專題06 銳角三角函數(shù)（考題猜想易錯(cuò)必刷30題7種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）（原卷版）25學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（北師大版）

專題06銳角三角函數(shù)（易錯(cuò)必刷30題7種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）銳角三角函數(shù)的定義特殊角的三角函數(shù)值解直角三角形解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題一．銳角三角函數(shù)的定義（共5小題）1．正方形網(wǎng)格中，∠AOB如圖放置，則cos∠AOB的值為（）A． B． C． D．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，AB＝2，則AC長是（）A． B． C． D．23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C在坐標(biāo)軸上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），tan∠ABO＝，則菱形ABCD的周長為（）A．6 B．6 C．12 D．84．在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，則cosA的值等于（）A． B． C．或 D．或5．如圖，在4×4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則圖中∠ABC的正弦值是．二．特殊角的三角函數(shù)值（共1小題）6．△ABC中，∠A，∠B均為銳角，且（tanB﹣）（2sinA﹣）＝0，則△ABC一定是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．有一個(gè)角是60°的三角形三．解直角三角形（共9小題）7．將一副三角板如圖擺放在一起，組成四邊形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，連接BD，則tan∠CBD的值等于（）A． B． C． D．8．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，下列結(jié)論正確的是（）A．sinC＝ B．sinC＝ C．sinC＝ D．sinC＝9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB，垂足為D，若AC＝，BC＝2．則sin∠ACD的值為（）A． B． C． D．10．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，sinB＝，則△ABC的面積等于（）A．15 B． C．6 D．11．在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，則BC＝．12．我們給出定義：如果兩個(gè)銳角的和為45°，那么稱這兩個(gè)角互為半余角．如圖，在△ABC中，∠A，∠B互為半余角，且，則tanA＝．13．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，D為直線AB上的一點(diǎn)，若AD＝2，則tan∠BDC的值為．14．如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，AB＝4，則AC＝．15．如圖，△ABC中，AB＝AC＝3cm，BC＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC以2cm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿著C→A→B的方向以3cm/s的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，P，Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），△CPQ的面積為S（cm2）．（1）求sinB；（2）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍．四．解直角三角形的應(yīng)用（共5小題）16．如圖所示的衣架可以近似看成一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，則高AD約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm17．勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天塹變通途”．已知主塔AB垂直于橋面BC于點(diǎn)B，其中兩條斜拉索AD、AC與橋面BC的夾角分別為60°和45°，兩固定點(diǎn)D、C之間的距離約為33m，求主塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）．18．學(xué)科綜合我們?cè)谖锢韺W(xué)科中學(xué)過：光線從空氣射入水中會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象（如圖1），我們把n＝稱為折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．觀察實(shí)驗(yàn)為了觀察光線的折射現(xiàn)象，設(shè)計(jì)了圖2所示的實(shí)驗(yàn)，即通過細(xì)管MN可以看見水底的物塊C，但不在細(xì)管MN所在直線上，圖3是實(shí)驗(yàn)的示意圖，四邊形ABFE為矩形，點(diǎn)A，C，B在同一直線上，測(cè)得BF＝12cm，DF＝16cm．（1）求入射角α的度數(shù)．（2）若BC＝7cm，求光線從空氣射入水中的折射率n．（參考數(shù)據(jù)：，，）19．如圖1，圖2分別是網(wǎng)上某種型號(hào)拉桿箱的實(shí)物圖與示意圖，根據(jù)商品介紹，獲得了如下信息：滑桿DE、箱長BC、拉桿AB的長度都相等，即DE＝BC＝AB，點(diǎn)B、F在線段AC上，點(diǎn)C在DE上，支桿DF＝40cm，CE：CD＝1：4，∠DCF＝45°，∠CDF＝37°．請(qǐng)根據(jù)以上信息，解決下列問題：（1）求滑竿DE的長度；（2）求拉桿端點(diǎn)A到水平滑桿ED的距離（結(jié)果精確到0.1）．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.414．20．如圖①是某市地鐵站的一組智能通道閘機(jī)，當(dāng)行人通過智能閘機(jī)時(shí)會(huì)自動(dòng)識(shí)別行人身份，識(shí)別成功后，兩側(cè)的圓弧翼閘會(huì)自動(dòng)收回到機(jī)箱內(nèi)，行人即可通行．圖②是一個(gè)智能通道閘機(jī)的截面圖，已知∠ABC＝∠DEF＝28°，AB＝DE＝60cm，點(diǎn)A、D在同一水平線上，且A、D之間的距離是10cm．