì)于采用了曲線化直線的方程應(yīng)變換為原來的函數(shù)形式。

(4)檢驗(yàn)所確定的方程穩(wěn)定性、顯著性。用測量數(shù)據(jù)中的自變量代入擬合方程計(jì)算出函數(shù)值，看它與實(shí)際測量值是否一致、差別的大小，通常用標(biāo)準(zhǔn)差來表示，以及進(jìn)行方差分析、F檢驗(yàn)等。如果所確定的公式基本形式有錯(cuò)誤，此時(shí)應(yīng)建立另外形式的公式。如果兩個(gè)變量之間存在一定的關(guān)系，通過測量獲得x和y的一系列數(shù)據(jù)，并用數(shù)學(xué)處理方法得出這兩個(gè)變量之間的關(guān)系式，這就是工程上的擬合問題。若兩個(gè)變量之間關(guān)系是直線性關(guān)系，就稱為直線擬合或一元線性回歸，如果變量之間的關(guān)系是非線性關(guān)系，則稱為曲線擬合或一元非線性回歸。有些曲線關(guān)系可以通過化直法變換為直線關(guān)系，其實(shí)只是自變量(橫坐標(biāo))的值采用原變量的某種函數(shù)值(如對(duì)數(shù)值)，這樣就可按一元線性回歸方法處理，變?yōu)橹本€擬合的問題。

2.一元線性方程回歸

已知變量x和y之間存在直線關(guān)系，在通過試驗(yàn)尋求其關(guān)系式時(shí)，由于實(shí)驗(yàn)、測量過程等存在誤差和其他因素的影響，兩個(gè)變量之間的關(guān)系會(huì)存在一定的偏離，但試驗(yàn)得到的一系列的數(shù)據(jù)會(huì)基本遵循相應(yīng)的關(guān)系，分析所測得的數(shù)據(jù)，便可找出反映兩者之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式。這是工程上和科研中常會(huì)遇到的一元線性方程回歸問題。

由于因變量測量中存在隨機(jī)誤差，一元線性方程回歸同樣可用到最小二乘法處理。

測量某導(dǎo)線在一定溫度x下的電阻值y，得到如下結(jié)果(見表7.2.1)，試找出它們之間的內(nèi)在關(guān)系。圖7.2-3為數(shù)據(jù)分布。

表7.2.1測量數(shù)據(jù)

圖7.2-3數(shù)據(jù)分布為了先了解電阻y與溫度x之間的大致關(guān)系，把數(shù)據(jù)表示在坐標(biāo)圖上，如圖7.2-3所示。這種圖叫做散點(diǎn)圖，從散點(diǎn)圖可以看出，電阻y與溫度x大致呈線性關(guān)系。因此，我們假設(shè)x與y之間的內(nèi)在關(guān)系是一條直線，有些點(diǎn)偏離了直線，這是試驗(yàn)過程中其他隨機(jī)因素的影響而引起的。這樣就可以假設(shè)這組測量數(shù)據(jù)有如下結(jié)構(gòu)形式：

yt=β0+βxt+εt,

t=1，2，…，N

(7.2.10)

式中，ε1，ε2，…，εN分別表示其他隨機(jī)因素對(duì)電阻

測得值y1，y2，…，yN的影響，一般假設(shè)它們是一組相互獨(dú)立、并服從同一正態(tài)分布的隨機(jī)變量，式(7.2.10)就是一元線性回歸的數(shù)學(xué)模型。以下用最小二乘法來估計(jì)式(7.2.10)中的參數(shù)β0、β。設(shè)b0和b分別是參數(shù)β0和β的最小二乘估計(jì)，便可得到一元線性回歸的回歸方程

(7.2.11)

式中，b0和b是回歸方程的回歸系數(shù)。對(duì)每一個(gè)實(shí)際測得值yt與這個(gè)回歸值之差就是殘余誤差，即

vt=yt－b0－bx，t=1，2，…，N

(7.2.12)應(yīng)用最小二乘法求解回歸系數(shù)，就是在使殘余誤差平方和為最小的條件下求得回歸系數(shù)b0和b的值。用矩陣形式，令

則式(7.2.12)的矩陣形式為

V=Y－XB

(7.2.13)

