第10講-第七章-立體幾何與空間向量(綜合測(cè)試)(解析版)

第七章立體幾何與空間向量（綜合測(cè)試）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，是的直觀圖，其中，，那么是一個(gè)（

）

A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．無(wú)法確定【答案】A【詳解】

如圖，將直觀圖還原，則，，所以，即是正三角形.故選：A.2．（2023春·江蘇常州·高一常州市第一中學(xué)?？计谀┩勇萜鹪从谖覈?guó)，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址.如圖所示的是一個(gè)陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積（單位：）是（

）

A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題意可得圓錐體的母線長(zhǎng)為，所以圓錐體的側(cè)面積為，圓柱體的側(cè)面積為，圓柱的底面面積為，所以此陀螺的表面積為，故選：C.3．（2023春·福建南平·高一?？计谀┤鐖D，四面體中，，，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，若，則與所成的角的大小是（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】

如圖，取中點(diǎn)，連接、，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，所以，，又，，所以，，因?yàn)?，所以，所以在中，，所以，因?yàn)椋鶕?jù)等角定理可知，與所成的角的大小是，故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.4．（2023·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，分別為邊上的點(diǎn)，且，，設(shè)分別為線段的中點(diǎn)，將四邊形沿著直線進(jìn)行翻折，使得點(diǎn)不在平面上，在這一過(guò)程中，下列關(guān)系不能成立的是（

）

A．直線直線 B．直線直線C．直線直線 D．直線平面【答案】C【詳解】翻折之后如圖所示：

①因?yàn)?，，所以且，因此，故選項(xiàng)A成立；②連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，

又因?yàn)椋?，故選項(xiàng)B成立；③因?yàn)?，，所以與不平行，故選項(xiàng)C不成立；④因?yàn)?，且平面，平面，所以平面，故選項(xiàng)D成立.故選：C5．（2023春·福建龍巖·高一校聯(lián)考期中）西安大唐不夜城的“不倒翁小姐姐”因?yàn)橐欢巍鞍咽纸o我”的短視頻而被人熟知.“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其腳下的半球形工具.如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐，這個(gè)內(nèi)接正四棱錐的高與半球的半徑相等且體積為，那么這個(gè)半球的表面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)半球的半徑為，連接交于點(diǎn)，連接，則，則，∵內(nèi)接正四棱錐的高與半球的半徑相等且體積為，∴四棱錐的體積，所以，所以這個(gè)半球的表面積.故選：B.

6．（2023春·江蘇南通·高二?？计谀┤鐖D所示，在正方體中，是棱上一點(diǎn)，若平面與棱交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．存在平面與直線垂直B．四邊形可能是正方形C．不存在平面與直線平行D．任意平面與平面垂直【答案】D【詳解】對(duì)于A：在正方體中平面，顯然平面與平面不平行，故直線不可能垂直平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：在正方體中，是棱上一點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)，由平面平面，并且四點(diǎn)共面，平面平面，平面平面，∴，同理可證，故四邊形是平行四邊形，在正方體中，由幾何知識(shí)得，平面，∵平面，∴，若是正方形，有，此時(shí)與重合時(shí)，但顯然四邊形不是正方形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，為的中點(diǎn)，所以且，所以為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，

由幾何知識(shí)得，,∴,∵，∴，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴任意平面與平面垂直，故D正確.故選：D7．（2023春·上海楊浦·高二統(tǒng)考期末）小李購(gòu)買了一盒點(diǎn)心，點(diǎn)心盒是長(zhǎng)方體，長(zhǎng)、寬、高分別為30厘米、20厘米和10厘米，商家提供絲帶捆扎服務(wù)，有如圖所示兩種捆扎方案（粗線表示絲帶）可供選擇，免去手工費(fèi)，但絲帶需要按使用長(zhǎng)度進(jìn)行收費(fèi).假設(shè)絲帶緊貼點(diǎn)心盒表面，且不計(jì)算絲帶寬度以及重疊粘合打結(jié)的部分.為了節(jié)約成本，小李打算選擇盡可能使用絲帶較短的方案，則小李需要購(gòu)買的絲帶長(zhǎng)度至少是（

