2025屆山東省百師聯(lián)考高三上學期期中考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省百師聯(lián)考2025屆高三上學期期中考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，所以，.故選：D.2.“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由或，，只是其中的一個取值，根據(jù)“小范圍”是“大范圍”的一個充分不必要條件，“大范圍”是“小范圍”的一個必要不充分條件，可知是的必要不充分條件故選：C.3.設(shè)向量，，，且，則（）A.3 B.2 C. D.【答案】A【解析】因為，，，所以；因為，所以，解得.故選：A.4.已知某圓錐的軸截面為等邊三角形，且圓錐側(cè)面積為，則該圓錐的內(nèi)切球體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為,因為圓錐的軸截面為等邊三角形,所以圓錐的母線長為依題意：,解得.設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為,又圓錐的軸截面為等邊三角形，所以，則內(nèi)切球的體積.故選：B.5.函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，圖象上的所有點向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象.若對任意的都有，則圖中的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得.的圖象上的所有點向左平移個單位長度后得的圖象，由題意知為奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點對稱，得函數(shù)的圖象過點.設(shè)的最小正周期為，則，所以，故.又，，且，可得，所以，.故選：A.6.已知函數(shù)，若方程恰有2個不相等的實數(shù)解，則的取值范圍是().A. B. C. D.【答案】C【解析】當時，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.令，則，所以.當時，，，在0,1上單調(diào)遞減.令，則.作出y=fx的大致圖象，如圖所示方程恰有2個不相等的實數(shù)解，也就是的圖象與直線恰有兩個公共點.由圖易知所求的取值范圍是.故選：C.7.已知函數(shù)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且當時，，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】C【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；因為函數(shù)f2x+1所以，即函數(shù)的圖象關(guān)于點1,0中心對稱.又當時，，所以.故選：C8.在平面直角坐標系內(nèi)，方程對應(yīng)的曲線為橢圓，則該橢圓的焦距為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】方程，將點的坐標代入方程，原方程保持不變，則橢圓關(guān)于原點對稱；將點和的坐標分別代入方程，原方程保持不變，則橢圓關(guān)于直線和對稱，令直線與橢圓交于，兩點，由，解得或，；令直線與橢圓交于，兩點，由，解得或，，由橢圓性質(zhì)知，橢圓長軸長，短軸長，，，半焦距，所以焦距為.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知方程的兩個復(fù)數(shù)根為，，則下列說法正確的有（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】方程的兩個復(fù)數(shù)根為，，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，，故AC正確；B選項，的兩個復(fù)數(shù)根為，若，，則，故B錯誤；D選項，由B選項知，或，均有，故D正確.故選：ACD.10.設(shè)函數(shù)，則（）A.當時，的極大值大于0B.當時，無極值點C.，使在上是減函數(shù)D.，曲線的對稱中心的橫坐標為定值【答案】BD【解析】對于A，當時，，求導得，令得或，由f'x>0，得或，由f'x<0，得，于是在，1,+∞在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，極大值為，故A錯誤；對于B，，當時，，即f'x≥0恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點，故B正確；對于C，要使在上是減函數(shù)，則恒成立，而不等式的解集不可能為，故C錯誤；對于D，由，得曲線y=fx的對稱中心的坐標為，故D正確.故選：BD.11.已知曲線上的動點到點的距離與其到直線的距離相等，則（）A.曲線的軌跡方程為B.若為曲線上的動點，則的最小值為5C.過點，恰有2條直線與曲線有且只有一個公共點D.圓與曲線交于兩點，與交于兩點，則四點圍成的四邊形的周長為12【答案】ABD【解析】對于A，依題意，曲線是以為焦點，直線為準線拋物線，方程為，A正確；對于D，直線交圓于點，而，四邊形是矩形，周長為，D正確；對于B，顯然共線，垂直于直線，令點到直線的距離為，則，，當且僅當與點重合時取等號，因此的最小值為，B正確；對于C，過點與曲線僅只一個公共點的直線方程為，由消去得，當時，直線與拋物線僅中一個公共點，當時，，解得，顯然直線與拋物線僅只一個公共點，因此過點與曲線有且只有一個公共點的直線有3條，C錯誤.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則______．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，可得，解得，則，所以.13.曲線在點處的切線與拋物線相切，則__________.【答案】1【解析】由，則，則，曲線在點處的切線方程為，即，當時，則，得，由，得.14.已知雙曲線與平行于軸的動直線交于兩點，點在點左側(cè)，雙曲線的左焦點為，且當時，.則雙曲線的離心率是__________；當直線運動時，延長至點使，連接交軸于點，則的值是__________.【答案】【解析】當時，設(shè)，則有，解得，又，所以，又，所以，兩邊同除，得到，解得或（舍），因為，有，設(shè)，則，，，，所以，又，所以，四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且滿足.（1）求角；（2）若，求周長的取值范圍.