假定測得值yt的精度相等，根據(jù)最小二乘原理，回歸系數(shù)的矩陣解為

B=(XTX)－1XTY

代入數(shù)據(jù)后，得計(jì)算下列矩陣：所以，求解線性方程系數(shù)：

因此，b0=70.97(Ω)，b=0.2764(Ω/℃)，于是線性方程為

3.其他線性回歸方法

上述按最小二乘法擬合直線，所得直線關(guān)系最能代表測量數(shù)據(jù)的內(nèi)在關(guān)系，其標(biāo)準(zhǔn)差最小，但它的計(jì)算較為復(fù)雜。有時(shí)在精度要求不是很高或試驗(yàn)數(shù)據(jù)線性較好情況下，為了減少計(jì)算量，可采用如下一些簡便的回歸方法。

1)分組法(平均值法)

分組法是將全部N個(gè)測量點(diǎn)值(x，y)，按自變量從小到大順序排列，分成數(shù)目大致相同的兩組，前半部K個(gè)測量點(diǎn)(K＝N／2左右)為一組，其余的N-K個(gè)測量點(diǎn)為另一組，建立相應(yīng)的兩組方程，兩組由實(shí)際測量值表示的方程分別作相加處理，得到兩個(gè)方程組成的方程組，解方程組可求得方程的回歸系數(shù)。對(duì)上述導(dǎo)線溫度的數(shù)據(jù)用分組法求回歸方程。給定7個(gè)測得值，可列出七個(gè)方程，分成兩組如下所示：

分別相加，得

314.65=4b0+110.2b

251.35=3b0+136.5b

解方程組：得

b0=70.80(Ω)

b=0.2853(Ω/℃)

所求的線性方程為

此方法簡單實(shí)用，求得的回歸方程與采用最小二乘法求得的回歸方程比較接近，實(shí)際工程中也經(jīng)常使用。擬合的直線就是通過第一組重心和第二組重心的一條直線。

2)作圖法

把N個(gè)測得數(shù)據(jù)畫在坐標(biāo)紙上，其大致成一直線，畫一條直線使多數(shù)點(diǎn)位于直線上或接近此線并均勻地分布在直線的兩旁。這條直線便是回歸直線，找出靠近直線末端的兩個(gè)點(diǎn)(x1，y1)、(x2，y2)，用其坐標(biāo)值按下列公式求出直

線方程的斜率b和截距b0，即(7.2.14)

在以上三種方法中，最小二乘法所得擬合方程精確度最高，分組法次之，作圖法較差。最小二乘法計(jì)算工作量最大，分組法次之，作圖法最為簡單。因此，對(duì)于精確度要求較高的情況應(yīng)采用最小二乘法，在精度要求不是很高或?qū)嶒?yàn)測得的數(shù)據(jù)線性較好的情況下，才采用簡便計(jì)算方法，以減少計(jì)算工作量。

必須指出：用最小二乘法求解回歸方程是以自變量沒有誤差為前提的。討論中不考慮輸入量有誤差，只認(rèn)為輸出量有誤差。另外，所得的回歸方程一般只適用于原來的測量數(shù)據(jù)所涉及的變量變化范圍，沒有可靠的依據(jù)不能任意擴(kuò)大回歸方程的應(yīng)用范圍。也就是說，所確定的只是一段回歸直線，不能隨意延伸。7.2.3基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性回歸

回歸分析就是確立和分析某種響應(yīng)(因變量Y)和重要因素(對(duì)響應(yīng)有影響的自變量X)之間的函數(shù)關(guān)系，即力求把Y表達(dá)成X的一個(gè)合適的函數(shù)，使之在“某種意義”上最好。為了與下面所要表述的問題易于銜接，在術(shù)語上，把這種函數(shù)關(guān)系表述為映射。那么，傳統(tǒng)的回歸分析就是希望找到映射的具體表達(dá)式f：Y=f(x)。這里的“某種意義”可以是使誤差平方和為最小以限制極限誤差的思想，也可以是其他體現(xiàn)整體誤差的表述。但不論如何表述，要從大量的帶有一定隨機(jī)性的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)樣本組(X1，Y1)、(X2，Y2)，(X3，Y3)，…，(Xk，Yk)中“回歸”出映射X→Y的具體表達(dá)f的形式，通常是十分困難的。人們對(duì)此進(jìn)行了長期的研究，提出了許多擬合方法。在一些基本函數(shù)的組合無法表達(dá)時(shí)，就用多項(xiàng)式進(jìn)行回歸，從而近似確定這種規(guī)律。從理論上說，在多項(xiàng)式回歸中，擬合的多項(xiàng)式次數(shù)越高、模型越準(zhǔn)確，但實(shí)際擬合過程并非如此。甚至有些情況無論怎樣擬合所找出的f，相應(yīng)的誤差都較大，或者對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)都比較小，就是說擬合不好。也可以說，在這種情況下，傳統(tǒng)的回歸分析方法

