2025屆山東省青島市部分學(xué)校高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省青島市部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】.故選：A.2.已知平面上的兩個非零向量，滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，故，則，又，故.故選：B.3.在等差數(shù)列中，若，則的值為（）A.10 B.20 C.30 D.40【答案】D【解析】由題設(shè)，所以.故選：D4.已知，，則（）A. B.或C. D.或【答案】A【解析】因為，所以，因為，所以，，所以，，所以.故選：A.5.七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，它是由如圖所示的七塊板組成的，即五塊等腰直角三角形板（兩塊小型三角形板、一塊中型三角形板和兩塊大型三角形板），一塊正方形板和一塊平行四邊形板.現(xiàn)從這七塊板中任取兩塊，則這兩塊板面積相等的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如下圖，將七塊三角形編號如下，所以從七巧板的五塊三角形中任意取出兩塊的基本事件為：，，，，，共有種，將七巧板劃分如下，被分成個全等的三角形，設(shè)正方形的面積為，則編號的面積為，則編號的面積為，編號的面積為，任取兩塊板面積相等的基本事件為：.從這七塊板中任取兩塊，則這兩塊板面積相等的概率為.故選：C.6.已知點，，若過點的直線與線段相交，則該直線斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意，，，因為過點的直線與線段相交，結(jié)合圖象可知，該直線的斜率的取值范圍為.故選：B.7.已知四棱錐平面BCDE，底面EBCD是為直角，的直角梯形，如圖所示，且，點為AD的中點，則到直線BC的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意知，平面，平面，所以，又，故以為原點，所在的直線分別為軸，建立如圖空間直角坐標系，則，得所以，，記，則，所以F到直線BC的距離為.故選：A8.若函數(shù)的最大值為，最小值為，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】，令，因為函數(shù)的最大值為，最小值為，所以函數(shù)的最大值為，最小值為，因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，所以.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知關(guān)于x不等式的解集為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的最大值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】BC【解析】因為關(guān)于的不等式的解集為,所以，所以，，所以，A錯誤；因為，，所以，當且僅當時取等號，故，由于設(shè)，由于，故，當且僅當時等號成立，故B正確；，當且僅當，即時取等號，C正確；，當且僅當時取等號，故最小值為，D錯誤．故選：BC．10.已知事件A，B滿足，，則（）A若，則B.若A與B互斥，則C.若P(AB)=0.1，則A與B相互獨立D.若A與B相互獨立，則【答案】BC【解析】對于A，由，得，A錯誤；對于B，由A與B互斥，得，B正確；對于C，由，得，則A與B相互獨立，C正確；對于D，由A與B相互獨立，得相互獨立，則，D錯誤.故選：BC11.在直三棱柱中，，，E、F分別是、的中點，D在線段上，則下面說法中正確的有（）A.平面B.直線EF與平面ABC所成角的正弦值為C.若D是的中點，若M是的中點，則F到平面BDM的距離是D.直線BD與直線EF所成角最小時，線段BD長為【答案】ABD【解析】因為直三棱柱中，，所以兩兩互相垂直，于是以點為坐標原點，所在直線分別為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，分別是的中點，在線段上，所以，對于A：因為在直三棱柱中，平面，又，平面，所以，又，所以，又，平面，所以平面，所以為平面的一個法向量，又，則，又平面，平面，故A正確；對于B：為平面的一個法向量，又，設(shè)直線與平面所成角為，則，故B正確；對于C：若是的中點，若M是的中點，則，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，又，所以到平面的距離是，故C錯誤；對于D：設(shè)，則，設(shè)直線與直線所成角為，又，則，當，即時，取最大值，此時直線與直線所成角最小，，，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在中，，的平分線與交于點，且，，則的面積為______.【答案】【解析】因為，為的平分線，所以，又，所以，由余弦定理可得，又，所以所以，所以的面積.13.在平面直角坐標系中，定義為，兩點之間的“折線距離”．已知，，，，點在矩形內(nèi)（含邊界）且到點，的“折線距離”相等，則點的軌跡長度為______．【答案】【解析】設(shè)Mx,y，因為點在矩形內(nèi)（含邊界），則，，因為點到點，的“折線距離”相等，所以，即，則，當時，，當時，，設(shè)，，則點的軌跡為線段，故點的軌跡長度為.14.已知無窮數(shù)列滿足，，給出下列四個結(jié)論：①，；②數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列；③，使得；④，均有.其中正確結(jié)論的序號是________.【答案】①②④【解析】由，，進而可得，結(jié)合，以此類推可得，故，故，故①②正確，③錯誤，由可得，故，由于，故，進而可得，，故，因此，累加，故，當時，，故，故④正確.