《電路分析基礎(chǔ)》課件1第10章

10.1二端網(wǎng)絡(luò)的功率

10.2無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)及元件的功率

10.3元件的儲(chǔ)能及電路的功率守恒

10.4正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳輸定理

10.5正弦穩(wěn)態(tài)功率的疊加第10章正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率

1.瞬時(shí)功率

任意二端網(wǎng)絡(luò)如圖10-1所示，設(shè)端電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向，且

u(t)=Umcos(ωt+φu)V

i(t)=Imcos(ωt+φi)A10.1二端網(wǎng)絡(luò)的功率圖10-1任意二端網(wǎng)絡(luò)則網(wǎng)絡(luò)吸收的瞬時(shí)功率為

p(t)=u(t)i(t)=UmImcos(ωt+φu)cos(ωt+φi)

根據(jù)三角公式，有

(10-1)可見(jiàn)，二端網(wǎng)絡(luò)的瞬時(shí)功率p(t)由恒定分量UIcos(φu－φi)和正弦分量UIcos(2ωt+φu+φi)兩部分組成，是以2ω為角頻率變化的周期量，波形如圖10-2所示(圖中假設(shè)UIcos(φu－φi)是大于零的)。圖中，在p(t)>0處，表明網(wǎng)絡(luò)吸收功率；在p(t)<0處，表明網(wǎng)絡(luò)釋放功率。在一個(gè)周期內(nèi)，網(wǎng)絡(luò)吸收和釋放的功率是不對(duì)等的。這表明網(wǎng)絡(luò)與外電路之間不僅有能量交換，而且有能量的消耗(或產(chǎn)生)。圖10-2網(wǎng)絡(luò)瞬時(shí)功率波形

2．有功功率

工程上，為定量描述網(wǎng)絡(luò)消耗功率的大小，引入有功功率。所謂有功功率，也就是網(wǎng)絡(luò)的平均功率，即瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值，用來(lái)表示。即

(10-2)

將網(wǎng)絡(luò)瞬時(shí)功率表達(dá)式(10-1)代入上式，得網(wǎng)絡(luò)的有功功率為

(10-3)

3．無(wú)功功率

由網(wǎng)絡(luò)瞬時(shí)功率表達(dá)式(10-1)有

p(t)=UIcos(2ωt+φu+φi)+UIcos(φu－φi)

=UIcos［(2ωt+2φi)+(φu－φi)］+UIcos(φu－φi)

(10-4)

根據(jù)三角公式cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ，

將式(10-4)的正弦分量展開(kāi)，得

p(t)=UIcos(2ωt+2φi)cos(φu－φi)

－UIsin(2ωt+2φi)sin(φu－φi)+UIcos(φu－φi)

=UIcos(φu－φi)［1+cos(2ωt+2φi)］

－UIsin(φu－φi)sin(2ωt+2φi)

=p1(t)+p2(t)

(10-5)其中，p1(t)=UIcos(φu－φi)［1+cos(2ωt+2φi)］

p2(t)=－UIsin(φu－φi)sin(2ωt+2φi)

畫(huà)出的p1(t)和p2(t)的波形分別如圖10-3(a)、(b)所示。注意，此處假設(shè)UIcos(φu－φi)>0；若UIcos(φu－φi)<0，則p1(t)的波形應(yīng)在ωt軸的下方。圖10-3瞬時(shí)功率的分解顯然，求式(10-5)的p(t)平均功率，即等于p1(t)的平均功率。換言之，p2(t)對(duì)平均功率無(wú)貢獻(xiàn)。在p2(t)>0處，表明網(wǎng)絡(luò)對(duì)外吸收功率；p2(t)<0處，表明網(wǎng)絡(luò)釋放功率。在一個(gè)周期內(nèi)，釋放的功率與吸收的功率相等。也就是說(shuō)，p2(t)體現(xiàn)的是網(wǎng)絡(luò)與外電路功率交換的瞬時(shí)狀態(tài)。工程上，為衡量這種能量交換的規(guī)模大小，引入無(wú)功功率用以描述。無(wú)功功率以Q表示，單位為乏(var)，其大小為瞬時(shí)交換功率的極值，且定義為

Q=UIsin(φu－φi)

(10-6)

