華師版七年級數(shù)學(xué)下冊第8章三角形

第8章

三角形2024版華師版七年級數(shù)學(xué)下冊教學(xué)課件瓷磚是生活中常見的裝飾材料.你見過哪些形狀的瓷磚？它們的形狀有什么特點呢？你知道瓷磚能鋪滿地面的奧秘嗎？

★本章將在探索與三角形有關(guān)的線段和角的基礎(chǔ)上，研究多邊形的有關(guān)性質(zhì)，解開關(guān)于瓷磚鋪設(shè)的一個個疑團，從中了解一些研究幾何問題的基本思路和方法.8.1.1認(rèn)識三角形第1課時

三角形的有關(guān)概念及其分類1.認(rèn)識三角形的有關(guān)概念；（重點）2.會用幾何語言表示三角形，了解三角形的分類.（難點）如圖，酒店的地面和墻面由各種形狀的瓷磚鋪成，在這些地面或墻面上相鄰的瓷磚平整地貼合在一起，整個地面或墻面沒有一點空隙.

如圖，這些形狀的瓷磚為什么能鋪滿地面而不留一點空隙呢？換一些其他形狀的行不行？為了解決這些問題，我們有必要研究多邊形的有關(guān)性質(zhì)．三角形是最簡單的多邊形，讓我們從三角形開始，探究一下其中的道理.知識點1三角形的有關(guān)概念問題1：觀察下面三角形的形成過程，說一說什么叫三角形?定義：由三條不在同一條直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形叫做三角形.問題2：三角形中有幾條線段?有幾個角?有三條線段，三個角邊：線段AB，BC，CA是三角形的邊.頂點：點A，B，C是三角形的頂點，角：∠A，∠B，∠C叫做三角形的內(nèi)角.ABC記法：三角形ABC用符號表示________.邊的表示：三角形ABC的邊AB、AC和BC可用小寫字母分別表示

為________.△ABCc，a，b邊c邊b邊a頂點C角角角頂點A頂點B例1辨一辨：下列圖形符合三角形的定義嗎？不符合不符合不符合①位置關(guān)系：不在同一直線上；②連結(jié)方式：首尾順次.方法總結(jié)：三角形應(yīng)滿足以下兩個條件：表示方法：三角形用符號“△”表示；記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，除此△ABC還可記作△BCA,△CAB,△ACB等.基本要素：三角形的邊：邊AB、BC、CA；三角形的頂點：頂點A、B、C；三角形的內(nèi)角：∠A、∠B、∠C.特別規(guī)定：三角形ABC的三邊,一般的頂點A所對的邊記作a,頂點B所對的邊記作b,頂點C所對的邊記作c.找一找：(1)圖中有幾個三角形？用符號表示出這些三角形？

ABCDE5個，它們分別是△ABE,△ABC,△BEC,△BCD,△ECD.(2)以AB為邊的三角形有哪些？△ABC、△ABE.(3)以E為頂點的三角形有哪些？△ABE、△BCE、△CDE.(4)以∠D為角的三角形有哪些？△BCD、△DEC.(5)說出△BCD的三個角和三個頂點所對的邊.△BCD的三個角是∠BCD、∠BDC、∠CBD.頂點B所對應(yīng)的邊為DC，頂點C所對應(yīng)的邊為BD，頂點D所對應(yīng)的邊為BC.問題3：如圖，把△ABC的一邊BC延長，得到∠ACD.它與△ABC有何聯(lián)系呢？

D?歸納

像這樣，三角形中內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角，叫作三角形的外角.如∠ACD是與△ABC的內(nèi)角∠ACB相鄰的外角.

