中考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)重難考點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練-專題02 分式方程及其應(yīng)用（知識(shí)串講+6大考點(diǎn)）（全國版）原卷版

專題02分式方程及其應(yīng)用考點(diǎn)類型知識(shí)一遍過（一）分式方程的概念（1）分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．（2）分式方程的解：求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解．（二）解分式方程（1）去分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．（2）解這個(gè)整式方程，求得方程的根．（3）檢驗(yàn)，把解得整式方程的根代入最簡公分母，如果最簡公分母為0，則它不是原方程的根，而是方程的增根，必須舍去；如果使最簡公分母不為0，則它是原分式方程的根．注意：分式方程無解包含：增根或去分母后的整式方程無解；增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程分母為0的根（三）分式方程解的應(yīng)用（1）增根求參數(shù)：①先去分母化為整式方程②確定增根③將增根代入整式方程解出參數(shù)（2）由解的情況求參數(shù)的取值范圍：①先去分母化為整式方程②用參數(shù)來表示x③根據(jù)解的情況構(gòu)建不等式，求解參數(shù)取值范圍（四）分式方程的實(shí)際應(yīng)用（1）解分式方程應(yīng)用的步驟：(1)審題；(2)設(shè)未知數(shù)；(3)列分式方程；(4)解分式方程；(5)檢驗(yàn)（既要檢驗(yàn)是否為分式方程的解，也要考慮是否符合實(shí)際意義）；(6)作答．（2）常用公式：①行程問題：②工程問題：（工作總量設(shè)為1）③銷售問題：考點(diǎn)一遍過考點(diǎn)1：分式方程的定義典例1：（23·24上·全國·課時(shí)練習(xí)）下列式子：①x?12=1；②xx?2=x+23x?1；③23x+12x；④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1】（22·23下·沈陽·期中）在①x2?x+1x，②1a?3=a+4，③A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】（22·23下·浙江·專題練習(xí)）下列是分式方程的是（）A．xx+1+x+4C．34x?2=【變式3】（22·23下·上海·專題練習(xí)）已知方程：①1?9x2x2=0，②xA．4 B．3 C．2 D．1【變式4】（22·23下·全國·單元測試）下列式子中是分式方程的是（）A．12x?1+2C．2xx?1+1x+1=1【變式5】（21·22下·上?！て谥校┮阎匠蹋孩??9x2x2=0；②xA．4 B．3 C．2 D．1考點(diǎn)2：解分式方程典例2：（23·24上·煙臺(tái)·期中）解分式方程：9x?7【變式1】（23·24上·重慶·期中）解方程：(1)7(2)x+1【變式2】（22·23下·黔江·期末）（1）解方程5x?2（2）化簡：(【變式3】（22·23下·南陽·階段練習(xí)）（1）計(jì)算：|?3|?（2）解方程：3x【變式4】（22·23下·平頂山·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)分解因式：x2(2)解方程：x4x?4【變式5】（22·23下·南陽·階段練習(xí)）（1）計(jì)算：m+2?5（2）解方程：x?3考點(diǎn)3：分式方程解的應(yīng)用——求參數(shù)典例3：（23·24上·江北·期中）如果關(guān)于x的分式方程1?ax?2+2=12?x有整數(shù)解，且關(guān)于x的不等式組4x≥3(x?1)x+A．1 B．2 C．3 D．0【變式1】（22·23·淄博·中考真題）已知x=1是方程m2?x?1x?2=3A．?2 B．2 C．?4 D．4【變式2】（22·23下·宿遷·期末）已知關(guān)于x的方程2x?mx?2=3的解是正數(shù)，那么m的取值范圍是（A．m<6且m≠4 B．m<6 C．m>6且m≠8 D．m>6【變式3】（22·23下·邯鄲·期末）已知關(guān)于x的分式方程2x+ax?10=0的解為x=4A．1 B．2 C．3 D．4【變式4】（22·23上·桂林·期末）若關(guān)于x的方程axa?x=32的解為x=1，則A．?1 B．3 C．1 D．?3【變式5】（22·23上·邢臺(tái)·期末）若關(guān)于x的分式方程2x?1=mx有正整數(shù)解，則整數(shù)A．2或3 B．4或5 C．3或5 D．3或4考點(diǎn)4：分式方程無解問題典例4：（23·24上·煙臺(tái)·期中）若關(guān)于x的分式方程6x?1=x+3xx?1A．k=?3 B．k=?3或k=?5 C．