找不到合適的f來表述映射X→Y。有時(shí)可能“f”根本就不能被表達(dá)成一種簡明的函數(shù)形式，但實(shí)驗(yàn)上X→Y的映射關(guān)系是明確的，而“f”的具體表達(dá)難以找到。例如，在基于DSP(數(shù)字信號(hào)處理)的系統(tǒng)中，實(shí)際物理量要經(jīng)過傳感器、變換器、放大器A/D轉(zhuǎn)換器等電子器件才能成為計(jì)算機(jī)能夠處理的數(shù)字量，其過程的任何一個(gè)過程的非線性必然導(dǎo)致實(shí)際物理量與數(shù)字量的非線性關(guān)系，這里的實(shí)際物理量與數(shù)字量關(guān)系明確，有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，只不過不是線性關(guān)系。通常情況下，這種非線性關(guān)系是難以用一個(gè)簡明的數(shù)學(xué)關(guān)系來表達(dá)的。于是，在以前的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，人們使用了許多硬件方法，試圖減少信號(hào)變換過程中的非線性。那么，怎樣才能更好地解決這類問題呢？鑒于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在非線性領(lǐng)域應(yīng)用的成功實(shí)踐，對(duì)于非線性回歸，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型也許有用武之地。基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的回歸分析，希望尋找的不是具體的映射數(shù)學(xué)表達(dá)，而是通過網(wǎng)絡(luò)對(duì)樣本進(jìn)行學(xué)習(xí)訓(xùn)練，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練完成后，其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)F就代表了映射X→Y。雖然這個(gè)過程不能得出簡明的數(shù)學(xué)公式表達(dá)，但它卻代表了更復(fù)雜的映射關(guān)系。通過這個(gè)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)(網(wǎng)絡(luò)層數(shù)、各層單元數(shù)、各連接權(quán)及閾值等均確定下來)，當(dāng)有一自變量x輸入時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生一因變量輸出y，這就是網(wǎng)絡(luò)的回想過程，這個(gè)參數(shù)被確定下來的網(wǎng)絡(luò)就成為解決該特殊問題的“專家”，上述問題可以得到較好的解決。在計(jì)算機(jī)編程過程中，所使用的網(wǎng)絡(luò)模型及確定的參數(shù)，可以通過類、對(duì)象等軟件技術(shù)實(shí)現(xiàn)。需要指出的是，學(xué)習(xí)過程必須是有教師示教的學(xué)習(xí)方式，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)樣本組(X1，Y1)、(X2，Y2)，(X3，Y3)，…，(Xk，Yk)就是學(xué)習(xí)樣本，從理論上說，學(xué)習(xí)樣本越多，學(xué)習(xí)效果越好。在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展中，誤差逆?zhèn)鞑W(xué)習(xí)算法(ErrorBack-Propagation)占有重要地位。以該算法為基礎(chǔ)的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)簡稱BP網(wǎng)絡(luò)，是目前人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域中應(yīng)用最為廣泛的模型之一。從人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性處理能力進(jìn)行分析，得知人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)完全具有處理此類問題的能力，而且回歸效果優(yōu)于傳統(tǒng)的回歸方法。當(dāng)學(xué)習(xí)完成后，確定的網(wǎng)絡(luò)模型、網(wǎng)絡(luò)參數(shù)就代表了相應(yīng)的映射F，也就是說，我們找到了映射F。下面把基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的回歸分析與傳統(tǒng)的

回歸分析作簡要比較：

(1)傳統(tǒng)的回歸分析目標(biāo)在于尋找函數(shù)表達(dá)的具體形式，而基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的回歸分析目的在于尋找一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，用實(shí)驗(yàn)樣本來訓(xùn)練這個(gè)網(wǎng)絡(luò)，訓(xùn)練完成后，這個(gè)網(wǎng)絡(luò)就成為該問題的“專家”了，這個(gè)“專家”可以完成映射X→Y。(2)與傳統(tǒng)回歸分析的目標(biāo)函數(shù)f相比，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)F的結(jié)構(gòu)表達(dá)更加復(fù)雜，網(wǎng)絡(luò)參數(shù)由網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)、各層單元數(shù)、連接權(quán)、閾值等進(jìn)行描述，其間關(guān)系取決于網(wǎng)絡(luò)模型，這個(gè)網(wǎng)絡(luò)是通過對(duì)樣本的“學(xué)習(xí)”而形成的，它能夠解決映射X→Y的表達(dá)問題，因此用F取代f是一種合理的選擇。