）

A．80厘米 B．100厘米 C．120厘米 D．140厘米【答案】B【詳解】在捆扎方案一中，設(shè)點(diǎn)心盒是長(zhǎng)方體，如圖：

絲帶從棱上的點(diǎn)出發(fā)，沿著長(zhǎng)方體的各個(gè)表面繞行一圈回到點(diǎn)進(jìn)行捆扎，現(xiàn)把長(zhǎng)方體從面開(kāi)始，按照絲帶繞行的順序把長(zhǎng)方體的各個(gè)面展開(kāi)，如圖所示：

則線段即為最短路徑，即為所需絲帶的最短長(zhǎng)度，易知，，所以，所以在捆扎方案一中，絲帶長(zhǎng)度最短為100厘米；在捆扎方案二中，所需絲帶長(zhǎng)度為矩形和矩形的周長(zhǎng)之和，易得矩形和矩形的周長(zhǎng)之和為厘米，即在捆扎方案二中，所需絲帶長(zhǎng)度最短為140厘米；由上可知，小李需要購(gòu)買的絲帶長(zhǎng)度至少是100厘米.故選：B8．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)角線上，過(guò)點(diǎn)P作垂直于的平面，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長(zhǎng)為y，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】

如圖，連接，，平面，平面，則，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以，同理，，平面，平面，所以平面，因此平面與平面重合或平行，取的中點(diǎn)，連接，則，，同理可證平面，由于，，所以三棱錐是正三棱錐，與平面的交點(diǎn)是的中心，正方體棱長(zhǎng)為，則，，所以，所以，由棱錐的平行于底面的截面的性質(zhì)知，當(dāng)平面從平面平移到平面時(shí)，，即，，，顯然，

平面過(guò)平面再平移至平面時(shí)，如圖，把正方形沿旋轉(zhuǎn)到與正方形在同一平面內(nèi)，如圖，則共線，由正方形性質(zhì)得，同理，，因此此種情形下，截面的周長(zhǎng)與截面的周長(zhǎng)相等，平移平面，一直到平面位置處，由正方體的對(duì)稱性，接著平移時(shí)，截面周長(zhǎng)逐漸減少到，綜上，的值域是．故選：A.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9．（2023春·重慶·高一重慶一中?？计谥校┰O(shè)為直線，，為兩個(gè)不同平面，則下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】CD【詳解】若，則與可能平行，可能相交，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；若，則或，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；若，根據(jù)垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行，則，C選項(xiàng)正確；若，一條直線垂直與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則一定垂直與另一個(gè)，則，D選項(xiàng)正確.故選：CD.10．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐的底面為梯形，底面，，，為棱的中點(diǎn)，則（

）

A．與平面所成的角的余弦值為B．C．平面D．三棱錐的體積為【答案】CD【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，如圖取AD中點(diǎn)F，連接EF，則EF∥PD，由題意可得：EF⊥面ABCD，連接CF，∠ECF即與平面所成的角，由條件可得EF=2，，，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B項(xiàng)，連接AC，易得，又E為PA中點(diǎn)，，故PA與CE不垂直，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，如圖所示，在梯形ABCD中，過(guò)B作BG⊥CD，由條件可得，BG=AD=GC=2，故，由勾股定理逆定理可得BD⊥BC，又PD⊥面ABCD，BC面ABCD，則PD⊥BC，PDBD=D，PD、BD面ABCD，所以BC⊥面PBD，故C正確；

對(duì)于D項(xiàng)，由條件得，由上可得，故，故D正確.故選：CD11．（2023春·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），平面．下列說(shuō)法正確的有（

）A．異面直線AM與可能垂直B．直線BC與平面可能垂直C．AB與平面所成角的正弦值的范圍為D．若且，則平面截正四棱柱所得截面多邊形的周長(zhǎng)為【答案】AD【詳解】在正四棱柱中，底面正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AA1=2，如圖：