解：（1）由及正弦定理得：，故，所以.因為B∈0,π，所以，因為，所以.（2）由（1）可知，，由余弦定理，得，又，所以.由基本不等式得：，即，所以，當且僅當時，等號成立.又，即，又，所以，所以，即周長的取值范圍是.16.已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）若，證明：.（1）解：由，則，因為在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，所以，即，構(gòu)造函數(shù)，所以，當時，；當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當x=1時取得極大值也是最大值，即，所以，所以的取值范圍為.（2）證明：解法一：由題意得的定義域為，當時，要證，即證：，等價于證明構(gòu)造函數(shù)，即證；所以，令，因為函數(shù)的對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，且，，所以存在，使，所以當時，，即，當時，，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，有極小值也是最小值，又因為，得，所以，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以即證，所以可證.解法二：若，，令，則，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；所以，所以，所以.17.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，分別為，的中點，平面，且.（1）證明：平面；（2）若與平面所成角是，求二面角的余弦值.（1）證明：設(shè)的中點為，連接，由為中點，得且，又且，則，，四邊形平行四邊形，則，又平面平面，所以平面.（2）解：取的中點，連接，取的中點，連接，，則且，由平面，得平面，則與平面所成的角為，即，，菱形中，，則，即，直線兩兩垂直，以點原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，，由平面得平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)二面角的平面角為，由圖知為銳角，因此，所以二面角的余弦值為.18.如圖，已知橢圓：（）上的點到其左焦點的最大矩離和最小距離分別為和，斜率為的直線與橢圓相交于異于點的，兩點.（1）求橢圓的方程；（2）若，求直線的方程；（3）當直線，均不與軸垂直時，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.（1）解：由橢圓：上的點到其左焦點的最大距離和最小距離分別為和，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，得，解得，則，故橢圓的方程為.（2）解：設(shè)直線的方程為，，.由消去，整理得.由，得，則，.，解得或.當時，直線的方程為，此時直線過點；當時，直線的方程為，滿足題目條件.所以直線的方程為.（3）證明：因為直線，均不與軸垂直，所以直線：不經(jīng)過點和，則且，由（2）可知，，，為定值.19.若有窮數(shù)列且滿足，則稱為M數(shù)列．（1）判斷下列數(shù)列是否為M數(shù)列，并說明理由；①1，2，4，3．②4，2，8，1．（2）已知M數(shù)列中各項互不相同．令，求證：數(shù)列是等差數(shù)列的充分必要條件是數(shù)列是常數(shù)列；（3）已知M數(shù)列是且個連續(xù)正整數(shù)的一個排列．若，求的所有取值．解：（1）①因為，所以該數(shù)列不是M數(shù)列；②因為，所以該數(shù)列是M數(shù)列．（2）必要性：若數(shù)列等差數(shù)列，設(shè)公差為，則．所以數(shù)列是常數(shù)列．充分性：若數(shù)列是常數(shù)列，則，即．所以或．因為數(shù)列的各項互不相同，所以．所以數(shù)列是等差數(shù)列．（3）當時，因為，所以，不符合題意；當時，數(shù)列為．此時，符合題意；當時，數(shù)列為．此時，符合題意；下證當時，不存在滿足題意．令，則，且，所以有以下三種可能：①；②；③．當時，因為，由（2）知：是公差為1（或?1）的等差數(shù)列．當公差為1時，由得或，所以或，與已知矛盾．當公差為?1時，同理得出與已知矛盾．所以當時，不存在滿足題意．其它情況同理可得．綜上可知，的所有取值為4或5．山東省百師聯(lián)考2025屆高三上學期期中考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，所以，.故選：D.2.“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由或，，只是其中的一個取值，根據(jù)“小范圍”是“大范圍”的一個充分不必要條件，“大范圍”是“小范圍”的一個必要不充分條件，可知是的必要不充分條件故選：C.3.設(shè)向量，，，且，則（）A.3 B.2 C. D.【答案】A【解析】因為，，，所以；因為，所以，解得.故選：A.4.已知某圓錐的軸截面為等邊三角形，且圓錐側(cè)面積為，則該圓錐的內(nèi)切球體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為,因為圓錐的軸截面為等邊三角形,所以圓錐的母線長為依題意：,解得.設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為,又圓錐的軸截面為等邊三角形，所以，則內(nèi)切球的體積.故選：B.5.函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，圖象上的所有點向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象.若對任意的都有，則圖中的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得.的圖象上的所有點向左平移個單位長度后得的圖象，由題意知為奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點對稱，得函數(shù)的圖象過點.設(shè)的最小正周期為，則，所以，故.又，，且，可得，所以，.故選：A.6.已知函數(shù)，若方程恰有2個不相等的實數(shù)解，則的取值范圍是().A. B. C. D.【答案】C【解析】當時，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.令，則，所以.