(3)在回歸方式上，傳統(tǒng)的回歸分析根據(jù)多組樣本數(shù)據(jù)，尋求與某種函數(shù)表達(dá)式的逼近，根據(jù)剩余標(biāo)準(zhǔn)偏差、相關(guān)系數(shù)的判定來確定函數(shù)中的參數(shù)值。基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的回歸分析，是將這些樣本數(shù)據(jù)交給網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)，根據(jù)全局誤差極小來判定學(xué)習(xí)是否完成，從而確定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)。它們的原理是一致的，基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的回歸用更復(fù)雜的表達(dá)方式，同時(shí)它也可以解決更復(fù)雜的問題。

(4)在運(yùn)算工具與時(shí)間上，兩者都必須借助于計(jì)算機(jī)作為運(yùn)算工具，一般情況下，網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過程所需時(shí)間遠(yuǎn)大于傳統(tǒng)回歸過程。當(dāng)然，要利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為回歸分析的工具，還有一些問題值得繼續(xù)探討：①為了保證學(xué)習(xí)收斂，應(yīng)該如何選取網(wǎng)絡(luò)模型，即使對(duì)同一個(gè)網(wǎng)絡(luò)模型也還有學(xué)習(xí)方法的選取、網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)單元的確定、學(xué)習(xí)率與學(xué)習(xí)初始值等參數(shù)調(diào)整問題，不過此類問題已有諸多文獻(xiàn)討論；②是否現(xiàn)有的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型均可用于非線性回歸分析，哪些模型最為合適。另外，實(shí)際應(yīng)用中也還有一些具體問題值得研究，但基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性回歸作為一種方法可以被應(yīng)用到解決實(shí)際問題中是肯定的。

7.3誤差的處理

7.3.1直接測量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析處理

由于測量誤差的存在，使測量結(jié)果帶有不可信性，為提高其可信程度和準(zhǔn)確程度，常對(duì)同一量進(jìn)行相同條件下的重復(fù)多次的測量，取得一系列的包含有誤差的數(shù)據(jù)，按統(tǒng)計(jì)方法處理，獲知各類誤差的存在和分布，再分別給以恰當(dāng)?shù)奶幚?，最終得到較為可靠的測量值，并給出可信程度的結(jié)論。數(shù)據(jù)處理包括下列內(nèi)容。１．系統(tǒng)誤差的消除

測量過程中的系統(tǒng)誤差可分為恒定系統(tǒng)誤差和變值系統(tǒng)誤差，它們具有不同的特性。恒定系統(tǒng)誤差對(duì)每一測量值的影響均為相同常量，對(duì)誤差分布范圍的大小沒有影響，但使算術(shù)平均值產(chǎn)生偏移，通過對(duì)測量數(shù)據(jù)的觀察分析，或用更高精度的測量鑒別，可較容易地把這一誤差分量分離出來并作修正；變值系統(tǒng)誤差的大小和方向則隨測試時(shí)刻或測量值的不同以及大小等因素按確定的函數(shù)規(guī)律變化。如果確切掌握了其規(guī)律性，則可以在測量結(jié)果中加以修正。消除和減少系統(tǒng)誤差的常見方法有：補(bǔ)償修正法、抵消法、對(duì)稱法、半周期法等。２．隨機(jī)誤差的處理

在測量過程數(shù)據(jù)中，排除系統(tǒng)誤差和粗大誤差后余下的便是隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差的處理從它的統(tǒng)計(jì)規(guī)律出發(fā)，按其為正態(tài)分布，求測得值的算術(shù)平均值以及用于描述誤差分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差。隨機(jī)誤差是不可消除的一個(gè)誤差分量，進(jìn)行分析處理的目的是為了得知測得值的精確程度。通過對(duì)求得的標(biāo)準(zhǔn)偏差作進(jìn)一步的處理，可獲得測量結(jié)果的不確定度。

