2012年高考數(shù)學(xué)試卷（理）（重慶）（解析卷）

第頁(yè)|共頁(yè)試卷總評(píng)2012年高考重慶卷數(shù)學(xué)文理科的特點(diǎn)是"穩(wěn)中有降、梯度合理、試題親切、背景公平"。穩(wěn)中有降：1、整份試題繼承了去年試題的框架結(jié)構(gòu)，全面考查了《考試大綱》各部分的內(nèi)容，函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列、圓錐曲線等仍是穩(wěn)定的主干考點(diǎn)；2、客觀題（選擇、填空）的壓軸題都較往年降低了難度，連接解答題的難度也略低于往年，試題面向全體考生，體現(xiàn)了向新課改主干知識(shí)平穩(wěn)過(guò)渡。梯度合理：整份試題層次分明，問(wèn)題設(shè)置科學(xué)、合理，對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)水平、數(shù)學(xué)能力不同的學(xué)生有著較好的區(qū)分度，部分試題設(shè)計(jì)巧妙，能考察學(xué)生綜合分析以及繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能，不僅有利于優(yōu)秀學(xué)生的發(fā)揮，也有利于數(shù)學(xué)中等生取得滿意的成績(jī)。試題親切：全卷試題表述清晰、富有數(shù)學(xué)美感，考生審題無(wú)文字障礙；淡化特殊技巧，回歸常態(tài)，運(yùn)算量適中；試題緊扣教材，對(duì)高中主干知識(shí)考察的明晰且突出，經(jīng)典數(shù)學(xué)問(wèn)題的重構(gòu)與改編所考察的數(shù)學(xué)思想與方法體現(xiàn)出了命題者的匠心獨(dú)用。背景公平：全卷無(wú)偏、難、怪、繁的試題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的一些題目選材自然、具有生活體驗(yàn)，如學(xué)生輪流投籃勝負(fù)的探討、學(xué)校課表安排等題目，這些題目對(duì)城鄉(xiāng)學(xué)生的審題、分析以至于解題過(guò)程均體現(xiàn)出公平的認(rèn)知背景，同時(shí)也較好地體現(xiàn)了新課改中數(shù)學(xué)文化的滲透。值得一提的是，命題者注重文理科差異，命題具有針對(duì)性。(21道試題中有9道是同源題目，其他均采用了不同的試題，考察體現(xiàn)了文理科學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力差異)總之，整份試題應(yīng)該說(shuō)是一份對(duì)如何考查雙基內(nèi)容作出了完美的詮釋的試題，不僅是一份有利于高校選拔人才的試卷，更對(duì)高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革起到了風(fēng)向標(biāo)的引領(lǐng)作用。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的（1）在等差數(shù)列中，，則的前5項(xiàng)和（A）7（B）15（C）20（D）25【答案】：B【解析】：，【考點(diǎn)定位】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．（2）不等式的解集為（A）（B）（C）（D）（3）對(duì)任意的實(shí)數(shù)，直線與圓的位置關(guān)系一定是（A）相離（B）相切（C）相交但直線不過(guò)圓心（D）相交且直線過(guò)圓心（4）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（A）（B）（C）（D）105【答案】B【解析】：令解得展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為【考點(diǎn)定位】本題考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)（5）設(shè)是方程的兩根，則的值（A）-3（B）-1（C）1（D）3【答案】：A【解析】：，則【考點(diǎn)定位】本此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用韋達(dá)定理及兩角和的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值．（6）設(shè)向量，且，則（A）（B）（C）（D）10（7）已知是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“為[0,1]上的增函數(shù)”是“為[3，4]上的減函數(shù)”的（A）既不充分也不必要的條件（B）充分而不必要的條件（C）必要而不充分的條件（D）充要條件【答案】：D【解析】：由是定義在R上的偶函數(shù)及[0,1]上的增函數(shù)可知在[-1,0]減函數(shù)，又2為周期，所以[3，4]上的減函數(shù)【考點(diǎn)定位】本題主要通過(guò)常用邏輯用語(yǔ)來(lái)考查函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性，進(jìn)而來(lái)考查函數(shù)的周期性．根據(jù)圖象分析出函數(shù)的性質(zhì)及其經(jīng)過(guò)的特殊點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．（8）設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題（8）圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（A）函數(shù)有極大值和極小值（B）函數(shù)有極大值和極小值（C）函數(shù)有極大值和極小值（D）函數(shù)有極大值和極小值（9）設(shè)四面體的六條棱的長(zhǎng)分別為1，1，1，1，和，且長(zhǎng)為的棱與長(zhǎng)為的棱異面，則的取值范圍是（A）（B）（C）（D）【答案】：A【解析】：，，，【考點(diǎn)定位】本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力，極限思想的應(yīng)用，是中檔題．（10）設(shè)平面點(diǎn)集，則所表示的平面圖形的面積為（A）（B）（C）（D）[來(lái)源:學(xué)§科§網(wǎng)]【答案】：D【解析】：由對(duì)稱(chēng)性：圍成的面積與圍成的面積相等得：所表示的平面圖形的面積為圍成的面積即【考點(diǎn)定位】本題考查極限的求法和應(yīng)用，因都沒(méi)有極限，可先分母有理化再求極限；（13）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且則【答案】：【解析】：由得由正弦定理得由余弦定理得則【考點(diǎn)定位】利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值本題的突破點(diǎn)，然后利用正弦定理建立已知和未知之間的關(guān)系．