選項(xiàng)A：當(dāng)MC=時(shí)，在矩形BCC1B1中，，所以，又因?yàn)锳B⊥平面BCC1B1，所以AB⊥B1C，又因?yàn)?，、平面，所以B1C⊥平面ABM，所以，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：因?yàn)锳M與BC是異面直線，所以AM與BC不可能平行，故與不可能垂直，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：因?yàn)槠矫妫珹B是平面的斜線，則AB與平面所成角，所以，又因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)M在棱CC1移動(dòng)時(shí)，，所以，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：當(dāng)M為CC1中點(diǎn)時(shí)，連接AB1，AD1，AC，MB1，MD1，BD1，如圖所示，

則有，，所以，所以AM⊥MB1，同理AM⊥MD1，又因?yàn)?，、面，所以AM⊥平面MB1D1，所以平面截正四棱柱所得截面多邊形為正△，所以其周長(zhǎng)，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.12．（2023春·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中校考期中）已知直三棱柱中，ABBC，，D是AC的中點(diǎn)，O為的中點(diǎn).點(diǎn)P是上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，直線與AB所成的最大角為45°B．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成的角的正弦值為C．無(wú)論點(diǎn)P在上怎么運(yùn)動(dòng),都有D．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，才有與相交于一點(diǎn)，記為Q，且【答案】ACD【詳解】直三棱柱中，，令，對(duì)于B：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)是，取為中點(diǎn)，連接，，如下所示：

即平面，所以直線與平面所成的角的正弦值，，因?yàn)椋?，所以所以，故B不正確；對(duì)于C：連接，與交于點(diǎn)，并連接，如下圖所示：

因?yàn)槠矫?，所以平面，所以，由題意知，為正方形，所以，又，所以面，面，故，同理可證：，又，所以面，又面，所以，故C正確；對(duì)于D：點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，即在中，均為中線，

所以為中線的交點(diǎn)，即為的重心，所以根據(jù)重心的性質(zhì)有，故D正確；對(duì)于A：由于，直線與直線所成的角為與所成的角，即，由C選項(xiàng)的分析可知，平面，所以,所以當(dāng)最長(zhǎng)時(shí)，最大，而，所以當(dāng)在或上時(shí)，最大為，A正確.

故選：ABD．三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知在標(biāo)準(zhǔn)正交基下，向量，，，則向量在上的投影為_(kāi)________.【答案】【詳解】因?yàn)橄蛄?，，，因此，，所以向量在上的投影?故答案為：14．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖所示，有兩個(gè)相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長(zhǎng)分別為3a，4a，．用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個(gè)四棱柱，則a的取值范圍是________．

【答案】【詳解】拼成一個(gè)三棱柱時(shí)，全面積有三種情況：①上下底面對(duì)接，其全面積為.②邊合在一起時(shí)，全面積為.③邊合在一起時(shí)，全面積為.

拼成一個(gè)四棱柱時(shí)，有四種情況，全面積有三種情況：讓邊長(zhǎng)為所在的側(cè)面重合，其上下底面積之和都是，但側(cè)面積分別為，顯然，三種情況中全面積最小的是；因?yàn)楸刃?，所以由題意得，解得.故答案為：.

15．（2023春·廣西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）2022年12月3日，南昌市出土了東漢六棱錐體水晶珠靈擺吊墜，如圖（1）所示．現(xiàn)在我們通過(guò)DIY手工制作一個(gè)六棱錐吊墜模型．準(zhǔn)備一張圓形紙片，已知圓心為O，半徑為，該紙片上的正六邊形ABCDEF的中心為O，，，，，，為圓O上的點(diǎn)，如圖（2）所示．，，，，，分別是以AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開(kāi)后，分別以AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A為折痕折起，，，，，，使，，，，，重合，得到六棱錐，則六棱錐的體積最大時(shí)，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為_(kāi)______cm．【答案】【詳解】連接，交EF于點(diǎn)H，則．設(shè)，則，．因?yàn)椋粤怙舻母撸?/p>

正六邊形ABCDEF的面積，則六棱雉的體積令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，正六棱雉的體積最大，此時(shí)正六邊形ABCDEF的底面邊長(zhǎng)為．故答案為：16．（2023·山東威?！そy(tǒng)考二模）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P滿足，其中，．當(dāng)直線平面時(shí)，P的軌跡被以為球心，R為半徑的球面截得的長(zhǎng)度為2，則R＝______；當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)A，，P的平面與棱交于點(diǎn)Q，則直線PQ與平面所成角的正切值的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P滿足，其中，，所以，點(diǎn)在正方形及其內(nèi)部.

