《電工電子技術》課件第3章

第3章正弦交流電路3.1正弦交流電的三要素3.2正弦量的相量表示法3.3單一參數(shù)的正弦交流電路3.4多參數(shù)的正弦交流電路3.5串聯(lián)與并聯(lián)諧振3.6交流電路的功率及功率因數(shù)3.7三相電路小結(jié)習題3.1正弦交流電的三要素

電路中按正弦規(guī)律變化的電壓或電流統(tǒng)稱為正弦量。對正弦量的描述，可以采用正弦(余弦)函數(shù)，也可以用波形圖等其他方法。正弦量的三要素是正弦量之間進行比較和區(qū)分的依據(jù)。

圖3-1所示的一段電路中有正弦電流i，在圖示參考方向下，其數(shù)學表達式定義如下:

(3-1)

式中，3個常數(shù)Im、ω和fi稱為正弦量的三要素。圖3-1一段正弦電流電路正弦量隨時間變化的圖形稱為正弦波。圖3-2是正弦電流i的波形圖(fi>0)，橫軸可以用時間t表示，也可以用ωt(rad)表示。圖3-2正弦電流i的波形圖(fi>0)3.1.1振幅

Im稱為正弦量的振幅，它是正弦量所能達到的最大值，即當sin(ωt+fi)=1時，有

imax=Im

(3-2)

這也是正弦量的極大值。當sin(ωt+fi)=－1時，將有最小值(也是極小值)imin=－Im。imax－imin=2Im

稱為正弦量的峰-峰值。工程中常將周期電流或電壓在一個周期內(nèi)產(chǎn)生的平均效應換算為等效的直流量，以衡量和比較周期電流或電壓的效應，這一等效的直流量就稱為周期量的有效值，用相對應的大寫字母表示。例如，周期量i的有效值I定義如下：

(3-3)

式(3-3)表示：周期量的有效值等于其瞬時值的平方在一個周期內(nèi)積分的平均值的平方根。因此，有效值又稱為均方根值。式(3-3)的定義是周期量有效值普遍適用的公式。當電流i是正弦量時，可以推出正弦量的有效值與正弦量的振幅之間的特殊關系。此時有

由于，代入上式后得

(3-4)所以正弦量的有效值與其最大值之間有的關系。根據(jù)這一關系常將正弦量i改寫成如下形式:

(3-5)

式中，I、ω、fi也可用來表示正弦量的三要素。正弦量的有效值與正弦量的頻率和初相無關。工程中使用的交流電氣設備銘牌上標出的額定電流、電壓的數(shù)值，以及交流電壓表、電流表表面上標出的數(shù)字等都是有效值。

【例3-1】振幅為2.82A的正弦電流通過500Ω的電阻，試求該電阻消耗的功率P。

解電流的有效值為

I=0.707Im=0.707×2.82=2A

根據(jù)有效值的定義，振幅為2.82A的正弦電流與2A的直流電流的熱效應相等，故

P=I2R=22×500=2000W=2kW3.1.2頻率與周期

隨時間變化的角度ωt+fi稱為正弦量的相位，簡稱相角。ω稱為正弦量的角頻率，它是正弦量的相位隨時間變化的角速度，即

(3-6)

單位為rad/s(弧度/秒)。它與正弦量的周期T和頻率f之間的關系為

(3-7)

頻率f的單位為1/s(1/秒)，稱為Hz(赫茲，簡稱赫)。我國工業(yè)化生產(chǎn)的電能為正弦電壓源，其頻率為50Hz。工程中還常以頻率區(qū)分電路，如低頻電路、高頻電路、甚高頻電路等。3.1.3初相位與相位差

fi是正弦量在t=0時刻的相位，稱為正弦量的初相位(角)，簡稱初相，即

(ωt+fi)|t=0=fi

(3-8)

初相的單位用弧度或度表示，通常在主值范圍內(nèi)取值，即

|fi|≤180°。初相與計時零點的選擇有關。對任一正弦量，

初相是允許任意指定的，但對于一個電路中許多相關的正

弦量，它們只能相對于一個共同的計時零點確定各自的

相位。電路中常引用“相位差”的概念描述兩個同頻正弦量之間的相位關系。例如，設兩個同頻正弦電流i1、電壓u2分別為兩個同頻正弦量的相位差等于它們的相位相減的結(jié)果。例如，設j12表示電流i1與電壓u2之間的相位差，則有

相位差也是在主值范圍內(nèi)取值。上述結(jié)果表明：同頻正弦量的相位差等于它們的初相之差，為一個與時間無關的常數(shù)。電路中常采用“超前”和“滯后”等概念來說明兩個同頻正弦量相位比較的結(jié)果。當j12>0時，稱i1超前u2；當j12<0時，稱i1滯后u2；當

j12=0時，稱i1和u2同相；當|j12|=π/2時，稱i1與u2正交；當|j12|=π時，稱i1、u2彼此反相。

相位差可以通過觀察波形來確定。在同一個周期內(nèi)兩個波形與橫坐標軸的兩個交點(正斜率過零點或負斜率過零點)之間的坐標值即為兩者的相位差，先到達零點的為超前波。圖3-3中為i1滯后u2。相位差與計時零點的選取、改變無關。圖3-3同頻正弦量的相位差3.2正弦量的相量表示法

3.2.1復數(shù)

1．復數(shù)的四種表示形式

1)復數(shù)的代數(shù)形式

復數(shù)的代數(shù)形式為

A=a+jb(3-9)

