2025年外研版高一數(shù)學(xué)上冊階段測試試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年外研版高一數(shù)學(xué)上冊階段測試試卷532考試試卷考試范圍：全部知識點(diǎn)；考試時間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五總分得分評卷人得分一、選擇題(共7題，共14分)1、下列各式中，值為的是（）A.B.C.D.2、設(shè)a=log53，b=ln3，則（）

A.a＜c＜b

B.c＜b＜a

C.a＜b＜c

D.c＜a＜b

3、等差數(shù)列{an}中，a3=7，a7=-5；則公差d=（）

A.3

B.-3

C.2

D.-2

4、已知則=（）A.B.C.D.5、如圖的程序框圖；能判斷任意輸入的整數(shù)x的奇偶性：其中判斷框內(nèi)的條件是（）

A.m='0'B.x='0'C.x='1'D.m=16、已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（）A.{1}B.{-1，1}C.{-1，0，1}D.以上答案均不對7、建立A={a，b，c}到B={-1，0，1，2}的映射f：A→B，滿足f（a）+f（b）+f（c）=0的不同映射有（）A.6個B.8個C.10個D.12個評卷人得分二、填空題(共7題，共14分)8、已知△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且那么∠C=____．9、若則||=____．10、已知a，b，c∈R+，ab=1，a2+b2+c2=9，則a+b+c的最大值為____．11、【題文】直線截圓所得的弦長是____．12、下列四個結(jié)論：

①若α；β為第一象限角；且α＞β，則sinα＞sinβ

②函數(shù)y=|sinx|與y=|tanx|的最小正周期相同。

③函數(shù)f（x）=sin（x+）在[﹣]上是增函數(shù)；

④若函數(shù)f（x）=asinx﹣bcosx的圖象的一條對稱軸為直線x=則a+b=0．

其中正確結(jié)論的序號是____．13、已知集合A={x|x∈N，∈N}，則集合A用列舉法表示為____14、求值：cos14鈭?cos59鈭?+sin14鈭?sin121鈭?=

______．評卷人得分三、解答題(共7題，共14分)15、等差數(shù)列{an}中，已知a10=30，a20=50，前n項(xiàng)和記為Sn．

（1）求通項(xiàng)an；

（2）若Sn=242；求n．

16、方程（1+a）x2-4ax+2a+3=0

（1）若方程存在不相等的兩實(shí)數(shù)根；求a的范圍．

（2）若方程的根均小于0；求a的范圍．

17、已知函數(shù)f（x）=2x+且f（1）=1

（1）求a的值；

（2）判斷f（x）的奇偶性；

（3）函數(shù)f（x）在（1；+∞）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明．

18、已知函數(shù)的最大值為最小值為（1）求的值；（2）求函數(shù)的最小值并求出對應(yīng)x的集合.19、一個玩具盤由一個直徑為2米的半圓O和一個矩形ABCD構(gòu)成；AB=1米，如圖所示，小球從A點(diǎn)出發(fā)以大小為5v的速度沿半圓O軌道滾到某點(diǎn)E處，經(jīng)彈射器以6v的速度沿與點(diǎn)E切線垂直的方向彈射到落袋區(qū)BC內(nèi)，落點(diǎn)記為F，設(shè)∠AOE=θ弧度，小球從A到F所需時間為T．

（1）試將T表示為θ的函數(shù)T（θ）；并寫出定義域；

（2）求時間T最短時cosθ的值．

20、如圖；GH是東西方向的公路北側(cè)的邊緣線，某公司準(zhǔn)備在GH上的一點(diǎn)B的正北方向的A處建一倉庫，并在公路同側(cè)建造一個矩形無頂中轉(zhuǎn)站CDEF（其中邊EF在GH上），現(xiàn)從倉庫A向GH和中轉(zhuǎn)站分別修兩條道路AB，AC，已知AB=AC+1，CD=EF+1且∠ABC=60°，設(shè)AB=ykm，CF=xkm

