2009年高考數(shù)學(xué)試卷（理）（全國卷Ⅱ）（解析卷）

第頁|共頁2009年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（全國卷Ⅱ）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i 【考點】A5：復(fù)數(shù)的運算．【專題】11：計算題．【分析】首先進行復(fù)數(shù)的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，分子和分母進行乘法運算，整理成最簡形式，得到結(jié)果．【解答】解：原式=，故選：A．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的乘除運算，是一個基礎(chǔ)題，在近幾年的高考題目中，復(fù)數(shù)的簡單的運算題目是一個必考的問題，通常出現(xiàn)在試卷的前幾個題目中．2．（5分）設(shè)集合A={x||x|＞3}，B={x|＜0}，則A∩B=（）A．φ B．（3，4） C．（﹣2，1） D．（4，+∞） 【考點】1E：交集及其運算．【分析】先化簡集合A和B，再根據(jù)兩個集合的交集的意義求解．【解答】解：A={x||x|＞3}?{x|x＞3或x＜﹣3}，B={x|＜0}={x|1＜x＜4}，∴A∩B=（3，4），故選：B．【點評】本題屬于以不等式為依托，求集合的交集的基礎(chǔ)題，也是高考常會考的題型．3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，則cosA=（）A． B． C． D． 【考點】GG：同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．【專題】11：計算題．【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系cosA轉(zhuǎn)化成正弦和余弦，求得sinA和cosA的關(guān)系式，進而與sin2A+cos2A=1聯(lián)立方程求得cosA的值．【解答】解：∵cotA=∴A為鈍角，cosA＜0排除A和B，再由cotA==，和sin2A+cos2A=1求得cosA=，故選：D．【點評】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用．主要是利用了同角三角函數(shù)中的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系．4．（5分）函數(shù)在點（1，1）處的切線方程為（）A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y+3=0 【考點】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】11：計算題．【分析】欲求切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．【解答】解：依題意得y′=，因此曲線在點（1，1）處的切線的斜率等于﹣1，相應(yīng)的切線方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，故選：B．【點評】本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E為AA1中點，則異面直線BE與CD1所形成角的余弦值為（）A． B． C． D． 【考點】LM：異面直線及其所成的角．【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；5G：空間角．【分析】由BA1∥CD1，知∠A1BE是異面直線BE與CD1所形成角，由此能求出異面直線BE與CD1所形成角的余弦值．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E為AA1中點，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是異面直線BE與CD1所形成角，設(shè)AA1=2AB=2，則A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴異面直線BE與CD1所形成角的余弦值為．故選：C．【點評】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，則||=（）A． B． C．5 D．25 【考點】91：向量的概念與向量的模；9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)所給的向量的數(shù)量積和模長，對|a+b|=兩邊平方，變化為有模長和數(shù)量積的形式，代入所給的條件，等式變?yōu)殛P(guān)于要求向量的模長的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故選：C．【點評】本題考查平面向量數(shù)量積運算和性質(zhì)，根據(jù)所給的向量表示出要求模的向量，用求模長的公式寫出關(guān)于變量的方程，解方程即可，解題過程中注意對于變量的應(yīng)用．7．（5分）設(shè)a=log3π，b=log2，c=log3，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a 【考點】4M：對數(shù)值大小的比較．【分析】利用對數(shù)函數(shù)y=logax的單調(diào)性進行求解．當a＞1時函數(shù)為增函數(shù)當0＜a＜1時函數(shù)為減函數(shù)，如果底a不相同時可利用1做為中介值．【解答】解：∵∵，故選A【點評】本題考查的是對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，這里需要注意的是當?shù)撞幌嗤瑫r可用1做為中介值．8．（5分）若將函數(shù)y=tan（ωx+）（ω＞0）的圖象向右平移個單位長度后，與函數(shù)y=tan（ωx+）的圖象重合，則ω的最小值為（）A． B． C． D． 【考點】HJ：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】11：計算題．