《運(yùn)籌學(xué)（第3版）》 課件 第2章 線性規(guī)劃的敏感性分析

第2章線性規(guī)劃的敏感性分析SensitivityAnalysisforLinearProgramming實(shí)用運(yùn)籌學(xué)

－－運(yùn)用Excel建模和求解（第3版）本章內(nèi)容要點(diǎn)線性規(guī)劃的敏感性分析利用Excel進(jìn)行敏感性分析本章主要內(nèi)容框架圖2.1線性規(guī)劃的敏感性分析在第1章的討論中，假定線性規(guī)劃模型中的所有系數(shù)（包括目標(biāo)函數(shù)系數(shù)cj、工藝系數(shù)aij、約束條件的右邊項(xiàng)bi）都是確定的常數(shù)，并根據(jù)這些數(shù)據(jù)，求得最優(yōu)解。2.1線性規(guī)劃的敏感性分析但事實(shí)上，系數(shù)cj、aij、bi都有可能變化，因此，要再對(duì)這些系數(shù)進(jìn)行進(jìn)一步的分析，以決定是否需要調(diào)整決策。敏感性分析研究的另一類問題是探討在原線性規(guī)劃模型的基礎(chǔ)上增加一個(gè)變量或者一個(gè)約束條件對(duì)最優(yōu)解的影響。2.1線性規(guī)劃的敏感性分析對(duì)例1-1進(jìn)行敏感性分析最優(yōu)解為（2，6），最優(yōu)值為36002.1線性規(guī)劃的敏感性分析問題1：如果門的單位利潤(rùn)由原來的300元增加到500元，最優(yōu)解是否會(huì)發(fā)生變化？對(duì)總利潤(rùn)又會(huì)產(chǎn)生怎樣的影響?問題2：如果門和窗的單位利潤(rùn)都發(fā)生變化，最優(yōu)解會(huì)不會(huì)發(fā)生變化？對(duì)總利潤(rùn)又會(huì)產(chǎn)生怎樣的影響?問題3：如果車間2的可用工時(shí)增加1小時(shí)，總利潤(rùn)是否會(huì)發(fā)生變化？如何改變?最優(yōu)解是否會(huì)發(fā)生變化?問題4：如果同時(shí)改變多個(gè)車間的可用工時(shí)，總利潤(rùn)是否會(huì)發(fā)生變化？如何改變?最優(yōu)解是否會(huì)發(fā)生變化?問題5：如果車間2更新生產(chǎn)工藝，生產(chǎn)一扇窗由原來的2小時(shí)縮短為1.5小時(shí),最優(yōu)解是否會(huì)發(fā)生變化？總利潤(rùn)是否會(huì)發(fā)生變化？問題6：工廠考慮增加一種新產(chǎn)品（防盜門），總利潤(rùn)是否會(huì)發(fā)生變化？問題7：如果工廠新增用電限制，是否會(huì)改變?cè)瓉淼淖顑?yōu)方案？2.2單個(gè)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變化的敏感性分析下面討論在假定只有一個(gè)系數(shù)cj發(fā)生變化，模型中的其他參數(shù)保持不變的情況下，單個(gè)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的變化對(duì)最優(yōu)解的影響。例1-1的問題1：如果當(dāng)初對(duì)門的單位利潤(rùn)估計(jì)不準(zhǔn)確，如把它改成500元，是否會(huì)影響求得的最優(yōu)解呢？方法1：利用電子表格進(jìn)行互動(dòng)分析（重新運(yùn)行Excel“規(guī)劃求解”功能）；方法2：利用“敏感性報(bào)告”尋找單個(gè)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的允許變化范圍。2.2單個(gè)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變化的敏感性分析方法1：利用電子表格進(jìn)行互動(dòng)分析（重新運(yùn)行Excel“規(guī)劃求解”功能）?？梢越柚娮颖砀窕?dòng)地展開敏感性分析。當(dāng)模型參數(shù)發(fā)生改變時(shí)，只要修改電子表格模型中相應(yīng)的參數(shù)，再重新運(yùn)行Excel“規(guī)劃求解”功能，就可以看出改變參數(shù)對(duì)最優(yōu)解和最優(yōu)值的影響。需要逐個(gè)嘗試，效率略顯低下。求解結(jié)果為：最優(yōu)解沒有發(fā)生改變，仍然是（2，6）。由于門的單位利潤(rùn)增加了500－300＝200（元），因此總利潤(rùn)增加了200×2＝400（元）2.2單個(gè)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變化的敏感性分析方法2：利用“敏感性報(bào)告”尋找單個(gè)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的允許變化范圍。生成“敏感性報(bào)告”工作表；讀懂相應(yīng)的信息。當(dāng)門的單位利潤(rùn)從300元增加到500元時(shí)，還是在c1允許的變化范圍內(nèi)，最優(yōu)解不會(huì)發(fā)生變化，仍然是（2，6）。c1允許的變化范圍：[300-300，300+450]