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式。

（2）如果中轉(zhuǎn)站四周圍墻（即矩形周長）造價為2萬元/km，兩條道路造價為6萬元/km，問：x取何值時，該公司建中轉(zhuǎn)圍墻和兩條道路總造價M最低？21、已知向量=（1，2），=（1；-1）．

（1）若θ為向量2+與向量-的夾角；求θ的值；

（2）若向量2+與向量k+垂直，求k的值．評卷人得分四、計算題(共2題，共20分)22、已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx-3（a≠0）滿足f（2）=f（4），則f（6）=____．23、已知關(guān)于x的方程3x2-6x+a-1=0至少有一個正實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是____．評卷人得分五、作圖題(共3題，共24分)24、如圖A、B兩個村子在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，現(xiàn)在要在河邊CD上建一水廠，向A、B兩村送自來水，鋪設(shè)管道費(fèi)用為每千米2000元，請你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設(shè)管道的費(fèi)用最省，并求出其費(fèi)用．25、如圖A、B兩個村子在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，現(xiàn)在要在河邊CD上建一水廠，向A、B兩村送自來水，鋪設(shè)管道費(fèi)用為每千米2000元，請你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設(shè)管道的費(fèi)用最省，并求出其費(fèi)用．26、以下是一個用基本算法語句編寫的程序；根據(jù)程序畫出其相應(yīng)的程序框圖．

參考答案一、選擇題(共7題，共14分)1、C【分析】【解析】試題分析：=sin30°==-cos30°=-=cos30°==1，故選C。考點(diǎn)：倍角的三角函數(shù)【解析】【答案】C2、D【分析】

由題意，a=log53＞log5=b=ln3＞lne=1；

∴c＜a＜b

故選D．

【解析】【答案】由題意，a=log53＞log5=b=ln3＞lne=1；故可得結(jié)論。

3、B【分析】

∵a3=7，a7=-5；

∴

解得d=-3．

故選B．

【解析】【答案】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d根據(jù)題意可列出方程組解此方程組可得到公差d的值．

4、B【分析】【解答】選B.5、A【分析】【分析】由程序框圖所體現(xiàn)的算法可知判斷一個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)；看這個數(shù)除以2的余數(shù)是1還是0．

由圖可知應(yīng)該填m=0。

【點(diǎn)評】選擇結(jié)構(gòu)是考試中?？嫉闹R點(diǎn)，根據(jù)流程圖計算運(yùn)行結(jié)果是算法這一模塊的重要題型，處理的步驟一般為：分析流程圖，從流程圖中即要分析出計算的類型，又要分析出參與計算的數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型解模。6、C【分析】解：A={x|x2=1}={-1；1}；

若B={x|ax=1}=?；則a=0；

若B={x|ax=1}={-1}；則a=-1；

若B={x|ax=1}={1}；則a=1；

故實(shí)數(shù)a的取值集合為{-1；0，1}；

故選：C．

化簡A={x|x2=1}={-1；1}，從而分類討論求得．

本題考查了集合的化簡與運(yùn)算及分類討論的思想應(yīng)用．【解析】【答案】C7、C【分析】解：根據(jù)a、b；c對應(yīng)的像來分類；可分為三類：

第1類：f（a）=f（b）=f（c）=0；這樣的映射只有1個；

第2類：當(dāng)f（a），f（b），f（c）中有一個為0，而另兩個分別為1，-1時，這樣的映射有C31C21=6（個）；

第3類：一個元素的像是2，另兩個元素的像必為1，這樣的映射有C31=3（個）．

由分類計數(shù)原理；共有1+6+3=10（個）．

故選C．

求滿足f（a）+f（b）+f（c）=0的映射f，可分為三種情況，當(dāng)f（a）=f（b）=f（c）=0時，只有一個映射；當(dāng)f（a），f（b），f（c）中有一個為0，而另兩個分別為1，-1時，有C31C21個映射；當(dāng)f（a），f（b），f（c）中有一個為2時，而另兩個都為1時，有C31個映射．分別求出3種情況的個數(shù)相加即可得到答案．

