2025屆遼寧省普通高中高三上學期11月期中考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省普通高中2025屆高三上學期11月期中考試數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的）1.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，則，所以，，所以，.故選：D.2.下列四個命題中是假命題的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】，解得，所以，是真命題；，即，解得，所以，是真命題；，所以，解得，所以，是假命題；，是真命題.故選：.3.已知集合為全集，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A選項，因為，則、均不為空集，因為，所以，當時，則，又因為為的真子集，A錯；對于B選項，若，則，B錯；對于C選項，因為，所以，，C錯；對于D選項，因為，所以，，D對.故選：D.4.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于，代入原式中得：，解得：；又.故選：D5.若函數(shù)在上存在零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函數(shù)在上存在零點，則有解，即在上有解，令，則，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A6.已知定義在上的函數(shù)及其導函數(shù)，滿足，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，則，因為，所以，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，，即，又，則，所以，即，所以，解得.故選：.7.已知高為的正四棱臺的所有頂點都在球的球面上，，為內(nèi)部（含邊界）的動點，則（）A.平面與平面的夾角為B.球的體積為C.的最小值為D.與平面所成角度數(shù)的最大值為【答案】D【解析】對于：取中點為，連接，則，所以平面與平面的夾角為，因為，所以，，又高為，所以，所以，即平面與平面的夾角為.故錯誤；對于：，所以點到各個頂點的距離都為，所以點即為正四棱臺的外接球的球心，所以球的半徑為，所以球的體積為，故錯誤；對于：易得平面，且平面，所以平面平面，連接，交于點，連接，則四邊形為菱形，所以，，又平面，平面平面，所以平面，連接，因為平面，所以，所以，所以，當且僅當點與重合時等號成立，故錯誤；對于：因為平面，垂足為，平面，所以為直線到平面的距離，所以點到平面的距離為，設(shè)直線與平面所成角為，則，因為，所以，當且僅當點與重合時等號成立，所以與平面所成角度數(shù)的最大值為，故正確.故選：8.已知函數(shù)，若在區(qū)間上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，又因為，所以當時，，在上單調(diào)遞減，所以，不滿足題意；所以，令，則，令，得，當，即時，在上恒成立，所以，即上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，則，滿足題意；當，即時，當時，，則，即單調(diào)遞減，當時，，則，即單調(diào)遞增，又因為，假設(shè)存在唯一，使成立，則必有，所以當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，又，所以當時，必有，不滿足題意；綜上，.故選：D.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（）A.在上單調(diào)遞減B.曲線的對稱中心為，C.直線是曲線的一條對稱軸D.在上有一個極值點【答案】ACD【解析】因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，可得，因為，則，所以，，對于A選項，由，得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，A對；對于B選項，由得，所以，曲線的對稱中心為，B錯；對于C選項，由得，當時，，則直線是曲線的一條對稱軸，C對；對于D選項，當時，，由可得，所以，函數(shù)在上只有一個極值點，D對.故選：ACD.10.在邊長為的正方形中，點為線段上的一點，，為線段上的動點，為的中點，則（）A. B.在上的投影向量為C.存在點，使得直線 D.的最小值為【答案】AD【解析】對于A選項，因為點為線段上的一點，，則，所以，，A對；對于B選項，在上的投影向量為，B錯；對于C選項，由題意可知，，，因為為線段上的動點，所以，設(shè)，其中，又因為為的中點，則，若存在點使得，則，故，該方程無解，故不存在點，使得，C錯；對于D選項，由C選項可知，，又因為，所以，當時，取到最小值，D對.故選：AD.11.設(shè)是的導函數(shù)，是的導函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”，且“拐點”就是三次函數(shù)圖象的對稱中心.已知函數(shù)，則（）A.若有極值點，則B.若當時，有極值，則對應的拐點為或C.