知識點2三角形的分類問題1：如圖，三個三角形的內(nèi)角各有什么特點？

第一個三角形中，三個內(nèi)角均為銳角；第二個三角形中，有一個內(nèi)角是直角；第三個三角形中，有一個內(nèi)角是鈍角.三角形可以按角來分類：所有內(nèi)角都是銳角——銳角三角形；有一個內(nèi)角是直角——直角三角形；有一個內(nèi)角是鈍角——鈍角三角形.問題2：量一量，三個三角形的邊各有什么特點？第一個三角形的三邊互不相等；第二個三角形有兩條邊相等；第三個三角形的三邊都相等.我們把有兩條邊相等的三角形稱為等腰三角形，相等的兩邊叫做等腰三角形的腰；把三條邊都相等的三角形稱為等邊三角形（或正三角形）.腰怎樣對三角形進(jìn)行分類？按是否有邊相等分三角形不等邊三角形等腰三角形兩條邊相等的等腰三角形三條邊都相等的三角形——等邊三角形按內(nèi)角大小分三角形銳角三角形直角三角形鈍角三角形1.三角形是指（）A．由三條線段所組成的封閉圖形B．由不在同一直線上的三條直線首尾順次連結(jié)組成的圖形C．由不在同一直線上的三條線段首尾順次連結(jié)組成的圖形D．由三條線段首尾順次相接組成的圖形C2.判斷：（1）一個鈍角三角形一定不是等腰三角形.（）（2）等邊三角形是特殊的等腰三角形.（）（3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（）（4）等邊三角形是銳角三角形.（）（5）直角三角形一定不是等腰三角形.（）√×××√3.（1）如圖所示，圖中共有_______個三角形，它們分別是_______________________________________.（2）以AD為邊的三角形分別是______________________.（3）∠C分別為△AEC，△ADC，△ABC中_____,_____,______邊的對角.（4）∠B是______,______,______的內(nèi)角；∠AED是______,______的內(nèi)角.（5）∠ADB是______,______的一個外角；∠AEC是______,_______的一個外角.ABDEC6△ABD,△ABE,△ABC,△ADE,△ADC,△AEC△ABD,△ADE,△ADCAE

AD

AB

△ABD

△ABE

△ABC△ADE

△ABE△ADE

△ADC△ADE

△ABE定義及其基本要素三角形頂點、角、邊1.按角分類2.按邊分類分類8.1.1.認(rèn)識三角形第2課時

三角形的中線、角平分線和高1.掌握三角形的高，中線及角平分線的概念.（重點）2.掌握三角形的高，中線及角平分線的畫法.3.掌握鈍角三角形的兩短邊上高的畫法.（難點）1.過直線外一點，畫已知直線的垂線，能畫幾條？只能畫一條.2.已知△ABC中，BC=5cm,高AD=4cm,求△ABC的面積.

知識點1三角形的中線問題1

如圖，如果點C是線段AB的中點，你能得到什么結(jié)論？ACB

問題2

如圖，如果點D是線段BC的中點，那么線段AD就稱為△ABC的中線．試說明什么叫三角形的中線？ABC定義：如圖，連接△ABC的頂點A和它所對的邊BC的中點D,所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的中線.

D畫一畫：如圖，分別畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條中線，并觀察它們中線的交點有什么規(guī)律？畫圖發(fā)現(xiàn)三角形的三條中線交于三角形內(nèi)部一點.ABCABCABCDEFDDEFEFOOO

問題1

如圖，若OC是∠AOB的平分線，你能得到什么結(jié)論？ACBO

知識點2三角形的角平分線問題2

如圖，在△ABC中，如果∠BAC的平分線AD交BC邊于點D，我們就稱AD是△ABC的角平分線．三角形的角平分線與角的角平分線相同嗎？為什么？BCDA((

答：相同點是：∠BAD=∠CAD;不同點是：前者是線段，后者是射線.畫一畫：如圖，分別畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條角平分線，并觀察它們的交點有什么規(guī)律？畫圖發(fā)現(xiàn)三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點.ABCABCABCDEFDDEFEFOOO知識點3三角形的高問題1

什么是三角形的高？問題2

怎樣畫三角形的高？定義

如圖，從△ABC的頂點A向它所對的邊BC所在直線畫垂線，垂足為D,所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的高.ABCD垂直符號垂足幾何語言：∵AD是△ABC的邊BC上的高，

∴AD⊥BC(或∠ADB=∠ADC=90°).ABCDEFABCDABCDEF◆畫圖發(fā)現(xiàn)