本題考查映射的基本概念，要注意分類討論以及計數(shù)原理的綜合運(yùn)用．【解析】【答案】C二、填空題(共7題，共14分)8、略

【分析】

∵根據(jù)余弦定理，得a2+b2-c2=2abcosC

∴=abcosC

∵由正弦定理得S△ABC=absinC

∴abcosC=absinC；得cosC=sinC

即tanC=1，C∈（0，π）得C=

故答案為：

【解析】【答案】由正弦定理的面積公式結(jié)合余弦定理；化簡可得cosC=sinC即tanC=1，結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍，可得C的大?。?/p>

9、略

【分析】

由題意知，則=

故答案為：．

【解析】【答案】根據(jù)題意中的坐標(biāo)代入向量的模公式進(jìn)行求解．

10、略

【分析】

由題意，∵a，b，c∈R+，ab=1，∴

因?yàn)閍2+b2+c2=9，所以c=

則a+b+c=

設(shè)則

所以，a+b+c=

根據(jù)柯西不等式得

故答案為

【解析】【答案】利用條件，將a+b+c轉(zhuǎn)化為利用a進(jìn)行表示；再進(jìn)行換元，從而可利用柯西不等式求最值．

11、略

【分析】【解析】

試題分析：圓的圓心半徑圓心到直線的距離所以弦長的一半為1，弦長為2

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系。

點(diǎn)評：直線與圓相交時常利用圓心到直線的距離，弦長的一半，圓的半徑構(gòu)成的直角三角形求解【解析】【答案】212、②④【分析】【解答】解：①若α；β為第一象限角；且α＞β，則sinα＞sinβ不成立，不如α=390°，β=30°，滿足α＞β，但sinα=sinβ，故①錯誤；

②函數(shù)y=|sinx|的周期為π；y=|tanx|的最小正周期為π，兩個函數(shù)的周期相同，故②正確；

③當(dāng)x∈[﹣]，則x+∈[﹣]，此時函數(shù)f（x）=sin（x+）在[﹣]上不單調(diào)性；故③錯誤；

④f（+x）=f（﹣x）對任意x∈R恒成立，即可得2acossinx=﹣2bsinsinx對任意x∈R恒成立；

即（a+b）sinx=0對任意x∈R恒成立，所以a+b=0；故④正確；

故答案為：②④．

【分析】①根據(jù)三角函數(shù)值的大小關(guān)系進(jìn)行判斷．

②根據(jù)絕對值函數(shù)的周期進(jìn)行判斷．

③根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．

④根據(jù)三角函數(shù)的對稱性進(jìn)行判斷．13、{0，2，3，4，5}【分析】【解答】解：由題意可知6﹣x是12的正約數(shù)；當(dāng)6﹣x=1，x=5；當(dāng)6﹣x=2，x=4；

當(dāng)6﹣x=3；x=3；

當(dāng)6﹣x=4；x=2；當(dāng)6﹣x=5，x=12；而x≥0；

∴x=0；2，3，4，5，即A={0，2，3，4，5}．

故答案為：{0；2，3，4，5}

【分析】由題意可知6﹣x是12的正約數(shù)，然后分別確定12的約數(shù)，從而得到x的值為0，2，3，4，5，即可求出A14、略

【分析】解：cos14鈭?cos59鈭?+sin14鈭?sin121鈭?=cos14鈭?cos59鈭?+sin14鈭?sin(180鈭?鈭?59鈭?)=cos14鈭?cos59鈭?+sin14鈭?sin59鈭?=cos(59鈭?鈭?14鈭?)=cos45鈭?=22

．

故答案為22

．

利用誘導(dǎo)公式化簡；在根據(jù)和與差的公式計算即可．

本題考查了誘導(dǎo)公式化簡能力以及和與差的公式計算.