若當時，在上無極值點，則的取值范圍為D若當，時，曲線與軸分別交于、、，則【答案】ACD【解析】對于A選項，若函數(shù)有極值點，則有兩個不等的零點，所以，，即，A對；對于B選項，當時，函數(shù)有極值，則，解得或，當，時，，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，該函數(shù)無極值，經(jīng)檢驗，，合乎題意，所以，，，令，可得，此時，函數(shù)對應的拐點為，B錯；對于C選項，當時，函數(shù)在上無極值點，則函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)，則恒成立，則，解得，即實數(shù)的取值范圍是，C對；對于D選項，當，時，，由有，等式兩邊同除可得，令，則、、是方程的三個根，所以，，即，所以，，，，所以，，D對.故選：ACD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.設(shè)數(shù)列的前項和為，且滿足，則_____.【答案】21【解析】由，可得，所以數(shù)列是一個公式為的等比數(shù)列，即，所以即，所以由等比數(shù)列的求和公式可得：，故答案為:.13.已知直線是曲線和的公切線，則的值為_____.【答案】【解析】令，則，因為直線是曲線的切線，所以由解得，此時所以在處的切線為，所以，又是的切線，聯(lián)立得，令解得，所以.14.已知正方體的棱長為1，點，分別是線段，上的兩個動點，若與底面所成角的度數(shù)為，則線段長度的取值范圍是_____.【答案】【解析】以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，所以，，，，，由題意可設(shè)，，其中，所以，顯然為平面的法向量，所以，化簡得，顯然（否則矛盾），從而，解得，，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的最小值為，最大值為，所以的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.在中，內(nèi)角的對邊分別為，，，且為內(nèi)一點.（1）判斷的形狀；（2）若，，，求的最小值.解：（1）在中，因為，所以，由正弦定理得，即，則，所以，所以為等腰三角形.（2）由（1）知，中，，又，，所以是邊長為的正三角形，由為內(nèi)一點，在中，，，設(shè)外接圓的半徑為，則由正弦定理，，解得，則是邊長為的正三角形，又點在圓的劣弧上運動，如圖，設(shè)點是在弧上除中點外的一點，因為，則當點在中點時，即與弧的交點，取得最小值，又，此時，即的最小值是.16.已知函數(shù).（1）求極值點；（2）若，有，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為，則，當時，，由可得，由可得，此時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以，函數(shù)的極小值點為，無極大值點；當時，，則，由可得或，由可得，此時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，所以，函數(shù)的極大值點為，極小值點為；當時，，當時，，則，當時，，則，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點；當時，，則，由可得或，由可得，此時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，所以，函數(shù)的極大值點為，極小值點為.綜上所述，當時，函數(shù)的極大值點為，極小值點為；當時，函數(shù)無極值點；當時，函數(shù)的極大值點為，極小值點為；當時，函數(shù)的極小值點為，無極大值點.（2）因為，對任意的，有，所以，，即，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，故，因此，實數(shù)的取值范圍是.17.觀察下面圖形中小正方形的個數(shù)，若第個圖形中的小正方形的個數(shù)為，令.（1）求及數(shù)列bn的前項和；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，若恒成立，求的取值范圍.解：（1）由題意可得，，，，，，所以，，則，所以，.（2）由（1）知，，所以，，①，②②①得，因為，即，所以，，由基本不等式可得，當且僅當時，即當時，等號成立，則，因此，實數(shù)的取值范圍是.18.如圖，在正三棱柱中，、分別是、的中點.若，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：連接，交于點，連接，因為四邊形為平行四邊形，則為的中點，又因為為的中點，所以，，因為平面，平面，所以，平面.（2）解：取的中點，連接，因為平面，為等邊三角形，為的中點，則，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則、、、、，所以，，，因為，則，解得，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，，因此，平面與平面夾角的余弦值為.19.如果無窮數(shù)列滿足“對任意正整數(shù)，，都存在正整數(shù)，使得”，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”.（1）記數(shù)列的前項和為，若，求證：具有“性質(zhì)”；（2）若等差數(shù)列的首項，公差為，求證：具有“性質(zhì)”的充分條件是；（3）如果各項均為正整數(shù)的無窮等比數(shù)列具有“性質(zhì)”，且，，三個數(shù)中恰有兩個出現(xiàn)在數(shù)列中，求滿足題意的的公比.