三角形的三條高所在的直線交于一點.（1）銳角三角形的高交于三角形內(nèi)一點；（2）直角三角形的高交于直角的頂點；（3）鈍角三角形的高交于三角形外一點.O(E,F)O畫一畫

如圖，分別畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條高，并觀察高的交點有什么規(guī)律？由前面的操作，我們可以發(fā)現(xiàn)，三角形的三條中線、三條角平分線和三條高（或所在的直線）分別____________；直角三角形三條高的交點就是____________；鈍角三角形有兩條高位于三角形的外部.交于一點直角頂點例1

如圖，已知AD,AE分別是△ABC的高和中線，AB=6cm，AC=8cm,BC=10cm，∠CAB=90°,試求：（1）△ABE的面積；（2）△ACE和△ABE的周長的差.ABCDE

（2）∵AE是△ABC的中線，

∴BE=CE.

∴△ACE和△ABE的周長的差

（AC+AE+CE)-(AB+AE+BE)=AC+AE+CE-AB-AE-BE=AC-AB=8-6=2(cm)ABCDE重要發(fā)現(xiàn)

三角形中線AE把原三角形分成的兩個三角形的周長差就是AC與AB的差.例2

如圖，在△ABC中，請作圖:

（1）畫出△ABC的∠C的平分線；（2）畫出△ABC的邊AC上的中線；（3）畫出△ABC的邊BC上的高.ABCDEF答：如圖，CF是∠ACB的角平分線；BE是AC邊上的中線；AD是邊BC上的高.?注意

畫高要標(biāo)明垂直符號.三角形的角平分線，中線及高都要畫成線段.ADCBABCDABCDABCDABCDD1.下列各組圖形中，哪一組圖形中AD是△ABC的BC邊上的高()2.在△ABC中,CD是中線,已知BC-AC=5cm,△DBC的周長為25cm,求△ADC的周長.ADBC解：∵CD是△ABC的中線，

∴BD=AD

.

∵BC-AC=5cm,

∴△DBC與△ADC的周長差是5cm,

又∵△DBC的周長為25cm，

∴C△ADC=25-5=20(cm).3.如圖是一張三角形紙片，請你動手畫出它的BC邊上的中線，BC邊上的高，∠A的平分線.ABCDAD為中線（BD=DC）EAE為高（AE⊥BC）))AF為∠A的平分線（∠BAF=∠CAF）F答：如圖，AD為所求中線，AE為所求高，AF為所求角平分線.中線三角形的重要線段1.會把原三角形面積平分2.一邊上的中線把原三角形分成兩個三角形，這兩個三角形的周長差等于原三角形其余兩邊的差角平分線高注意：鈍角三角形兩短邊的

高的畫法8.1.2三角形的內(nèi)角和與外角和1.通過操作活動，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和是180°；2.會利用三角形的內(nèi)角和求三角形中未知角的度數(shù)；（重點、難點）3.掌握三角形的外角的性質(zhì)及外角和.（重點、難點）

將三角形紙片分別按下面兩種方法進(jìn)行折疊、剪拼等操作，你能發(fā)現(xiàn)什么？

折疊三角形紙板，可以把它的三個角拼成一個角.可以將∠A，∠B剪下并移至頂點C處拼接成一個角.ABC三角形的三個內(nèi)角拼到一起恰好構(gòu)成一個平角.觀察與思考如圖，已知△ABC，分別用∠1、∠2、∠3表示△ABC的三個內(nèi)角，證明∠1+∠2+∠3=180°.知識點1三角形的內(nèi)角和觀測的結(jié)果不一定可靠，還需要通過數(shù)學(xué)知識來說明.CEAB123D解：如圖，延長邊BC至點E，以點C為頂點，在BE的上側(cè)作∠DCE=∠2，則CD//BA（同位角相等，兩直線平行）

∵CD//BA,

∴∠1=∠ACD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

∵∠3+∠ACD+∠DCE=180°，

∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代換）.由此得到：你還能想出其它的方法推出這個結(jié)論嗎？三角形的內(nèi)角和等于180°.多種方法證明的核心是什么？借助平行線的“移角”的功能，將三個角轉(zhuǎn)化成一個平角.CAB12345lACB12345lP6mABCDE例1