(１)算術(shù)平均值以及任一測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差。消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差后的一系列測量數(shù)據(jù)(n個(gè)分量相互獨(dú)立)x1，x2，…，xn的算術(shù)平均值為

設(shè)Q為被測量的真值，δi為測量列中測得值的隨機(jī)誤差，則上式中的xi=Q+δi。在等精密度的多次測量中，隨著測量次數(shù)n的增大，必然越接近真值，這時(shí)取算術(shù)平均值為測量結(jié)果，將是真值的最佳估計(jì)值。

測量中單次測量值(任一測量值)的標(biāo)準(zhǔn)偏差定義為(7.3.1)(7.3.2)由于真差δi未知，因此不能直接按定義求得σ值，故實(shí)際測量時(shí)常用殘余誤差vi=代替真差δi，按照貝塞爾(Bessel)公式求得σ的估計(jì)值S：

(7.3.3)

(２)隨機(jī)誤差的分布。大量的測量實(shí)踐表明，隨機(jī)誤差通常服從正態(tài)分布規(guī)律，所以其概率密度函數(shù)為

該函數(shù)曲線如圖7.3-1所示，σ越大，表示測量的數(shù)據(jù)越分散。(7.3.4)圖7.3-1正態(tài)分布圖

(３)測量算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差。如果在相同條件下，對(duì)某一被測幾何量重復(fù)地進(jìn)行m組的“n次測量”，則m個(gè)“n個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值”的算術(shù)平均值將更接近真值。m個(gè)平均值的分散程度要比單次測量值的分散程度小得多。描述它們的分散程度，可用測量算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差作為評(píng)定指標(biāo)，其值按下式計(jì)算：

(7.3.5)其估計(jì)量為

此值將是不確定度表達(dá)的根據(jù)，以上過程和方法也是現(xiàn)代不確定度評(píng)定方法中所要應(yīng)用的方法。３．測量數(shù)據(jù)中粗大誤差的處理

在一組重復(fù)測量所得數(shù)據(jù)中，經(jīng)系統(tǒng)誤差修正后如有個(gè)別數(shù)據(jù)與其他數(shù)據(jù)有明顯差異，則這些數(shù)據(jù)很可能含有粗大誤差，稱其為可疑數(shù)據(jù)，記為xd。根據(jù)隨機(jī)誤差理論，出現(xiàn)粗大誤差的概率雖小，但不為零。因此，必須找出這些異常值，并給以剔除。然而，在判別某個(gè)測得值是否含有粗大誤差時(shí)，要特別慎重，需要作充分的分析研究，并根據(jù)選擇的判別準(zhǔn)則予以確定，因此要對(duì)數(shù)據(jù)按相應(yīng)的方法作預(yù)處理。

預(yù)處理并判別粗大誤差有多種方法和準(zhǔn)則，如3σ準(zhǔn)則、羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則、狄克松準(zhǔn)則、格羅布斯準(zhǔn)則等，其中3σ準(zhǔn)則是常用的統(tǒng)計(jì)判斷準(zhǔn)則，羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則適用于數(shù)據(jù)較少場合。

１)3σ準(zhǔn)則

3σ準(zhǔn)則先假設(shè)數(shù)據(jù)只含隨機(jī)誤差，對(duì)其進(jìn)行處理后計(jì)算得到標(biāo)準(zhǔn)偏差，按一定概率確定一個(gè)區(qū)間，便可以認(rèn)為：凡超過這個(gè)區(qū)間的誤差就不屬于隨機(jī)誤差而是粗大誤差，含有該誤差的數(shù)據(jù)應(yīng)予以剔除。這種判別處理原理及方法僅局限于對(duì)正態(tài)或近似正態(tài)分布的樣本數(shù)據(jù)處理。

3σ準(zhǔn)則又稱拉依達(dá)準(zhǔn)則，作判別計(jì)算時(shí)，先以測得值xi的平均值代替真值，求得殘差。再以貝塞爾(Bessel)公式算得的標(biāo)準(zhǔn)偏差S代替σ，以3S值與各殘差νI作比較，對(duì)某個(gè)可疑數(shù)據(jù)xd，若其殘差νd滿足下式則為粗大誤差，則應(yīng)剔除數(shù)據(jù)xd。