【例10-1】電路如圖10-4(a)所示，已知is(t)=20cos100tmA，求電阻、受控源及獨(dú)立電源的有功功率。

解畫(huà)相量模型，如圖10-4(b)所示，有

解以上方程得

故

電阻消耗功率：

由于電流源電壓，電流，且為非關(guān)聯(lián)。故

電流源吸收的功率為

受控源電壓，電流

，且為非關(guān)聯(lián)。故受控源吸收的功率為

圖10-4例10-1圖

4.視在功率

在電工技術(shù)中，以U、I的乘積來(lái)評(píng)定電力設(shè)備供電能力的大小，即設(shè)備容量，稱此為視在功率，以S表示，單位為伏安(VA)，即

S=UI

(10-7)

顯然，一般情況下，有功功率小于視在功率。實(shí)際上，視在功率S是有功功率的最大值。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)與外界不存在能量交換時(shí)，即Q=0時(shí)，由式(10-6)可知φu－φi=0，此時(shí)，有功功率。這時(shí)網(wǎng)絡(luò)功率容量S的利用率最高，全部用于電路消耗。工程上定義功率因數(shù)作為衡量網(wǎng)絡(luò)容量S的利用率大小的參量，以λ表示：

(10-8)顯然，

λ=cos(φu－φi)

(10-9)

功率有關(guān)，而且還要視負(fù)載的功率因數(shù)λ而定。為充分利用設(shè)備能源，應(yīng)當(dāng)盡量提高功率因數(shù)。

由式(10-3)、(10-6)和(10-7)易得有功功率、無(wú)功功率Q和視在功率S的關(guān)系為

(10-10)

三者的關(guān)系可用如圖10-5所示的功率三角形來(lái)描述。圖10-5功率三角形

5.復(fù)功率

工程上為方便功率計(jì)算，引入另一功率參量——復(fù)功率。如圖10-6所示的二端網(wǎng)絡(luò)，設(shè)網(wǎng)絡(luò)端口電壓、電流相量分別為，，則網(wǎng)絡(luò)(吸收)的復(fù)功率定義為

(10-11)圖10-6二端網(wǎng)絡(luò)復(fù)功率圖示將、代入式(10-11)得

即

(10-12)

上式表明：復(fù)功率是一個(gè)復(fù)數(shù)，其實(shí)部即網(wǎng)絡(luò)的有功功率，虛部為無(wú)功功率。顯然，復(fù)功率的模為

(10-13)復(fù)功率的輻角為

(10-14)

即

(10-15)

復(fù)功率的模等于視在功率S，輻角則為網(wǎng)絡(luò)端口電壓超前于電流的角度。

【例10-2】電路如圖10-7所示，已知=10∠0°A，分別求三條支路的有功功率和無(wú)功功率。

解設(shè)網(wǎng)孔電流、如圖10-7所示。列網(wǎng)孔方程得

輔助方程為

圖10-7例10-2圖解得

故

所以

1.有功功率

設(shè)對(duì)應(yīng)上節(jié)中二端網(wǎng)絡(luò)是無(wú)源的，如圖10-8所示，且端電壓、電流為，，則二端網(wǎng)絡(luò)的等效阻抗為

10.2無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)及元件的功率圖10-8無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)圖示設(shè)Z＝R+jX=|Z|∠φZ(yǔ)，則有

(10-16)

Re［Z］=R=|Z|cosφZ(yǔ)，Im［Z］=X=|Z|sinφZ(yǔ)

(10-17)根據(jù)上節(jié)結(jié)論及式(10-16)、(10-17)，得無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)的有功功率為

(10-18)

同理，若無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的等效導(dǎo)納為Y，則有

(10-19)式(10-18)、(10-19)表明無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)所消耗的功率(有功功率)，就是網(wǎng)絡(luò)等效阻抗的電阻分量(或等效導(dǎo)納的電導(dǎo)分量)所消耗的功率。顯然，無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的功率因數(shù)為

λ＝cos(φu－φi)=cosφZ(yǔ)

(10-20)

功率因數(shù)角為φZ(yǔ)，通常，－90°<φZ(yǔ)<90°。若φZ(yǔ)>0，則說(shuō)明二端網(wǎng)絡(luò)端口電流滯后于電壓(呈感性)，λ稱為滯后功率因數(shù)；若φZ(yǔ)<0，則電流超前于電壓(呈容性)，λ稱為超前功率因數(shù)。特別地，若無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)為電阻元件，則φZ(yǔ)＝0?？傻?/p>