（1）解：當時，，解得，當時，，整理得，故為首項和公比均為2的等比數(shù)列，故，若，則，則當時，對任意正整數(shù)，，都存在正整數(shù)，使得，所以具有“性質(zhì)”；（2）證明：因為數(shù)列bn是首項為1的等差數(shù)列，所以，則，若數(shù)列bn具有“性質(zhì)”，則，則，則，故，故當時，上式成立，此時數(shù)列bn具有“性質(zhì)”，當時，，當時，也是正整數(shù)，即成立，此時數(shù)列bn具有“性質(zhì)”，數(shù)列數(shù)列bn具有“性質(zhì)”的充分條件為；（3）解：從，，三個數(shù)中任選兩個，共有以下3種情況，，和，和，；對于，，因為為正整數(shù)，可以認為，是等比數(shù)列中的項，因為等比數(shù)列各項均為正整數(shù)，所以公比可能為，若公比為2，則的通項公式可以為，此時，由（1）可知，具有“性質(zhì)”，若公比為，的首項可以是，的通項公式為或或或，均不是中的項，此時不具有“性質(zhì)”，同理可得，公比為時，也不合題意，對于，，因為不是正整數(shù)，不合題意，對于，，因為為正整數(shù)，可以認為，是等比數(shù)列中的項，因為等比數(shù)列各項均為正整數(shù)，所以公比可能為，若公比為3，則的通項公式為，此時，因為不是中的項，所以此數(shù)列不具有“性質(zhì)”，同理可得公比為時，數(shù)列也不具有“性質(zhì)”，綜上，滿足題意的的公比為2.遼寧省普通高中2025屆高三上學期11月期中考試數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的）1.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，則，所以，，所以，.故選：D.2.下列四個命題中是假命題的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】，解得，所以，是真命題；，即，解得，所以，是真命題；，所以，解得，所以，是假命題；，是真命題.故選：.3.已知集合為全集，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A選項，因為，則、均不為空集，因為，所以，當時，則，又因為為的真子集，A錯；對于B選項，若，則，B錯；對于C選項，因為，所以，，C錯；對于D選項，因為，所以，，D對.故選：D.4.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于，代入原式中得：，解得：；又.故選：D5.若函數(shù)在上存在零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函數(shù)在上存在零點，則有解，即在上有解，令，則，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A6.已知定義在上的函數(shù)及其導函數(shù)，滿足，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，則，因為，所以，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，，即，又，則，所以，即，所以，解得.故選：.7.已知高為的正四棱臺的所有頂點都在球的球面上，，為內(nèi)部（含邊界）的動點，則（）A.平面與平面的夾角為B.球的體積為C.的最小值為D.與平面所成角度數(shù)的最大值為【答案】D【解析】對于：取中點為，連接，則，所以平面與平面的夾角為，因為，所以，，又高為，所以，所以，即平面與平面的夾角為.故錯誤；對于：，所以點到各個頂點的距離都為，所以點即為正四棱臺的外接球的球心，所以球的半徑為，所以球的體積為，故錯誤；對于：易得平面，且平面，所以平面平面，連接，交于點，連接，則四邊形為菱形，所以，，又平面，平面平面，所以平面，連接，因為平面，所以，所以，所以，當且僅當點與重合時等號成立，故錯誤；對于：因為平面，垂足為，平面，所以為直線到平面的距離，所以點到平面的距離為，設(shè)直線與平面所成角為，則，因為，所以，當且僅當點與重合時等號成立，所以與平面所成角度數(shù)的最大值為，故正確.故選：8.已知函數(shù)，若在區(qū)間上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，又因為，所以當時，，在上單調(diào)遞減，所以，不滿足題意；所以，令，則，令，得，當，即時，在上恒成立，所以，即上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，則，滿足題意；當，即時，當時，，則，即單調(diào)遞減，當時，，則，即單調(diào)遞增，又因為，假設(shè)存在唯一，使成立，則必有，所以當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，又，所以當時，必有，不滿足題意；綜上，.故選：D.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（）A.在上單調(diào)遞減B.曲線的對稱中心為，C.直線是曲線的一條對稱軸D.在上有一個極值點【答案】ACD【解析】因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，可得，因為，則，所以，，對于A選項，由，得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，A對；對于B選項，由得，所以，曲線的對稱中心為，B錯；對于C選項，由得，當時，，則直線是曲線的一條對稱軸，C對；對于D選項，當時，，由可得，所以，函數(shù)在上只有一個極值點，D對.