每經(jīng)一次粗大誤差的剔除后，剩下的數(shù)據(jù)要重新計(jì)算S值，即再次以數(shù)值已變小的新的S值為依據(jù)，進(jìn)一步判別是否還存在粗大誤差，直至無粗大誤差為止。應(yīng)該指出：3σ準(zhǔn)則是以測量次數(shù)充分大為前提的，當(dāng)n≤10時(shí)，用3σ準(zhǔn)則剔除粗大誤差是不夠可靠的。因此，在測量次數(shù)較少的情況下，最好不要選用3σ準(zhǔn)則，而使用其他準(zhǔn)則。２)羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則

當(dāng)測量次數(shù)較少時(shí)，用羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則較為合理，這一準(zhǔn)則又稱t分布檢驗(yàn)準(zhǔn)則，它是按t分布的實(shí)際誤差分布范圍來判別粗大誤差，其特點(diǎn)是首先剔除一個(gè)可疑的測量值，然后按t分布檢驗(yàn)被剔除的測量值是否含有粗大誤差。

設(shè)對(duì)某量作多次等精度獨(dú)立測量，得x1，x2，…，xn若認(rèn)為測得值xd為可疑數(shù)據(jù)，將其預(yù)剔除后計(jì)算平均值(計(jì)算時(shí)不包括xd)：(7.3.6)并求得測量的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)量(計(jì)算時(shí)不包括)：(7.3.7)7.3.2間接測量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析處理

間接測量方法是通過測量別的量，然后利用相關(guān)的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出需要得到的量。如對(duì)于大的直徑，很難直接對(duì)其進(jìn)行測量，那么可以通過測量周長后除以圓周率來求得，也可以用測量弓高和弦長，通過函數(shù)式計(jì)算求得。當(dāng)測量周長、弓高和弦長時(shí)，測得值都是含有誤差的，所求直徑的誤差(或不確定度)該是多少？這一問題要用到函數(shù)誤差的計(jì)算知識(shí)才能解決。函數(shù)誤差的處理實(shí)質(zhì)是間接測量的誤差處理，也是誤差的合成方法。間接測量中，測量結(jié)果的函數(shù)一般為多元函數(shù)，其表達(dá)式為

y=f(x1,x2,…,xn)

(7.3.8)

式中，x1,x2,…,xn為各變量的直接測量值，y為間接測量得到的值。

１.函數(shù)系統(tǒng)誤差的計(jì)算

由高等數(shù)學(xué)可知,多元函數(shù)的增量可用函數(shù)的全微分表示，故上式的函數(shù)增量dy為(7.3.9)若已知各直接測量值的系統(tǒng)誤差為Δx1，Δx2，…，Δxn，由于這些誤差都很小，可以近似等于微分量，從而可近似求得函數(shù)的系統(tǒng)誤差Δy為(7.3.10)式中：(i＝1，2，…，n)為各直接測量值的誤差傳遞系數(shù)。若函數(shù)形式為線性公式，即

y=a1x1+a2x2+…+anxn

則函數(shù)系統(tǒng)誤差的公式為

Δy=a1Δx1+a2Δx2+…+anΔxn

式中，各誤差傳遞系數(shù)ai為不等于1的常數(shù)。若ai=1，則有

Δy=Δx1+Δx2+…+Δxn

此情形正如同把多個(gè)長度組合成一個(gè)尺寸一樣，各長度測量時(shí)都有其系統(tǒng)誤差，在組合后的總尺寸中，其系統(tǒng)誤差可以用各長度的系統(tǒng)誤差相加得到。

但是，大多數(shù)實(shí)際情況并不是這樣的簡單函數(shù)，往往需要用到微分知識(shí)求得其傳遞系數(shù)ai。２.函數(shù)隨機(jī)誤差的計(jì)算

隨機(jī)誤差是多次測量結(jié)果中討論的問題。間接測量過程中要對(duì)相關(guān)量(函數(shù)的各個(gè)變量)進(jìn)行直接測量，為提高測量精度，這些量可進(jìn)行等精度的多次重復(fù)測量，求得其隨機(jī)誤差的分布范圍(用標(biāo)準(zhǔn)差的某一倍數(shù)表示)，此時(shí)，若要得知間接測量值(多元函數(shù)的值)的隨機(jī)誤差分布，便要進(jìn)行函數(shù)隨機(jī)誤差的計(jì)算,最終要求得測量結(jié)果(函數(shù)值)的標(biāo)準(zhǔn)差或極限誤差。對(duì)n個(gè)變量各測量N次，其函數(shù)的隨機(jī)誤差與各變量的隨機(jī)誤差關(guān)系，經(jīng)推導(dǎo)可知：(7.3.11)兩邊除以N得到標(biāo)準(zhǔn)差方差的表達(dá)式：

