2011-2016年第16-22屆華羅庚杯少年數學邀請賽幾何試題(小學高年級組)全解析

2011-2016年第16-22屆幾何試題（小學高年級組）華羅庚杯少年數學邀請賽目錄基本幾何單位基本幾何圖形基本幾何關系基本幾何模型華羅庚杯少年數學邀請賽歷年題庫幾何單位長度周長面積體積序1：基本幾何單位幾何圖形線三角形四邊形多邊形正方體圓柱體序2：基本幾何圖形幾何關系平行垂直相交重合序3：基本幾何關系幾何模型一半模型蝴蝶模型燕尾模型沙漏模型金字塔模型鳥頭模型等積變形模型序4：基本幾何模型華羅庚杯少年數學邀請賽歷年幾何典型題庫幾何鳥頭比例漏斗蝴蝶燕尾金字塔一半等積変換2011年第16屆華羅庚金杯少年數學邀請賽決賽試題D如圖所示，AB∥CE，AC∥DE,且AB=AC=5，CE=DE=10。若三角形COD的面積為10，求四邊形ABDE的面積。EDCBAO

如圖所示，AB∥CE，AC∥DE,且AB=AC=5，CE=DE=10。若三角形COD的面積為10，求四邊形ABDE的面積。EDCBAO2aa2a4a2011年第16屆華羅庚杯少年數學邀請賽決賽D幾何試題AB∥CE，

AC∥DE，且AB=AC=5，CE=DE=10，若三角形COD的面積為10，四邊形ABDE的面積是（）。BAEDCOAB∥CE，

AC∥DE，且AB=AC=5，CE=DE=10，若三角形COD的面積為10，四邊形ABDE的面積是（）。BAEDCO

2011年第16屆華羅庚杯少年數學邀請賽決賽C幾何試題長方形ABCD的面積為70，梯形AFGE的頂點F在BC上，D是EG的中點，則梯形AFGE的的面積是（）。ABFCGDE長方形ABCD的面積為70，梯形AFGE的頂點F在BC上，D是EG的中點，則梯形AFGE的的面積是（）。ABFCGDE

長方形ABCD的面積為70，梯形AFGE的頂點F在BC上，D是EG的中點，則梯形AFGE的的面積是（）。ABFCGDE解2：根據一半模型：三角形ADF是梯形AEGF的一半三角形ADF是長方形ABCD的一半長方形ABCD的面積等于梯形AFGE的面積，則梯形AFGE的的面積是70。2011年第16屆華羅庚杯少年數學邀請賽決賽C幾何試題一個長40、寬25、高60的無蓋長方體容器（厚度忽略不計）盛有水，深度為a，其中0

?a≤60，現將棱長尾10的長方體鐵塊放在容器底面，問放入鐵塊后水深是（）。一個長40、寬25、高60的無蓋長方體容器（厚度忽略不計）盛有水，深度為a，其中0

?a≤60，現將棱長尾10的長方體鐵塊放在容器底面，問放入鐵塊后水深是（）。123分析：無蓋長方體容器盛有水情況有三種：1、水很滿；放入鐵塊后，水溢出；2、水深很淺，放入鐵塊后，鐵塊一部分在水中，另一部分露出水面，水面也有升高。3、水很深，則放入鐵塊后，鐵塊全部沉入水中，水面升高；3、解：1、水很滿；放入鐵塊后，水溢出；放入鐵塊后水剛要溢出時，容器水深a=[(40×25×60）-（10×10×10）]÷(40×25)=59當容器水深大于59時，放入鐵塊后水深是60。