比較基礎(chǔ)．【解析】22

三、解答題(共7題，共14分)15、略

【分析】

（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1；公比為q；

由a10=30，a20=50，得解得a1=12；d=2．

所以an=2n+10；

（2）因?yàn)镾n=242，所以．

解得；n=11或n=-22（舍去）．

故n=11．

【解析】【答案】（1）設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由a10=30，a20=50列式聯(lián)立方程組求出首項(xiàng)和公差；則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；

（2）直接由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解n的值．

16、略

【分析】

（1）因?yàn)榉匠逃袃蓚€不等實(shí)根；

所以1+a≠0，且△=16a2-4（1+a）（2a+3）＞0；

解得a＞3或a＜-．

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為：（3，+∞）∪（-∞，-）．

（2）①若1+a≠0，則解得．

②若1+a=0，即a=-1，4x+1=0，解得x=-成立．

綜上所述，-1≤a＜-．

【解析】【答案】（1）該方程有兩不等實(shí)根；所以1+a≠0，且△＞0，解出即可；

（2）分一次；二次方程進(jìn)行討論：若1+a≠0；利用根與系數(shù)的關(guān)系可得一不等式組，若1+a=0，求出根檢驗(yàn)，綜合兩種情況即可得到答案．

17、略

【分析】

（1）∵f（1）=1；

∴2+a=1；得a=-1

（2）函數(shù)的定義域是{x|x≠1}

又f（-x）=-2x-=-（2x+）=-f（x）；所以，函數(shù)是奇函數(shù)。

（3）由（1）f（x）=2x-此函數(shù)在（1，+∞）上是增函數(shù)。

任取1＜x1＜x2＜+∞；

f（X1）-f（x2）=（2x1-）-（2x2-）=

由于1＜x1＜x2＜+∞，可得2x1x2+1＞0，x1-x2

∴f（X1）-f（x2）=＜0；

∴f（X1）＜f（x2）

∴函數(shù)f（x）在（1；+∞）上是增函數(shù)．

【解析】【答案】（1）由題意，函數(shù)f（x）=2x+且f（1）=1，可得方程2+a=1，解方程即可得到a的值；

（2）先判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系；再由定義得出函數(shù)的奇偶性；

（3）由函數(shù)解析式f（x）=2x-知此函數(shù)是一個增函數(shù)，由定義法證明即可．

18、略

【分析】【解析】試題分析：⑴⑵由⑴知：的最小值為對應(yīng)x的集合為考點(diǎn)：本題主要考查正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，余弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)?！窘馕觥俊敬鸢浮竣泞谱钚≈禐閷?yīng)x的集合為19、解：（1）過點(diǎn)O作OG⊥BC于G，則OG=1，