式(3-9)可用來表示一個復數(shù)，a稱為復數(shù)A的實部，b稱為復數(shù)A的虛部，j=是復數(shù)中的虛數(shù)單位。每個復數(shù)A=a+jb在復平面上都有一點A(a，b)與之對應，如圖3-4所示。圖3-4復平面圖中，橫軸表示復數(shù)的實部，稱為實軸，以+1為單位；縱軸表示復數(shù)的虛部，稱為虛軸，以+j為單位。在該復平面上，點A的橫坐標等于復數(shù)的實部a，縱坐標等于復數(shù)的虛部b。

圖3-4中，由原點指向點A的向量OA也與復數(shù)A對應，其實部為a，虛部為b。

是復數(shù)的大小，稱為復數(shù)的模；稱為輻角，是復數(shù)與實軸正方向間的夾角。

2)復數(shù)的三角形式

由a=rcosy，b=rsiny，得

(3-10)

3)復數(shù)的指數(shù)形式

根據(jù)歐拉公式:

則

(3-11)

4)復數(shù)的極坐標形式

可將式(3-10)表示的復數(shù)寫成極坐標形式:

A=r∠y(3-12)

以上關于復數(shù)的四種表示方法可以互相轉(zhuǎn)換使用。

【例3-2】試將下列復數(shù)的極坐標式轉(zhuǎn)換為代數(shù)式：

(1)A=9.5∠73°；

(2)A=13∠112.6°。

解將極坐標式轉(zhuǎn)換為代數(shù)式，有:

(1)A=9.5∠73°=9.5cos73°+j9.5sin73°=2.78+j9.1

(2)A=13∠112.6°=13cos112.6°+j13sin112.6°=-5+j12【例3-3】試將下列復數(shù)的代數(shù)式轉(zhuǎn)換為極坐標式：

(1)A=5+j5；

(2)A=4-j3。

解將代數(shù)式轉(zhuǎn)換為極坐標式，有:

2．復數(shù)的運算

1)加減運算

復數(shù)的加減運算用復數(shù)的直角坐標式比較方便，運算時實部與實部相加減，虛部與虛部相加減。例如，有兩個復數(shù):

A=a1+jb1,

B=a2+jb2

則

A±B=(a1±a2)+j(b1±b2)

(3-13)

即當幾個復數(shù)進行加減運算時，其和(差)的實部等于幾個復數(shù)的實部相加(減)，和(差)的虛部等于幾個復數(shù)的虛部相加減)，結(jié)果仍為復數(shù)。

2)乘除運算

復數(shù)的乘除運算用復數(shù)的指數(shù)式或極坐標式比較方便。相乘運算時，乘積的模等于各復數(shù)的模相乘之積，積的輻角等于各復數(shù)輻角相加之和；相除運算時，商的模等于各復數(shù)的模相除之商，商的輻角等于各復數(shù)輻角相減之差。例如，有兩個復數(shù):

則

(3-14)

(3-15)

【例3-4】已知A=20∠-60°，B=8.66+j5，求AB、

和A+B。

解

A的代數(shù)形式為A=10-j17.32，B的極坐標形式為B=10∠30°。3.2.2正弦交流量的相量表示法

一個正弦量由三要素來確定，分別是頻率、幅值和初相。因為在同一個正弦交流電路中，電動勢、電壓和電流均為同頻率的正弦量，即頻率是已知或特定的，可以不必考慮，所以只需確定正弦量的幅值(或有效值)和初相位就可表示正弦量。

一個復數(shù)的四種表達方式均要用兩個量來描述，不妨用它的模代表正弦量的幅值或有效值，用輻角代表正弦量的初相，于是得到一個表示正弦量的復數(shù)，這就是正弦量的相量表示法。例如，正弦電流：

其振幅相量為

(3-16)

其中，Im為正弦電流的幅值，輻角為該正弦電流的初相。同樣地，也有電壓振幅相量。相量只是一個復數(shù)，但它有特殊的意義，它代表一個正弦波。為了與一般的復數(shù)有所區(qū)別，通常在這個相量的字母上端加一點，如上所示。在正弦穩(wěn)態(tài)電路中也能用有效值相量表示正弦量。正弦電流的有效值I與振幅Im之間有關系，因此

(3-17)

式(3-17)中，稱為電流有效值相量。在實際應用中，正弦量更多地用有效值表示。以下凡無下標“m”的相量均指有效值相量。

正弦量可以用相量表示，但必須注意，相量只是表示正弦量的一種數(shù)學工具，兩者僅僅是一一對應關系，相量并不等于正弦量。相量是復數(shù)，可采用復數(shù)的各種數(shù)學表達形式和運算規(guī)則。對于復數(shù)的四種表示形式，相量有與之對應的四種表示形式。例如，對應于，有

(3-18)

其中，

【例3-5】若i=141.4sin(314t+30°)A，

u=311.1sin(314t－60°)V，試寫出代表這些正弦電流的有效值相量。

解代表i的有效值相量是，代表u的有效值相量是

下面研究相量和正弦量之間的內(nèi)在聯(lián)系。

正弦電流。由復數(shù)的指數(shù)形式和三角形式有從上式可以看出，正弦電流i是復函數(shù)的虛部，引用復數(shù)取虛部運算“Im［］”，則正弦電流i可表示為

(3-19)

