2025屆陜西省商洛市高三上學(xué)期第一次模擬檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省商洛市2025屆高三上學(xué)期第一次模擬檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以．故選：D2.已知集合，若，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由題意可得，解得．故選：B.3.已知向量，若，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，解得．故選：A4.已知是實(shí)數(shù)，則“且”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由且，得，反之，不成立，如取滿足，而且不成立，所以“且”是“”的充分不必要條件．故選：B5.在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，，則四棱錐外接球的體積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】將四棱錐放入正方體中，則四棱錐的外接球與正方體的外接球相同，設(shè)四棱錐外接球的半徑為，則，所以，故四棱錐外接球的體積．故選：C6.已知函數(shù)，且是奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，即，且函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，，可得，解得，所以，，則為奇函數(shù)，合乎題意.因此，.故選：A.7.已知直線與拋物線交兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖所示，設(shè)Ax1,y1，B則，解得且，，，所以，因?yàn)椋?，即，解得．故選：C.8.已知函數(shù)，若不等式成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則，故是奇函數(shù)．不等式等價于不等式即不等式因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以易證是上的減函數(shù)，則，即，解得．故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.如圖，這是某款新能源汽車在速度、穩(wěn)定性、安全性、易用性、續(xù)航能力這五個方面的綜合評分的雷達(dá)圖，則下列結(jié)論正確的是（）A.這款新能源汽車在速度方面的綜合評分高于穩(wěn)定性方面的綜合評分B.這款新能源汽車在穩(wěn)定性和續(xù)航能力這兩方面的綜合評分相等C.這款新能源汽車在安全性方面的綜合評分最低D.這款新能源汽車在速度方面的綜合評分高于易用性方面的綜合評分【答案】ABC【解析】由雷達(dá)圖可知，這款新能源汽車在速度方面的綜合評分在（8，10）內(nèi)，在穩(wěn)定性和續(xù)航能力這兩方面的綜合評分都是8分，在安全性方面的綜合評分在（6，8）內(nèi)，在易用性方面的綜合評分是10分，故A，B，C正確，D錯誤．故選：ABC10.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別是，若，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.外接圓的面積是C.的面積的最大值是 D.的取值范圍是【答案】BCD【解析】對于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，故A項(xiàng)錯誤．對于B項(xiàng)，設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，則的外接圓的面積是，故B項(xiàng)正確．對于C項(xiàng)，由余弦定理可得，即①．因?yàn)棰冢?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以由①②得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的面積，則C項(xiàng)正確．對于D項(xiàng)，由正弦定理可得，則，，所以又因，所以，所以，所以，即的取值范圍是，故D項(xiàng)正確．故選：BCD.11.“曼哈頓距離”用以標(biāo)明兩個點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系上的絕對軸距總和，其定義如下：在直角坐標(biāo)平面上的任意兩點(diǎn)的曼哈頓距離.下列命題是真命題的是（）A.若點(diǎn)，，則的值可能是B.若點(diǎn)，，則在軸上存在點(diǎn)，使得C.若點(diǎn)，，，則在線段上存在點(diǎn)，使得D.若點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，則的值可能為【答案】BD【解析】對于A，，不可能為，A錯誤；對于B，設(shè)，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，在軸上存在點(diǎn)，使得，B正確；對于C，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時，作，垂足為，則，，直線斜率，，即，，；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時，；恒成立，C錯誤；對于D，若點(diǎn)，點(diǎn)，則滿足點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，此時，D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.若橢圓的離心率是，則______.【答案】【解析】由題意可得，解得.13.如圖，這是一個圓臺形水泥墩，已知該水泥墩的上底面圓的半徑為1分米，下底面圓的半徑是2分米，高為3分米，則該水泥墩的表面積是______平方分米．【答案】【解析】由題可知該圓臺形水泥墩的母線長分米，則該水泥墩的表面積為平方分米．14.已知函數(shù)，若對任意的成立，則正數(shù)的取值范圍是______【答案】【解析】由，即，得.因?yàn)?，所?設(shè)，則.因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，所以，所以，所?設(shè)，則.由，得，則在上單調(diào)遞減；由，得，則在上單調(diào)遞增.故，即.四、解答題：本題共5小題，共？7分、解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽、雙方約定采用五局三勝制（有一方先勝三局即贏得比賽，比賽結(jié)束），根據(jù)雙方以往的比賽情況可知每局比賽甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率是．