2024屆安徽省合肥市某中學(xué)、合肥十中高三年級(jí)下冊(cè)第二次診斷考試數(shù)學(xué)試題試卷

2024屆安徽省合肥市七中、合肥十中高三下學(xué)期第二次診斷考試數(shù)學(xué)試題試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入〃=lnl0,b=lge,則輸出的值為（）

A.0B.1C.21geD.21gl0

2.下列不等式成立的是（）

.1.1

c.bg.vlog/D.

2不3￡2

3.趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，又

稱(chēng)“趙爽弦圖”（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的，如圖（D）,

類(lèi)比“趙爽弦圖”，可類(lèi)似地構(gòu)造如圖（2）所示的圖形，它是由6個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小正六邊形組成的一個(gè)

大正六邊形，設(shè)4/'=2尸幺，若在大正六邊形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小正六邊形的概率為（）

D

4.數(shù)列況｝的通項(xiàng)公式為/二|〃—d（〃eN）貝代c<2”是“｛凡｝為遞增數(shù)歹小的（）條件.

A.必要而不充分B.充要C.充分而不必要D,即不充分也不必要

22

5.已知橢圓￡+｝=（，>八°）的焦點(diǎn)分別為小其中焦點(diǎn)用與拋物線丁=2川的焦點(diǎn)重合'且橢圓與拋

物線的兩個(gè)交點(diǎn)連線正好過(guò)點(diǎn)用，則橢圓的離心率為（）

A.—B.V2-1C.3-2&D.73-1

2

7—1

6.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足——=i,貝ljz=（）

Z+Z

A.1B.-1C.I-ZD.1+/

7.關(guān)于圓周率不，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā)，某同學(xué)通

過(guò)下面的隨機(jī)模擬方法來(lái)估計(jì)乃的值：先用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生2000個(gè)數(shù)對(duì)（X,），），其中X,都是區(qū)間（0,1）上的均勻隨機(jī)

數(shù)，再統(tǒng)計(jì)工，能與1構(gòu)成銳角三角形三邊長(zhǎng)的數(shù)對(duì)（X,），）的個(gè)數(shù)〃？；最后根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)加來(lái)估計(jì)不的值.若m=435,

則,的估計(jì)值為（）

A.3.12B.3.13C.3.14D.3.15

8.若x+W*,ywR）與」互為共匏復(fù)數(shù)，則x+y=（）

I-/

A.0B,3C.-1D.4

9.己知四棱錐E-A8co，底面45CZ）是邊長(zhǎng)為1的正方形，石。=1,平面ECOJ_平面A5CD,當(dāng)點(diǎn)。到平面43E

的距離最大時(shí)，該四棱錐的體積為（）

&61「五n1

A?B?Cz?lz?1

633

10.已知隨機(jī)變量X的分布列如下表:

X-101

Pahc

其中“，b,c〉o.若X的方差o（x）wg對(duì)所有。?0,1-3都成立，則（）

,I,2,1D.2|

A./?<-B.b<-C.b>-

333

11.集合4={x|x—2W0},B=N,則AB=()

A.{1}B.{1,2}C.{0,1}D.{0,1,2}

12.有一圓柱狀有蓋鐵皮桶（鐵皮厚度忽略不計(jì)），底面直徑為20cm,高度為100cm,現(xiàn)往里面裝直徑為10cm的球,

在能蓋住蓋子的情況下，最多能裝（）

(附：y5yl.414,6*1.732,逐=2.236)

A.22個(gè)B.24個(gè)C.26個(gè)D.28個(gè)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.平面向量Q與0的夾角為餐同=1，網(wǎng)=1，，則|3。-2〃=.

14.若函數(shù)/（x）=sin2x+cos2x在也,］和⑶幾對(duì)上均單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)團(tuán)的取值范圍為.

15.若復(fù)數(shù)z滿足芻=2+i,具中i是虛數(shù)單位，則z的模是_____.

1

16.若一個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為1,四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則此球的表面積為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

?3

X=1+-Z

17.（12分）在直角坐標(biāo)系xO），中，直線/的參數(shù)方程為」5A（/為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸

,4

y=1+—r

r5

為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。的極坐標(biāo)方程為夕2=,2,點(diǎn)尸的極坐標(biāo)為［夜,

l+sin~ek4；

（1）求C的直角坐標(biāo)方程和P的直角坐標(biāo)；

（2）設(shè)/與。交于A,3兩點(diǎn)，線段A3的中點(diǎn)為M,求歸閭.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=o+21nx,/(x)Wox.