因此，正弦交流量就是相應的相量乘以因子后取其虛部而得的結(jié)果。所以，要從電流的有效值相量求出它的瞬時值I，只需把I值和yi代入式(3-19)中即可。式(3-19)中，復指數(shù)函數(shù)ejωt是模為1、輻角為ωt的復數(shù)，它在復平面上可用一個以恒定角頻率ω按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的單位向量表示，通常稱為旋轉(zhuǎn)因子。因此，表示一個在復平面中以恒定角頻率ω按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的長度為

的相量，故稱為旋轉(zhuǎn)相量。由此可知，正弦量在任何時刻的瞬時值等于對應旋轉(zhuǎn)相量同一時刻在虛軸上的投影，如圖3-5所示。圖3-5復平面中的旋轉(zhuǎn)相量

【例3-6】已知同頻正弦電壓相量為

頻率f=50Hz。試寫出它們對應的函數(shù)表達式。

解由題可得

將題中所給出的相量轉(zhuǎn)換為極坐標形式:因此得3.2.3相量圖

為了能更明確地表示相量的概念，可以把幾個同頻率正弦量的相量表示在同一復平面上。這種在復平面上按照各個正弦量的大小和相位關系用初始位置的有向線段畫出的若干個相量圖形，叫做相量圖，如圖3-6所示。圖3-6相量圖

【例3-7】已知u1=141sin(ωt+60°)V，

u2=70.7sin(ωt－45°)V。

(1)求相應的相量；

(2)求兩電壓之和的瞬時值u(t)；

(3)畫出相量圖。

解

(1)u1、u2對應的有效值相量分別為

(2)兩電壓頻率相同，可以進行加減運算。兩電壓對應相量的和為

由此求得電壓和對應的有效值相量。其對應的瞬時值表達式應為

(3)按一定比例畫出、、的相量圖，如圖3-7所示。由于u1的初相位ψ1=60°，故位于正實軸逆時針方向轉(zhuǎn)60°的位置。u2的初相位ψ2=－45°，故位于正實軸順時針方向轉(zhuǎn)45°的位置。長度分別等于有效值U1和U2，總電壓相量位于和組成的平行四邊形的對角線上。圖3-7例3-7圖

3.3單一參數(shù)的正弦交流電路

3.3.1電阻元件的交流電路

若電路中電阻參數(shù)的作用遠大于其他元件參數(shù)，則此電路稱為純電阻交流電路，如實際生活中含有白熾燈、電烙鐵等的電路。純電阻交流電路可用如圖3-8(a)所示的電路來表示。圖3-8電阻元件的交流電路選擇電壓、電流為關聯(lián)參考方向，根據(jù)歐姆定律，于是有u=Ri。選擇電流為參考量，設流過電阻的電流為

i=Imsin(ωt)

于是

其中，Um=RIm，還可以寫成:

(3-20)下面直接表示出電壓相量、電流相量之間的關系，便于今后分析一般的正弦電路。設電壓、電流有效值相量分別為

其比值為

(3-21)

將式(3-20)代入，得

(3-22)

式(3-22)為歐姆定律的相量表示。電壓和電流的相量圖如圖

3-8(c)所示。下面分析電路中的功率。

電路在某一瞬間吸收或放出的功率稱為瞬時功率，為該瞬間電壓與電流的乘積，用小寫字母pR表示。設

則根據(jù)定義，瞬時功率為

(3-23)

pR的變化曲線如圖3-8(d)所示。從圖中可看出，瞬時功率始終為正值：當u、i同處于正半周期、為正值時，瞬時功率為正數(shù)；當u、i同處于負半周期、為負值時，瞬時功率也為正數(shù)。這表明，電阻是一種耗能元件，始終從電源吸收電能，并將能量轉(zhuǎn)化為熱能，是一種不可逆的能量轉(zhuǎn)換。工程上通常用瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值來表示電路所消耗的功率，稱為平均功率，用大寫字母PR表示。

電阻電路的平均功率為

(3-24)

式(3-24)與直流電路的公式在形式上是一樣的。通常各交流電器上的功率都是指其平均功率。由于它是電路實際消耗的功率，因此又稱為有功功率。

【例3-8】把一個100Ω的電阻元件接到頻率為100Hz、電壓有效值為10V的正弦交流電源上，電流是多少？如果保持電壓值不變，而電源頻率改變?yōu)?00Hz，這時電流將變?yōu)槎嗌伲?/p>

解因為電阻與頻率無關，所以電壓有效值保持不變，電流有效值不變，即

【例3-9】已知電爐絲的電阻為5Ω，電源電壓為

ω=314rad/s，求電流i及當ωt=15°時的瞬時功率pR及平均功率PR。

解

3.3.2電感元件的交流電路

若電路中電感參數(shù)的作用遠大于其他元件參數(shù)，則此電路稱為純電感交流電路。對于一個將漆包線密繞在用非鐵磁性材料做成的骨架上所構(gòu)成的線性電感線圈，可以忽略導線的電阻及電容，成為一個線性的純電感元件。通常用如圖

3-9(a)所示的電路來表示純電感交流電路。圖3-9電感元件的交流電路電感線圈中有正弦電流通過時，其線圈內(nèi)外會建立磁場并產(chǎn)生磁通Φ。設線圈匝數(shù)為N，電流i通過線圈所產(chǎn)生的磁通的總和為

