2024-2025學(xué)年江蘇省常州市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省常州市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，直線的傾斜角等于（

）A． B． C． D．2．若點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)的取值可能為（

）A． B． C． D．3．曲線與曲線（）的（

）A．短軸長(zhǎng)相等 B．長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等C．焦距相等 D．離心率相等4．已知雙曲線的漸近線方程為，實(shí)軸長(zhǎng)為4，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．或C． D．或5．已知直線與直線平行，則與之間的距離為（

）A．2 B．3 C．4 D．56．已知拋物線的焦點(diǎn)為，定點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．117．已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)是，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．8．已知圓與圓交于兩點(diǎn)，則面積取最大值時(shí)圓心的縱坐標(biāo)為（

）A．1 B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B． C． D．10．已知圓，直線，則以下命題正確的有（

）A．直線恒過(guò)定點(diǎn) B．直線與圓恒相交C．軸被圓截得的弦長(zhǎng)為 D．直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，的方程為11．如圖，圓，圓，動(dòng)圓與圓外切于點(diǎn)，與圓內(nèi)切于點(diǎn)，圓心的軌跡記為曲線，則（

）

A．的方程為 B．的最小值為C． D．曲線在點(diǎn)處的切線與線段垂直三、填空題（本大題共3小題）12．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是.13．已知圓，若圓與圓與圓恰有三條公切線，則實(shí)數(shù)的值是.14．過(guò)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若的最小值是，則.四、解答題（本大題共5小題）15．已知點(diǎn)，直線.(1)求點(diǎn)到直線的距離；(2)求點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).16．已知圓的圓心在直線上，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與直線相切.(1)求圓的方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.17．已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線過(guò)點(diǎn)，與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，且的面積為，求直線的方程.18．已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為2.(1)求橢圓的方程；(2)A為橢圓C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)不在軸上，線段AP的垂直平分線與軸相交于點(diǎn)，若為等邊三角形，求直線AP的方程.19．已知拋物線的焦點(diǎn)，直線，(1)設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，其中在第一象限，求出所有滿足的點(diǎn)的坐標(biāo).（其中點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)）；(2)過(guò)直線上的點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求的最小值.

答案1．【正確答案】A【詳解】直線化為斜截式，設(shè)其傾斜角為，則直線的斜率為，因?yàn)?，所以，故選：A.2．【正確答案】C【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在圓的外部，則，即，解得，故選：C.3．【正確答案】C【詳解】A選項(xiàng)，明顯短軸不相等，一個(gè)，故錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，一個(gè)另一個(gè)為，故錯(cuò)誤．D選項(xiàng)，離心率，結(jié)合前面提到了a不相等，故錯(cuò)誤；曲線的焦半徑滿足，而焦半徑滿足，故兩曲線的焦半徑相等，故焦距相等，C正確．4．【正確答案】B【詳解】當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為，則漸近線方程為，實(shí)軸長(zhǎng)為，由題意得，，解得，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為，則漸近線方程為，實(shí)軸長(zhǎng)為，由題意得，，解得，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．綜上，該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．故選：B．5．【正確答案】A【分析】根據(jù)兩條直線平行，求出值，再應(yīng)用平行線間的距離公式求值即可.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解之得，于是直線，即，所以與之間的距離為.故選A.6．【正確答案】A【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程是，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，∵點(diǎn)在拋物線上，∴根據(jù)拋物線的定義得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為8．故選：A．7．【正確答案】C【詳解】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，則，兩式相減可得，整理可得，又線段的中點(diǎn)是，則，所以，又直線過(guò)點(diǎn)，得到，所以，得到，故選：C.8．【正確答案】D【詳解】由題意得：，所以圓心，半徑，由兩圓相交于兩點(diǎn)可知：，所以的面積，因?yàn)槭前霃綖?的圓，所以，當(dāng)時(shí)，，又，此時(shí)由，解得，，故可以取最大值2；所以當(dāng)時(shí)，最大，且是銳角，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知：當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)三角形面積最大，圓心N的縱坐標(biāo)為，故選：D9．【正確答案】AC【詳解】∵點(diǎn)在第二象限，∴拋物線的焦點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，或在軸的正半軸上．當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∵點(diǎn)在拋物線上，則，解得，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是；當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸上時(shí)，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∵點(diǎn)在拋物線上，則，解得，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.綜上，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是或.故選：AC.10．【正確答案】BCD【詳解】對(duì)于A，由，則，令，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，則圓心，半徑，因?yàn)?，即定點(diǎn)在圓內(nèi)，故B正確；對(duì)于C，令，整理圓的方程為，解得或，所以軸被圓截得的弦長(zhǎng)為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，由直線的斜率，直線的斜率，且，則，所以直線的方程為，化簡(jiǎn)可得，故D正確.故選：BCD.11．【正確答案】BCD【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)動(dòng)圓的半徑為，由條件得，則，且不重合，故點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓（去掉重合的點(diǎn)），則曲線的方程為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，由圖可知與互補(bǔ)，設(shè)，在中，，則，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，所以，得到的最小值為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)點(diǎn)，下面先證明橢圓上一點(diǎn)的的切線方程為.聯(lián)立，消去得，則，又，所以.所以橢圓上一點(diǎn)的的切線方程為.則過(guò)點(diǎn)的橢圓的切線方程為，切線斜率為，又，所以，則得，解得，所以，又，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，即曲線在點(diǎn)處的切線與線段垂直，故D正確

故選：BCD.12．【正確答案】【詳解】設(shè)橢圓方程為，則，解得，故橢圓方程為.故13．【正確答案】【詳解】因?yàn)閮蓤A有三條公切線，故圓與圓相外切，又圓的圓心為，半徑為，由，得到，則，且圓的圓心為，半徑為，由題有，得到，解得，故答案為.14．【正確答案】【詳解】設(shè)，則，圓的圓心，半徑為，由切圓于點(diǎn)，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可知的最小值為，整理可得，解得，且，所以，故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)，直線，所以點(diǎn)到直線的距離為.（2）設(shè)，則，即，解得，所以點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.16．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）由題意，設(shè)圓心，半徑，∵圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∵圓M與直線相切，∴圓心到直線的距離，∴，化簡(jiǎn)，解得，則圓心，半徑，所以圓M的方程為．（2）由題意，圓心到直線的距離，若直線的斜率不存在，其方程為，顯然符合題意；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，則圓心到直線的距離由，解得，則直線的方程為，即，綜上，直線的方程為或．17．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）∵雙曲線的一條漸近線方程為，∴，即，∵雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，∴，即，又，則，解得，所以雙曲線的方程為．（2）由題意直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，設(shè)，由得，由題意得，解得，因?yàn)?，所以，又點(diǎn)O到直線的距離，所以的面積，則，即，解得或，又因?yàn)椋?，所以直線的方程為或．

18．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）因?yàn)殡x心率，即，短軸長(zhǎng)為2，即，又，解得，所以橢圓C的方程為．（2）由題意可知，由題意直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，因?yàn)辄c(diǎn)P不在x軸上，則，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，可得，由題意可知，是方程的兩根，由韋達(dá)定理可得，∴，所以，從而，可得的中點(diǎn)為，所以直線的垂直平分線方程為，令，解得，即因?yàn)闉榈冗吶切?，則，即，整理得，即，解得，即，所以直線AP的方程為或，即或．19．【正確答案】(1)或(2)【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，則，得到，所以拋物線，由題知，由，得到，所以，在中，，