如圖1，連接.由正方體的性質(zhì)可知，，且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，.因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?同理可得，平面.因?yàn)槠矫?，平面，，所以，平面平?因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，所以，平?又平面，平面平面，所以，.連接，交于點(diǎn)，則，且.因?yàn)槠矫?，所以以點(diǎn)為球心的球與平面的截面為圓，且圓心為，所以，直線被以為圓心，為半徑的圓截得的弦長(zhǎng)為2，如下圖2，

所以，.因?yàn)樵谇蛏?，所以，即球的半徑為，所?由正方體的性質(zhì)可得，，.因?yàn)椋?因?yàn)槠矫?，平面，，所以，平?因?yàn)槠矫妫?又因?yàn)槠矫?，平面，且，所以點(diǎn)在線段上.

過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以?同理可得，.所以，四邊形是平行四邊形，所以.因?yàn)?，，，所以?因?yàn)槠矫?，所以平面，且，所以，所以即為直線PQ與平面所成的角.當(dāng)分別為中點(diǎn)時(shí)，滿足條件，此時(shí)，有最小值2；當(dāng)分別與重合時(shí)，點(diǎn)與重合，滿足條件，此時(shí)有最大值.所以，所以.又，所以，設(shè)直線PQ與平面所成的角的正切值的范圍為.故答案為：；.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.）17．（2023春·云南紅河·高一蒙自一中校考階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn).

(1)證明：；(2)證明：平面.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）在直三棱柱中，平面，因?yàn)槠矫妫?因?yàn)?，，，所以，所以，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?）設(shè)，連接，

則是的中點(diǎn)，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以因?yàn)槠矫?，平面，所以平?18．（2023春·河北張家口·高一河北省尚義縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，點(diǎn)為上一點(diǎn).

(1)若點(diǎn)為中點(diǎn)，求證：平面；(2)若，平面平面，求證：平面平面.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）連接交于，連接，如圖所示；因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，則平面平面，所以平面

（2）在中，，所以，所以，所以；因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，所以；又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面平面，所以平面；因?yàn)槠矫?，所以平面平?19．（2023春·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）如圖，正四棱錐的高為，體積為.

(1)求正四棱錐的表面積；(2)若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求直線AE與平面所成角的正切值；(3)求二面角的余弦值.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）連接，連接，如圖，

因?yàn)樵谡睦忮F中，底面是正方形，則，且是與的中點(diǎn)，底面，因?yàn)檎睦忮F的高為，體積為，則，，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則，所以由得，解得，因?yàn)榈酌妫酌妫剩谥?，，則，同理，所以在中，，則，同理：，所以正四棱錐的表面積為.（2）由（1）可得，以為原點(diǎn)，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，則，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線AE與平面所成角為，則，所以，故，，所以直線AE與平面所成角的正切值為.（3）由（2）知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，故，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，故，設(shè)二面角為，則由圖形可知，所以，所以二面角的余弦值為.20．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，構(gòu)成四棱錐.(1)若點(diǎn)在線段上，且平面，試確定點(diǎn)的位置；(2)若，求銳二面角的大小.【答案】(1)點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)(2)【詳解】（1）點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，證明如下：如圖，在取點(diǎn)，連接，,使得，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.又平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，所以在中，，所以，所以點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).（2）如圖，取的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)OE為x軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，又，則，由題意，點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)O且垂直AE的平面上，故設(shè)，則，因?yàn)椋裕獾?，故，則，設(shè)平面的法向量為，則，不妨取，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，記銳二面角的平面角為，所以，又，則，所以銳二面角的大小為.21．（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)?？既＃┤鐖D，在四棱錐中，，，，.

(1)證明：平面平面；(2)已知，，.若平面與平面夾角的余弦值為，求的值.【答案】(