Ψ=NΦ

式中，Ψ稱為磁鏈。定義

式中，L是一個與Ψ、i及t無關的正值常數(shù)，稱為線圈的自感系數(shù)，也稱電感。國際單位制中，電感的單位是亨利，簡稱亨，符號為H，也可以用毫亨，符號為mH。它們的關系是:

1mH=10－3H

在圖3-9(a)所示的電感中，電感端電壓u和電流i在關聯(lián)參考方向下，由電磁感應定律可知，電路產(chǎn)生的電動勢為

于是在線圈兩端出現(xiàn)電壓uL。規(guī)定eL、uL和i的參考方向相同。根據(jù)基爾霍夫定律，線圈的端電壓為

(3-25)

設電感中的電流為i=Imsin(ωt)，選擇電壓、電流的關聯(lián)參考方向，根據(jù)電感上電壓、電流的關系式，可得電感電壓為其中，Um=ωLIm，ψu=90°，上式還可以寫成

(3-26)

由此可見，在電感元件的交流電路中，電壓和電流是兩個同頻率的正弦量；電壓、電流的幅值(及有效值)之比為ωL，設XL=ωL，稱為感抗；在關聯(lián)參考方向下，電壓超前電流90°，或者說電流滯后電壓90°。電壓、電流波形如圖

3-9(b)所示。在式(3-26)中，當電壓一定時，XL越大，則電流I越小，可見感抗對電流有阻礙作用。ω的單位是rad/s，L的單位是H，則感抗的單位是Ω。XL與R具有同樣的單位。

用相量表示電壓與電流的關系，則有

(3-27)

電感上電壓和電流的相量圖如圖3-9(c)所示。設純電感線圈的電流為i=Imsinωt，根據(jù)電壓與電流的相互關系，電感的瞬時功率為

(3-28)

可見，p是一個幅值為UI、以2ω的角頻率隨時間交變的正弦量，其波形如圖3-9(d)所示。電感元件的平均功率為

(3-29)

式(3-29)進一步說明了電感元件中沒有能量的損耗，只有電感和外電路進行能量互換，可采用無功功率QL來度量。規(guī)定電感的無功功率等于瞬時功率的幅值，也就是等于電感元件兩端電壓的有效值U與電流有效值I的乘積。即

(3-30)

【例3-10】如圖3-10(a)所示的電阻、電感串聯(lián)電路中，已知正弦電流i=2

sin(20t)A，R=30Ω，L=2H，試求正弦電壓uR、uL、u，并畫出相量圖。圖3-10例3-10圖解正弦電流的相量為

電感元件的感抗為

可求得電阻電壓的相量為可求得電感電壓的相量為

則電阻、電感電壓的瞬時值表達式為由KVL得，總電壓為

【例3-11】設有一線圈，其電阻可忽略不計，電感L=35mH，在頻率為50Hz的電壓=110V的作用下，求：

(1)線圈的感抗XL；

(2)電路中的電流及其與的相位差j；

(3)線圈的無功功率QL；

(4)在周期中線圈儲存的磁場能量WL。3.3.3電容元件的交流電路

若電路中電容參數(shù)的作用遠大于其他元件參數(shù)，則此電路稱為純電容交流電路。如果將一個介質(zhì)損耗和電感都很小的電容器接在交流電路中，就可以忽略其電阻及電感，成為一個線性的純電容元件。通常用如圖3-11(a)所示的電路來表示純電容交流電路。

電容元件是實際電容器的理想化模型，用來表示電路中存儲電場能這一物理性質(zhì)的理想元件。電容器可由兩塊金屬板用介質(zhì)隔開所構(gòu)成，在外電源的作用下，兩塊極板上分別存儲等量的異性電荷，因此在兩極板間形成電場。電容器是一種能積聚電荷、存儲電場能量的器件。電壓u越高，則聚集的電荷越多，產(chǎn)生的電場就越強，存儲的電場能也就越多。電荷與電壓的關系為

或下面討論電容在交流電路中的伏安關系。

設電容元件兩端的電壓u=Umsin(ωt)為參考正弦量，取電容電壓與電流的關聯(lián)參考方向，如圖3-11(a)所示，則電容電流為

其中，Im=ωCUm，ψi=90°，還可以寫成

(3-31)由此可見，在電容元件的交流電路中，電壓和電流是兩個同頻率的正弦量；電壓、電流的幅值(及有效值)之比為

設稱為容抗；在關聯(lián)參考方向下，電流超前電壓90°，或者說電壓滯后電流90°。電壓、電流波形如圖3-11(b)所示(取ψu=0)。

在式(3-31)中，當電壓一定時，XC越大，則電流I越小。可見，容抗對電流有阻礙作用。ω的單位是rad/s，L的單位是H，則容抗的單位是Ω。XC、XL與R具有同樣的單位。圖3-11電容元件的交流電路容抗XC與電容C、頻率f成反比。在同樣的電壓下，電容C越大，電容器能容納的電量就越大，因而電流就越大；在同樣的電壓下，頻率越高，電容元件的充放電就進行得越快，單位時間內(nèi)電荷的移動量就越多，因而電流就越大。電容在直流電路中，因f=0，故表現(xiàn)在容抗上，XC→0，可看做開路。由此可知，電容具有高頻短路、直流開路的性質(zhì)。下面用相量表示電壓與電流的關系，則有

(3-32)

式(3-32)同時反映了電容上電壓和電流的幅值關系和相位角關系。其電壓和電流的相量圖如圖3-11(c)所示。下面分析電容電路中的功率問題。取電容電壓為參考正弦量，即電壓u滿足