假設(shè)每局比賽結(jié)果互不影響．（1）求比賽進(jìn)行四局且甲獲勝的概率：（2）比賽結(jié)束時、甲、乙共進(jìn)行了局比賽，求的分布列和期望．解：（1）由題意可知前三局中，甲獲勝兩局，乙獲勝一局，第四局甲獲勝，則所求概率（2）由題意可知的所有可能取值分別是3，4，5．則的分布列為345故．16.如圖，在長方體中，分別是棱的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）求平面與平面夾角的正弦值．（1）證明：取棱的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，且，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫?）解：由題意可知兩兩垂直，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，故，設(shè)平面的法向量為則，令，得，設(shè)平面的法向量為則，令，得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，故，即平面與平面夾角的正弦值為．17.已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別是，點(diǎn)在雙曲線上，且直線的斜率之積為3．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）斜率不為0的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，君，求點(diǎn)到直線的距離的最大值．解：（1）由題意可得，則直線的斜率，直線的斜率．因?yàn)橹本€的斜率之積為3，所以，解得．因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得．故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線聯(lián)立整理得則所以．因?yàn)椋?，所以即化簡得，故．由點(diǎn)到直線的距離公式可得，點(diǎn)到直線的距離．因?yàn)椋?，所以，即點(diǎn)到直線的距離的最大值是．18.已知函數(shù)，滿足，.（1）若為上的增函數(shù)，求的取值范圍.（2）證明：與的圖象關(guān)于一條直線對稱.（3）若，且關(guān)于的方程在內(nèi)有解，求的取值范圍.（1）解：由，可得，因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，所以對恒成立，所以對恒成立，所以對恒成立，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，所以，所以的取值范圍為.（2）證明：因?yàn)椋?，所以即，所以，函?shù)關(guān)于對稱的函數(shù)為，再把向右方平移2個單位得到，所以函數(shù)與關(guān)于對稱；（3）解：由（2）可得，又因?yàn)樵趦?nèi)有解，所以在內(nèi)有解，所以在內(nèi)有解，由（1）可知時，為上的增函數(shù)，所以，所以在內(nèi)有解，令，求導(dǎo)可得，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，又，，所以，所以的取值范圍為.19.已知，定義：數(shù)列共有項(xiàng)，對任意，存在，使得，或存在，使得，則稱數(shù)列為“封閉數(shù)列”．（1）若，判斷數(shù)列是否為“封閉數(shù)列”；（2）已知遞增數(shù)列為“封閉數(shù)列”，求；（3）已知數(shù)列單調(diào)遞增，且為“封閉數(shù)列”，若，證明：等比數(shù)列．解：（1）由題意知，數(shù)列為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．因?yàn)楹途皇侵械捻?xiàng)，所以數(shù)列不是“封閉數(shù)列”．（2）由題意數(shù)列遞增可知，則不是中的項(xiàng)，所以是中的項(xiàng)，即．因?yàn)?，所以都是中的?xiàng)，所以，得，由，得，所以．（3）因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以，則不是中的項(xiàng)，所以是中的項(xiàng)，即．因?yàn)椴皇侵械捻?xiàng)，所以是中的項(xiàng)，所以．因?yàn)楣灿许?xiàng)，所以①，類似地，，則不是中的項(xiàng)，所以是中的項(xiàng)，，所以②，由①和②得，所以是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列．陜西省商洛市2025屆高三上學(xué)期第一次模擬檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以．故選：D2.已知集合，若，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由題意可得，解得．故選：B.3.已知向量，若，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，解得．故選：A4.已知是實(shí)數(shù)，則“且”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由且，得，反之，不成立，如取滿足，而且不成立，所以“且”是“”的充分不必要條件．故選：B5.在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，，則四棱錐外接球的體積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】將四棱錐放入正方體中，則四棱錐的外接球與正方體的外接球相同，設(shè)四棱錐外接球的半徑為，則，所以，故四棱錐外接球的體積．故選：C6.已知函數(shù)，且是奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，即，且函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，，可得，解得，所以，，則為奇函數(shù)，合乎題意.因此，.故選：A.7.已知直線與拋物線交兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖所示，設(shè)Ax1,y1，B則，解得且，，，所以，因?yàn)?，所以，即，解得．故選：C.8.已知函數(shù)，若不等式成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則，故是奇函數(shù)．