3、水很深，則放入鐵塊后，鐵塊全部沉入水中，水面升高。放入鐵塊后水全部漫完鐵塊時，即當容器水深大于9小于59時，放入鐵塊后水深是h=[(40×25×a）+（10×10×10）]÷(40×25)=a+1。2011年第16屆華羅庚杯少年數學邀請賽決賽B幾何試題已知某個幾何體的三視圖，如右圖，根據圖中標示的尺寸，求幾何體的體積是（）。1010101055已知某個幾何體的三視圖，如右圖，根據圖中標示的尺寸，求幾何體的體積是（）。101010105510解：由三視圖可知該幾何體為四棱錐；四棱錐底面為邊長為10的正方形，棱錐的高為10；所以四棱錐的體積為：底面積×高÷3=10×10×10÷3=1000/32011年第16屆華羅庚杯少年數學邀請賽決賽B幾何試題如右圖，兩條線段將邊長為10的正方形分為兩個高度相等的直角梯形S1、S2和一個直角三角形，其中兩個梯形的面積差為10,則直角三角形圖示的邊長是（）。ABCDEFS1S2x如右圖，兩條線段將邊長為10的正方形分為兩個高度相等的直角梯形S1、S2和一個直角三角形，其中兩個梯形的面積差為10,則直角三角形圖示的邊長x是（）。ABCDEFS1S2xG解：x=CG=10－DGAE=AD=5S□ABEF－S□DGEF=10(AB+EF)÷2×AE－（EF+DG）÷2×DE=10(10+EF)÷2×5－（EF+DG）÷2×5=1010－DG=4X=42011年第16屆華羅庚杯少年數學邀請賽決賽幾何試題ABCD是平行四邊形，AE=2EB，若三角形CEF面積為1，那么ABCD是平行四邊形面積=（）。ADCBFEABCD是平行四邊形，AE=2EB，若三角形CEF面積為1，那么ABCD是平行四邊形面積=（）。ADCBFE

2012年第17屆華羅庚金杯少年數學邀請賽初賽試題A（小學高年級組）第10題：正方形ABCD的面積為9，正方形EFGH的面積為64，如圖所示，邊BC落在EH上，已知三角形ACG面積為6.75，則三角形ABE面積為（）。ADCBHGFE第10題：正方形ABCD的面積為9，正方形EFGH的面積為64，如圖所示，邊BC落在EH上，已知三角形ACG面積為6.75，則三角形ABE面積為（）。ADCBHGFE解：正方形ABCD、EFGH的邊長分別為3、8。連接EG，形成梯形ACGE。根據蝴蝶模型，三角形COG面積等于三角形AOE面積。三角形AEC面積為6.75。BE=EC-BC=6.75×2÷3-BC=4.5-3=1.5三角形ABE面積為：1.5×3÷2=2.25O2012年第17屆華羅庚杯少年數學邀請賽決賽A幾何試題（小學高年級組）第9題：如右圖，ABCD是平行四邊形，E為AB延長線上的一點，K為AD延長線上一點，連接BK，DE相交于一點O，問：四邊形ABOD與四邊形ECKO的面積是否相等，請說明理由。EBADKCO解：S□BODA=S△ABD+S△DBK－S△ODKS□EOKC=S△CDE+S△CDK－S△ODK根據等積変換模型，S△ABD=

S△CDES△DBK=

S△CDKS△ODK=

S△ODK四邊形ABOD與四邊形ECKO的面積相等EBADKCOEBADKCOEBADKCO第9題：如右圖，ABCD是平行四邊形，E為AB延長線上的一點，K為AD延長線上一點，連接BK，DE相交于一點O，問：四邊形ABOD與四邊形ECKO的面積是否相等，請說明理由。2012年第17屆華羅庚杯少年數學邀請賽決賽網絡版幾何試題（小學高年級組）右圖中，正方形ABCD的面積840，AE=EB，BF=2FC,DF與EC相交于G，則四邊形AEGD面積為

