七年級數(shù)學(xué)下冊常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（蘇科版）專題01 平行線中的拐點模型之豬蹄模型（M型）與鋸齒模型（原卷版）

專題01平行線中的拐點模型之豬蹄模型（M型）與鋸齒模型平行線中的拐點模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點模型（豬蹄模型（M型）與鋸齒模型）進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點模型，這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。模型1：豬蹄模型（M型）與鋸齒模型【模型解讀】圖1圖2圖3如圖1，①已知：AM∥BN，結(jié)論：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，結(jié)論：AM∥BN.如圖2，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如圖3，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.【模型證明】（1）∠APB＝∠A+∠B這個結(jié)論正確，理由如下：如圖1，過點P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案為：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的規(guī)律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案為：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1例1．（2023下·江蘇鹽城·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．例2．（2023春·安徽蚌埠·九年級校聯(lián)考期中）太陽灶、衛(wèi)星信號接收鍋、探照燈及其他很多燈具都與拋物線有關(guān)．如圖，從點O照射到拋物線上的光線，反射后沿著與平行的方向射出，已知圖中，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．例3．（2023下·湖北黃岡·七年級階段練習(xí)）如圖，∠BCD＝90°，AB∥DE，則α與β一定滿足的等式是（）

A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90°例4．（2023春·河南駐馬店·九年級專題練習(xí)）已知，，，若，則為（

）A．23° B．33° C．44° D．46°例5．（2023下·江蘇南通·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知，∠BCF＝∠BCG，CF與∠BAH的平分線交于點F，若∠AFC的余角等于2∠ABC的補角，則∠BAH的度數(shù)是．例6．（2023下·湖北恩施·七年級統(tǒng)考期中）如圖，若，，且，，則．例7．（2023下·江蘇南通·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，，寫出x，y，z的關(guān)系式．

例8．（2023下·江西贛州·七年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1已知：∠B=25°，∠BED=80°，∠D=55°．探究AB與CD有怎樣的位置關(guān)系.（2）如圖2已知AB∥EF，試猜想∠B，∠F，∠BCF之間的關(guān)系，寫出這種關(guān)系，并加以證明.（3）如圖3已知AB∥CD，試猜想∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之間的關(guān)系，請直接寫出這種關(guān)系，不用證明.例9．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級?？计谥校┮阎褐本€與直線內(nèi)部有一個點，連接．(1)如圖，當(dāng)點在直線上，連接，若，求證：；(2)如圖，當(dāng)點在直線與直線的內(nèi)部，點在直線上，連接，若，求證：；(3)如圖，在（）的條件下，、分別是、的角平分線，和相交于點G，和直線相交于點，當(dāng)時，若，，求的度數(shù)．課后專項訓(xùn)練1．（2023下·江蘇無錫·七年級校聯(lián)考期中）如圖，，，，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．2．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·七年級統(tǒng)考期末）將一副三角尺（厚度不計）如圖擺放，使邊與邊互相平行，則圖中的大小為（

）

A． B． C． D．3．（2023下·安徽馬鞍山·七年級?？计谀┤鐖D，直線，，則（

）

A． B． C． D．4．（2022下·廣東七年級期中）如圖，，，是的平分線，三點在一條直線上，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．5．（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）如圖，，點在上，，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（

）（1）；（2）；（3）；（4）

A．個 B．個 C．個 D．個6．（2023下·遼寧鐵嶺·七年級校考階段練習(xí)）如圖，直線，用含的式子表示，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．7．（2023下·山東德州·七年級校考階段練習(xí)）如圖，，平分交于點E，，，M，N分別是延長線上的點，和的平分線交于點F．下列結(jié)論：①；②；③平分；④為定值；其中結(jié)論正確的有（

）

A．①④ B．①②④ C．①②③ D．①③④8．（2022下·湖北省直轄縣級單位·七年級統(tǒng)考期末）如圖，C島在A島的北偏東方向，在B島的北偏西方向，則．

9．（2023下·江蘇揚州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，，，，則的度數(shù)等于．

10．（2023下·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，將直角三角尺的兩個銳角頂點分別落在a、b上．若，則等于°．

11．（2023下·江蘇揚州·九年級階段練習(xí)）如圖，已知：AB∥CD，∠1=50°，∠2=113°，則∠3=度．12．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·七年級統(tǒng)考期中）探照燈、汽車燈及其他很多燈具都與拋物線形狀有關(guān)，如圖是一探照燈燈碗的縱剖面，從位于點的燈泡發(fā)出的兩束光線，經(jīng)燈碗反射以后平行射出．若，，則的度數(shù)為．13．（2023上·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，直線a，b過等邊三角形的頂點A和C，且，，則．

14．（2022下·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，，則．

15．（2023下·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，，記，則m的值為．

16．（2023下·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期末）在數(shù)學(xué)課本中，有這樣一道題：已知：如圖1，．求證：請補充下面證明過程：證明：過點，作，如圖2∴______（_________________）∵，_______=（已知）∴（___________）∴______=_______∴_____（________________）∵∴17．（2023下·江蘇·七年級?？贾軠y）如圖，，，求的度數(shù)．18．（2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）在圖中，，與又有何關(guān)系？19．（2023·江蘇七年級月考）如圖所示，.求證：20．（2022下·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期中）已知．

知識回顧（1）如圖，點在兩平行線之間，試說明：．知識應(yīng)用（2）如圖，、分別平分、，利用中的結(jié)論，試說明：；（3）如圖，直接寫出、、、四個角之間的數(shù)量關(guān)系．知識拓展（4）如圖，若，，、分別平分、，那么______；只要直接填上正確結(jié)論即可（5）如圖，若、、三個角的和是，、分別平分、，那么______用含的式子表示21．（2023下·江蘇蘇州·七年級?？计谥校┮阎谒倪呅沃?，，點是線段上一點．

(1)如圖①，求證：；(2)如圖②，若平分，．①請動動你聰明的頭腦，你會發(fā)現(xiàn)：______；②如圖③，若的平分線與的延長線交于點，與交于點，且，求的度數(shù)．22．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，點A、B分別在直線MN、GH上，點O在直線MN、GH之間，若，．（1）=；（2）如圖2，點C、D是、角平分線上的兩點，且，求的度數(shù)；（3）如圖3，點F是平面上的一點，連結(jié)FA、FB，E是射線FA上的一點，若，，且