【分析】根據(jù)圖象的平移求出平移后的函數(shù)解析式，與函數(shù)y=tan（ωx+）的圖象重合，比較系數(shù)，求出ω=6k+（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx+），向右平移個單位可得：y=tan[ω（x﹣）+]=tan（ωx+）∴﹣ω+kπ=∴ω=k+（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin=．故選：D．【點評】本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的圖象的平移，待定系數(shù)法的應(yīng)用，考查計算能力，是?？碱}．9．（5分）已知直線y=k（x+2）（k＞0）與拋物線C：y2=8x相交于A、B兩點，F(xiàn)為C的焦點，若|FA|=2|FB|，則k=（）A． B． C． D． 【考點】K8：拋物線的性質(zhì)．【專題】11：計算題；16：壓軸題．【分析】根據(jù)直線方程可知直線恒過定點，如圖過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根據(jù)|FA|=2|FB|，推斷出|AM|=2|BN|，點B為AP的中點、連接OB，進而可知，進而推斷出|OB|=|BF|，進而求得點B的橫坐標，則點B的坐標可得，最后利用直線上的兩點求得直線的斜率．【解答】解：設(shè)拋物線C：y2=8x的準線為l：x=﹣2直線y=k（x+2）（k＞0）恒過定點P（﹣2，0）如圖過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，則|AM|=2|BN|，點B為AP的中點、連接OB，則，∴|OB|=|BF|，點B的橫坐標為1，故點B的坐標為，故選：D．【點評】本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．考查了對拋物線的基礎(chǔ)知識的靈活運用．10．（5分）甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有（）A．6種 B．12種 C．24種 D．30種 【考點】D5：組合及組合數(shù)公式．【專題】11：計算題．【分析】根據(jù)題意，分兩步，①先求所有兩人各選修2門的種數(shù)，②再求兩人所選兩門都相同與都不同的種數(shù)，進而由事件間的相互關(guān)系，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分兩步，①由題意可得，所有兩人各選修2門的種數(shù)C42C42=36，②兩人所選兩門都相同的有為C42=6種，都不同的種數(shù)為C42=6，故選：C．【點評】本題考查組合公式的運用，解題時注意事件之間的關(guān)系，選用直接法或間接法．11．（5分）已知雙曲線的右焦點為F，過F且斜率為的直線交C于A、B兩點，若=4，則C的離心率為（）A． B． C． D． 【考點】I3：直線的斜率；KA：雙曲線的定義．【專題】11：計算題；16：壓軸題．【分析】設(shè)雙曲線的有準線為l，過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直線AB的斜率可知直線AB的傾斜角，進而推，由雙曲線的第二定義|AM|﹣|BN|=|AD|，進而根據(jù)，求得離心率．【解答】解：設(shè)雙曲線的右準線為l，過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直線AB的斜率為，知直線AB的傾斜角為60°∴∠BAD=60°，由雙曲線的第二定義有：=∴，∴故選：A．【點評】本題主要考查了雙曲線的定義．解題的關(guān)鍵是利用了雙曲線的第二定義，找到了已知條件與離心率之間的聯(lián)系．12．（5分）紙制的正方體的六個面根據(jù)其方位分別標記為上、下、東、南、西、北．現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開、外面朝上展平，得到如圖所示的平面圖形，則標“△”的面的方位（）A．南 B．北 C．西 D．下 【考點】LC：空間幾何體的直觀圖．【專題】16：壓軸題．【分析】本題考查多面體展開圖；正方體的展開圖有多種形式，結(jié)合題目，首先滿足上和東所在正方體的方位，“△”的面就好確定．【解答】解：如圖所示．故選B【點評】本題主要考查多面體的展開圖的復(fù)原，屬于基本知識基本能力的考查．二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展開式中x3y3的系數(shù)為6．【考點】DA：二項式定理．【分析】先化簡代數(shù)式，再利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x，y的指數(shù)都為1求出x3y3的系數(shù)【解答】解：，只需求展開式中的含xy項的系數(shù)．∵的展開式的通項為令得r=2∴展開式中x3y3的系數(shù)為C42=6故答案為6．【點評】本題考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具．14．（5分）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a5=5a3，則=9．【考點】83：等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】11：計算題．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的等差中項的性質(zhì)可知S9=9a5，S5=5a3，根據(jù)a5=5a3，進而可得則的值．【解答】解：∵{an}為等差數(shù)列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案為9【點評】本題主要考查了等差數(shù)列中等差中項的性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．15．