若定義(7.3.12)函數(shù)隨機(jī)誤差的計(jì)算公式為

式中：ρij為第i個(gè)測得值和第j個(gè)測得值間的誤差相關(guān)系數(shù)；

為i＝1，2，…，n的誤差傳遞系數(shù)。

若各直接測得值的隨機(jī)誤差是相互獨(dú)立的，且N適當(dāng)大時(shí)，相關(guān)系數(shù)為零。便有(7.3.13)即

令=ai

，則

同理，當(dāng)各測得值隨機(jī)誤差為正態(tài)分布時(shí)，其極限誤差的關(guān)系為若所討論的函數(shù)是系數(shù)為1的簡單函數(shù)，則

y=x1+x2+…+xn

便有３.誤差間的相關(guān)關(guān)系和相關(guān)系數(shù)

當(dāng)函數(shù)各變量的隨機(jī)誤差相互有關(guān)時(shí)，相關(guān)系數(shù)ρij不為零,此時(shí)，

若完全正相關(guān)，則ρij=1。此時(shí)，

即函數(shù)具有線性的傳遞關(guān)系。雖然通常遇見的測量實(shí)踐多屬于誤差間線性無關(guān)，或關(guān)系很小近似線性無關(guān)，但線性相關(guān)的情形也會(huì)碰到，此時(shí)，相關(guān)性不能忽略，必須先求出誤差間的相關(guān)系數(shù)，然后才能進(jìn)行誤差的合成。

１)誤差間的線性相關(guān)關(guān)系

誤差間的線性相關(guān)關(guān)系是指誤差間的線性依賴關(guān)系，這種關(guān)系有強(qiáng)弱之分。一個(gè)誤差的值完全取決于另一誤差值，此情形依賴性最強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)為1；反之則互不影響，依賴性最弱，相關(guān)系數(shù)為零。通常兩誤差的關(guān)系處于上述兩個(gè)極端之間，既有聯(lián)系又不完全，且具有一定的隨機(jī)性。２)相關(guān)系數(shù)

兩誤差間有線性關(guān)系時(shí)，其相關(guān)性的強(qiáng)弱由相關(guān)系數(shù)來表達(dá)，在誤差合成時(shí)應(yīng)求得相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)，才能計(jì)算出相關(guān)項(xiàng)的數(shù)值大小。

兩誤差a、b之間的相關(guān)系數(shù)為ρ,根據(jù)定義:

式中，Dab為誤差a與b之間的協(xié)方差；σa、σb分別為誤差a和b的標(biāo)準(zhǔn)差。按誤差理論，相關(guān)系數(shù)的數(shù)值范圍是-1≤ρ≤+1。

(1)當(dāng)0<ρ<1時(shí),誤差a、b正相關(guān)，即一誤差增大時(shí)，另一誤差值平均地增大；

(2)當(dāng)-1<ρ<0時(shí),誤差a、b負(fù)相關(guān)，即一誤差增大時(shí)，另一誤差值平均地減?。?/p>

(3)當(dāng)ρ=+1時(shí),誤差a、b完全正相關(guān)，即兩誤差具有確定的線性函數(shù)關(guān)系；

(4)當(dāng)ρ=-1時(shí),誤差a、b完全負(fù)相關(guān)，即兩誤差具有確定的線性函數(shù)關(guān)系；

(5)當(dāng)ρ=0時(shí),誤差a、b無線性相關(guān)關(guān)系，或稱不相關(guān)，即一誤差增大時(shí)，另一誤差值可能增大，也可能減小。

確定兩誤差間的相關(guān)系數(shù)是比較困難的，通常采用以下方法，即直接判斷法，試驗(yàn)觀察法，簡略計(jì)算法，按相關(guān)系數(shù)定義直接計(jì)算，用概率論、最小二乘法理論計(jì)算等。

4.隨機(jī)誤差參數(shù)的合成

實(shí)際測量鑒定中，在處理隨機(jī)誤差或評(píng)定不確定度時(shí)，常有多個(gè)分量要進(jìn)行合成，此情形就如同上述函數(shù)誤差處理一樣，通常是采用“方和根”的方法合成，同時(shí)也需考慮傳遞系數(shù)和相關(guān)性。