（1）求。的值;

⑵令g（?=亞q在（七十功上最小值為，證明：6＜/（/??）＜7.

x-a

19.（12分）已知橢圓C:￡+器=l（a〉b〉O）與x軸負(fù)半軸交于A（—2,0）,離心率e=；.

（1）求橢圓。的方程；

（2）設(shè)直線/：y=丘+機(jī)與橢圓C交于”（?。郏?%（毛,%）兩點(diǎn)，連接4也AN并延長(zhǎng)交直線x=4于

/、/、1111

七（巧,力）,尸（巧，乂）兩點(diǎn)，若了+丁二丁十1，直線MN是否恒過(guò)定點(diǎn)，如果是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不是,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.（12分）在極坐標(biāo)系中，已知曲線C的方程為夕=，.（廠＞0）,直線/的方程為「cos10+7）=&.設(shè)直線/與

曲線C相交于A,8兩點(diǎn)，且A8=2d7,求r的值.

21.（12分）已知函數(shù),f（x）=lnx.

（1）設(shè)g（x）=/里，求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間，并證明函數(shù)g（“有唯一零點(diǎn).

（2）若函數(shù)加好="-寸*-1）在區(qū)間iu+/）上不單調(diào)，證明：

'7a。+1

22.（10分）如圖，三棱錐P-A8C中，PA=PB=PC=6,CA=CB=RACYBC

（1）證明：面443_1_面43。；

（2）求二面角C—Q4-6的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解題分析】

根據(jù)輸入的值大小關(guān)系，代入程序框圖即可求解.

【題目詳解】

輸入a=lnlO,Z?=lge,

因?yàn)閘nl0>l>lge,所以由程序框圖知,

輸出的值為。一:二皿10-J-=lnlO-lnlO=O.

bIge

故選：A

【題目點(diǎn)撥】

本題考杳了對(duì)數(shù)式大小比較，條件程序框圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.D

【解題分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、哥函數(shù)的單調(diào)性和正余弦函數(shù)的圖象可確定各個(gè)選項(xiàng)的正誤.

【題目詳解】

對(duì)于A,0<—<一,sin—<cos—,4錯(cuò)誤；

2422

對(duì)于4,),=(()在R上單調(diào)遞減，.?.(；)<(g

4錯(cuò)誤;

對(duì)于C,???log'=log23>l,logi=log32<l,log,|>log)C錯(cuò)誤;

i3522332

1I

對(duì)于0,.?.),=%在/?上單調(diào)遞增，.?.付)>0，Q正確.

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問(wèn)題；關(guān)鍵是熟練掌握正余弦函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和塞函數(shù)的

單調(diào)性.

3.D

【解題分析】

設(shè)A尸二。，貝IJA'尸'=2。，小正六邊形的邊長(zhǎng)為A'尸'=勿，利用余弦定理可得大正六邊形的邊長(zhǎng)為=再

利用面積之比可得結(jié)論.

【題目詳解】

由題意，設(shè)A尸'=。，則Ab'=2a,即小正六邊形的邊長(zhǎng)為AF=2〃，

所以，F(xiàn)F'=3a,ZAFrF=-,在AA尸戶中，

3

由余弦定理得AF2=AF,2+FF2-2AFFFCOSZAF'F,

即人尸=々2+（3〃）2—2〃3〃〈os工，解得人尸=缶，

3

所以，大正六邊形的邊長(zhǎng)為A”=缶，

所以，小正六邊形的面積為S.=—x26,x2axx24-2^zx2\/3a=6\/3a2,

22

大正六邊形的面積為S?=gxJ7ax】gx2+gax=二!^8/,

nH4

所以，此點(diǎn)取自小正六邊形的概率0=肅=亍.

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查概率的求法，考查余弦定理、幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.A

【解題分析】

I3

根據(jù)遞增數(shù)列的特點(diǎn)可知q用-?！?gt;（）,解得。<〃+不，由此得到若｛qJ是遞增數(shù)列，則。<不，根據(jù)推出關(guān)系可確

定結(jié)果.

【題目詳解】

若”｛4｝是遞增數(shù)列”，則=|?+l-6*|-|/?-c|>0,

即+>（〃一，化簡(jiǎn)得：C<n+^,

133

又〃wN*，?,*>，。<二，

222

則c<2&m｝是遞增數(shù)列，｛%｝是遞增數(shù)列=cv2,

“c<2”是“｛q｝為遞增數(shù)列”的必要不充分條件.

