2024-2025學(xué)年廣東省深圳市高三11月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年廣東省深圳市高三11月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．復(fù)數(shù)方程解的個(gè)數(shù)為（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)2．正方體中與的交點(diǎn)稱為正方體的中心，平面經(jīng)過點(diǎn)，且頂點(diǎn)，到平面的距離相等，則這樣的平面的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．0 D．無數(shù)個(gè)3．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在玩一個(gè)猜數(shù)字游戲．甲、乙、丙共同寫出三個(gè)集合A，B，C，然后他們?nèi)烁饔靡痪湓拋碚_描述集合中“”表示的數(shù)字，并讓丁同學(xué)猜出該數(shù)字．已知集合，，．甲、乙、丙三位同學(xué)描述如下．甲：此數(shù)為小于5的正整數(shù)；乙：是的必要不充分條件；丙：是的充分不必要條件．則“”表示的數(shù)字是（）A．1或2 B．2或3C．3或4 D．1或34．在1和15之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列．若這個(gè)數(shù)中第1個(gè)為，第個(gè)為，則的最小值是（

）A． B．2 C． D．35．若函數(shù)是偶函數(shù)，則曲線在處的切線斜率為（）A． B．0 C． D．6．將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象.若的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則的最小值為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．在銳角中，已知，則，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．無法確定二、多選題（本大題共3小題）9．無窮等比數(shù)列的首項(xiàng)為公比為q，下列條件能使既有最大值，又有最小值的有（

）A．， B．，C．， D．，10．如圖，在正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則（）A．存在點(diǎn)，使得B．存在點(diǎn)，使得平面C．對于任意點(diǎn)Q，均不成立D．三棱錐的體積是定值11．已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知平面向量滿足，且，則.13．已知正四面體中，，、，…，在線段AB上，且，過點(diǎn)（、、…、）作平行于直線、BD的平面，截面面積為，則所有截面積之和為.

14．已知函數(shù)，若對任意，有，則正整數(shù)的最小值為．（參考值：，）四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，設(shè).(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若，求滿足條件的最小正整數(shù)．16．在中，角A，，所對的邊分別為，，，且滿足，的外接圓的半徑為.(1)求角的值；(2)如果，求的面積；(3)求內(nèi)切圓半徑的最大值.17．如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，平面，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離.18．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)設(shè)方程的所有根之和為T，且，求整數(shù)n的值；(3)若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．19．已知定義：函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，我們稱函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)，如果一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間I上的二階導(dǎo)函數(shù)，則稱為I上的凹函數(shù)；二階導(dǎo)函數(shù)，則稱為I上的凸函數(shù).若是區(qū)間I上的凹函數(shù)，則對任意的，有不等式恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），若是區(qū)間I上的凸函數(shù)，則對任意的，有不等式恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），已知函數(shù)，.(1)試判斷在為凹函數(shù)還是凸函數(shù)?(2)設(shè)，，，，且，求的最大值;(3)已知，且當(dāng)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)a的所有可能取值.