k=1 D．k=1或k=?5【變式1】（23·24上·東營·階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程x?2x?4?3=mA．x=6 B．x=5 C．x=4 D．x=3【變式2】（22·23下·巴彥淖爾·階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程xx?1?2=mx?1無解，則A．2 B．1 C．0 D．?1【變式3】（22·23下·資陽·期末）關(guān)于x的方程m?1x?1+xA．3 B．2 C．1 D．?1【變式4】（22·23下·雅安·期末）若關(guān)于x的分式方程2mx?1+mA．1 B．﹣2 C．1或?2 D．?1或2【變式5】（22·23下·棗莊·期末）“若關(guān)于x的方程ax3x?9=12尖尖：去分母得：ax=12+3x?9，移項(xiàng)得：ax?3x=12?9，合并同類項(xiàng)得：(a?∵原方程無解，∴a?3=0，∴a=3.丹丹：去分母得：ax=12+3x?9，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：(a?3)x=3，解得：x=3∵原方程無解，∴x為增根，∴3x?9=0，解得x=3，∴3a?3=3

圖1

圖2下列說法正確的是（

）A．尖尖對(duì)，丹丹錯(cuò)B．尖尖錯(cuò)，丹丹對(duì)C．兩人都錯(cuò) D．兩人的答案合起來才對(duì)考點(diǎn)5：不等式與分式方程典例5：（22·23下·全國·專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式x?43<x?4m?x5<0的解集為x>4，且關(guān)于A．5 B．6 C．7 D．9【變式1】（22·23上·荊門·期末）若關(guān)于x的分式方程x+ax?2+2a2?x=5的解是非負(fù)整數(shù)解，且a滿足不等式a+2>1A．12 B．16 C．18 D．49【變式2】（22·23下·綿陽·一模）已知方程3?aa?4?a=14?a，且關(guān)于x的不等式A．1<b≤2 B．2<b≤3 C．1≤b<2 D．2≤b<3【變式3】（22·23下·鄭州·期末）已知不等式x?22<1+2x3?1的負(fù)整數(shù)解是關(guān)于xA．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【變式4】（22·23下·滄州·模擬預(yù)測）對(duì)于a、b定義a★b=1a?b2，已知分式方程x★?1=xA．a(chǎn)<1 B．a(chǎn)>1 C．a(chǎn)<3 D．a(chǎn)>3【變式5】（21·22·泰安·模擬預(yù)測）已知方程3?aa?4?a=14?a，且關(guān)于x的不等式a<x≤b只有4個(gè)整數(shù)解，那么A．2<b≤3 B．3<b≤4 C．2≤b<3 D．3≤b<4考點(diǎn)6：分式方程實(shí)際應(yīng)用典例6：（23·24上·岳陽·階段練習(xí)）華聯(lián)商廈進(jìn)貨員在蘇州發(fā)現(xiàn)一種應(yīng)季襯衫，預(yù)料能暢銷市場，就用80000元購進(jìn)所有襯衫，還急需2倍這種襯衫，經(jīng)人介紹又在上海用了176000元購進(jìn)所需襯衫，只是單價(jià)比蘇州貴4元，商廈按每件58元銷售，銷路很好，最后剩下的150件按八折銷售，很快就銷售完了．(1)兩次分別購進(jìn)多少件襯衫？(2)問商廈這筆生意贏利多少元？【變式1】（23·24上·長春·階段練習(xí)）在劍蘭公路的拓寬改造工程中，省路橋公司承擔(dān)了48千米的任務(wù)．為了減少施工帶來的影響，在確保工程質(zhì)量的前提下，實(shí)際施工速度是原計(jì)劃的1.2倍，結(jié)果提前20天完成任務(wù)．求原計(jì)劃平均每天改造公路多少千米？【變式2】（23·24上·重慶·期中）暑假期間，甲、乙兩隊(duì)自駕去西藏．兩隊(duì)計(jì)劃同一天出發(fā)，沿不同的路線前往目的地．甲隊(duì)走A路線，全程2000千米，乙隊(duì)走B路線，全程2400千米，由于B路線車流量較小，乙隊(duì)平均每天行駛的路程是甲隊(duì)的3倍，這樣乙隊(duì)可以比甲隊(duì)提前3天到達(dá)目的地．(1)求甲、乙兩隊(duì)分別計(jì)劃多少天到達(dá)目的地？(2)甲乙兩隊(duì)規(guī)劃的總預(yù)算為156甲隊(duì)最開始計(jì)劃有3個(gè)人同行，每人每天花費(fèi)300元，臨近出發(fā)時(shí)又有a個(gè)人一起加入了隊(duì)伍，經(jīng)過計(jì)算，甲隊(duì)實(shí)際每增加1人時(shí)，每天的總花費(fèi)將增加200元，乙隊(duì)每人每天的平均花費(fèi)一直是250元．若甲乙兩隊(duì)的最終人數(shù)一樣多，且所花時(shí)間與各自原計(jì)劃天數(shù)一致，兩隊(duì)總花費(fèi)沒有超支．求a的值最大是多少．