同時(shí)要求學(xué)生牢記特殊角的三角函數(shù)值．（14）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若則=。（15）某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)文化課和其他三門(mén)藝術(shù)課個(gè)1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為（用數(shù)字作答）.【答案】：【解析】：語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)文化課間隔1節(jié)藝術(shù)課排列有種排法，語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)文化課相鄰有種排法，語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)文化課兩門(mén)相鄰有種排法，故所有的排法種數(shù)有+，在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為【考點(diǎn)定位】本題在計(jì)數(shù)時(shí)根據(jù)具體情況選用了插空法，做題時(shí)要注意體會(huì)這些方法的原理及其實(shí)際意義．三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。16．（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問(wèn)6分，（Ⅱ）小問(wèn)7分）設(shè)函數(shù)，其中在，曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函數(shù)極值．17．（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問(wèn)7分，（Ⅱ）小問(wèn)6分）甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一票.約定甲先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響.[來(lái)（Ⅰ）求甲獲勝的概率；（Ⅱ）求投籃結(jié)束時(shí)甲的投籃次數(shù)的分布列與期望【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】：設(shè)分別表示甲、乙在第k次投籃中，則（Ⅰ）記“甲獲勝”為事件C，由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率與相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式知（Ⅱ）的所有可能值為1，2，3。由獨(dú)立性知綜上知，有分布列123P從而，（次）【考點(diǎn)定位】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望即相互獨(dú)立事件的概率，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，相互獨(dú)立事件是指，兩事件發(fā)生的概率互不影響，注意應(yīng)用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式．18．（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問(wèn)8分，（Ⅱ）小問(wèn)5分）設(shè)其中（Ⅰ）求函數(shù)的值域；（Ⅱ）若在上為增函數(shù)，求的最大值【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】：：（Ⅰ）因，所以函數(shù)的值域?yàn)椋á颍┮蛟诿總€(gè)閉區(qū)間（）上為增函數(shù)，故（）在每個(gè)閉區(qū)間（）上為增函數(shù)19．（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問(wèn)4分，（Ⅱ）小問(wèn)8分）已知直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)。（Ⅰ）求點(diǎn)C到平面的距離;（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值?！敬鸢浮浚海á瘢á颍窘馕觥浚海á瘢┮颍珼為AB的中點(diǎn)，得。又故面所以到平面的距離為（Ⅱ）：如答（19）圖1，取為的中點(diǎn)，連接，則又由（Ⅰ）知面故，故為所求的二面角的平面角。因是在面上的射影，又已知由三垂線定理的逆定理得從而，都與互余，因此，所以≌，因此，得從而所以在中，（20）（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問(wèn)5分，（Ⅱ）小問(wèn)7分）已知橢圓的中心為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，上頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，線段的中點(diǎn)分別為，且△是面積為4的直角三角形。（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過(guò)作直線交橢圓于，，求直線的方程【答案】：（Ⅰ）+=1（Ⅱ）和【解析】：：（Ⅰ）如答（20）圖，設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1（），右焦點(diǎn)為因是直角三角形且，故為直角，從而，即，結(jié)合得。故，所以離心率，在中，故由題設(shè)條件得，從而因此所求橢圓的的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由題意，直線的傾斜角不為0，故可設(shè)直線21．（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問(wèn)5分，（Ⅱ）小問(wèn)7分）已知的前項(xiàng)和滿足，其中（Ⅰ）求證：首項(xiàng)為1的等比數(shù)列；（Ⅱ）若，求證：，并給指出等號(hào)成立的充要條件。【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立【解析】：（Ⅰ）由，即，因，故，