故選：兒

【題目點(diǎn)撥】

本題考查充分條件與必要條件的判斷，涉及到根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)范圍，屬于基礎(chǔ)題.

5.B

【解題分析】

〃〔再利用/一即可求解.

根據(jù)題意可得易知。=!，且4

,解方程可得

2a

p2b2+4〃2。2=4a2b2/=電把

2

【題目詳解】

a2-b2=-^-

4

易知c=4,且，4=>

2P/2+4〃2。2=4//

p~

2

故有=靛=3—2&,貝1J?二,3-2==42-1

故選：B

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、拋物線的幾何性質(zhì)，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題

6.B

【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可求解.

【題目詳解】

7—I

由-——=i=z-i=i(z+i)=(l-i)z=i-l=z=-l.

Z+Z

故選：B

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，需掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.

7.B

【解題分析】

先利用幾何概型的概率計(jì)算公式算出%)'能與1構(gòu)成銳角三角形三邊長(zhǎng)的概率，然后再利用隨機(jī)模擬方法得到五，)'

能與1構(gòu)成銳角三角形三邊長(zhǎng)的概率，二者概率相等即可估計(jì)出乃.

【題目詳解】

因?yàn)榈?，了都是區(qū)間(0,1)上的均勻隨機(jī)數(shù)，所以有0vx<i,0<><1,若X,y能與1構(gòu)成銳角三角形三邊長(zhǎng)，

x+y>iIx1，.一

則，\I，由幾何概型的概率計(jì)算公式知p4、兀m435,

〔）1X14n2000

435

所以）=4x（l一痛）=3.13?

故選：B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查幾何概型的概率計(jì)算公式及運(yùn)用隨機(jī)數(shù)模擬法估計(jì)概率，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一個(gè)中檔題.

8.C

【解題分析】

計(jì)算業(yè)=1+2"由共視復(fù)數(shù)的概念解得即可.

1-/

【題目詳解】

V—=1+2/,又由共枕復(fù)數(shù)概念得：x=l,y=-2,

1-z

:.x+y=-\.

故選：C

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，共枕復(fù)數(shù)的概念.

9.B

【解題分析】

過(guò)點(diǎn)E作EH上CD,垂足為"，過(guò)〃作彼JLAB,垂足為廣，連接因?yàn)镃。//平面A3E,所以點(diǎn)C到平面

A5E的距離等于點(diǎn)”到平面ABE的距離〃.設(shè)將〃表示成關(guān)于。的函數(shù)，再求函數(shù)的最值,

即可得答案.

【題目詳解】

過(guò)點(diǎn)E作E〃_LCD,垂足為H,過(guò)H作HF上AB,垂足為尸，連接EE

因?yàn)槠矫鍱CO_L平面45c。，所以硝_1_平面ABC。，

所以EH上HF.

因?yàn)榈酌鍭5CO是邊長(zhǎng)為1的正方形，HF//AD,所以“/=AQ=L

因?yàn)镃DU平面ABE,所以點(diǎn)C到平面ABE的距離等于點(diǎn)H到平面ABE的距離.

易證平面EF”J_平面48E,

所以點(diǎn)〃到平面A8E的距離，即為“到E尸的距解〃.

不妨設(shè)/6石=。（0＜夕＜'）,則七H=sin〃，EF=dl+sH。.

因?yàn)镾EHF=g.EFh=gEHFH,所以〃.Jj7而萬(wàn)=sin6,

_sin0_1（應(yīng)

所以石*7="p~J-T，當(dāng)e=W時(shí)，等號(hào)成立?

Ns"一

2

此時(shí)E”與ED重合，所以硒=1,VE_^CD=ixlxl=l.

故選：B.

本題考查空間中點(diǎn)到面的距離的最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，

求解時(shí)注意輔助線及面面垂直的應(yīng)用.

10.D

【解題分析】

根據(jù)X的分布列列式求出期望，方差，再利用4+〃+c=l將方差變形為Q(X)=-4。/-三)+1-6,從而可以利用二

次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值為\-bW進(jìn)而得出結(jié)論.