【變式3】（22·23·丹東·中考真題）“暢通交通，扮靚城市”，某市在道路提升改造中，將一座長度為36米的橋梁進(jìn)行重新改造．為了盡快通車，某施工隊(duì)在實(shí)際施工時(shí)，每天工作效率比原計(jì)劃提高了50%【變式4】（23·24上·潼南·階段練習(xí)）中秋節(jié)到來之際，一超市準(zhǔn)備推出甲種月餅和乙種月餅兩種月餅，計(jì)劃用1200元購買甲種月餅，600元購買乙種月餅，一個(gè)甲種月餅和一個(gè)乙種月餅的進(jìn)價(jià)之和為9元，且購進(jìn)甲種月餅的數(shù)量是乙種月餅數(shù)量的4倍．(1)求計(jì)劃分別購買多少個(gè)甲種月餅和乙種月餅．(2)為回饋客戶，廠家推出了一系列活動(dòng)，每個(gè)甲種月餅的售價(jià)降低了13，每個(gè)乙種月餅的售價(jià)便宜了m5m≠0元，現(xiàn)在在（1）的基礎(chǔ)上購買乙種月餅的數(shù)量增加了152m【變式5】（23·24上·南寧·期中）為了豐富校園文化生活，某校八年級(jí)計(jì)劃舉辦一場年級(jí)籃球賽．該校計(jì)劃為籃球賽購置若干個(gè)籃球，經(jīng)過與某體育用品經(jīng)銷商溝通，A型號(hào)籃球的單價(jià)比B型號(hào)的籃球單價(jià)多40元，且用1200元購買A型號(hào)籃球個(gè)數(shù)與用600元購買B型號(hào)籃球的個(gè)數(shù)相等．(1)求A型號(hào)籃球和B型號(hào)籃球的單價(jià)分別是多少元？(2)該體育用品店給出了兩種讓利活動(dòng)，購買時(shí)只能選擇其中一種方案．方案一：所有商品打9折銷售；方案二：買3個(gè)A型號(hào)籃球，免費(fèi)贈(zèng)送1個(gè)B型號(hào)籃球（不足3個(gè)不贈(zèng)送）．若該校需要購買15個(gè)A型號(hào)籃球和xx≥5個(gè)B【變式6】（23·24上·沙坪壩·階段練習(xí)）成都大運(yùn)會(huì)期間，某網(wǎng)店直接從工廠購進(jìn)A、B兩款文創(chuàng)紀(jì)念品，已知A、B兩款紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)分別為30元/個(gè)、25元/個(gè)．(1)網(wǎng)店第一次用1400元購進(jìn)A、B兩款紀(jì)念品共50個(gè)，求A款紀(jì)念品購進(jìn)的個(gè)數(shù)；(2)大運(yùn)會(huì)臨近結(jié)束時(shí)，網(wǎng)店打算把A款紀(jì)念品降價(jià)20%銷售，則降價(jià)后銷售A款紀(jì)念品要獲得銷售額800元，比按照原價(jià)銷售要多賣4個(gè)才能獲得同樣多的銷售額，求A【變式7】（23·24上·重慶·階段練習(xí)）為鼓勵(lì)廣大鳳中學(xué)子走向操場、走進(jìn)大自然、走到陽光下，積極參加體育鍛煉，初三年級(jí)某班組織同學(xué)們周末共跑沙濱路，其中，小鳳和小鳴兩人同時(shí)從A地出發(fā)，勻速跑向距離12000m處的B地，小鳳的跑步速度是小鳴跑步速度的1.2倍，那么小鳳比小鳴早5分鐘到達(dá)B根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)小鳳每分鐘跑多少米？(2)若從A地到達(dá)B地后，小鳳以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到C地（整個(gè)過程不休息）．據(jù)了解，從他跑步開始，前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個(gè)鍛煉過程中，小鳳共消耗2300卡路里的熱量，小鳳從A地到C地鍛煉共用多少分鐘？【變式8】（23·24上·南寧·階段練習(xí)）某校在開展數(shù)學(xué)文化節(jié)知識(shí)競賽中，對(duì)優(yōu)秀選手予以評(píng)獎(jiǎng)，并頒發(fā)獎(jiǎng)品，獎(jiǎng)品有甲、乙、丙三種類型．已知1個(gè)甲種獎(jiǎng)品的價(jià)格是1個(gè)丙種獎(jiǎng)品價(jià)格的2倍，1個(gè)乙種獎(jiǎng)品的價(jià)格比1個(gè)甲種獎(jiǎng)品的價(jià)格少20元．若用120元單獨(dú)去購買某一種獎(jiǎng)品時(shí)，甲種獎(jiǎng)品的數(shù)量與丙種獎(jiǎng)品的數(shù)量之和是乙種獎(jiǎng)品數(shù)量的2倍．(1)求甲、乙、丙三種獎(jiǎng)品的單價(jià)分別是多少元？(2)該校計(jì)劃：購買甲、乙、丙三種獎(jiǎng)品共300個(gè)，其中購買丙種獎(jiǎng)品的數(shù)量是甲種獎(jiǎng)品數(shù)量的3倍，且丙種獎(jiǎng)品的數(shù)量不少于甲、乙兩種獎(jiǎng)品的數(shù)量之和．求該校完成購買計(jì)劃最多要花費(fèi)多少元？【變式9】（23·24上·沙坪壩·階段練習(xí)）某城市自行車賽線路為從起點(diǎn)出發(fā)，先騎行一段緩下坡路