在△ABC中，∠A的度數(shù)是∠B的度數(shù)的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度數(shù).解:設(shè)∠B為x°，則∠A為(3x)°，∠C為(x

＋15)°，從而有3x

＋x

＋(x

＋15)＝180.解得x

＝33.∴3x＝99，x＋15＝48.答：∠A，∠B，∠C的度數(shù)分別為99°，33°，48°.幾何問題借助方程來解.這是一個重要的數(shù)學(xué)思想.例2

如圖，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).ABCD

問題1如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A與∠B有什么關(guān)系？ABC知識點2直角三角形的兩銳角互余

應(yīng)用格式：在直角三角形ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC.?歸納

直角三角形的兩個銳角互余．例3

如圖，AD是△ABC的邊BC上的高，∠1=45°，∠C=65°.求∠BAC的度數(shù).（165°(ABDC解

在Rt△ABD中

∵∠1+∠B=90°（直角三角形的兩個銳角互余），∴∠B=90°-∠1（等式性質(zhì)）.

又∵∠1=45°（已知），∴∠B=90°-45°=45°（等量代換）.

在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形的內(nèi)角和等于180°）,∴∠BAC=180°-∠B-∠C（等式性質(zhì)）.

又∵∠B=45°（已求），∠C=65°（已知），∴∠BAC=180°-45°-65°=70°（等量代換）.

我們已經(jīng)知道，直角三角形的兩個銳角互余.反過來，有兩個角互余的三角形是直角三角形嗎？

由三角形的內(nèi)角和等于180°，容易得出下面的結(jié)論：

有兩個角互余的三角形是直角三角形.問題1

如圖，一個三角形的每一個外角對應(yīng)一個相鄰的內(nèi)角和兩個不相鄰的內(nèi)角.那么，外角∠ACD與它不相鄰的內(nèi)角∠A，∠B之間有什么大小關(guān)系？

我覺得可以利用“三角形的內(nèi)角和等于180°”的結(jié)論.知識點3三角形的外角的性質(zhì)∵∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠ACD=180°-∠ACB，∠A+∠B=180°-∠ACB.∴∠ACD=∠A+∠B.由此可知，三角形的外角有兩條性質(zhì)：1.三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.2.三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角.例4

如圖，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C的度數(shù).解：∵∠B+∠C=∠CAD，

∴∠C=∠CAD-∠B，∴∠C=100°-30°=70°.ABC((((((213（4與三角形的每個內(nèi)角相鄰的外角分別有兩個，這兩個外角是對頂角，如∠1和∠4.

從與每個內(nèi)角相鄰的兩個外角中分別取一個相加，得到的和稱為三角形的外角和.

如圖所示，∠1+∠2+∠3

就是△ABC的外角和.問題2

如圖，∠1、∠2、∠3是△ABC的三個外角，它們的和是多少？解：在圖中，有∠1+∠ACB=180°，∠2+∠BAC=180°，∠3+∠ABC=180°，三式相加，可以得到∠1+∠2+∠3+∠ACB+∠BAC+∠ABC=360°，而∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°.ABC((((((213由此可知，三角形的外角和等于360°.∠1+∠2+∠3=360°.ABC((((((213ABDC

ABDC（2）∵∠B+∠BAC+∠C=180°（三角形的內(nèi)角和等于180°)，

∴∠C=180°-∠B-∠BAC（等式的性質(zhì)）.