即[0,750]

2.2單個(gè)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變化的敏感性分析結(jié)果：最優(yōu)解沒有發(fā)生變化，仍然是（2，6）；由于門的單位利潤(rùn)增加了500－300＝200（元），因此總利潤(rùn)增加了200×2＝400（元）。2.2單個(gè)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變化的敏感性分析圖解法：直觀可以看到

最優(yōu)解（2，6）

保持不變

。2.3多個(gè)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時(shí)變化的敏感性分析多個(gè)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時(shí)變化對(duì)最優(yōu)解的影響。例1-1的問題2：假如原先門的單位利潤(rùn)（300元）低估了，現(xiàn)在升為450元；同時(shí)，以前窗的單位利潤(rùn)（500元）高估了，現(xiàn)在降為400元。這樣的變化是否會(huì)導(dǎo)致最優(yōu)解發(fā)生變化呢？方法1：利用電子表格進(jìn)行互動(dòng)分析（重新運(yùn)行Excel“規(guī)劃求解”功能）；方法2：利用“敏感性報(bào)告”進(jìn)行分析（目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時(shí)變化的百分之百法則）。2.3多個(gè)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時(shí)變化的敏感性分析方法1：利用電子表格進(jìn)行互動(dòng)分析，重新運(yùn)行Excel“規(guī)劃求解”功能?？梢钥闯?，最優(yōu)解并沒有發(fā)生變化，總利潤(rùn)由于門和窗的單位利潤(rùn)的改變相應(yīng)地改變了(450－300)×2＋(400－500)×6＝－3002.3多個(gè)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時(shí)變化的敏感性分析方法2：利用“敏感性報(bào)告”進(jìn)行分析。目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時(shí)變化的百分之百法則：如果目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時(shí)變化，計(jì)算出每一系數(shù)變化量占該系數(shù)允許變化量（允許的增量或允許的減量）的百分比，然后將各個(gè)系數(shù)變化的百分比相加。如果所得的變化的百分比總和不超過100%，則最優(yōu)解不會(huì)改變；如果超過了100%，則不能確定最優(yōu)解是否改變（可能改變，也可能不變），可通過重新運(yùn)行Excel“規(guī)劃求解”功能來判斷。由于變化的百分比總和不超過100%，因而可以確定最優(yōu)解仍為（2，6）。2.3多個(gè)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時(shí)變化的敏感性分析但是變化的百分比總和超過了100%，并不表示最優(yōu)解一定會(huì)改變。例如，門和窗的單位利潤(rùn)都減半變化的百分比總和超過了100%，但從右圖看最優(yōu)解還是（2，6），沒有發(fā)生改變。這是由于這兩個(gè)單位利潤(rùn)同比例變化，等利潤(rùn)直線的斜率不變，因此最優(yōu)解就保持不變。2.4單個(gè)約束右邊項(xiàng)變化的敏感性分析單個(gè)約束右邊項(xiàng)變化對(duì)目標(biāo)值的影響。例1-1的問題3：如果車間2的可用工時(shí)增加1小時(shí)，總利潤(rùn)是否會(huì)發(fā)生變化？如何改變?最優(yōu)解是否會(huì)發(fā)生變化?方法1：利用電子表格進(jìn)行互動(dòng)分析（重新運(yùn)行Excel“規(guī)劃求解”功能）；方法2：從“敏感性報(bào)告”中獲得關(guān)鍵信息（影子價(jià)格，shadowprice）。2.4單個(gè)約束右邊項(xiàng)變化的敏感性分析方法1：利用電子表格進(jìn)行互動(dòng)分析，重新運(yùn)行Excel“規(guī)劃求解”功能。總利潤(rùn)為3750元，增加了3750－3600＝150（元）。由于總利潤(rùn)增加了，而目標(biāo)函數(shù)系數(shù)不變，因此最優(yōu)解一定會(huì)發(fā)生改變，從圖中可以看出，最優(yōu)解由原來的（2，6）變?yōu)椋?.667，6.5）。2.4單個(gè)約束右邊項(xiàng)變化的敏感性分析方法2：從“敏感性報(bào)告”中獲得關(guān)鍵信息。影子價(jià)格（shadowprice）：是指線性規(guī)劃模型在保持其他參數(shù)不變的前提下，某個(gè)約束的右邊項(xiàng)在一個(gè)微小的范圍內(nèi)變動(dòng)一單位時(shí)，導(dǎo)致的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值的變動(dòng)量。第二個(gè)約束條件（車間2的工時(shí)約束）的影子價(jià)格是150，說明在允許變化范圍[6，18]（即[12-6，12+6]）內(nèi)，再增加（或減少）1小時(shí)的可用工時(shí)，總利潤(rùn)將增加（或減少）150（元）。2.4單個(gè)約束右邊項(xiàng)變化的敏感性分析圖解法：直觀可以看到