純電容電路的瞬時功率為

(3-33)由此可知，電容元件的瞬時功率也是一個幅值為UI、角頻率為2ω的隨時間改變的正弦量，如圖3-11(d)所示。其平均功率為

(3-34)

式(3-34)說明電容元件是不消耗能量的，和電感元件一樣，它與外電路之間只發(fā)生能量的互換。這個能量互換的規(guī)模則由無功功率來度量，它等于瞬時功率的幅值，即

(3-35)

【例3-12】已知電源電壓

將R=100Ω的電阻、L=1H的電感、C=100μF的電容分別接到電源上。試分別求出通過各元件的電流相量

并寫出各電流iR、iL和iC的函數(shù)式。

解取電源電壓相量為參考相量

則有由此可得

3.4多參數(shù)的正弦交流電路

3.4.1基爾霍夫定律的相量形式

基爾霍夫電流定律(KCL)的時域表達式為

對于正弦穩(wěn)態(tài)電路，由于各電流都是同頻的正弦量，因此上式可寫為由于上式對任何t成立，并且ejωt恒不為零，因此有

(3-36)

這就是KCL的相量形式。它表示正弦穩(wěn)態(tài)電路中流出(或流入)任一節(jié)點或封閉面的各支路電流相量的代數(shù)和為零。相應地，KVL的時域表達式為

同理，對于正弦穩(wěn)態(tài)電路，有

(3-37)

這就是KVL的相量形式。它表示正弦穩(wěn)態(tài)電路中任一閉合回路的各支路電壓相量的代數(shù)和為零。3.4.2電路元件伏安關系的相量形式

3.3節(jié)中已經(jīng)分別討論了電阻、電感、電容這三種基本元件的正弦交流電路，得出了它們各自的相量關系式，即在關聯(lián)參考方向下，有

(3-38)我們把同一元件的電壓相量與電流相量的比值定義為該元件的阻抗，并用Z來表示，單位為Ω，即

(3-39)

因此，電阻、電感、電容這三種基本元件的阻抗為

(3-40)其中，XL=ωL，稱為電感的電抗，簡稱感抗；

稱為電容的電抗，簡稱容抗。

Z是一個復數(shù)，它同樣也有以下四種表示形式:

(3-41)

式中，|Z|是Z的模，即阻抗模；j是Z的輻角，即阻抗角；X稱為電抗。3.4.3

RLC串聯(lián)交流電路

如圖3-12所示，串聯(lián)電路在正弦電壓u的作用下有大小為

i的正弦電流流經(jīng)，在三個元件上分別引起電壓uR、uL和uC，其參考方向如圖中所示。圖3-12

RLC串聯(lián)交流電路根據(jù)基爾霍夫電壓定律，有

u=uR+uL+uC

因為uR、uL、uC和u均是同頻率的正弦電壓，所以可以寫成基爾霍夫電壓定律的相量形式:

(3-42)設相量電流為，根據(jù)電阻、電感和電容元件伏安關系的相量形式，有

則

(3-43)

式中:

(3-44)

X稱為串聯(lián)交流電路的電抗。

RLC串聯(lián)電路中也可采用相量作圖的方法，利用幾何圖形求電壓與電流的大小與相位關系。相量圖如圖3-13(a)所示。圖3-13

RLC串聯(lián)交流電路相量圖先取電流相量為參考相量，再根據(jù)電阻、電感和電容上的電壓與電流間的相位關系作出電壓相量，接下來作與同相，作超前90°，作滯后90°，然后根據(jù)平行四邊形法則或三角形法則，將、、進行相量相加，就得到了端電壓相量。圖3-13(a)中

為電抗壓降。、、組成一個三角形，如圖3-13(b)所示。其中:

(3-45)可見，|Z|、R、X之間符合直角三角形關系，如圖3-14所示。該三角形是阻抗三角形，從而可以求出三角形中的其他參數(shù)，如

(3-46)

由式(3-46)可知，當頻率一定時，相位差j的大小決定了電路的參數(shù)及電路的性質(zhì)。

當XL>XC時,j>0,這時電流滯后電壓j

，該電路呈電感性；

當XL<XC時,j<0,這時電流超前電壓j

，該電路呈電容性；

當XL=XC時,j=0,這時電流與電壓同相，該電路呈電阻性。圖3-14阻抗三角形綜合以上分析，可以得出如下結(jié)論:

(1)RLC串聯(lián)電路中各電壓和電流都是同頻率的正弦量。

(2)總電壓u的幅值(或有效值)與電流i的幅值(或有效值)成正比，比例系數(shù)為阻抗的模|Z|，但電壓和電流的瞬時值不成正比，即

(3)電路的阻抗角j是總電壓u和電流i之間的相位差，它只與電路頻率及參數(shù)R、L、C有關。

(4)交流電路中，基爾霍夫定律只適用于瞬時值和相量表達式，不能用于有效值和最大值。

【例3-13】在如圖3-12所示的RLC串聯(lián)電路中，設在工頻下，I=10A，UR=80V，UL=180V，UC=120V。

(1)求總電壓U；

(2)求電路參數(shù)R、L、C；

(3)求總電壓與電流的相位差；

(4)畫出相量圖。

解

(1)總電壓U為

(2)電路各參數(shù)如下：

電阻:

感抗：電感:

容抗:

電容:

(3)總電壓與電流的相位差為

(4)以電流為參考相量，畫出電壓、電流相量圖，如圖

3-15所示。圖3-15例3-13圖3.4.4

RLC并聯(lián)交流電路

圖3-16所示為由電阻R、電容C和電感L組成的三條支路并聯(lián)而成的交流電路。下面采用相量法來分析。圖3-16

RLC并聯(lián)交流電路在該并聯(lián)電路中，因各支路的端電壓相等，故可選取端電壓為參考正弦量或參考相量，即設

其相量形式為各支路中產(chǎn)生電流的參考方向如圖3-16所示，各電流相量分別為

(3-47)由式(3-47)可知，電阻支路的電流與電壓同相；電感支路的電流滯后于電壓90°；電容支路的電流超前于電壓90°。

由各支路電流，可根據(jù)KCL的相量形式求出總電流的關系式，即

(3-48)

其有效值為

(3-49)

各支路電流相量和總電流相量的關系可在一個相量圖中表示出來，如圖3-17所示。圖3-17

RLC并聯(lián)交流電路相量圖相量圖上由電流構(gòu)成的直角三角形稱為電流三角形?？傠娏髋c電壓的相位差為

(3-50)

由式(3-50)可知，總電流與電壓的相位差j是由電路的參數(shù)所決定的。當電路的總電流滯后于電源電壓，并聯(lián)電路呈現(xiàn)電感性；

當電路的總電流超前于電源電壓，并聯(lián)電路呈現(xiàn)電容性；

當電路的總電流與電源電壓同相，并聯(lián)電路呈現(xiàn)電阻性，這是因為電路中感納的作用和容納的作用互相抵消。

【例3-14】在RLC并聯(lián)電路中，R=10Ω，XC=8Ω，XL=15Ω，U=120V，f=50Hz。

(1)試求

(2)寫出iR、iL、iC及i的表達式。

解取電壓為參考相量，令則

(1)

(2)因f=50Hz，故ω=2πf=314rad/s，各電流的瞬時值表達式為3.4.5阻抗的串聯(lián)

圖3-18(a)所示為兩個負載串聯(lián)的交流電路，根據(jù)KVL的相量形式，有

(3-51)

式中，Z稱為電路的等效阻抗，即串聯(lián)電路的等效阻抗等于各串聯(lián)阻抗的和。圖3-18(a)所示電路的等效電路如圖(b)所示。一般情況下，等效阻抗的表達式為

(3-52)

式中，∑XK包括感抗XL和容抗XC，感抗XL取正值，容抗XC取負值。

圖3-18阻抗的串聯(lián)相應的分壓公式為

(3-53)

式中，分別是總電壓相量和Zi的電壓相量。3.4.6阻抗的并聯(lián)

圖3-19(a)所示為兩個負載并聯(lián)的交流電路，根據(jù)KCL的相量形式，有

(3-54)

將式(3-54)中的兩個并聯(lián)的阻抗用一個等效阻抗Z來代替，等效電路如圖3-19(b)所示。因此，有

(3-55)

或

(3-56)相應的分流公式為

(3-57)

一般情況下，等效阻抗與各并聯(lián)阻抗的關系可用下式表示:

(3-58)圖3-19阻抗的并聯(lián)

【例3-15】在圖3-20所示的無源端口網(wǎng)絡中，已知端口電壓和電流分別為u(t)=10

sin(100t+36.9°)V，i(t)=2

sin(100t)A，試求該網(wǎng)絡的輸入阻抗及其等效電路。圖3-20例3-15圖

解由題可得電壓和電流相量為

根據(jù)定義，阻抗為

故X=3Ω>0，電路呈感性，等效電路為一個R=4Ω的電阻與一個感抗XL=3Ω的電感元件串聯(lián)，其等效電感為

【例3-16】在如圖3-21所示的正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型中，已知R1=8Ω,XC1=6Ω,R2=3Ω,XL2=4Ω，R3=5Ω,XL3=10Ω。試求電路的輸入阻抗Zab。

解首先，求出各支路的阻抗:

利用阻抗的串、并聯(lián)關系可得輸入阻抗:圖3-21例3-16圖

3.5串聯(lián)與并聯(lián)諧振

3.5.1串聯(lián)諧振

在如圖3-22所示的RLC串聯(lián)電路中，當XL＝XC時，則

此時電壓與電流同相位，電路呈純電阻性，電路阻抗達到最小值，當電路所加電壓幅度不變時，電流達到最小值，即電路發(fā)生諧振。由于諧振發(fā)生在串聯(lián)電路中，因此又叫做串聯(lián)諧振。圖3-22串聯(lián)諧振由諧振的定義可知，串聯(lián)諧振的條件是：

XL＝XC

電路發(fā)生諧振時的頻率稱為諧振頻率。串聯(lián)諧振的頻率為

即

(3-59)串聯(lián)諧振具有以下特點：

(1)電路的阻抗最小，電流最大。諧振時電路的阻抗和電流分別為

(2)電壓與電流同相，j=0，cosj=1，電路呈現(xiàn)純電阻性，總無功功率為零，電路與電源之間不發(fā)生能量互換。

(3)電感上的電壓與電容上的電壓大小相等，但相位相反。當XL＝XC≥R時，UL＝UC≥UR＝U。也就是說，電感或電容上的電壓將大于電路的總電壓，因此串聯(lián)諧振也稱為電壓諧振。