又∵∠B=40°（已求），∠BAC=70°（已知），

∴∠C=180°-40°-70°=70°（等量代換）.?規(guī)律總結(jié)在三角形中求角的度數(shù)時，常用的知識點有三個：（1）三角形的內(nèi)角和等于180°；（2）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；（3）三角形的每一個內(nèi)角與它相鄰的外角互補.1.已知△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，∠B＝______.2.直角三角形一個銳角為70°，另一個銳角是_______.3.在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，則∠C=_______.80°20°50°4.如圖，AD是△ABC的角平分線，∠B=36°，∠C=76°，則∠DAC的度數(shù)為________.34°5.如圖，∠C=∠D=90°,AD,BC相交于點E.∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？ABCDE解：∠CAE=∠DBE.理由如下：

在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.內(nèi)角和三角形的內(nèi)角和與外角和三角形內(nèi)角和等于180°直角三角形兩銳角互余外角1.外角的性質(zhì)2.三角形的外角和8.1.3三角形的三邊關(guān)系1.掌握“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”的性質(zhì)并能初步運用；（重點、難點）2.了解三角形的穩(wěn)定性及應(yīng)用.小明我要到學(xué)校怎么走呀？哪一條路最近呀？為什么？郵局學(xué)校商店小明家知識點1三角形的三邊關(guān)系作一個三角形，使它的三邊長分別為4cm、3cm、2.5cm.如圖，先作線段AB=4cm，然后以點A為圓心、3cm長為半徑作圓弧，再以點B為圓心、2.5cm長為半徑作圓弧，兩弧相交于點C，連結(jié)AC、BC.△ABC就是所要作的三角形.A4cmB3cm2.5cmC試一試

現(xiàn)有12條已知長度的線段：三條長2cm、三條長3cm、兩條長4cm、兩條長5cm、兩條長6cm．任意選擇三條線段作三角形，使它的三條邊長分別為你所選擇的三條線段的長.4cm5cm6cm2cm3cm2cm3cm2cm3cm如圖，在作三角形的過程中，可能會發(fā)現(xiàn)下列幾種情況：因此，并不是任意三條線段都可以組成一個三角形，在三條線段中，如果兩條較短線段的和不大于第三條線段，那么這三條線段就不能組成一個三角形.換句話說：三角形的任意兩邊之和大于第三邊.ABC

想一想：由不等式的變形，三角形的兩邊之差與第三邊有何關(guān)系？AB+AC＞BCAB＞BC-ACBC+AB＞ACBC＞AC-ABAC+BC＞ABAC＞AC-BC?歸納

三角形任意兩邊之差小于第三邊.三角形三邊的關(guān)系定理的理論根據(jù)是？兩點之間，線段最短.例1

已知等腰三角形的周長為18cm，如果一邊長等于4cm，求另兩邊的長？分析：題中沒有明確4cm是腰長還是底邊長，因此，要分兩種情況進(jìn)行討論：①假設(shè)底邊長為4cm；②假設(shè)腰長為4cm.根據(jù)題意列方程求解即可.解：①若底邊長為4cm，設(shè)腰長為xcm，則2x+4=18，解得x=7.

②若一條腰長為4cm，設(shè)底邊長為xcm，則2×4+x=18，解得x=10.∵4+4<10，所以4cm為腰不能構(gòu)成三角形，

∴三角形另外兩個邊長都是7cm.?方法總結(jié)

與等腰三角形有關(guān)的問題，當(dāng)題中沒有明確哪一邊是腰或底邊時，常常要分情況討論，并根據(jù)三角形的三邊關(guān)系檢驗?zāi)芊駱?gòu)成三角形.問題：如圖，蓋房子時，在木框未安裝好之前，木工師傅常常先在木框上斜釘一根木條，為什么要這樣做呢？答：三角形三邊固定后，形狀和大小不會改變，四邊形四邊固定后，形狀和大小會改變，這就是說，三角形具有穩(wěn)定性，四邊形不具有穩(wěn)定性.知識點2三角形的穩(wěn)定性果子溝大橋果子溝大橋位于中國新疆維吾爾自治區(qū)境內(nèi)，它是新疆重要民生工程，其拉索就是三角形結(jié)構(gòu).例2