在這個(gè)范圍內(nèi)，車間2的約束右邊項(xiàng)每增加（或減少）1個(gè)單位，交點(diǎn)的移動(dòng)就使利潤(rùn)增長(zhǎng)（或減少）1個(gè)影子價(jià)格的數(shù)量（150元）。2.5多個(gè)約束右邊項(xiàng)同時(shí)變化的敏感性分析多個(gè)約束右邊項(xiàng)同時(shí)變化對(duì)目標(biāo)值的影響。例1-1的問題4：將1小時(shí)的工時(shí)從車間3移到車間2，對(duì)總利潤(rùn)所產(chǎn)生的影響。方法1：利用電子表格進(jìn)行互動(dòng)分析（重新運(yùn)行Excel“規(guī)劃求解”功能）；方法2：利用“敏感性報(bào)告”進(jìn)行分析（約束右邊項(xiàng)同時(shí)變化的百分之百法則）。2.5多個(gè)約束右邊項(xiàng)同時(shí)變化的敏感性分析方法1：利用電子表格進(jìn)行互動(dòng)分析，重新運(yùn)行Excel“規(guī)劃求解”功能?？偫麧?rùn)增加了3650-3600=50（元），影子價(jià)格有效。2.5多個(gè)約束右邊項(xiàng)同時(shí)變化的敏感性分析方法2：利用“敏感性報(bào)告”進(jìn)行分析。約束右邊項(xiàng)同時(shí)變化的百分之百法則：如果約束右邊項(xiàng)同時(shí)變化，計(jì)算每一右邊項(xiàng)變化量占該約束右邊項(xiàng)允許變化量（允許的增量或允許的減量）的百分比，然后將各個(gè)約束右邊項(xiàng)的變化的百分比相加。如果所得的變化的百分比總和不超過100%，那么影子價(jià)格依然有效；如果超過了100％，就無法確定影子價(jià)格是否依然有效（可能有效，也可能無效），可通過重新運(yùn)行Excel“規(guī)劃求解”功能來判斷。由于變化的百分比總和不超過100%，因此用影子價(jià)格來預(yù)測(cè)這些變化的影響是有效的?？偫麧?rùn)的變化量為：（13－12）×150－（18－17）×100＝50（元）2.5多個(gè)約束右邊項(xiàng)同時(shí)變化的敏感性分析在影子價(jià)格的有效范圍內(nèi)，總利潤(rùn)的變化量可以直接通過影子價(jià)格來計(jì)算。比如將車間3的3個(gè)工時(shí)轉(zhuǎn)移給車間2，由于所以，總利潤(rùn)的變化量為2.6約束條件系數(shù)變化的敏感性分析例1-1的問題5：車間2更新生產(chǎn)工藝，生產(chǎn)一扇窗由原來的2小時(shí)縮短為1.5小時(shí),此時(shí)最優(yōu)解是否會(huì)發(fā)生變化？總利潤(rùn)是否會(huì)發(fā)生變化？利用電子表格進(jìn)行互動(dòng)分析(重新運(yùn)行Excel“規(guī)劃求解”功能)重新運(yùn)行Excel“規(guī)劃求解”功能后，最優(yōu)解發(fā)生了改變，變?yōu)椋?/3，8），總利潤(rùn)也由原來的3600元增加到4200元。可見，車間2更新生產(chǎn)工藝后，為工廠增加了利潤(rùn)。2.7增加一個(gè)新變量例1-1的問題6：例2-1工廠考慮增加一種新產(chǎn)品---防盜門，假設(shè)其單位利潤(rùn)為400元。生產(chǎn)一扇防盜門占用車間1、車間2、車間3的時(shí)間分別為2小時(shí)、1小時(shí)、1小時(shí)。請(qǐng)問新產(chǎn)品是否能為工廠帶來利潤(rùn)？利用電子表格進(jìn)行互動(dòng)分析（重新運(yùn)行Excel“規(guī)劃求解”功能)最優(yōu)解為(2,5.5,1）,總利潤(rùn)為3750元。可見新產(chǎn)品為工廠增加了利潤(rùn)。2.8增加一個(gè)約束條件例1-1的問題7：增加電量供應(yīng)限制。例2-2