諧振時電感(或容抗)上的電壓與總電壓之比稱為電路的品質(zhì)因數(shù)，用Q表示，即例如，圖3-23(a)所示為收音機的輸入電路，它是由線圈L和可變電容C組成的串聯(lián)電路，圖中L1是天線線圈。天線接收到的所有不同頻率的信號都會在LC諧振電路中感應出來，其等效電路如圖3-23(b)所示，圖中R是電感線圈Ｌ的等效電阻。改變電容C，使電路在所需信號頻率發(fā)生諧振，此時所需信號在電容兩端的電壓最高，其他信號由于沒有諧振，電壓很小。這樣就起到了選擇信號和抑制干擾的作用。圖3-23收音機的輸入電路

【例3-17】在電阻、電感、電容串聯(lián)諧振電路中，L=0.05mH，C=200pF，品質(zhì)因數(shù)Q=100，交流電壓的有效值U=1mV。試求：

(1)電路的諧振頻率f0。

(2)諧振時電路中的電流I0。

(3)電容上的電壓UC。

解

(1)電路的諧振頻率:

(2)由于品質(zhì)因數(shù):

故

諧振時，電流為

(3)電容兩端的電壓是電源電壓的Q倍，即

【例3-18】在圖3-24所示的電路中，線圈的電感為

0.2mH，要想使頻率820kHz的信號獲得最佳效果，電容器的電容C應調(diào)節(jié)到多少？圖3-24例3-18圖

解要使f=820kHz的信號獲得最佳效果，必須使電路的固有頻率為820kHz，即電路諧振頻率為

電容器的電容應為3.5.2并聯(lián)諧振

1．諧振條件

在實際工程電路中，最常見的、用途極廣泛的諧振電路由電感線圈和電容器并聯(lián)組成，如圖3-25所示。圖中，電容器損耗很小，可以忽略不計，可看成一個純電容；線圈的電阻是不可忽略的，可看成由一個純電感和電阻串聯(lián)而成。圖3-25

RLC并聯(lián)諧振電路電感線圈與電容并聯(lián)諧振電路的諧振頻率為

式中，R為線圈的電阻，單位為歐姆(Ω)。在一般情況下，線圈的電阻比較小，即Q>>1,

則所以諧振頻率近似為

(3-60)

這個公式與串聯(lián)諧振頻率公式相同。在實際電路中，如果電阻的損耗較小，則應用此公式計算出的結(jié)果其誤差是很小的。

2．諧振電路的特點

電感線圈與電容并聯(lián)的電路諧振時具有的特點與RLC串聯(lián)諧振電路相同。

(1)電路呈純電阻特性，總阻抗最大，當時，有

(3-61)

(2)品質(zhì)因數(shù)定義為

(3-62)

(3)總電流與電壓同相，數(shù)值關系為

(3-63)

(4)支路電流為總電流的Q倍，即

(3-64)

因此，并聯(lián)諧振又叫做電流諧振。

【例3-19】收音機的中頻放大耦合電路是一個線圈

與電容器并聯(lián)的諧振回路，其諧振頻率為465kHz，電容C=200pF，回路的品質(zhì)因數(shù)Q=100。求線圈的電感L和電阻R。

解因為Q>>1，所以電路的諧振頻率為

因此，回路諧振時的電感和電阻分別為3.6交流電路的功率及功率因數(shù)

3.6.1瞬時功率

設某一電路中的端口電壓為

端口電流為那么電路的瞬時功率為

(3-65)

根據(jù)i、u、p的表達式畫出電壓、電流和瞬時功率隨時間變化的曲線，如圖3-26所示。從圖3-26中可看出，瞬時功率可正可負。當電壓和電流的實際方向一致時，功率為正值，表明電路從電源取用功率；當電壓和電流的實際方向相反時，功率為負值，表明電路將功率傳送給電源。圖3-26電壓、電流和瞬時功率隨時間變化的曲線3.6.2有功功率、無功功率和視在功率

有功功率是指瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值，簡稱功率。其計算式為

(3-66)

平均功率就是電路中電阻元件所消耗的功率。通常將cosj定義為功率因數(shù)，相應的j定義為功率因數(shù)角，它取決于交流電路的參數(shù)和頻率。定義無功功率為

(3-67)

電壓與電流有效值的乘積稱為電路的視在功率或表觀功率，用S表示，即

S=UI

(3-68)

為了與有功功率和無功功率加以區(qū)別，視在功率的單位為伏·安(V·A)。有功功率、無功功率和視在功率之間的關系為

(3-69)

從圖形關系上看，三者符合直角三角形的關系。這一三角形稱為功率三角形。3.6.3功率因數(shù)的提高

1.提高功率因數(shù)的意義

當電路負載為電阻性時，電壓、電流才是同相位的，即功率因數(shù)為1。對其他負載而言，其功率因數(shù)均介于0與1之間。電源提供無功功率，表明電源和負載之間有一部分能量在相互交換。在U、I一定的情況下，功率因數(shù)越低，無功功率比例越大，對電力系統(tǒng)的運行越不利，這體現(xiàn)在以下幾個方面。

(1)降低了電源設備容量的利用率。

電源設備的額定容量是根據(jù)額定電壓和額定電流設計的。額定電壓和額定電流的乘積就是額定視在功率，代表著設備的額定容量。容量一定的供電設備提供的有功功率為

功率因數(shù)cosj越低，P越小，則設備利用率越低。

(2)增加了輸電線路和供電設備的功率損耗。負載上的電流為

在P、U一定的情況下，功率因數(shù)cosj越低，I就越大。線路上的功率損耗為

其中，r代表傳輸線路加上電源內(nèi)阻的總等效電阻。由上式可知，功率損耗和功率因數(shù)cosj的平方成反比，即功率因數(shù)cosj越低，電路損耗越大，則輸電效率就越低。