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，，函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式及對稱中心；（2）若，且，求的值.（3）在銳角中，角A，B，C分別為a，b，c三邊所對的角，若，，求周長的取值范圍.解：（1）.令，則，，函數(shù)的對稱中心為，.（2）由可知，化簡有，，，，（3）由可得，即，又，所以由正弦定理有所以，因為為銳角三角形，所以，解得所以，則，所以，則，所以的周長的取值范圍為.16.已知平面邊形中，，，且.以為腰作等腰直角三角形，且，將沿直線折起，使得平面平面.（1）證明：平面；（2）若是線段上一點，且平面，①求三棱錐的體積；②求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）因，，故,又，且，故在直角梯形中，，由可得；因平面平面，，平面平面，則平面，又平面，則，又，因平面，故平面.（2）①如圖，連接,設(shè)，連接,因平面，且平面,平面平面，則，故，在四邊形中，由,可得,故，即，即點是線段上靠近點的三等分點，故②如圖，以點為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，則,所以，,,設(shè)平面的法向量為，則，可取，因，故,,設(shè)平面的法向量為，則由，可取，故，故平面與平面夾角的余弦值為.17.已知圓內(nèi)有一點，傾斜角為的直線過點且與圓交于兩點.（1）當時，求的長；（2）是否存在弦被點三等分？若存在，求出直線的斜率；若不存在，請說明理由；（3）記圓與軸的正半軸交點為，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.解：（1）因為，所以，直線的方程為，設(shè)圓心到直線的距離為，則，所以（2）取的中點為，如圖，假設(shè)存在弦被點三等分，設(shè)，，則，，解得，當斜率不存在時，，故斜率存在，設(shè)斜率為，則：，，解得，即存在弦被點三等分，直線的斜率為.（3）由題意知，,當直線斜率不存在時，，，不妨取，則，此時直線斜率存在時，設(shè)方程為，代入圓的方程可得，設(shè)，則，又，所以綜上，為定值.18.模糊數(shù)學(xué)普遍存在于自然界和數(shù)學(xué)模型中，比如天氣預(yù)測?種群數(shù)量變化和天體運動等等.假設(shè)在一個模糊數(shù)學(xué)系統(tǒng)中，用來表示系統(tǒng)在第個時刻的狀態(tài)值，且該系統(tǒng)下一時刻的狀態(tài)滿足，，其中.（1）當時，若滿足對，有，求；（2）當時，判斷中是否存在連續(xù)的三項構(gòu)成等比數(shù)列；若存在，求出連續(xù)的三項；若不存在，說明理由.（3）若，，記，證明：.解：（1）當時，，由題意知：，，兩式作差得：，或；當時，，解得：或，又，；當時，，解得：；恒成立，又，，數(shù)列為常數(shù)列，即.（2）當時，；假設(shè)在數(shù)列中，存在連續(xù)的三項成等比數(shù)列，則，，，，即，又，，解得：，與矛盾，假設(shè)錯誤，即在中，不存在連續(xù)的三項成等比數(shù)列.（3）當時，，當時，且，；，，，，數(shù)列為遞減數(shù)列，，，.19.已知函數(shù).（1）寫出函數(shù)在的零點個數(shù)，并證明；（2）若存在，方程有解，記的最大值為，證明.解：（1）求導(dǎo)，可得，當時，，，所以，這表明函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增且，，所以函數(shù)在上有且僅有一個零點.（2）由，可得，設(shè)，，求的導(dǎo)數(shù)，，令，，求的導(dǎo)數(shù)，當時，，，所以，這表明在上單調(diào)遞減，又，，，所以存在，使得，即，當時，，，單調(diào)遞增；當時，，，單調(diào)遞減，所以在處取得最大值，由，可得，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，因為，所以，，則，即，又，且在上單調(diào)遞增，所以.故原命題得證山東省青島市部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】.故選：A.2.已知平面上的兩個非零向量，滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，故，則，又，故.故選：B.3.在等差數(shù)列中，若，則的值為（）A.10 B.20 C.30 D.40【答案】D【解析】由題設(shè)，所以.故選：D4.已知，，則（）A. B.或C. D.或【答案】A【解析】因為，所以，因為，所以，，所以，，所以.故選：A.5.七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，它是由如圖所示的七塊板組成的，即五塊等腰直角三角形板（兩塊小型三角形板、一塊中型三角形板和兩塊大型三角形板），一塊正方形板和一塊平行四邊形板.現(xiàn)從這七塊板中任取兩塊，則這兩塊板面積相等的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如下圖，將七塊三角形編號如下，所以從七巧板的五塊三角形中任意取出兩塊的基本事件為：，，，，，共有種，將七巧板劃分如下，被分成個全等的三角形，設(shè)正方形的面積為，則編號的面積為，則編號的面積為，編號的面積為，任取兩塊板面積相等的基本事件為：.從這七塊板中任取兩塊，則這兩塊板面積相等的概率為.故選：C.6.已知點，，若過點的直線與線段相交，則該直線斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意，，，因為過點的直線與線段相交，結(jié)合圖象可知，該直線的斜率的取值范圍為.故選：B.7.