（5分）設(shè)OA是球O的半徑，M是OA的中點，過M且與OA成45°角的平面截球O的表面得到圓C．若圓C的面積等于，則球O的表面積等于8π．【考點】LG：球的體積和表面積．【專題】11：計算題；16：壓軸題．【分析】本題可以設(shè)出球和圓的半徑，利用題目的關(guān)系，求解出具體的值，即可得到答案．【解答】解：設(shè)球半徑為R，圓C的半徑為r，．因為．由得R2=2故球O的表面積等于8π故答案為：8π，【點評】本題考查學(xué)生對空間想象能力，以及球的面積體積公式的利用，是基礎(chǔ)題．16．（5分）求證：菱形各邊中點在以對角線的交點為圓心的同一個圓上．【考點】N8：圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定．【專題】14：證明題；16：壓軸題．【分析】如圖，菱形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，菱形ABCD各邊中點分別為M、N、P、Q，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC⊥BD，垂足為O，且AB=BC=CD=DA，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OM=ON=OP=OQ=AB，得到M、N、P、Q四點在以O(shè)為圓心OM為半徑的圓上．【解答】已知：如圖，菱形ABCD的對角線AC和BD相交于點O．求證：菱形ABCD各邊中點M、N、P、Q在以O(shè)為圓心的同一個圓上．證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，垂足為O，且AB=BC=CD=DA，而M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，∴OM=ON=OP=OQ=AB，∴M、N、P、Q四點在以O(shè)為圓心OM為半徑的圓上．所以菱形各邊中點在以對角線的交點為圓心的同一個圓上．【點評】本題考查了四點共圓的判定方法．也考查了菱形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．三、解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．【考點】GG：同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；HP：正弦定理．【專題】11：計算題．【分析】本題考查三角函數(shù)化簡及解三角形的能力，關(guān)鍵是注意角的范圍對角的三角函數(shù)值的制約，并利用正弦定理得到sinB=（負值舍掉），從而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB=及B=π﹣（A+C）得cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，∴sinAsinC=．又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故，∴或（舍去），于是B=或B=．又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=．【點評】三角函數(shù)給值求值問題的關(guān)鍵就是分析已知角與未知角的關(guān)系，然后通過角的關(guān)系，選擇恰當?shù)墓剑矗喝绻桥c角相等，則使用同角三角函數(shù)關(guān)系；如果角與角之間的和或差是直角的整數(shù)倍，則使用誘導(dǎo)公式；如果角與角之間存在和差關(guān)系，則我們用和差角公式；如果角與角存在倍數(shù)關(guān)系，則使用倍角公式．18．（12分）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分別為AA1、B1C的中點，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）證明：AB=AC；（Ⅱ）設(shè)二面角A﹣BD﹣C為60°，求B1C與平面BCD所成的角的大?。究键c】LQ：平面與平面之間的位置關(guān)系．【專題】11：計算題；14：證明題．【分析】（1）連接BE，可根據(jù)射影相等的兩條斜線段相等證得BD=DC，再根據(jù)相等的斜線段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C與平面BCD所成的線面角，只需求點B1到面BDC的距離即可，作AG⊥BD于G，連GC，∠AGC為二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC中求出GC即可．【解答】解：如圖（I）連接BE，∵ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E為B1C的中點，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的兩條斜線段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜線段的射影相等）．（II）求B1C與平面BCD所成的線面角，只需求點B1到面BDC的距離即可．作AG⊥BD于G，連GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC為二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨設(shè)，則AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD?AB=BD?AG，易得設(shè)點B1到面BDC的距離為h，B1C與平面BCD所成的角為α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C與平面BCD所成的角為30°．【點評】本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．19．（12分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N*）．