當時，，，在0,1上單調(diào)遞減.令，則.作出y=fx的大致圖象，如圖所示方程恰有2個不相等的實數(shù)解，也就是的圖象與直線恰有兩個公共點.由圖易知所求的取值范圍是.故選：C.7.已知函數(shù)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且當時，，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】C【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；因為函數(shù)f2x+1所以，即函數(shù)的圖象關(guān)于點1,0中心對稱.又當時，，所以.故選：C8.在平面直角坐標系內(nèi)，方程對應(yīng)的曲線為橢圓，則該橢圓的焦距為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】方程，將點的坐標代入方程，原方程保持不變，則橢圓關(guān)于原點對稱；將點和的坐標分別代入方程，原方程保持不變，則橢圓關(guān)于直線和對稱，令直線與橢圓交于，兩點，由，解得或，；令直線與橢圓交于，兩點，由，解得或，，由橢圓性質(zhì)知，橢圓長軸長，短軸長，，，半焦距，所以焦距為.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知方程的兩個復(fù)數(shù)根為，，則下列說法正確的有（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】方程的兩個復(fù)數(shù)根為，，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，，故AC正確；B選項，的兩個復(fù)數(shù)根為，若，，則，故B錯誤；D選項，由B選項知，或，均有，故D正確.故選：ACD.10.設(shè)函數(shù)，則（）A.當時，的極大值大于0B.當時，無極值點C.，使在上是減函數(shù)D.，曲線的對稱中心的橫坐標為定值【答案】BD【解析】對于A，當時，，求導得，令得或，由f'x>0，得或，由f'x<0，得，于是在，1,+∞在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，極大值為，故A錯誤；對于B，，當時，，即f'x≥0恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點，故B正確；對于C，要使在上是減函數(shù)，則恒成立，而不等式的解集不可能為，故C錯誤；對于D，由，得曲線y=fx的對稱中心的坐標為，故D正確.故選：BD.11.已知曲線上的動點到點的距離與其到直線的距離相等，則（）A.曲線的軌跡方程為B.若為曲線上的動點，則的最小值為5C.過點，恰有2條直線與曲線有且只有一個公共點D.圓與曲線交于兩點，與交于兩點，則四點圍成的四邊形的周長為12【答案】ABD【解析】對于A，依題意，曲線是以為焦點，直線為準線拋物線，方程為，A正確；對于D，直線交圓于點，而，四邊形是矩形，周長為，D正確；對于B，顯然共線，垂直于直線，令點到直線的距離為，則，，當且僅當與點重合時取等號，因此的最小值為，B正確；對于C，過點與曲線僅只一個公共點的直線方程為，由消去得，當時，直線與拋物線僅中一個公共點，當時，，解得，顯然直線與拋物線僅只一個公共點，因此過點與曲線有且只有一個公共點的直線有3條，C錯誤.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則______．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，可得，解得，則，所以.13.曲線在點處的切線與拋物線相切，則__________.【答案】1【解析】由，則，則，曲線在點處的切線方程為，即，當時，則，得，由，得.14.已知雙曲線與平行于軸的動直線交于兩點，點在點左側(cè)，雙曲線的左焦點為，且當時，.則雙曲線的離心率是__________；當直線運動時，延長至點使，連接交軸于點，則的值是__________.【答案】【解析】當時，設(shè)，則有，解得，又，所以，又，所以，兩邊同除，得到，解得或（舍），因為，有，設(shè)，則，，，，所以，又，所以，四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且滿足.（1）求角；（2）若，求周長的取值范圍.解：（1）由及正弦定理得：，故，所以.因為B∈0,π，所以，因為，所以.（2）由（1）可知，，由余弦定理，得，又，所以.由基本不等式得：，即，所以，當且僅當時，等號成立.又，即，又，所以，所以，即周長的取值范圍是.16.已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）若，證明：.（1）解：由，則，因為在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，所以，即，構(gòu)造函數(shù)，所以，當時，；當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當x=1時取得極大值也是最大值，即，所以，所以的取值范圍為.（2）證明：解法一：由題意得的定義域為，當時，要證，即證：，等價于證明構(gòu)造函數(shù)，即證；所以，令，因為函數(shù)的對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，且，，所以存在，使，所以當時，，即，當時，，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，有極小值也是最小值，又因為，得，所以，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以即證，所以可證.解法二：若，，令，則，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；所以，所以，所以.17.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，分別為，的中點，平面，且.（1）證明：平面；（2）若與平面所成角是，求二面角的余弦值.（1）證明：設(shè)的中點為，連接，由為中點，得且，又且，則，，四邊形平行四邊形，則，又平面平面，所以平面.（2）解：取的中點，連接，取的中點，連接，，則且，由平面，得平面，則與平面所成的角為，即，，菱形中，，則，即，直線兩兩垂直，以點原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，，由平面得平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，得