已知四棱錐平面BCDE，底面EBCD是為直角，的直角梯形，如圖所示，且，點為AD的中點，則到直線BC的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意知，平面，平面，所以，又，故以為原點，所在的直線分別為軸，建立如圖空間直角坐標系，則，得所以，，記，則，所以F到直線BC的距離為.故選：A8.若函數(shù)的最大值為，最小值為，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】，令，因為函數(shù)的最大值為，最小值為，所以函數(shù)的最大值為，最小值為，因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，所以.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知關(guān)于x不等式的解集為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的最大值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】BC【解析】因為關(guān)于的不等式的解集為,所以，所以，，所以，A錯誤；因為，，所以，當且僅當時取等號，故，由于設(shè)，由于，故，當且僅當時等號成立，故B正確；，當且僅當，即時取等號，C正確；，當且僅當時取等號，故最小值為，D錯誤．故選：BC．10.已知事件A，B滿足，，則（）A若，則B.若A與B互斥，則C.若P(AB)=0.1，則A與B相互獨立D.若A與B相互獨立，則【答案】BC【解析】對于A，由，得，A錯誤；對于B，由A與B互斥，得，B正確；對于C，由，得，則A與B相互獨立，C正確；對于D，由A與B相互獨立，得相互獨立，則，D錯誤.故選：BC11.在直三棱柱中，，，E、F分別是、的中點，D在線段上，則下面說法中正確的有（）A.平面B.直線EF與平面ABC所成角的正弦值為C.若D是的中點，若M是的中點，則F到平面BDM的距離是D.直線BD與直線EF所成角最小時，線段BD長為【答案】ABD【解析】因為直三棱柱中，，所以兩兩互相垂直，于是以點為坐標原點，所在直線分別為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，分別是的中點，在線段上，所以，對于A：因為在直三棱柱中，平面，又，平面，所以，又，所以，又，平面，所以平面，所以為平面的一個法向量，又，則，又平面，平面，故A正確；對于B：為平面的一個法向量，又，設(shè)直線與平面所成角為，則，故B正確；對于C：若是的中點，若M是的中點，則，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，又，所以到平面的距離是，故C錯誤；對于D：設(shè)，則，設(shè)直線與直線所成角為，又，則，當，即時，取最大值，此時直線與直線所成角最小，，，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在中，，的平分線與交于點，且，，則的面積為______.【答案】【解析】因為，為的平分線，所以，又，所以，由余弦定理可得，又，所以所以，所以的面積.13.在平面直角坐標系中，定義為，兩點之間的“折線距離”．已知，，，，點在矩形內(nèi)（含邊界）且到點，的“折線距離”相等，則點的軌跡長度為______．【答案】【解析】設(shè)Mx,y，因為點在矩形內(nèi)（含邊界），則，，因為點到點，的“折線距離”相等，所以，即，則，當時，，當時，，設(shè)，，則點的軌跡為線段，故點的軌跡長度為.14.已知無窮數(shù)列滿足，，給出下列四個結(jié)論：①，；②數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列；③，使得；④，均有.其中正確結(jié)論的序號是________.【答案】①②④【解析】由，，進而可得，結(jié)合，以此類推可得，故，故，故①②正確，③錯誤，由可得，故，由于，故，進而可得，，故，因此，累加，故，當時，，故，故④正確.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，，函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式及對稱中心；（2）若，且，求的值.（3）在銳角中，角A，B，C分別為a，b，c三邊所對的角，若，，求周長的取值范圍.解：（1）.令，則，，函數(shù)的對稱中心為，.（2）由可知，化簡有，，，，（3）由可得，即，又，所以由正弦定理有所以，因為為銳角三角形，所以，解得所以，則，所以，則，所以的周長的取值范圍為.16.已知平面邊形中，，，且.以為腰作等腰直角三角形，且，將沿直線折起，使得平面平面.（1）證明：平面；（2）若是線段上一點，且平面，①求三棱錐的體積；②求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）因，，故,又，且，故在直角梯形中，，由可得；因平面平面，，平面平面，則平面，又平面，則，又，因平面，故平面.（2）①如圖，連接,設(shè)，連接,因平面，且平面,平面平面，則，故，在四邊形中，由,可得,故，即，即點是線段上靠近點的三等分點，故②如圖，以點為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，則,所以，,,設(shè)平面的法向量為，則，可取，因，故,,設(shè)平面的法向量為，則由，可取，故，故平面與平面夾角的余弦值為.17.已知圓內(nèi)有一點，傾斜角為的直線過點且與圓交于兩點.（1）當時，求的長；（2）是否存在弦被點三等分？若存在，求出直線的斜率；若不存在，請說明理由；（3）記圓與軸的正半軸交點為，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.解：（1）因為，所以，直線的方程為，設(shè)圓心