(10-21)

2.無(wú)功功率

同理，根據(jù)10.1節(jié)的結(jié)論及式(10-16)、(10-17)，得無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)的無(wú)功功率為

Q=UIsin(φu－φi)=UIsinφZ(yǔ)＝I2|Z|sinφZ(yǔ)=I2X

＝I2|Z|sinφZ(yǔ)=I2Im［Z］=I2X

(10-22)若無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的等效導(dǎo)納為Y，則有

Q=－U2Im［Y］=－U2B

(10-23)

若網(wǎng)絡(luò)為電阻(φZ(yǔ)＝0)，得Q=0。電阻不與外界交換能量。

若為電容(φZ(yǔ)＝－90°)，得

(10-24)若為電感(φZ(yǔ)＝90°)，得

(10-25)

(10-26)

【例10-3】電路如圖10-9(a)所示，已知

，求電源us提供的有功功率。

解畫(huà)相量模型，如圖10-9(b)所示。由于電路中無(wú)其他電源及受控源，故電源提供的功率即無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)消耗的功率(網(wǎng)絡(luò)等效阻抗電阻分量消耗的功率)，也是網(wǎng)絡(luò)內(nèi)各電阻元件消耗的功率。下面分別從三個(gè)方面加以討論。由圖10-9(b)有

Z=3+j4∥(4－j4)=7+j4=8.06∠29.7°Ω

方法一:從電源us角度考慮，us為有源網(wǎng)絡(luò)，其吸收功率為

=－UsI1cos(φu－φi)

=－10×1.24cos(0°－(－29.7°))

=－10.8W(即產(chǎn)生10.8W)

方法二:從二端網(wǎng)絡(luò)角度考慮，二端網(wǎng)絡(luò)為無(wú)源網(wǎng)絡(luò)，其消耗功率為

或者，考慮二端網(wǎng)絡(luò)等效阻抗的電阻分量，有

方法三:從網(wǎng)絡(luò)中各電阻消耗功率角度考慮，有

圖10-9例10-3用圖

1.元件的儲(chǔ)能

1)電容的平均儲(chǔ)能

設(shè)正弦穩(wěn)態(tài)電路的電容電壓為

u(t)=Umcos(ωt+φu)V10.3元件的儲(chǔ)能及電路的功率守恒則電容的瞬時(shí)儲(chǔ)能為

應(yīng)用三角公式，得

故平均儲(chǔ)能為

(10-27)

將電容無(wú)功功率QC=－ωCU2與上式比較，得

(10-28)

2)電感的平均儲(chǔ)能

與上述電容元件的討論類似，可得

電感平均儲(chǔ)能為

(10-29)

QL與的關(guān)系為

(10-30)

2.功率守恒定律

在一個(gè)電路中，有消耗能量的元件，就必然有產(chǎn)生能量的元件，其產(chǎn)生和消耗的能量相等。同樣，在同一時(shí)刻，若一部分元件在吸收能量，就必定有另一部分元件在釋放能量，能量的交換也是守恒的。即

或

設(shè)電路如圖10-10所示，N為含源網(wǎng)絡(luò)，ZL為其負(fù)載。下面來(lái)討論當(dāng)含源網(wǎng)絡(luò)N恒定時(shí)，負(fù)載ZL從網(wǎng)絡(luò)N獲得最大功率的條件。

由于ZL=RL+jXL=|Z|∠φZ(yǔ)，在RL、XL、|Z|和φZ(yǔ)中任意固定一個(gè)參數(shù)，改變其他參數(shù)，都會(huì)形成一種情況。因此，根據(jù)工程中負(fù)載ZL的不同要求，會(huì)得到最大功率傳輸?shù)牟煌瑮l件。在此只就其中兩種常見(jiàn)情形進(jìn)行討論。10.4正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳輸定理圖10-10求最大功率傳輸示意

1．負(fù)載的電阻RL及電抗XL均可獨(dú)立改變

將含源二端網(wǎng)絡(luò)N等效為戴維南電路，如圖10-11所示，其中Z0=R0+jX0。這樣就使問(wèn)題的求解得到簡(jiǎn)化。

由圖10-11可得

有效值為

圖10-11圖10-10的戴維南等效電路負(fù)載獲得的功率為

首先考慮，若固定RL、改變XL，則XL為何值時(shí)，上式的

最大？顯然，對(duì)任意的RL而言，當(dāng)XL＝－X0時(shí)，最大。此時(shí)