【題目詳解】

由X的分布列可得X的期望為￡(X)=-。+c,

又4+C=1,

所以X的方差O(X)=(-l+a—c1a+(a-c)2b+(l+a-c)2c

=(fl-c)~(a+Z?+c)-2(a-c)~+a+c

=-(?-c)-+a+c

=-(2rt-l+Z?)?+1-b

A(1-垃..

=-4a-----+1-b,

I2J

因?yàn)椤ā?O,l-b),所以當(dāng)且僅當(dāng)〃=?時(shí),D(X)取最大值「兒

又。(X)《g對(duì)所有。?0,l—。)成立，

I?

所以1—607,解得

33

故選:D.

【題目點(diǎn)撥】

本題綜合考查了隨機(jī)變量的期望、方差的求法，結(jié)合了概率、二次函數(shù)等相關(guān)知識(shí)，需要學(xué)生具備一定的計(jì)算能力,屬于中

檔題.

11.D

【解題分析】

利用交集的定義直接計(jì)算即可.

【題目詳解】

A={x\x<2}t故4[B={0,l,2},

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查集合的交運(yùn)算，注意常見(jiàn)集合的符號(hào)表示，本題屬于基礎(chǔ)題.

12.C

【解題分析】

計(jì)算球心連線形成的正四面體相對(duì)棱的距離為5五cm,得到最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為0O+5ji(〃-l"cm,

得到不等式1。+5虛(〃-l)W100,計(jì)算得到答案.

【題目詳解】

由題意，若要裝更多的球，需要讓球和鐵皮桶側(cè)面相切，且相鄰四個(gè)球兩兩相切，

這樣，框鄰的四個(gè)球的球心連線構(gòu)成棱長(zhǎng)為l()cm的正面體，

易求正四面體相對(duì)棱的距離為50cm,每裝兩個(gè)球稱(chēng)為“一層”，這樣裝〃層球，

則最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為00+50(〃-1))cm,

若想要蓋上蓋子，則需要滿足10+505-1）￡100,解得〃工1+9企才13.726,

所以最多可以裝13層球，即最多可以裝26個(gè)球.

故選：C

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了圓柱和球的綜合問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.

二、填空題，木題共4小題，每小題5分，共20分。

13.V13

【解題分析】

由平面向量模的計(jì)算公式，直接計(jì)算即可.

【題目詳解】

因?yàn)槠矫嫦蛄俊Ｅc〃的夾角為二，所以

2

所以pa-2。卜桃『+4此一12a..=V13；

故答案為JI5

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查平面向量模的計(jì)算，只需先求出向量的數(shù)量積，進(jìn)而即可求出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題型.

5冗冗、

以匕，不

244

【解題分析】

化簡(jiǎn)函數(shù)，求出/（力在［0,句上的單調(diào)遞增區(qū)間，然后根據(jù)/（無(wú)）在0,y和［3加，句上均單調(diào)遞增，列出不等式求

解即可.

【題目詳解】

由f(x)=sin2.x+cos2x=叵sin(2.r+工)知,

4

.，乃上單調(diào)遞增,

當(dāng)不￡［0,句時(shí)，/（X）在［0,。和

OO

?."（%）在0,-和［3帆，句上均單調(diào)遞增,

乙

-m-\--7-i

2一8

5乃，

3m>——

8

/兀

—54W,加W一,

244

「?〃?的取值范圍為：—.

244

I「f+、,57r7i

故答案為：T—?—?

|_244J

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出關(guān)于小的方程組，屬中檔題.

15.非

【解題分析】

先求得復(fù)數(shù)Z,再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即得.

【題目詳解】

v-=2-Fi,

i

.?.z=2i+i2=-l+2i，則國(guó)=石?

故答案為：下

【題目點(diǎn)撥】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和求復(fù)數(shù)的模，是基礎(chǔ)題.

16.—

2

【解題分析】

將四面體補(bǔ)成一個(gè)正方體，通過(guò)正方體的對(duì)角線與球的半徑的關(guān)系，得到球的半徑，利用球的表面積公式，即可求解.