不等式等價于不等式即不等式因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以易證是上的減函數(shù)，則，即，解得．故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.如圖，這是某款新能源汽車在速度、穩(wěn)定性、安全性、易用性、續(xù)航能力這五個方面的綜合評分的雷達(dá)圖，則下列結(jié)論正確的是（）A.這款新能源汽車在速度方面的綜合評分高于穩(wěn)定性方面的綜合評分B.這款新能源汽車在穩(wěn)定性和續(xù)航能力這兩方面的綜合評分相等C.這款新能源汽車在安全性方面的綜合評分最低D.這款新能源汽車在速度方面的綜合評分高于易用性方面的綜合評分【答案】ABC【解析】由雷達(dá)圖可知，這款新能源汽車在速度方面的綜合評分在（8，10）內(nèi)，在穩(wěn)定性和續(xù)航能力這兩方面的綜合評分都是8分，在安全性方面的綜合評分在（6，8）內(nèi)，在易用性方面的綜合評分是10分，故A，B，C正確，D錯誤．故選：ABC10.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別是，若，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.外接圓的面積是C.的面積的最大值是 D.的取值范圍是【答案】BCD【解析】對于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，故A項(xiàng)錯誤．對于B項(xiàng)，設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，則的外接圓的面積是，故B項(xiàng)正確．對于C項(xiàng)，由余弦定理可得，即①．因?yàn)棰冢?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以由①②得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的面積，則C項(xiàng)正確．對于D項(xiàng)，由正弦定理可得，則，，所以又因，所以，所以，所以，即的取值范圍是，故D項(xiàng)正確．故選：BCD.11.“曼哈頓距離”用以標(biāo)明兩個點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系上的絕對軸距總和，其定義如下：在直角坐標(biāo)平面上的任意兩點(diǎn)的曼哈頓距離.下列命題是真命題的是（）A.若點(diǎn)，，則的值可能是B.若點(diǎn)，，則在軸上存在點(diǎn)，使得C.若點(diǎn)，，，則在線段上存在點(diǎn)，使得D.若點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，則的值可能為【答案】BD【解析】對于A，，不可能為，A錯誤；對于B，設(shè)，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，在軸上存在點(diǎn)，使得，B正確；對于C，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時，作，垂足為，則，，直線斜率，，即，，；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時，；恒成立，C錯誤；對于D，若點(diǎn)，點(diǎn)，則滿足點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，此時，D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.若橢圓的離心率是，則______.【答案】【解析】由題意可得，解得.13.如圖，這是一個圓臺形水泥墩，已知該水泥墩的上底面圓的半徑為1分米，下底面圓的半徑是2分米，高為3分米，則該水泥墩的表面積是______平方分米．【答案】【解析】由題可知該圓臺形水泥墩的母線長分米，則該水泥墩的表面積為平方分米．14.已知函數(shù)，若對任意的成立，則正數(shù)的取值范圍是______【答案】【解析】由，即，得.因?yàn)?，所?設(shè)，則.因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，所以，所以，所?設(shè)，則.由，得，則在上單調(diào)遞減；由，得，則在上單調(diào)遞增.故，即.四、解答題：本題共5小題，共？7分、解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽、雙方約定采用五局三勝制（有一方先勝三局即贏得比賽，比賽結(jié)束），根據(jù)雙方以往的比賽情況可知每局比賽甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率是．假設(shè)每局比賽結(jié)果互不影響．（1）求比賽進(jìn)行四局且甲獲勝的概率：（2）比賽結(jié)束時、甲、乙共進(jìn)行了局比賽，求的分布列和期望．解：（1）由題意可知前三局中，甲獲勝兩局，乙獲勝一局，第四局甲獲勝，則所求概率（2）由題意可知的所有可能取值分別是3，4，5．則的分布列為345故．16.如圖，在長方體中，分別是棱的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）求平面與平面夾角的正弦值．（1）證明：取棱的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，且，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．?）解：由題意可知兩兩垂直，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，故，設(shè)平面的法向量為則，令，得，設(shè)平面的法向量為則，令，得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，故，即平面與平面夾角的正弦值為．17.已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別是，點(diǎn)在雙曲線上，且直線的斜率之積為3．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）斜率不為0的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，君，求點(diǎn)到直線的距離的最大值．解：（1）由題意可得，則直線的斜率，直線的斜率．因?yàn)橹本€的斜率之積為3，所以，解得．因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得．故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線聯(lián)立整理得則所以．因?yàn)?，所以，所以即?/p>