再考慮RL為何值時(shí)，上式的最大。為此將上式對(duì)RL求導(dǎo)，并令，則有

解得

RL=R0

因此得出結(jié)論：在負(fù)載ZL的電阻RL及電抗XL均獨(dú)立可變的情況下，其獲得最大功率的條件為

(10-31)

即當(dāng)負(fù)載阻抗ZL與含源網(wǎng)絡(luò)N等效內(nèi)阻抗Z0互為共軛時(shí)，即ZL=Z0*=R0－jX0時(shí)，負(fù)載可獲最大功率。這一條件稱為共軛匹配，也是最佳匹配或最大功率匹配。此時(shí)負(fù)載所獲得的最大功率為

(10-32)若將二端網(wǎng)絡(luò)等效為諾頓電路，其等效導(dǎo)納為Y0=G0+jB0。則有

(10-33)

2.負(fù)載為純電阻

在許多情況下，所用電器(負(fù)載)往往是電阻性設(shè)備。在此種情況下，由于ZL=RL，由圖10-11可得

有效值為

負(fù)載獲得的功率為

令，則有

即

(R0+RL)2+X20－2RL(R0+RL)=0

由此解得

(10-34)

【例10-4】電路如圖10-12(a)所示，已知

。若ZL=RL+jXL任意可變，則ZL為何值時(shí)可獲最大功率且最大功率PLmax為多少？

解將電路中負(fù)載ZL斷開(kāi)，畫(huà)含源網(wǎng)絡(luò)的相量模型并求其戴維南等效參數(shù)。

(1)求。電路如圖10-12(b)所示，得網(wǎng)孔方程為圖10-12例10-4圖輔助方程為

解得

故

(2)求Z0。采用開(kāi)路短路法，求短路電流的相量模型如圖10-12(c)所示，有

輔助方程為

解得

故

故當(dāng)ZL=2.377+j0.679Ω時(shí)獲得最大功率，且

設(shè)電路如圖10-13所示，激勵(lì)us1的角頻率為ω1，其單獨(dú)作用產(chǎn)生的電流i1(t)=I1mcos(ω1t+θ1)；激勵(lì)us2的角頻率為ω2，其單獨(dú)作用產(chǎn)生的電流i2(t)=I2mcos(ω2t+θ2)，則由疊加定理有

i(t)=i1(t)+i2(t)10.5正弦穩(wěn)態(tài)功率的疊加圖10-13多個(gè)激勵(lì)的電路所以電阻R的瞬時(shí)功率為

p(t)=R(i1+i2)2

=Ri21+Ri22+2Ri1i2

(10-35)

=p1+p2+2Ri1i2

設(shè)ω2/ω1為有理數(shù)，則必然存在一個(gè)T，使得T=mT1=nT2，其中m、n為正整數(shù)，T1、T2分別為激勵(lì)源的周期。因此p為周期函數(shù)，平均功率可由下式求得

(10-36)此時(shí)式(10-36)的第三項(xiàng)中，

(10-37)所以當(dāng)m≠n時(shí)，由式(10-36)及式(10-37)有

(10-38)

可見(jiàn)，此時(shí)疊加定理適用于平均功率的計(jì)算。

當(dāng)m≠n時(shí)，由式(10-36)及式(10-37)有

(10-39)對(duì)于電阻元件來(lái)說(shuō)，若流過(guò)它的周期電流為

i(t)=I0+I1mcos(ω1t+θ1)+I2mcos(ω2t+θ2)+…

+INmcos(ωNt+θN)

其中I0表示直流電流，ω1≠ω2≠…≠ωN，且其比值為有理數(shù)，則電阻消耗的平均功率為

(10-40)由有效值的定義，設(shè)一直流電流I流過(guò)電阻R時(shí)的平均功率與周期電流i(t)流過(guò)電阻R時(shí)的平均功率相等，則I即該周期電流的有效值。因此令

I2R=I20R+I21R+I22R+…+I2NR

得

(10-41)同理，對(duì)周期電壓u(t)亦有

(10-42)