要使四邊形木架不變形,至少要釘上一根木條,把它分成兩個三角形使它保持形狀,那么要使五邊形,六邊形木架,七邊形木架保持穩(wěn)定該怎么辦呢?可以從多邊形的一個頂點作對角線，把多邊形分成若干個三角形.1.下列長度的三條線段能否組成三角形？為什么？（1）3，4，8（）（2）2，5，6（）（3）5，6，10（）（4）3，5，8（）不能能能不能4.如果等腰三角形的一邊長是4cm,另一邊長是9cm,則這個等腰三角形的周長為______________.3.如果等腰三角形的一邊長是5cm,另一邊長是8cm,則這個等腰三角形的周長為______________.2.五條線段的長分別為1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,以其中三條線段為邊長可以構(gòu)成________個三角形.322cm18cm或21cm5.小穎要制作一個三角形木架，現(xiàn)有兩根長度為8cm和5cm的木棒，如果要求第三根木棒的長度是偶數(shù)，小穎有幾種選法？第三根的長度可以是多少？解：設(shè)第三根木棒長為xcm，有8-5＜x＜8+5

3＜x＜13∵x為偶數(shù)，∴小穎有5種選法.第三根木棒的長度可以是：4cm，6cm，8cm，10cm，12cm.三角形的三邊關(guān)系三角形的三邊關(guān)系：任何兩邊的和大于第三邊；任何兩邊的差小于第三邊.三角形具有穩(wěn)定性8.2多邊形的內(nèi)角和與外角和第1課時

多邊形的內(nèi)角和1.掌握多邊形的相關(guān)概念.2.會用分割法探索多邊形的內(nèi)角和計算公式.（難點）3.運用多邊形的內(nèi)角和計算公式解決問題.（重點）生活中的平面圖形三角形

長方形

四邊形

六邊形

八邊形知識點1多邊形的相關(guān)概念

在平面內(nèi)，由三條不在同一條直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形叫做三角形.

在平面內(nèi)，由四條不在同一條直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形叫做四邊形.

在平面內(nèi)，由n條不在同一條直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形叫做n邊形，也即我們通常所說的多邊形.

在平面內(nèi)，由五條不在同一條直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形叫做五邊形.組成多邊形的各條線段叫作多邊形的邊.相鄰兩條邊的公共端點叫作多邊形的頂點.連接不相鄰的兩個頂點的線段叫作多邊形的對角線.相鄰兩邊組成的角叫作多邊形的內(nèi)角.頂點內(nèi)角邊對角線(連接不相鄰兩個頂點的線段)多邊形的相關(guān)元素外角表示：五邊形ABCDEACBDE如圖1是凸多邊形；圖2不是凸多邊形.圖2

如果把多邊形任何一邊雙向延長，其他各邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的多邊形叫做凸多邊形.圖1ACBDACBD注意：由七年級上冊3.4節(jié)可知，圖2也是多邊形，但不在我們目前的研究范圍內(nèi).問題

觀察下面多邊形，它們的邊、角有什么特點？特點：各邊相等，各內(nèi)角都相等的多邊形.知識點2正多邊形?歸納

一般地，如果多邊形的各邊相等，各內(nèi)角也都相等，那么就稱它為正多邊形.知識點3多邊形的內(nèi)角和問題

三角形的內(nèi)角和等于180°，四邊形的內(nèi)角和是多少度呢？

如圖，四邊形ABCD的一條對角線AC把它分成兩個三角形，因此四邊形的內(nèi)角和等于這兩個三角形的內(nèi)角和，即180°×2=360°.試一試

由圖中可以看出，從多邊形的一個頂點引出的對角線把多邊形劃分為若干個三角形，我們已知一個三角形的內(nèi)角和等于180°，那么五邊形的內(nèi)角和等于多少呢？六邊形、七邊形呢？一般地，n邊形的內(nèi)角和等于多少呢？五邊形六邊形七邊形八邊形在前面各個多邊形中，任取一個頂點，通過該頂點畫出所有對角線，完成下表.多邊形的邊數(shù)分成的三角形的個數(shù)多邊形的內(nèi)角和31180°42360°567………n345n-23×180°=540°4×180°=720°5×180°=900°

?歸納

n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°.例1求八邊形的內(nèi)角和.解：八邊形的內(nèi)角和為

(n-2)·180°=(8-2)×180°=1080°.解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得（n-2）×180°=2160°，解得

n

=14.