答案1．【正確答案】A【詳解】設(shè)，則，，所以，解之得或或，共4組解.故選：A2．【正確答案】D【分析】取正方體各條棱的中點(diǎn)并連接，形成三個(gè)過點(diǎn)的平面，顯然這三個(gè)平面是符合題意的平面，根據(jù)排除法可知，選項(xiàng)D正確.【詳解】由題意得，取正方體各條棱的中點(diǎn)并連接，如圖，形成三個(gè)過點(diǎn)的平面，顯然這三個(gè)平面是符合題意的平面，根據(jù)排除法可知，選項(xiàng)D正確.故選：D.3．【正確答案】A【詳解】由“甲：此數(shù)為小于5的正整數(shù)”可得表示的數(shù)字可能為1,2,3,4，因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以是的真子集，又是的充分不必要條件，所以是的真子集，又，當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；所以“”表示的數(shù)字是1或2，故選：A.4．【正確答案】C【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).故選：C.5．【正確答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，又易得函數(shù)的定義域是，即，所以，所以，又，所以解得，所以，所以，所以，所以曲線在處的切線斜率為.故選：B.6．【正確答案】A【詳解】由題意可得，由于的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故，故,解得，取，為最小值，故選：A7．【正確答案】D【分析】將問題轉(zhuǎn)化為恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可確定的取值.【詳解】恰有兩個(gè)零點(diǎn)，即恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由于，所以恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根等價(jià)于恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，令，則，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)，此時(shí)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取極小值也是最小值，且當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，且單調(diào)遞增，在直角坐標(biāo)系中畫出的大致圖象如圖：要使有兩個(gè)交點(diǎn)，則，故選D.8．【正確答案】A【詳解】由，可得，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，因?yàn)椋?，則，從而，由，可得當(dāng)時(shí)，與均屬于，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞減，且，所以，即，所以，即，所以，又在上遞增，所以；當(dāng)時(shí)，，則，即，所以，又在上遞增，所以；綜上所述，.故選：A.9．【正確答案】BC【詳解】，時(shí)，等比數(shù)列單調(diào)遞減，故只有最大值，沒有最小值；，時(shí)，等比數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列，此時(shí)為大值，為最小值；，時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)都相等且小于零，偶數(shù)項(xiàng)都相等且大于零，所以等比數(shù)列有最大值，也有最小值；，時(shí)，因?yàn)?，所以無最大值，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)無最小值，偶數(shù)項(xiàng)為正無最大值.故選：BC10．【正確答案】BC【詳解】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，令，則點(diǎn)，，對于A，，若，則，必有，即與矛盾，A錯(cuò)誤；對于B，，若平面，則，即，解得，則點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，，而平面，因此平面，B正確；對于C，，即對任意，向量與都不垂直，C正確；對于D，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，于是點(diǎn)到平面的距離，，不是常數(shù)，又點(diǎn)是三個(gè)定點(diǎn)，面積是定值，因此三棱錐的體積不是定值，D錯(cuò)誤.故選：BC11．【正確答案】ABD【分析】將式子兩邊求導(dǎo)，賦值可得的解析式，由此設(shè)出解析式待定系數(shù)可得，進(jìn)而逐一驗(yàn)證選項(xiàng)可得.【詳解】由任意，，則式子兩邊對求導(dǎo)，可得，，令，則，.所以.設(shè)，由，代入得，解得.故，且.所以有.故ABD項(xiàng)正確，C項(xiàng)錯(cuò)誤.故選ABD.12．【正確答案】【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以.故答案為.13．【正確答案】【詳解】過作平行于的平面分別交，，于，，，如圖，因?yàn)槠矫?，且平面平面，所以，同?，，故四邊形為平行四邊形．過作，可得為的中點(diǎn)，連接，可得，而，平面，可得平面，平面，則．故,則四邊形為矩形．又為靠近的第個(gè)等分點(diǎn)，故．故．，由于，故，故

14．【正確答案】【詳解】①一方面，如果滿足：對任意，都有，且是正整數(shù)：由知fx都不為零，所以fx在和1,2上都沒有零點(diǎn).由于，故fx在上有零點(diǎn).二者結(jié)合，可知，而fx在和1,2上分別取固定的符號(hào)，且符號(hào)相反.所以，，得，故.同時(shí)由于，故對有，對有.這就得到對任意都有，即，故.從而對任意都有，故.取可得，故.②另一方面，當(dāng)，時(shí)，有.此時(shí)，故對有，對有.所以fx在上遞增，在上遞減，從而對有，對有，對有.這表明對任意都有，，所以.所以，滿足條件.綜合①②兩方面，可知正整數(shù)的最小值為.故答案為.15．【正確答案】(1)證明見解析(2)2024【詳解】（1）證明：由，得，所以，又，所以數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為等比數(shù)列.（2）由（1）知，數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為等比數(shù)列，且，所以，即，所以，而因?yàn)樵谏暇鶈握{(diào)遞增，則隨著的增大而增大，要使，即，則，即的最小值為2024.16．【正確答案】(1)；(2)；(3)【詳解】（1）由及正弦定理，可得，又因?yàn)?，所以，故，由于，所?（2）由已知，由余弦定理可得①，又由，可得②，由①②可解得，所以.（3）因?yàn)?，所以，即由可知，即，從而，又因?yàn)?，所以，因此，從而的最大值為，?dāng)且僅當(dāng)，即為正三角形時(shí)等號(hào)成立.17．【正確答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【詳解】（1）連接BD，交AC于點(diǎn)O，由P，O分別為DF和DB的中點(diǎn)，得，而平面APC，平面APC，所以平面APC.

（2）由直線平面ABCD，平面ABCD，得，由矩形ABCD，得，以A為原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，設(shè)平面BCF的法向量，則，令，得，設(shè)平面APC的法向量為，則，令，得，所以平面ACP與平面BCF的夾角的余弦值為.（3）由（2）知，平面APC的法向量，而，所以點(diǎn)F到平面ACP的距離.18．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1），

，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，；（2）方程可化簡為方程的根就是函數(shù)的零點(diǎn)，注意到，則在，上單調(diào)遞增.

因?yàn)?，，所以函?shù)在有唯一零點(diǎn)，且.因?yàn)椋?，所以函?shù)在有唯一零點(diǎn)，且則，因此，．（3）設(shè)，則當(dāng)時(shí)恒成立，①由（1）得，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，.∴②當(dāng)時(shí)，，這與矛盾，綜上，．19．【正確答案】(1)凸函數(shù)；