OF={#mathml#}OGsinθ

{#/mathml#}={#mathml#}1sinθ

{#/mathml#}，EF=1+{#mathml#}1sinθ

{#/mathml#}，AE=θ，

∴T（θ）={#mathml#}AE5v

{#/mathml#}+{#mathml#}EF6v

{#/mathml#}={#mathml#}θ5v

{#/mathml#}+{#mathml#}16vsinθ

{#/mathml#}+{#mathml#}16v

{#/mathml#}，θ∈[{#mathml#}π4

{#/mathml#}，{#mathml#}3π4

{#/mathml#}]；

（2）由（1）可知T′（θ）={#mathml#}15v

{#/mathml#}﹣{#mathml#}cosθ6vsin2θ

{#/mathml#}={#mathml#}6sin2θ-5cosθ30vsin2θ

{#/mathml#}=﹣{#mathml#}2cosθ+33cosθ-230vsin2θ

{#/mathml#}，

記cosθ0={#mathml#}23

{#/mathml#}，由θ0∈[{#mathml#}π4

{#/mathml#}，{#mathml#}3π4

{#/mathml#}]可知：

當(dāng)θ∈（{#mathml#}π4

{#/mathml#}，θ0）時T′（θ）＜0，即T（θ）在區(qū)間（{#mathml#}π4

{#/mathml#}，θ0）上單調(diào)遞減，

當(dāng)θ∈（θ0，{#mathml#}3π4

{#/mathml#}）時T′（θ）＞0，即T（θ）在區(qū)間（θ0，{#mathml#}3π4

{#/mathml#}）上單調(diào)遞增，

∴當(dāng)θ={#mathml#}23

{#/mathml#}時時間T最短．

【分析】【分析】（1）通過過點(diǎn)O作OG⊥BC于G，利用OG=1、OF=EF=1+AE=θ及時間、路程與速度之間的關(guān)系即得結(jié)論；

（2）通過（1）求導(dǎo)可知T′（θ）=﹣進(jìn)而集合函數(shù)的單調(diào)性即得結(jié)論．20、略

【分析】

（1）根據(jù)題意得AB=y且AC=y-1，在Rt△BCF中，BC=2CF=2x．然后在△ABC中利用余弦定理AC2=AB2+BC2-2?AB?BC?cosB的式子建立關(guān)于x；y的等式；解出用x表示y的式子，即可得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）由（1）求出的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合題意得出總造價M=-3+4x．然后換元：令x-1=t，化簡得到M=16t++25，利用基本不等式算出當(dāng)t=時；M的最小值為49．由此即可得出當(dāng)總造價M最低時，相應(yīng)的x值．

本題給出實(shí)際應(yīng)用問題，求能夠使公司建中轉(zhuǎn)站圍墻和兩條道路總造價最低的方案．著重考查了函數(shù)解析式的求法、運(yùn)用基本不等式求最值和余弦定理及其應(yīng)用等知識，屬于中檔題．【解析】解：（1）∵AB=y；AB=AC+1，∴AC=y-1．

∵在Rt△BCF中；CF=x，∠ABC=60°；

∴∠CBF=30°；可得BC=2x．

由于2x+y-1＞y，得x＞．

在△ABC中，根據(jù)余弦定理AC2=AB2+BC2-2?AB?BC?cosB；

可得（y-1）2=y2+（2x）2-2（y-1）?2x?cos60°；

即（y-1）2=y2+4x2-2x（y-1），解得y=．

∵y＞0且x＞

∴x＞1．

可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=（x＞1）．

（2）由題意，可得總造價M=3[y+（y-1）]+4x=-3+4x．

令x-1=t，則M=-3+4（t+1）=16t++25≥2+25=49；

當(dāng)且僅當(dāng)16t=即t=時；M的最小值為49．

此時x=t+1=y==．

答：當(dāng)x的值為時，該公司建中轉(zhuǎn)站圍墻和道路總造價M最低．21、略

【分析】

（1）由已知可得2+和-的坐標(biāo)，進(jìn)而可得|2+|和|-|以及（2+）?（-）；代入夾角公式可得cosθ，可得答案；

（2））同理可得2+和k+的坐標(biāo)；由垂直關(guān)系可得k的方程，解方程可得．

本題考查平面向量的數(shù)量積和夾角，以及垂直關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．【解析】解：（1）∵=（1，2），=（1；-1）．

∴2+=（3，3），-=（0；3）；

∴|2+|=3|-|=3，（2+）?（-）=9；

∴cosθ===

∵θ∈[0，π]，∴θ=

（2））∵=（1，2），=（1；-1）．

∴2+=（3，3），k+=（k-1；2k+1）；

∵向量2+與向量k+垂直；

∴（2+）?（k+）=0；

∴3（k-1）+3（2k+1）=0；

解得k=0四、計算題(共2題，共20分)22、略

【分析】【分析】先把x=2代入得出一個方程，再把x=4得出一個方程，根據(jù)f（2）=f（4），即可得出f（6）=的值．【解析】【解答】解：∵f（x）=ax2+bx-3；

∴x=2時，f（2）=4a+2b-3；

x=4時，f（4）=16a+4b-3；

∵