所以這個多邊形的邊數(shù)為14.例2

已知一個多邊形的內(nèi)角和等于2160°，求這個多邊形的邊數(shù).1.判斷．（1）當(dāng)多邊形邊數(shù)增加時，它的內(nèi)角和也隨著增加．()（2）從n邊形一個頂點出發(fā)，可以引出（n-2）條對角線，得到（n-2）個三角形．()2.五邊形的內(nèi)角和為

，它的對角線有

條．540°53.如果一個多邊形的邊數(shù)增加一條，那么這個多邊形的內(nèi)角和增加________.180°4.一個多邊形的內(nèi)角和不可能是（）A.1800°B.540°C.720°D.810°D5.一個多邊形從一個頂點可引對角線3條，這個多邊形內(nèi)角和等于（）A.360°B.540°C.720°D.900°D多邊形的相關(guān)概念多邊形的內(nèi)角和內(nèi)角和計算公式

8.2多邊形的內(nèi)角和與外角和第2課時

多邊形的外角和1.掌握多邊形的外角及外角和的性質(zhì).（重點）2.經(jīng)歷把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形的過程，體會轉(zhuǎn)化思想和從特殊到一般的認(rèn)識問題方法.（難點）回答下列問題：(1)三角形的外角和的概念從與每個內(nèi)角相鄰的外角中分別取一個相加，得到的和稱為三角形的外角和.(2)三角形的外角和等于______.360°問題1

根據(jù)三角形的外角和定義，你能說一說多邊形的外角和的定義嗎？

從與每個內(nèi)角相鄰的外角中分別取一個相加，得到的和稱為多邊形的外角和.

如圖，∠1+∠2+∠3+∠4就是四邊形ABCD的外角和.ABCD12345678知識點1多變形的外角和問題2

你能根據(jù)下面的圖形求出四邊形的外角和嗎？ABCD12345678從圖中可知：(∠1+∠5)+(∠2+∠6)+(∠3+∠7)+(∠4+∠8)=4×180°=720°，又因為∠5+∠6+∠7+∠8=360°，所以∠1+∠2+∠3+∠4=720°-(∠5+∠6+∠7+∠8)=720°-360°=360°.所以，四邊形ABCD

的外角和等于360°.問題3

n邊形的外角和等于多少度呢？

因為

n邊形的每一個內(nèi)角與它的相鄰的外角互為補角，所以可以求出多邊形的內(nèi)角和與外角和的總和，再減去內(nèi)角和就可得到外角和.請將數(shù)據(jù)填入表格：多邊形的邊數(shù)34567...n多邊形的內(nèi)角和與外角和的總和3×180°=540°...多邊形的內(nèi)角和180°...多邊形的外角和360°...720°360°360°900°540°360°1080°720°360°1260°900°360°(180n)°(n-2)180°360°?歸納

因此，任意多邊形的外角和都為360°.這就是說多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)，都等于360°.例1

一個多邊形的每個外角都是72°，這個多邊形是幾邊形？解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為

n，根據(jù)題意，得n·72°=360°，解得

n=5.因此，這個多邊形是五邊形.例2

一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的5倍，這個多邊形是幾邊形？解：設(shè)這個多邊形是

n

邊形，根據(jù)題意，得

(n-2)·180°=5×360°解得

n=12.因此，這個多邊形是十二邊形.知識點2多變形的內(nèi)角和與外角和的綜合應(yīng)用

方法總結(jié)：用多邊形的外角和除以一個外角的度數(shù)可直接求多邊形的邊數(shù).例4

一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的4倍，這個多邊形是幾邊形？解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得（n-2）×180°=360°×4，解得

n=10，因此，這個多邊形是十邊形.?方法總結(jié)

已知多邊形的外角和與內(nèi)角和的關(guān)系，利用多邊形的外角和等于360°和多邊形的內(nèi)角和公式求該多邊形的邊數(shù).1.判斷．（1）當(dāng)多邊形邊數(shù)增加時，它的外角和也隨著增加．()（2）三角形的外角和與八邊形的外角和相等．()×√2.一個多邊形的每一個外角都等于45°，這個多邊形是幾邊形？它的每一個內(nèi)角是多少度？解：360°÷45°=8，180°-45°=135°.答：這個多邊形是八邊形,它的每一個內(nèi)角是135°.3.已知一個多邊形的每個內(nèi)角與外角的比都是7∶2，求這個多邊形的邊數(shù).(一題多解)解法一：設(shè)這個多邊形的內(nèi)角為7x°，外角為2x°，根據(jù)題意,得7x

+2x

=180，解得

x

=20.∴7x=140，2x=40.∴360°÷40°=9.答：這個多邊形的邊數(shù)為9.