【題目詳解】

如圖所示，將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體，

則正四面體的外接球與正方體的外接球表示同一個(gè)球，

因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為1,所以正方體的棱長(zhǎng)為上，

2

設(shè)球的半徑為R,因?yàn)榍虻闹睆绞钦襟w的對(duì)角線,

所以球的表面積為s=4?R2=4?X（苧2=手.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了有關(guān)求得組合體的結(jié)構(gòu)特征，以及球的表面積的計(jì)算，其中巧妙構(gòu)造正方體，利用正方體的外接球的

直徑等于正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，得到球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及運(yùn)算與求解能力，屬于基

礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

255

17.（1）—v+/=1,（1,1）（2）\PM=—

【解題分析】

（1）利用互化公式把曲線?；芍苯亲鴺?biāo)方程，把點(diǎn)尸的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)；

（2）把直線，的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)韋達(dá)定理以及參數(shù)，的幾何意義可得.

【題目詳解】

2r2

（1）由「=不福得*P03=2,將p-2,產(chǎn)所8代入上式并整理得曲線C的直角坐標(biāo)方程為E+V

=1,

設(shè)點(diǎn)尸的直角坐標(biāo)為（x,y）,因?yàn)槭臉O坐標(biāo)為（血，

4

所以x=pcos0=5/2cos^=1,j=psin0=&sin?=1,

所以點(diǎn)尸的直角坐標(biāo)為（L1）.

?3

X=14—/,

5V-

(2)將;代入二+J，2=1,并整理得41P+U0什25=0,

.42

y=\+—t

5

因?yàn)椤?11（）2?4X41X25=8000>0,故可設(shè)方程的兩根為A,h,

110

則fl,f2為A,8對(duì)應(yīng)的參數(shù)，且力+力二,一

41

依題意，點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為空久，

2

所以|PM|=|"^|二^!.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，屬中檔題.

18.(1)4=2;(2)見(jiàn)解析.

【解題分析】

(1)將/(幻Wat轉(zhuǎn)化為。一依+21nxW0對(duì)任意x>0恒成立，h(x)=a-ax+2\nxt故只需力(刀)“做W。，即可求

出〃的值；

(2)由(1)知g(x)=2八十2八p八(x>2),可得g'(x)=2aJ?：4),令=x-21nx—4,可證時(shí))￡(8,9),

x-2{x-2)~

使得S(/)=。，從而可確定g(X)在(2/。)上單調(diào)遞減，在(X。,+8)上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得g(X)mm=g(%)=Xo,即

團(tuán)=%,即可證出f(m)=/(%)=2+2In%%-2￡(6,7).

【題目詳解】

函數(shù)/(力的定義域?yàn)?。,+8),因?yàn)榱?)《如對(duì)任意x〉0恒成立，

即21nxW0對(duì)任意x>0恒成立，

令〃(x)=a-ar+21nx,則〃⑺=-q+2=仆+2,

xx

當(dāng)時(shí),/Z(x)>0,故〃(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又抑1)=0,所以當(dāng)x>l時(shí),2x)>版。=0,不符合題意；

2

當(dāng)。>0時(shí)，令〃'(x)=0得x=一，

a

22

當(dāng)0<x<一時(shí)，/Z(x)>0；當(dāng)上>一時(shí)，//(x)<0,

aa

(2\(2}

所以〃“)在0,一上單調(diào)遞增，在一,+8上單調(diào)遞減，

\a)\ctJ

,2、22

所以〃(幻1皿=〃—=。-a?一+2hi—=。-2+2In2-2Ina,

\a)aa

所以要使〃(x)WO在x>0時(shí)恒成立，則只需4(x)皿WO,即a-2+21n2-21na40,

令尸(a)=a-2+21n2—21na,a>0,

所以F'(a)=l—女2=a~-2,

aa

當(dāng)0<a<2時(shí)，b'(a)vO；當(dāng)。>2時(shí)，F(xiàn)(tz)>0,

所以F(a)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+s)上單調(diào)遞增，所以Ra)NF(2)=0,

即a-2-21n2-21n〃N0,又。一2+21n2-21naK0,所以4-2+21n2-21n〃=0,

故滿足條件的。的值只有2

、xf{x)2x+2xlnx小g、i，/、2(x-21nx-4)

(2)由(1)知g(x)=上==----------(x>2),所以g(x)=---十一,

x-ax-2(x-2)

9X-2

令5。)=%—2111X一4,貝ijs'(x)=l——=----,

xx

當(dāng)x>2,時(shí)s'(x)>0,即S(x)在(2,48)上單調(diào)遞增；

又s(8)v0,s⑼>0,所以叫《(8,9),使得s(%)=o,

當(dāng)2<“<:々)時(shí)，s(x)<0；當(dāng)x>x()時(shí)，s(x)>0,

即g(x)在(2,%)上單調(diào)遞減，在(%,+8)上單調(diào)遞增，且%-21n%-4=0

2%)+2XQInXQ2Ao+x0(x0-4)_x1-2x0

所以gOOmin=g?)=%)，

%—2玉一2占一2

即〃2=/，所以/Q〃)=/(Xo)=2+21n_r()=/一2w(6,7),即6v/(〃z)v7.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值及恒成立問(wèn)題處理方法，第⑵問(wèn)通過(guò)最值問(wèn)題深化對(duì)函數(shù)的單調(diào)性的考查，同

時(shí)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題.