在例1-1中，假定生產(chǎn)一扇門和窗需要消耗的電量分別為20kW·h和10kW·h，工廠可供電量最多為90kW·h，請(qǐng)問在此情況下工廠的利潤(rùn)會(huì)發(fā)生何種變化?利用電子表格進(jìn)行互動(dòng)分析(重新運(yùn)行Excel“規(guī)劃求解”功能)可見，電量約束的確限制了門的每周產(chǎn)量（而窗的每周產(chǎn)量不變），最優(yōu)解變成(1.5,6),總利潤(rùn)也相應(yīng)地下降為3450元。2.9敏感性分析的應(yīng)用舉例例2-3力浦公司是一家生產(chǎn)外墻涂料的建材企業(yè)。目前生產(chǎn)甲、乙兩種規(guī)格的產(chǎn)品，這兩種產(chǎn)品在市場(chǎng)上的單位利潤(rùn)分別是4萬元和5萬元。甲、乙兩種產(chǎn)品均需要同時(shí)消耗A、B、C三種化工材料，生產(chǎn)1單位產(chǎn)品甲需要消耗三種材料（資源）的情況是：1單位材料A、2單位材料B和1單位材料C；而生產(chǎn)1單位的產(chǎn)品乙需要1單位材料A、1單位材料B和3單位材料C。當(dāng)前市場(chǎng)上甲、乙兩種產(chǎn)品供不應(yīng)求，但是在每個(gè)生產(chǎn)周期（假設(shè)一年）內(nèi)，公司的A、B、C三種原材料的儲(chǔ)備量分別是45單位、80單位和90單位，年終剩余的資源必須無償調(diào)回，而且近期也沒有能籌集到額外資源的渠道。面對(duì)這種局面，力浦公司應(yīng)如何制訂生產(chǎn)計(jì)劃，才能獲得最大的市場(chǎng)利潤(rùn)？2.9敏感性分析的應(yīng)用舉例該公司在運(yùn)營(yíng)了一年后，管理層對(duì)第二年的運(yùn)營(yíng)進(jìn)行了如下預(yù)想（假設(shè)以下問題均單獨(dú)出現(xiàn)）：?jiǎn)栴}1：由于資源市場(chǎng)受到其他競(jìng)爭(zhēng)者活動(dòng)的影響，公司市場(chǎng)營(yíng)銷部門預(yù)測(cè)當(dāng)年的產(chǎn)品甲的價(jià)格將會(huì)產(chǎn)生變化，導(dǎo)致產(chǎn)品甲的單位利潤(rùn)在3.8萬元～5.2萬元之間波動(dòng)。應(yīng)對(duì)這種情況，公司該如何提前對(duì)生產(chǎn)格局做好調(diào)整預(yù)案？問題2：由于供應(yīng)鏈上游的化工原料價(jià)格不斷上漲，給力浦公司帶來資源購(gòu)置上的壓力。