（1）設(shè)bn=an+1﹣2an，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項公式．【考點】87：等比數(shù)列的性質(zhì)；8H：數(shù)列遞推式．【專題】15：綜合題．【分析】（1）由題設(shè)條件知b1=a2﹣2a1=3．由Sn+1=4an+2和Sn=4an﹣1+2相減得an+1=4an﹣4an﹣1，即an+1﹣2an=2（an﹣2an﹣1），所以bn=2bn﹣1，由此可知{bn}是以b1=3為首項、以2為公比的等比數(shù)列．（2）由題設(shè)知．所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列．由此能求出數(shù)列{an}的通項公式．【解答】解：（1）由a1=1，及Sn+1=4an+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．由Sn+1=4an+2，①則當n≥2時，有Sn=4an﹣1+2，②①﹣②得an+1=4an﹣4an﹣1，所以an+1﹣2an=2（an﹣2an﹣1），又bn=an+1﹣2an，所以bn=2bn﹣1（bn≠0），所以{bn}是以b1=3為首項、以2為公比的等比數(shù)列．（6分）（2）由（I）可得bn=an+1﹣2an=3?2n﹣1，等式兩邊同時除以2n+1，得．所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列．所以，即an=（3n﹣1）?2n﹣2（n∈N*）．（13分）【點評】本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要掌握等比數(shù)列的證明方法，會求數(shù)列的通項公式．20．（12分）某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人，現(xiàn)采用分層抽樣方法（層內(nèi)采用不放回簡單隨機抽樣）從甲、乙兩組中共抽取3名工人進行技術(shù)考核．（Ⅰ）求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；（Ⅱ）求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）記ξ表示抽取的3名工人中男工人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．【考點】B3：分層抽樣方法；CG：離散型隨機變量及其分布列；CH：離散型隨機變量的期望與方差．【專題】11：計算題；48：分析法．【分析】（Ⅰ）這一問較簡單，關(guān)鍵是把握題意，理解分層抽樣的原理即可．另外要注意此分層抽樣與性別無關(guān)．（Ⅱ）在第一問的基礎(chǔ)上，這一問處理起來也并不困難．直接在男工里面抽取一人，在女工里面抽取一人，除以在總的里面抽取2人的種數(shù)即可得到答案．（Ⅲ）求ξ的數(shù)學(xué)期望．因為ξ的可能取值為0，1，2，3．分別求出每個取值的概率，然后根據(jù)期望公式求得結(jié)果即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）因為甲組有10名工人，乙組有5名工人，從甲、乙兩組中共抽取3名工人進行技術(shù)考核，根據(jù)分層抽樣的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名．（Ⅱ）因為由上問求得；在甲中抽取2名工人，故從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率（Ⅲ）ξ的可能取值為0，1，2，3，，，ξ0123P故Eξ==．【點評】本題較常規(guī)，比08年的概率統(tǒng)計題要容易．在計算P（ξ=2）時，采用求反面的方法，用直接法也可，但較繁瑣．考生應(yīng)增強靈活變通的能力．21．（12分）已知橢圓的離心率為，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在點P，使得當l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立？若存在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由．【考點】K4：橢圓的性質(zhì)．【專題】15：綜合題；16：壓軸題．【分析】（I）設(shè)F（c，0），則直線l的方程為x﹣y﹣c=0，由坐標原點O到l的距離求得c，進而根據(jù)離心率求得a和b．（II）由（I）可得橢圓的方程，設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入橢圓的方程中整理得方程△＞0．由韋達定理可求得y1+y2和y1y2的表達式，假設(shè)存在點P，使成立，則其充要條件為：點P的坐標為（x1+x2，y1+y2），代入橢圓方程；把A，B兩點代入橢圓方程，最后聯(lián)立方程求得c，進而求得P點坐標，求出m的值得出直線l的方程．【解答】解：（I）設(shè)F（c，0），直線l：x﹣y﹣c=0，由坐標原點O到l的距離為則，解得c=1又，∴（II）由（I）知橢圓的方程為設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）由題意知l的斜率為一定不為0，故不妨設(shè)l：x=my+1代入橢圓的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，顯然△＞0．由韋達定理有：，，①假設(shè)存在點P，使成立，則其充要條件為：點P的坐標為（x1+x2，y1+y2），點P在橢圓上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在橢圓上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②將x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴，x1+x2=，即當；當【點評】本題主要考查了橢圓的性質(zhì)．處理解析幾何題，學(xué)生主要是在“算”上的功夫不夠．所謂“算”，主要講的是算理和算法．算法是解決問題采用的計算的方法，而算理是采用這種算法的依