19.(1):+]=1(2)直線MN恒過(guò)定點(diǎn)(1,0),詳見(jiàn)解析

【解題分析】

(1)依題意由橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)可求出〃/，即得橢圓C的方程;

(2)設(shè)直線AM的方程為：工二乙)，-2,聯(lián)立直線AM的方程與橢圓方程可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理可求出點(diǎn)N的坐

標(biāo)，根據(jù)的坐標(biāo)可求出直線MN的方程，將其化簡(jiǎn)成點(diǎn)斜式，即可求出定點(diǎn)坐標(biāo).

【題目詳解】

?22

（1）由題有。=2,e=￡=二=???。2=/一。2=3.???橢圓方程為三+匕二

a243

x=-2

(2)設(shè)直線AM的方程為:『y-2,貝心2=>(3^+4)/-12^=0

143

八一⑵c12Ac6r.2-8r6/；-8⑵，

???)'=°或,=許'"二5一2"聲-2=而'同理當(dāng)=藥，*赤

,6/6，16、1111

當(dāng)冬=4時(shí)，由&=，r_2有%=「???￡4,一,同理/4,一「又一十一=_+一

4Vt})t2)%>2%>4

.3f；+4?3$+4/|J=(。+，2)(3，4+4)=:

…12r,\2t266’12格-6

當(dāng)乙+4工。時(shí)，，也=-4???直線MN的方程為）-X=9(iJ

12?,_⑵2

121_334-31+43]n），12r,_46彳-8

0)'

；「一3，；+4）

3r+46/8—83彳+4+t23f：+4

3彳+4-31+4

士戈.上.-+旦二上工—4（乎二4）_=,

2

八十，24+，23f：+43片+4t1+t2（3r1+4）（r1+/2）tx+t2

，直線MN恒過(guò)定點(diǎn)（1,0）,當(dāng)乙+%=0時(shí)，此時(shí)也過(guò)定點(diǎn)（L0）..

綜上:直線MN恒過(guò)定點(diǎn)（1,0）.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查利用橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系應(yīng)用，定點(diǎn)問(wèn)題的求法等，意在考

查學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于難題.

20.r=3

【解題分析】

先將曲線。和直線/的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，可得圓心到直線的距離，再由勾股定理，計(jì)算即得.

【題目詳解】

以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為X軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系工Ov,

可得曲線C：P=r（r>0）的直角坐標(biāo)方程為一+）,2=，，表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為「的圓.

由直線I的方程pcosh9+-=V2,化簡(jiǎn)得pcos6>cos--psin6sin-=>/2,

I4J4444

則直線/的直角坐標(biāo)方程方程為x-y-2=0.

記圓心到直線，的距離為d,則4=裳=后,

又r=d?+f竺］,即r=2+7=9,所以尸一3.

I2）

【題目點(diǎn)撥】

本題考查曲線和直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，是基礎(chǔ)題.

21.（1）X￡（0,五）為增區(qū)間；X￡（&,+OQ）為減區(qū)間.見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解題分析】

（1）先求得月（工）的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)求得？（工）的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷山g（x）有唯一零點(diǎn).

（2）求得力（X）的導(dǎo)函數(shù)月（X）,結(jié)合〃（X）在區(qū)間（1,1+?。┥喜粏握{(diào)，證得1+-〃—lna>a,通過(guò)證明

—+—>\+e~a-\na,證得白+^—>〃成立.

a。+1a。+1

【題目詳解】

（1）,?,函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?,+8）,由g'（%）=上羋>0,解得；V￡（0,&）為增區(qū)間;

A

由，。）=匕詈<0解得了￡（五,+8：|為減區(qū)間.

下面證明函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)：

-HvO,gg總>0,所以函數(shù)在區(qū)間（0,⑻內(nèi)有零點(diǎn),

VA->+0O