故選：ACD.10.在邊長為的正方形中，點為線段上的一點，，為線段上的動點，為的中點，則（）A. B.在上的投影向量為C.存在點，使得直線 D.的最小值為【答案】AD【解析】對于A選項，因為點為線段上的一點，，則，所以，，A對；對于B選項，在上的投影向量為，B錯；對于C選項，由題意可知，，，因為為線段上的動點，所以，設(shè)，其中，又因為為的中點，則，若存在點使得，則，故，該方程無解，故不存在點，使得，C錯；對于D選項，由C選項可知，，又因為，所以，當時，取到最小值，D對.故選：AD.11.設(shè)是的導函數(shù)，是的導函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”，且“拐點”就是三次函數(shù)圖象的對稱中心.已知函數(shù)，則（）A.若有極值點，則B.若當時，有極值，則對應的拐點為或C.若當時，在上無極值點，則的取值范圍為D若當，時，曲線與軸分別交于、、，則【答案】ACD【解析】對于A選項，若函數(shù)有極值點，則有兩個不等的零點，所以，，即，A對；對于B選項，當時，函數(shù)有極值，則，解得或，當，時，，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，該函數(shù)無極值，經(jīng)檢驗，，合乎題意，所以，，，令，可得，此時，函數(shù)對應的拐點為，B錯；對于C選項，當時，函數(shù)在上無極值點，則函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)，則恒成立，則，解得，即實數(shù)的取值范圍是，C對；對于D選項，當，時，，由有，等式兩邊同除可得，令，則、、是方程的三個根，所以，，即，所以，，，，所以，，D對.故選：ACD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.設(shè)數(shù)列的前項和為，且滿足，則_____.【答案】21【解析】由，可得，所以數(shù)列是一個公式為的等比數(shù)列，即，所以即，所以由等比數(shù)列的求和公式可得：，故答案為:.13.已知直線是曲線和的公切線，則的值為_____.【答案】【解析】令，則，因為直線是曲線的切線，所以由解得，此時所以在處的切線為，所以，又是的切線，聯(lián)立得，令解得，所以.14.已知正方體的棱長為1，點，分別是線段，上的兩個動點，若與底面所成角的度數(shù)為，則線段長度的取值范圍是_____.【答案】【解析】以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，所以，，，，，由題意可設(shè)，，其中，所以，顯然為平面的法向量，所以，化簡得，顯然（否則矛盾），從而，解得，，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的最小值為，最大值為，所以的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.在中，內(nèi)角的對邊分別為，，，且為內(nèi)一點.（1）判斷的形狀；（2）若，，，求的最小值.解：（1）在中，因為，所以，由正弦定理得，即，則，所以，所以為等腰三角形.（2）由（1）知，中，，又，，所以是邊長為的正三角形，由為內(nèi)一點，在中，，，設(shè)外接圓的半徑為，則由正弦定理，，解得，則是邊長為的正三角形，又點在圓的劣弧上運動，如圖，設(shè)點是在弧上除中點外的一點，因為，則當點在中點時，即與弧的交點，取得最小值，又，此時，即的最小值是.16.已知函數(shù).（1）求極值點；（2）若，有，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為，則，當時，，由可得，由可得，此時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以，函數(shù)的極小值點為，無極大值點；當時，，則，由可得或，由可得，此時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，所以，函數(shù)的極大值點為，極小值點為；當時，，當時，，則，當時，，則，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點；當時，，則，由可得或，由可得，此時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，所以，函數(shù)的極大值點為，極小值點為.綜上所述，當時，函數(shù)的極大值點為，極小值點為；當時，函數(shù)無極值點；當時，函數(shù)的極大值點為，極小值點為；當時，函數(shù)的極小值點為，無極大值點.（2）因為，對任意的，有，所以，，即，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，故，因此，實數(shù)的取值范圍是.17.觀察下面圖形中小正方形的個數(shù)，若第個圖形中的小正方形的個數(shù)為，令.（1）求及數(shù)列bn的前項和；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，若恒成立，求的取值范圍.解：（1）由題意可得，，，，，，所以，，則，所以，.（2）由（1）知，，所以，，①，②②①得，因為，即，所以，，由基本不等式可得，當且僅當時，即當時，等號成立，則，因此，實數(shù)的取值范圍是.18.如圖，在正三棱柱中，、分別是、的中點.若，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角