。ADCBFEG右圖中，正方形ABCD的面積840，AE=EB，BF=2FC,DF與EC相交于G，則四邊形AEGD面積為

。

HPADCBFEG2013年第18屆華羅庚杯少年數學邀請賽初賽A幾何試題（小學高年級組）第5題：如右圖，ABCD是平行四邊形，M為DC的中點，E、F分別位于AB和AD上，且EF∥BD，若三角形MDF的面積等于5，則三角形CEB的面積等于()。DCBAEMF第5題：如右圖，ABCD是平行四邊形，M為DC的中點，E、F分別位于AB和AD上，且EF∥BD，若三角形MDF的面積等于5，則三角形CEB的面積等于()。DCBAEMF解：EF∥BD,DE=BE，根據同底等高的等積変換模型：三角形BDE、CEB的面積相等根據蝴蝶模型：三角形BDE、BEF的面積相等根據AB=2DM三角形BDF是DMF的面積2倍三角形CEB的面積等于10。2013年第18屆華羅庚杯少年數學邀請賽初賽幾何試題B（小學高年級組）第4題：如右圖，P、Q是正方形ABCD邊AD和對角線AC上的點，且AP:PD=1：4，AQ:QC=3：2。且EF∥BD，若三角形MDF的面積等于5，則三角形CEB的面積等于()。DABCQMP第4題：如右圖，P、Q是正方形ABCD邊AD和對角線AC上的點，且AP:PD=1：4，AQ:QC=3：2。如果正方形ABCD的面積等于25，則三角形PBQ的面積等于()。DABCQMP解：正方形ABCD邊長為5，由金字塔模型：EQ:DC=AQ:AC=3：5EQ=3QF=2CF:BC=QF:AB=2：5BF=3PE=2四邊形ABEF面積3×5=15三角形PQE、BFQ、ABP面積分別為：3、3、2.5。三角形PBQ的面積：15-3-3-2.5=6.5EF2013年第18屆華羅庚杯少年數學邀請賽初賽幾何試題B（小學高年級組）第10題：右圖中，三角形ABC中，AD=2BD=EC，BC=18,三角形AFC的面積和四邊形DBEF的面積相等，那么AB長度是多少？ADBCEF第10題：右圖中，三角形ABC中，AD=2BD=EC，BC=18,三角形AFC的面積和四邊形DBEF的面積相等，那么AB長度是多少？

MNADBCEF2014年第19屆華羅庚杯少年數學邀請賽初賽幾何試題A（小學高年級組）第6題：如圖所示，AF=7，DH=4，BG=5，AE=1，若正方形ABCD內四邊形EFGH面積是78，則正方形的邊長為

。ABGCHDEFABGCHDEF解：假設正方形的邊長為

a正方形的面積=三角形AEF面積+三角形DEH面積+三角形CHG面積+三角形BFG面積+四邊形EFGH面積=78+AE×AF÷2+DE×DH÷2+HC×CG÷2+GB×BF÷2=78+1×7÷2+(a-1)×4÷2+(a-4)×(a-5)÷2+5×(a-7)÷2=78+3.5+2a-2+(a×a-9a+20)÷2+2.5a-17.5=a×a求得：a=12正方形的邊長為12第6題：如圖所示，AF=7，DH=4，BG=5，AE=1，若正方形ABCD內四邊形EFGH面積是78，則正方形的邊長為

。2014年第19屆華羅庚杯少年數學邀請賽決賽幾何試題A（小學高年級組）平面上的五個點A、B、C、D、E滿足：AB=8，BC=4,AD=5，DE=1，AC=12，AE=6。如果三角形EAB面積為24，則A到CD的距離為（）。EDACB平面上的五個點A、B、C、D、E滿足：AB=8，BC=4,AD=5，DE=1，AC=12，AE=6。如果三角形EAB面積為24，則A到CD的距離為（）。解：由AE=6、AB=8，推出∠EAC=90°。CD2=AD2+AC2,CD=13,三角形ADC=30，A到CD的距離為30×2÷13=60/13EDACB2014年第19屆華羅庚杯少年數學邀請賽初賽幾何試題B（小學高年級組）第12題：如圖，在三角形ABC中，AF=2BF，CE=3AE，CD=2BD，連接CF交DE于P點，則EP:DP=

。AECDBFP1213

1解：連接EF、DF三角形ABC中,DF\\AC,DP:AC=1:3CE=3/4ACDF:CE=4:9根據鳥頭模型，在三角形DFP、CEP中：EP:DP=CE:DF=9:4第12題：如圖，在三角形ABC中，AF=2BF，CE=3AE，CD=2BD，連接CF交DE于P點，則EP:DP=

。AECDBFP2ADEBC2014年第19屆華羅庚杯少年數學邀請賽初賽幾何試題B（小學高年級組）如圖，長為4的線段AB上有一動點C，等腰三角形ACD和等腰三角形BEC在過AB的直線同側