（1）試求閘機(jī)通道的寬度（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（2）實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，一個(gè)智能閘機(jī)通道平均每分鐘檢票通過的人數(shù)是一個(gè)人工檢票口通過的人數(shù)的2倍．若有240人的團(tuán)隊(duì)通過同一個(gè)人工檢票口比通過同一個(gè)智能閘機(jī)檢票口多用4分鐘，求一個(gè)人工檢票口和一個(gè)智能閘機(jī)通道平均每分鐘檢票各通過多少人？五．解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題（共1小題）21．如圖，先鋒村準(zhǔn)備在坡角為α的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為（）A．5cosα B． C．5sinα D．六．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共7小題）22．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)小組到某廣場(chǎng)測(cè)量標(biāo)志性建筑AB的高度．如圖，他們?cè)诘孛嫔螩點(diǎn)測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為22°，再向前70m至D點(diǎn)，又測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為58°，點(diǎn)C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為．（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）23．在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組對(duì)一建筑物進(jìn)行測(cè)量．如圖，在山坡坡腳C處測(cè)得該建筑物頂端B的仰角為60°，沿山坡向上走20m到達(dá)D處，測(cè)得建筑物頂端B的仰角為30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，請(qǐng)你幫助該小組計(jì)算建筑物的高度AB．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）24．圖1是某住宅單元樓的人臉識(shí)別系統(tǒng)（整個(gè)頭部需在攝像頭視角范圍內(nèi)才能被識(shí)別），其示意圖如圖2，攝像頭A的仰角、俯角均為15°，攝像頭高度OA＝160cm，識(shí)別的最遠(yuǎn)水平距離OB＝150cm．（1）身高208cm的小杜，頭部高度為26cm，他站在離攝像頭水平距離130cm的點(diǎn)C處，請(qǐng)問小杜最少需要下蹲多少厘米才能被識(shí)別？（2）身高120cm的小若，頭部高度為15cm，踮起腳尖可以增高3cm，但仍無法被識(shí)別，社區(qū)及時(shí)將攝像頭的仰角、俯角都調(diào)整為20°（如圖3），此時(shí)小若能被識(shí)別嗎？請(qǐng)計(jì)算說明．（精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）25．如圖，某校無人機(jī)興趣小組為測(cè)量教學(xué)樓的高度，在操場(chǎng)上展開活動(dòng)．此時(shí)無人機(jī)在離地面30m的D處，操控者從A處觀測(cè)無人機(jī)D的仰角為30°，無人機(jī)D測(cè)得教學(xué)樓BC頂端點(diǎn)C處的俯角為37°，又經(jīng)過人工測(cè)量測(cè)得操控者A和教學(xué)樓BC之間的距離AB為60m，點(diǎn)A，B，C，D都在同一平面上．（1）求此時(shí)無人機(jī)D與教學(xué)樓BC之間的水平距離BE的長度（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）求教學(xué)樓BC的高度（結(jié)果取整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．26．《海島算經(jīng)》是中國古代測(cè)量術(shù)的代表作，原名《重差》．這本著作建立起了從直接測(cè)量向間接測(cè)量的橋梁．直至近代，重差測(cè)量法仍有借鑒意義．如圖2，為測(cè)量海島上一座山峰AH的高度，直立兩根高2米的標(biāo)桿BC和DE，兩桿間距BD相距6米，D、B、H三點(diǎn)共線．從點(diǎn)B處退行到點(diǎn)F，觀察山頂A，發(fā)現(xiàn)A、C、F三點(diǎn)共線，且仰角為45°；從點(diǎn)D處退行到點(diǎn)G，觀察山頂A，發(fā)現(xiàn)A、E、G三點(diǎn)共線，且仰角為30°．（點(diǎn)F、G都在直線HB上）（1）求FG的長（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）山峰高度AH的長（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）27．如圖，小山的頂部是一塊平地，在這塊平地上有一座古塔CD．小山斜坡AB的坡度為i＝1：2.4，坡長AB為39米，在小山的坡底A處測(cè)得該塔的塔頂C的仰角為45°，在坡頂B處測(cè)得該塔的塔頂C的仰角為74°．（1）求坡頂B到地面AH的距離BH的長；（2）求古塔CD的高度（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）28．某市在地鐵施工期間，相關(guān)部門在施工路段設(shè)立了矩形安全警示牌ABCD（如圖所示），小東同學(xué)在距離安全警示牌8米（EF的長）遠(yuǎn)的建筑物上的窗口P處，測(cè)得安全警示牌頂端A點(diǎn)和底端B點(diǎn)的俯角分別是30°和45°，求安全警示牌寬AB的值．（結(jié)果保留根號(hào)）七．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（共2小題）29．如圖，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個(gè)觀測(cè)站，A在B的正東方向．有一艘漁船在點(diǎn)P處，從A處測(cè)得漁船在北偏西60°的方向，從B處測(cè)得漁船在其東北方向，且測(cè)得B，P兩點(diǎn)之間的距離為20海里．（1）求觀測(cè)站A，B之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）漁船從點(diǎn)P處沿射線AP的方向航行一段時(shí)間后，到點(diǎn)C處等待補(bǔ)給，此時(shí)，從B測(cè)得漁船在北偏西15°的方向．在漁船到達(dá)C處的同時(shí)，一艘補(bǔ)給船從點(diǎn)B出發(fā)，以每小時(shí)20海里的速度前往C處