4.一個多邊形所有內(nèi)角與一個外角的和是2380°，則這個多邊形的邊數(shù)為___.15

多邊形的外角和定理多邊形的外角和等于360°特別注意：與邊數(shù)無關(guān).8.3用正多邊形鋪設(shè)地面1.用相同的正多邊形1.理解用相同的正多邊形鋪設(shè)地面的理論依據(jù)，會用相同正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌.（重點）2.知道怎樣的正多邊形能無空隙的鋪設(shè)地面.（難點）在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，就會發(fā)現(xiàn)地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案，也就是說，使用給定的某種正多邊形，能夠拼成一個平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊(在幾何里叫做平面鑲嵌)，如圖：那么，哪些正多變形可以密鋪，哪些不能密鋪呢？知識點

用相同的正多邊形鋪設(shè)地面使用給定的某種正多邊形，它能否鋪滿地面，既不留下一絲空白，又不互相重疊？問題1

正三角形能否鋪滿地面？由圖可知，6個正三角形可以無縫拼接，所以正三角形能鋪滿地面.60°×6=360°60°60°60°60°60°60°問題2

正方形能否鋪滿地面？由圖可知，4個正方形可以無縫拼接，所以正方形能鋪滿地面.90°90°90°90°90°×4=360°問題3

正五邊形能否鋪滿地面？由圖可知，正五邊形不能無縫拼接，所以正五邊形不能鋪滿地面.108°108°108°108°×3=324°問題4

正六邊形能否鋪滿地面？由圖可知，3個正六邊形可以無縫拼接，所以正六邊形能鋪滿地面.120°120°120°120°×3=360°一個內(nèi)角度數(shù)能否鋪滿平面圖形一個頂點周圍正多形個數(shù)正三角形正方形正五邊形正六邊形643能能能不能90°108°60°120°?歸納

使用給定的某種正多邊形，當(dāng)圍繞一點拼在一起的幾個內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角時，就可以鋪滿地面.問題5

還能找到其他正多邊形鋪滿地面嗎？分析：要用相同正多邊形鋪滿地面的關(guān)鍵是看，這種正多邊形的一個內(nèi)角的倍數(shù)是否是360°，在正多邊形里，正三角形的每個內(nèi)角都是60°，正四邊形的每個內(nèi)角都是90°，正六邊形的每個內(nèi)角都是120°，這三種正多邊形的一個內(nèi)角的倍數(shù)都是360°，而其他的正多邊形的每個內(nèi)角的倍數(shù)都不是360°，所以說：在正多邊形里，用相同正多邊形鋪滿地面的只有正三角形、正四邊形、正六邊形，而其他的正多邊形不可以．?歸納

用相同正多邊形可以鋪滿地面的條件：

正多邊形的每個內(nèi)角都能被360°整除.

2.一個用正六邊形鋪滿地面是，它在一個頂點周圍的正六邊形的個數(shù)為（）A.2個B.3個C.4個D.5個DB1.用一種正多邊形鋪滿地面的條件是（）A.內(nèi)角是整數(shù)度數(shù)B.邊數(shù)是3的倍數(shù)C.內(nèi)角整除180°D.內(nèi)角整除360°

3.

用黑白兩種顏色的正六邊形地磚按如圖所示的規(guī)律拼成若干圖案，則n

=

8

時，白色地磚共有______塊.

34正多邊形的每個內(nèi)角都能被360°整除.相同正多邊形鋪滿地面條件8.3用正多邊形鋪設(shè)地面2.