若有q個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差，它們的標(biāo)準(zhǔn)差為σ1，σ2，…，σq，誤差傳遞系數(shù)分別為a1，a2，…，aq，則合

成后的標(biāo)準(zhǔn)差為(7.3.14)若各項(xiàng)隨機(jī)誤差互不相關(guān)，相關(guān)系數(shù)ρij為零，則總標(biāo)準(zhǔn)差為(7.3.15)7.3.3測量不確定度評(píng)定方法

ISO發(fā)布的《測量不確定度表示指南》是測量數(shù)據(jù)處理和測量結(jié)果不確定度表達(dá)的規(guī)范，由于在評(píng)定不確定度之前，要求測得值為最佳值，故必須作系統(tǒng)誤差的修正和粗大誤差(異常值)的剔除。最終評(píng)定出來的測量不確定度是測量結(jié)果中無法修正的部分。

測量不確定度評(píng)定流程如圖7.3-2所示。具體還有各個(gè)環(huán)節(jié)的計(jì)算。圖7.3-2測量不確定度評(píng)定流程圖

1.標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類評(píng)定

A類評(píng)定是通過對(duì)等精度多次重復(fù)測量所得數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析評(píng)定的。正如前面介紹的隨機(jī)誤差的處理過程，標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(xi)＝s(xi)，s(xi)是用單次測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度s(xik)算出的，即

其單次測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度s(xik)可用貝塞爾法求得，即(7.3.16)(7.3.17)其實(shí)，單次測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度s(xik)還有如下求法：

(1)最大殘差法：，系數(shù)cn如表7.3.1所示。

(2)極差法：居于服從正態(tài)分布的測量數(shù)據(jù)，其中，最大值與最小值之差稱為極差。

，系數(shù)dn如表7.3.2所示。表7.3.1最大列差法系數(shù)cni

表7.3.2極差法系數(shù)dn

2.標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評(píng)定

B類評(píng)定是一種非統(tǒng)計(jì)方法，當(dāng)不能用統(tǒng)計(jì)方法獲得標(biāo)準(zhǔn)不確定度，或已有現(xiàn)成的相關(guān)數(shù)據(jù)時(shí)采用此法，此時(shí)，測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度是通過其他途徑獲得，如信息、資料等。數(shù)據(jù)的來源有以下幾方面，如此前已做測量分析，儀器制造廠的說明書，校準(zhǔn)或其他報(bào)告提供的數(shù)據(jù)，手冊(cè)提供的參考數(shù)據(jù)等。具體計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)不確定度方法如下：

式中，U(xj)為已知的展伸不確定度，或是已知的測量值按某一概率的分布區(qū)間的半值；kj為包含因子，它的選取與分布有關(guān)，正態(tài)分布時(shí)則與所取的置信概率有關(guān)。(7.3.18)

(1)當(dāng)?shù)弥淮_定度U(xj)為估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的2或3倍時(shí)，kj則為2或3；

(2)若得知不確定度U(xj)以及對(duì)應(yīng)的置信水準(zhǔn)，則可視其為服從正態(tài)分布。若置信水準(zhǔn)為0.68、0.95、0.99或0.997時(shí)，kj則對(duì)應(yīng)為1、1.96、2.58、3；

(3)若得知U(xj)是xj變化范圍的半?yún)^(qū)間，即Xj在［xj-U(xj)，xj+U(xj)］內(nèi)，且知道其分布規(guī)律，kj由表7.3.3選

取。表7.3.3集中非正態(tài)分布的置信因子

3.求合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度

測量結(jié)果y的標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)或u(y)為合成標(biāo)準(zhǔn)不確定，它是測量中各個(gè)不確定度分量共同影響下的結(jié)果，故取決于xi標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(xi)，可按不確定度傳播律合成。計(jì)算方法與前面介紹的隨機(jī)誤差的合成方法相同。

4.求展伸不確定度

展伸不確定度是為使不確定度置信水準(zhǔn)(包函概率)更高而提出的，需將標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)乘以包含因子k以得到展伸不確定度：U=kuc(y)。展伸不確定度計(jì)算見圖7.3-3所示，其流程有兩種處理方法：一種是自由度不明或無，當(dāng)“無”處理；另一種是知道自由度，按“有”處理，