公司采購(gòu)部門預(yù)測(cè)現(xiàn)有45單位限額的材料A將會(huì)出現(xiàn)3單位的資源缺口，但是也不排除通過其他渠道籌措來1單位材料A的可能。對(duì)于材料A的資源上限的增加或減少，力浦公司應(yīng)如何進(jìn)行新的規(guī)劃？問題3：經(jīng)過規(guī)劃分析已經(jīng)知道，材料B在最優(yōu)生產(chǎn)格局中出現(xiàn)了12.5單位的剩余，那么公司應(yīng)如何重新制訂限額，做好節(jié)約工作？2.9敏感性分析的應(yīng)用舉例【解】例2-3力浦公司的線性規(guī)劃模型和電子表格模型。2.9敏感性分析的應(yīng)用舉例力浦公司的敏感性分析（問題1、問題2和問題3）力浦公司的“敏感性報(bào)告”2.9敏感性分析的應(yīng)用舉例問題1：當(dāng)產(chǎn)品甲的單位利潤(rùn)在3.8萬元～5.2萬元之間變化時(shí)對(duì)規(guī)劃（最優(yōu)解和最優(yōu)值）的影響根據(jù)“敏感性報(bào)告”，分段分析。針對(duì)產(chǎn)品甲的單位利潤(rùn)將會(huì)在3.8萬元～5.2萬元（[3.8,5.2]）之間波動(dòng)的預(yù)測(cè)，力浦公司應(yīng)制訂兩套預(yù)案：當(dāng)單位利潤(rùn)在3.8萬元～5萬元（[3.8,5]）之間時(shí)，甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量均為22.5單位；而單位利潤(rùn)在5萬元～5.2萬元（[5,5.2]）之間時(shí)，甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)35單位和10單位?？梢钥闯?，當(dāng)產(chǎn)品甲的單位利潤(rùn)逐漸增加時(shí)，力浦公司一定會(huì)理性地將資源配置向產(chǎn)品甲傾斜。2.9敏感性分析的應(yīng)用舉例問題2：當(dāng)資源A的限額（儲(chǔ)備量）在42～46單位變化時(shí)對(duì)規(guī)劃（最優(yōu)值和最優(yōu)解）的影響從“敏感性報(bào)告”可知：當(dāng)資源A的儲(chǔ)備量在[30,50]范圍內(nèi)變化時(shí)，影子價(jià)格有效。如果資源A的儲(chǔ)備量從45減少到42（出現(xiàn)3單位的資源缺口），則可以方便地計(jì)算出最優(yōu)值（總利潤(rùn)）為202.