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2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題(本大題共8小題)1.設(shè)集合A={x|x2–4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|–2≤x≤1},則a=(
)A.–4 B.–2 C.2 D.42.若,則()A. B. C. D.3.將某班一次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)(都是正整數(shù),滿分150分)統(tǒng)計(jì)整理后得到如下的表格:成績(jī)范圍0~89分90~99分100~109分110~119分120~129分130~150分人數(shù)71010267則該班這次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的分位數(shù)可能是(
)A.93 B.108 C.117 D.1284.已知是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,則下列命題正確的是()A.若,且,則B.若,且,則C.若,且,則D.若,且,則5.已知,則()A. B. C. D.6.若函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足,且,則()A. B. C. D.7.設(shè)數(shù)列滿足為的前項(xiàng)和,則數(shù)列中的項(xiàng)不包括()A.54 B.232 C.610 D.15968.已知三棱錐的三個(gè)側(cè)面的面積分別為5,5,6,底面積為8,且每個(gè)側(cè)面與底面形成的二面角大小相等,則三棱錐的體積為()A.4 B. C.6 D.二、多選題(本大題共2小題)9.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則()A.的公差為2 B.C.的最大值為35 D.的最小值為10.設(shè)直線,則下列說(shuō)法正確的是()A.當(dāng)時(shí),的傾斜角為B.使得過(guò)點(diǎn)的有兩個(gè)C.存在定點(diǎn),使得點(diǎn)到的距離為定值D.從所有直線中選3條圍成正三角形,則正三角形的面積為定值三、單選題(本大題共1小題)11.設(shè)是定義在上的非常值函數(shù),若,則下列說(shuō)法正確的是()A.若,且,則是偶函數(shù)B.若,且,則是周期函數(shù)C.若,則存在非零實(shí)數(shù),使得D.若,且的值域?yàn)椋瑒t四、填空題(本大題共3小題)12.某中學(xué)每次升國(guó)旗儀式由1名旗手和4名護(hù)旗手進(jìn)行,旗手需要掌握?旗、展旗等技術(shù),每名護(hù)旗手也各有不同的職責(zé).現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5人升國(guó)旗,其中甲和乙能擔(dān)任旗手或護(hù)旗手,其他人只能擔(dān)任護(hù)旗手,則不同的安排方法種數(shù)為.13.計(jì)算:.14.設(shè)為單位向量,向量滿足,則當(dāng)與的夾角最大時(shí),.五、解答題(本大題共5小題)15.已知橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求的方程;(2)過(guò)的右頂點(diǎn)且斜率為的直線交于兩點(diǎn),求的面積;(3)在(2)的條件下,設(shè)是上不同于的點(diǎn),且與的面積相等,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo).16.在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知.(1)若,求;(2)若,求的最小值.17.如圖,已知圓錐的高為為底面直徑,且.(1)求圓錐的表面積;(2)若是底面圓周上一點(diǎn),且,求平面與平面夾角的余弦值.18.已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若,且存在,滿足,證明:;(3)設(shè)函數(shù),若,且與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.記數(shù)列的前項(xiàng)和為,若存在整數(shù)和正整數(shù),使得恒成立,則稱為“數(shù)列”.(1)寫(xiě)出一個(gè)既是等比數(shù)列又是“數(shù)列”的的通項(xiàng)公式.(2)已知數(shù)列滿足.(ⅰ)證明:是“數(shù)列”.(ⅱ)是否存在和,使得為數(shù)列?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.附:當(dāng)正整數(shù)時(shí),.
答案1.【正確答案】B【詳解】求解二次不等式可得:,求解一次不等式可得.由于,故:,解得.故選:B.2.【正確答案】C【詳解】由,可得:,所以,故選:C3.【正確答案】D【詳解】由題設(shè),總?cè)藬?shù)有人,則,結(jié)合表格數(shù)據(jù)知,這次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的分位數(shù)在120~129分內(nèi).故選:D4.【正確答案】C【詳解】對(duì)于A,若,且,則或與相交,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,在正方體中,取為,為,平面為,平面為,符合題意,但,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,因?yàn)椋灾本€的方向向量是平面的法向量,直線的方向向量是平面的法向量,又,所以兩直線的方向向量垂直,即兩平面的法向量垂直,所以,故C正確;對(duì)于D,在正方體中,取為,為,平面為,平面為,此時(shí)符合題設(shè),但與不垂直,故D錯(cuò)誤.故選:C.5.【正確答案】A【詳解】由,可得:,即,又,結(jié)合平方差公式可得.故選:A6.【正確答案】D【詳解】因?yàn)?,所以,所以,因?yàn)?,所以,解得,所以,令,可得,解?故選:D.7.【正確答案】C【詳解】,,,所以不包括.故選:C8.【正確答案】B【詳解】過(guò)向底面作垂線,垂足為,分別過(guò)向三邊作垂線,垂足分別為,連接,因?yàn)槠矫?,平面,所以,又,平面,所以平面,又平面,所以,所以為二面角的平面角,同理可得為二面角的平面角,為二面角的平面角,因?yàn)槊總€(gè)側(cè)面與底面形成的二面角大小相等,所以,所以,所以為三角形的內(nèi)心,由三棱錐的三個(gè)側(cè)面的面積分別為5,5,6,所以,設(shè)三邊的長(zhǎng)為,則邊上的高長(zhǎng)為,由底面的面積為8,所以,解得,設(shè)內(nèi)切圓的半徑為,則,所以,由側(cè)面的面積為6,所以,所以,所以,所以,所以.