，AD=DC，CE=EB，則線段DE的長度最小是（）。ADEBCFG如圖，長為4的線段AB上有一動點C，等腰三角形ACD和等腰三角形BEC在過AB的直線同側

，AD=DC，CE=EB，則線段DE的長度最小是（）。解：作兩垂線DF、EG。平行線間垂線最短。DE=4÷2=2。2014年第19屆華羅庚杯少年數學邀請賽決賽A幾何試題（小學高年級組）邊長為12的正方形池塘的周薇是草地，池塘邊A、B、C、D處個有一根木樁，且AB=BC=CD=3米，現用長4米的繩子將一頭羊拴在其中的某根木樁上，為使羊在草地上活動區(qū)域面積最大，應將繩子拴在（）處木樁上。ABCD邊長為12的正方形池塘的周薇是草地，池塘邊A、B、C、D處個有一根木樁，且AB=BC=CD=3米，現用長4米的繩子將一頭羊拴在其中的某根木樁上，為使羊在草地上活動區(qū)域面積最大，應將繩子拴在（）處木樁上。ABCDABCDABCDABCDABCD解：如圖所示，將繩子拴在B處木樁上，羊在草地上活動區(qū)域面積最大。2014年第19屆華羅庚杯少年數學邀請賽決賽C幾何試題（小學高年級組）在直角三角形ABC中，F在AB上，且AF=2FB，四邊形EBCD是平行四邊形，那么FD:EF=（）。AEBCDF在直角三角形ABC中，F在AB上，且AF=2FB，四邊形EBCD是平行四邊形，那么FD:EF=（）。AEBCDF解：在三角形BEF、ADF中,AD∥BE,根據沙漏模型，：FD:EF=AF:BF=2:12015年第20屆華羅庚杯少年數學邀請賽初賽幾何試題（小學高年級組）第8題：如圖，過正三角形ABC內一點P，向三邊作垂線，垂足依次為D、E、F，連接AP、BP、CP，若正三角形ABC面積為2028，三角形PAD和三角形PBE的面積都是192，則三角形PCF面積=

。ABCEFDP第8題：如圖，過正三角形ABC內一點P，向三邊作垂線，垂足依次為D、E、F，連接AP、BP、CP，若正三角形ABC面積為2028，三角形PAD和三角形PBE的面積都是192，則三角形PCF面積=

。解：過P點分別作正三角形ABC三邊平行線，分割正三角形ABC面積為12份。根據等積変換模型：分割的平行四邊形、等腰三角形內各三角形面積分別相等。三角形PCF面積=2028÷2-192×2=630。efaabbeddccfABCEFDP2015年第20屆華羅庚杯少年數學邀請賽決賽A幾何試題（小學高年級組）第11題：ABCD是平行四邊形,