式中，U0為直流電壓，U1，U2，…，UN為各種不同頻率的有效值。

式(10-41)與式(10-42)表明：在滿足疊加條件時(shí)，多個(gè)激勵(lì)源作用下，電路中電流(或電壓)有效值的平方等于各個(gè)電源單獨(dú)作用下電流(或電壓)的有效值的平方和。

【例10-5】圖10-14所示電路中，已知R=100Ω，若

(1)us1(t)=100cos(t+60°)V，us1(t)=50costV；

(2)us1(t)=400+600cos(ω0t－90°)V，

us2(t)=200cos(2ω0t－135°)V圖10-14例10-5圖

解(1)由于us1和us2為同頻率的正弦電壓，求平均功率時(shí)不能用疊加定理，但可用疊加定理計(jì)算電流，然后再計(jì)算平均功率。

由于，，所以

故

(2)

us1和us2頻率不同，但頻率之比為有理數(shù)，可用疊加定理計(jì)算平均功率。當(dāng)us1單獨(dú)作用時(shí)，其直流成分平均功率為

交流成分平均功率為

當(dāng)us1單獨(dú)作用時(shí),平均功率為

所以

也可利用有效值來(lái)計(jì)算功率，此時(shí)

電阻的平均功率為

實(shí)例功率測(cè)量(功率計(jì)、瓦特計(jì))

1.功率表的結(jié)構(gòu)及工作原理

雖然用于測(cè)量功率的儀表種類很多，但它們都同屬于電動(dòng)系儀表。這種儀表有兩個(gè)線圈：一為固定線圈(定圈或靜圈)，另一為可動(dòng)線圈(動(dòng)圈)，如圖10-15所示。其定圈分為兩個(gè)部分平行排列，這使得定圈兩部分之間的磁場(chǎng)比較均勻。動(dòng)圈與轉(zhuǎn)軸連接，一起放置在定圈的兩部分之間。儀表工作時(shí)，定圈和動(dòng)圈中都通以電流，假設(shè)它們的電流分別為I1、I2，則靜圈電流I1產(chǎn)生的磁場(chǎng)會(huì)對(duì)動(dòng)圈產(chǎn)生一個(gè)電磁力F，使得動(dòng)圈聯(lián)動(dòng)轉(zhuǎn)軸獲得轉(zhuǎn)動(dòng)力矩M而偏轉(zhuǎn),其電磁力F的方向可由左手定則確定。如果I1、I2同時(shí)改變方向，用左手定則判斷可知，電磁力的方向不變，即轉(zhuǎn)動(dòng)力矩M的方向不變。所以電動(dòng)系儀表既能測(cè)量直流電路又可測(cè)量交流電路。

圖10-15功率表結(jié)構(gòu)圖當(dāng)電動(dòng)系儀表用于直流電路的測(cè)量時(shí)，由電工基礎(chǔ)可知，轉(zhuǎn)動(dòng)力矩M與電流I1、I2的乘積成正比，即

M∝I1·I2

(10-43)

當(dāng)用于交流電路的測(cè)量時(shí)，有

M∝I1·I2cosφ

(10-44)動(dòng)圈聯(lián)動(dòng)轉(zhuǎn)軸帶動(dòng)表頭指針偏轉(zhuǎn)，其游絲產(chǎn)生的反作用力矩與M相等時(shí)，達(dá)到平衡，指針停止，其偏轉(zhuǎn)角度α與力矩成正比，因此有

直流時(shí)

α∝I1·I2

(10-45)

交流時(shí)

α∝I1·I2cosφ

(10-46)

當(dāng)用于直流電路的功率測(cè)量時(shí)，通過(guò)定圈的電流I1與被測(cè)電路電流相等，即I=I1，而動(dòng)圈中的電流為

上式中，R1為動(dòng)圈支路(電壓支路)總電阻，它包括動(dòng)圈電阻和附加電阻R，對(duì)于一個(gè)已制成的功率表來(lái)說(shuō)，R1是一常數(shù)，一般而言，附加電阻R較大，即有R1≈R。

U為定圈與負(fù)載串聯(lián)支路(電流支路)總電壓，由于定圈兩端的電壓遠(yuǎn)小于負(fù)載兩端的電壓，故可認(rèn)為該電壓即負(fù)載電壓。

因此，由式α∝I1·I2可得

α∝IU=P

同理，當(dāng)用于交流電路的功率測(cè)量時(shí)，亦有。且