故選:B.9.【正確答案】BD【詳解】由,可得,所以,所以,所以,又,所以,解得,故A錯(cuò)誤;所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為,所以,所以,故B正確;令,解得,所以前6項(xiàng)為非負(fù)項(xiàng),其和最大,又,公差,所以最大值為,故C錯(cuò)誤;因?yàn)?,所以,令且,可得,所以,因?yàn)樵趩握{(diào)遞減,在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以的最小值為,故D正確.故選:BD.10.【正確答案】ABC【詳解】對(duì)于A,當(dāng)時(shí),直線的方程為,即,直線的斜率為,所以的傾斜角為,故A正確;對(duì)于B,當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),可得,所以,兩邊平方得,所以,解得或或或,經(jīng)檢驗(yàn)與是增根,所以或,故B正確;對(duì)于C,點(diǎn)到直線的距離為,所以存在定點(diǎn),使得點(diǎn)到的距離為定值,故C正確;對(duì)于D,由C可知,直線是以為圓心,為半徑的圓的切線,從所有直線中選3條圍成正三角形,這樣的正三角形有兩類,如圖所示,一類是圓的外切三角形,這一類三角形的面積相等,一類是在圓的同一側(cè),這一類三角形的面積相等,但兩類三角形的面積不等,故D錯(cuò)誤.故選:ABC.11.【正確答案】AD【詳解】對(duì)于A,B,此時(shí)有.取,得,故,由于fx不是常值函數(shù),所以一定存在使得,故.重新取x=0,得,即,故,所以A正確;注意到滿足給定的條件,但此時(shí)fx不是周期函數(shù),所以B錯(cuò)誤;對(duì)于C,D,此時(shí)有.假設(shè)存在使得,則.取,得,所以.重新取x=0,得,所以fx是偶函數(shù).在中用替換,可得,故.與相加,可知,所以.再中取,就得到,所以,這與fx不是常值函數(shù)矛盾,所以C錯(cuò)誤;而對(duì)于D,若fx的值域是,假設(shè)存在使得,設(shè).由于fx不是常數(shù)函數(shù),故可以取使得,并考慮數(shù)列,則,.再中取,可知,故.所以.從而存在實(shí)數(shù),使得.所以.分別用替換該式中的并相加,可得.所以,我們有.總之,存在實(shí)數(shù),使得.由于,故.所以對(duì)任意整數(shù)都有.若,則該不等式在時(shí)不成立,矛盾,所以.同時(shí)注意到.對(duì)進(jìn)行類似討論,同理可以得到,故,這與矛盾.所以假設(shè)不成立,故,所以D正確.故選:AD.12.【正確答案】48【詳解】先甲乙選一人擔(dān)任旗手,再將其余全排,可得不同的安排方法種數(shù)為種,故48.13.【正確答案】【詳解】令,顯然,所以,即,令,因?yàn)?,,所以,則,即,所以,又在定義域上單調(diào)遞增,所以,即,所以.故14.【正確答案】5【詳解】因?yàn)闉閱挝幌蛄?,向量滿足,所以可令,如下圖示,易知,若,故,而,即,所以,又,所以,要與的夾角最大,即最大,即最小,由,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以當(dāng)與的夾角最大時(shí),.
故515.【正確答案】(1)(2)(3).【詳解】(1)設(shè)的半焦距為,由題意得,解得,故的方程為.(2)由(1)知的方程為,即,聯(lián)立,消去得,整理得,解得與,所以,所以.(3)因?yàn)榕c的面積相等,所以到的距離與到的距離相等,由橢圓的對(duì)稱性可知所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為.16.【正確答案】(1)(2).【詳解】(1)因?yàn)椋?,所以,因?yàn)椋?,所以,所以,所以,故.?)由(1)知,又,所以.所以.由正弦定理,得,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.17.【正確答案】(1)(2).【詳解】(1)由題可知母線長(zhǎng),底面半徑.故圓錐的表面積.(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn)在上的射影為,則,所以.易知,則.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,取,計(jì)算可得平面的一個(gè)法向量為,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,取,則平面的一個(gè)法向量為.所以,所以平面與平面夾角的余弦值為.18.【正確答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3).【詳解】(1)由題意得,若,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.若,令,得或,若,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;若,則在R上單調(diào)遞增;若,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)由(1)可知,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以.令,則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以恒成立,F(xiàn)x在R上單調(diào)遞增.因?yàn)?,所以,即,所以.又在上單調(diào)遞增,且,所以,即.(3)由題意可得方程有兩個(gè)實(shí)根.設(shè),當(dāng)時(shí),,則φx在0,+∞上單調(diào)遞增,令,則,所以關(guān)于的方程,即有兩個(gè)實(shí)根,令,則,當(dāng),,所以在上單調(diào)遞增,當(dāng),,,在上單調(diào)遞減,所以,且時(shí),.所以,所以,即的取值范圍是.19.【正確答案】(1)(答案不唯一)(2)(ⅰ)證明見(jiàn)解析;(ⅱ)不存在,理由見(jiàn)解析【詳解】(1)依題意,要求是:既是等比數(shù)列又是“數(shù)列”,即,如,,符合題意.或其他合理答案,需滿足,如:.(2)(ⅰ)
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