且AM=MB，DN=CN，BE=EF=FC，四邊形EFGH的面積為1，求平行四邊形ABCD的面積。ADBCNEFHGM第11題：ABCD是平行四邊形,

且AM=MB，DN=CN，BE=EF=FC，四邊形EFGH的面積為1，求平行四邊形ABCD的面積。ADBCNEFHGMP

第11題：ABCD是平行四邊形,

且AM=MB，DN=CN，BE=EF=FC，四邊形EFGH的面積為1，求平行四邊形ABCD的面積。ADBCNEFHGMP

2015年第20屆華羅庚杯少年數學邀請賽決賽幾何試題B（小學高年級組）第7題：如圖，三角形ABC的面積為1，DO:OB=1:3，

EO:OA=4:5，則三角形DOE的面積為=

。CBADEO解：根據等積変換模型，設單位面積為m。a=5mb+e=4mf=12mh+g=15m4×（a+b+c）=

5×（e+d）3×（b+c）=

1×（d+e+f）11d=108m-11e11c=80m-11b11(c+d)=144m

第7題：如圖，三角形ABC的面積為1，DO:OB=1:3，

EO:OA=4:5，則三角形DOE的面積為=

。cdefghabF1345CBADEO2015年第20屆華羅庚杯少年數學邀請賽幾何試題B（小學高年級組）第13題：如圖所示，點M是平行四邊形ABCD的邊CD上的一點，且DM：MC=1：2，四邊形EBFC為平行四邊形，FM與BC交與點G，若三角形FCG的面積與三角形MED的面積之差為13平方厘米，求平行四邊形ABCD的面積。CFBADEGM第13題：如圖所示，點M是平行四邊形ABCD的邊CD上的一點，且DM：MC=1：2，四邊形EBFC為平行四邊形，FM與BC交與點G，若三角形FCG的面積與三角形MED的面積之差為13平方厘米，求平行四邊形ABCD的面積。解：運用蝴蝶模型，梯形BCDE內各三角形面積與梯形上下底邊長成關系比例。梯形BFCM中，三角形FCG的面積與三角形MBG、MGC的面積之比分別9:4、9:6，即三角形FCG與三角形BCM的面積比為9:10。a=13÷2.6=5平行四邊形ABCD的面積=12×5=60CFBADEGM2a2aa4a2015年第20屆華羅庚杯少年數學邀請賽決賽C幾何試題B（小學高年級組）如圖，BH是直角梯形ABCD的高，E為梯形對角線AC上一點，如果三角形DEH、三角形BEH、三角形BCH的面積依次為56、50、40，

則三角形CEH的面積為=

。ADHCBE如圖，BH是直角梯形ABCD的高，E為梯形對角線AC上一點，如果三角形DEH、三角形BEH、三角形BCH的面積依次為56、50、40，

則三角形CEH的面積為=

。解：連接AH,正方形ABHD中，三角形ABH+BEH+AEH的面積是正方形面積一半。根據一半模型，三角形ABE+DEH的面積是正方形面積一半。三角形AEH的面積是:(S△ABE+S△DEH)－（S△ABE+S△BEH）=

S△DEH－S△BEH=6根據等積變換模型，S△AHC=S△BCHS△CEH=S△ACH-S△AEH=40-6=36ADHCBE2015年第20屆華羅庚杯少年數學邀請賽決賽C幾何試題（小學高年級組）ABCD是平行四邊形，F在AD上，三角形AEF的面積為8，三角形DEF的面積為12，四邊形BCDF的面積為72，則三角形CDE面積=（）。ABCDFEABCD是平行四邊形，F在AD上，三角形AEF的面積為8，三角形DEF的面積為12，四邊形BCDF的面積為72，則三角形CDE面積=（）。ABCDFE

2016年第21屆華羅庚杯少年數學邀請賽初賽幾何試題（小學高年級組）第5題：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6,CD=14,∠AEC是直角，CE=CB，則AE2=？AEBCD第5題：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6,CD=14,∠AEC是直角，CE=CB，則AE2=？解：AF2=AD2-[(CD-AB)÷2]2=AD2-16AE2=AC2-CE2=AC2-BC2

={[(CD-AB)÷2+AB]2+AF2}-BC2=100+AF2-BC2=100+AD2-16-BC2

=84hFAEBCD2016年第21屆華羅庚杯少年數學邀請賽決賽B幾何試題（小學高年級組）第4題：如下圖所示，有一個三角形紙片ABC折疊，使得點C落在三角形ABC所在平面上，折痕為DE,已知∠ABE=74，∠DAB=70，∠CEB=20，那么∠CDA=

。BCFEDA第4題：如下圖所示，有一個三角形紙片ABC折疊，使得點C落在三角形ABC所在平面上，折痕為DE,已知∠ABE=74，∠DAB=70，∠CEB=20，那么∠CDA=

。解：根據題意：四邊形ABED中，123++=360-74-70=216三角形CDE中，23+=180-36-20=124可得：1=216-124=92∠CDA=

9274°70°36°20°123BCFEDA2016年第21屆華羅庚杯少年數學邀請賽決賽B幾何試題（小學高年級組）第6題：如下圖所示，正方形ABCD的邊長為5，E、F為正方形外兩點，滿足AE=CF=4，BE=DF=3，那么EF2=

。ABCDFE第6題：如下圖所示，正方形ABCD的邊長為5，E、F為正方形外兩點，滿足AE=CF=4，BE=DF=3，那么EF2=

。ABCDFE解：延長AE、DF和BE、FC，形成正方形的邊長為7。那么EF2=7×7+7×7=98。2016年第21屆華羅庚杯少年數學邀請賽決賽B幾何試題（小學高年級組）第11題：如圖，等腰直角三角形ABC與等腰直角三角形DEF之間的面積為20，BD=2，EC=4，則直角三角形ABC的面積為=

。ABCFDE第11題：如圖，等腰直角三角形ABC與等腰直角三角形DEF之間的面積為20，BD=2，EC=4，則直角三角形ABC的面積為（）。ABCFDE解：如圖平移等腰直角三角形，CE=6，AC∥EF,BE:BC=BF:AB，根據等腰直角三角形面積為斜邊平方的四分之一，則BC2-(BC-6)2=80，BC=29/3。直角三角形ABC的面積為BC2÷4=841÷36=841/36。2016年第21屆華羅庚杯少年數學邀請賽決賽B幾何試題（小學高年級組）第11題：正方形ABCD的面積為1，E、F是BC上的兩點，且BE=EF=FC，M是DC的中點，連接AE，交BM于H，連接DF交BM于G，求四邊形EFGH的面積。ADCBEFHGM第11題：正方形ABCD的面積為1，E、F是BC上的兩點，且BE=EF=FC，M是DC的中點，連接AE，交BM于H，連接DF交BM于G，求四邊形EFGH的面積。

ADCBEFHGNM第11題：正方形ABCD的面積為1，E、F是BC上的兩點，且BE=EF=FC，M是DC的中點，連接AE，交BM于H，連接DF交BM于G，求四邊形EFGH的面積。

ADCBEFHGMPOQN2016年第21屆華羅庚杯少年數學邀請賽決賽C幾何試題（小學高年級組）ABCD是直角梯形，上底AD=2，下底BC=6，E為CD上一點，三角形ABE的面積是15.6，三角形AED的面積是4.8，則直角梯形ABCD面積為（）。ABCEDABCD是直角梯形，上底AD=2，下底BC=6，E為CD上一點，三角形ABE的面積是15.6，三角形AED的面積是4.8，則直角梯形ABCD面積為（）。解：以AB、BC為邊作長方形ABCF,根據一半模型：三角形ABE、CEF面積之和是長方形ABCF面積的一半三角形ADE、DEF、BCE面積之和是長方形ABCF面積的一半因AD:DF=2：6=1：3，則S△ADE:S△DEF=1：3。S△DEF=14.4S□ABCF=2×（S△ABE+S△CEF）S□ABCD=S□ABCF-S△DEF-S△CEF=2×（S△ABE+S△CEF）-S△DEF-S△CEF=

2S△ABE+S△CEF

-S△DEFABCEDF2016年第21屆華羅庚杯少年數學邀請賽決賽C幾何試題（小學高年級組）如圖，AB=AD，∠DBC=21°，

∠ACB=39°，則∠ABC=（）。CBAD如圖，AB=AD，∠DBC=21°，

∠ACB=39°，則∠ABC=（）。CBAD解：三角形ABC中:

∠ABC=21°+∠ABD三角形ABD中:

AD=AB∠ADB=∠ABD∠ADB=∠ACB+∠CBD=21°+39°=60°∠ABC=21°+60°=81°2139120602016年第21屆華羅庚杯少年數學邀請賽決賽A幾何試題（小學高年級組）三角形ABC中，AB=180，AC=204，D、F是AB上的點，連接CD、DE、EF、FG，將三角形ABC分成面積相等的五個小三角形，則AF+AG=（）。CBADFEG三角形ABC中，AB=180，AC=204，D、F是AB上的點，連接CD、DE、EF、FG，將三角形ABC分成面積相等的五個小三角形，則AF+AG=（）。CBADFEG

2017年第22屆華羅庚杯少年數學邀請賽初賽幾何試題（小學高年級組）第9題：ABCD是平行四邊形，E為CD的中點，AE和BD的交點為F，AC和BE的交點為H，

AC和BD的交點為G,四邊形EHGF的面積為15,求四邊形ABCD的面積。ABCDEFGHP第9題：ABCD是平行四邊形，E為CD的中點，AE和BD的交點為F，AC和BE的交點為H，

AC和BD的交點為G,四邊形EHGF的面積為15,求四邊形ABCD的面積。ABCDEFGHP

2017年第