(3)降低了電能質(zhì)量。

如前所述，功率因數(shù)cosj越低，輸電線上電流I就越大，在線上產(chǎn)生的電壓降也就越大。這樣降低了供電的電能質(zhì)量，滿足不了用戶對電能質(zhì)量的要求。

2.提高功率因數(shù)的方法

功率因數(shù)不高的根本原因是電感性負載的存在。例如，工業(yè)生產(chǎn)中最常用的異步電動機就是感性負載，其功率因數(shù)約為0.6，輕載時更低；日光燈作為感性負載其功率因數(shù)也只有0.3左右。感性負載的功率因數(shù)之所以不高，是由于負載本身需要一定的無功功率。按照供用電規(guī)則，高壓供電的工業(yè)企業(yè)的平均功率因數(shù)為0.8～0.95。

提高功率因數(shù)的途徑有兩個：一是提高用電設備自身的功率因數(shù)，如降低輕載時加在三相異步電動機繞組上的電壓；二是用其他設備進行補償。第二種途徑將作為我們討論的重點。由功率三角形可知，負載的功率因數(shù):

式中，Q=QL－QC。可以利用QL和QC之間的相互補償作用，讓容性無功功率QC在負載網(wǎng)絡內(nèi)部補償感性負載所需的無功功率QL，使電源提供的無功功率Q接近或等于1。因此，從技術經(jīng)濟的觀點出發(fā)，提高感性負載網(wǎng)絡功率因數(shù)的有效方法，是在感性負載兩端并聯(lián)適當大小的電容器，其電路如圖3-27所示。圖3-27提高功率因數(shù)的電路提高功率因數(shù)的原理也可用相量圖來說明，如圖3-28所示。圖中，代表并聯(lián)電容器之前感性負載上的電流，等于線路上的電流，它滯后于電壓的角度是j，這時的功率因數(shù)是cosj

。并聯(lián)電容器C之后，由于增加了一個超前于電壓90°的電流，所以線路上的電流變?yōu)?/p>

其中，滯后于電壓的角度是j′。由于j′<j

，所以cosj′>cosj

。只要電容C選得適當，就可達到補償要求。圖3-28相量圖下面推導計算并聯(lián)電容器電容值的公式。由圖3-28可得:

又因則有

因此在感性負載ZL兩端并聯(lián)適當?shù)碾娙莺?，能起到以下作用?/p>

(1)電源向負載ZL提供的有功功率未變。

(2)負載網(wǎng)絡(包括并聯(lián)電容)對電源的功率因數(shù)提高了。

(3)線路電流下降了。

(4)電源與負載之間不再進行能力的交換(Q=0)。這時感性負載ZL所需的無功功率全部由電容提供，能量的互換完全在電感與電容之間進行，電源只提供有功功率。

【例3-20】有一感性負載的功率P=1600kW，功率

因數(shù)cosj1=0.8，接在電壓U=6.3kV的電源上，電源頻率

f=50Hz。

(1)如果把功率因數(shù)提高到cosj2=0.95，試求并聯(lián)電容器的容量和電容并聯(lián)前后的線路電流；

(2)如果將功率因數(shù)從0.95再提高到1，并聯(lián)電容器的容量還需增加多少？此時電路中發(fā)生了怎樣的物理現(xiàn)象？

解

(1)

根據(jù)公式:可知所需電容量為

并聯(lián)電容前，線路電流(即負載電流)為

(2)要將功率因數(shù)從0.95再提高到1，尚需增加電容:

此時，線路電流為

將功率因數(shù)從0.95提高到1，需要增加電容42.2μF，增加了原電容值的78%，但線路電流的改變不大，僅降至254A，只下降了5%。同時，電路中發(fā)生了諧振現(xiàn)象。這說明將功率因數(shù)提高到1是不經(jīng)濟、不可取的。因此，通常只將功率因數(shù)提高到0.9～0.95之間。3.7三相電路

3.7.1三相電源電壓

三相電源是由三個幅值相等、頻率相同、相位依次相差120°的正弦電壓源uA、uB、uC組成的，每個電壓源的參考方向均由始端指向末端，如圖3-29所示。

若以uA為參考正弦量，則有

式中，Upm為每個相電壓的最大值，Up為有效值。它們的波形和相量圖如圖3-30(a)、(b)所示。圖3-29三相電壓源圖3-30對稱三相電壓源的波形和相量圖對稱三相電壓源的特點是：

或

從波形圖中可以看出，uA、uB、uC達到最大值是有先有后的。通常把這三個電壓達到最大值的先后順序稱為相序。相序分有正(順)序和負(逆)序。當發(fā)電機的轉(zhuǎn)子順時針旋轉(zhuǎn)時，三相電壓uA超前uB120°，uB又超前uC120°，這時三相電壓的相序為A→B→C，稱為正(順)序；當轉(zhuǎn)子逆時針旋轉(zhuǎn)或雖順時針旋轉(zhuǎn)但B和C相互對調(diào)時，相序為A→C→B，稱為負(逆)序。但應指出的是，在發(fā)電機的三相繞組中，哪個是A相可以任意指定，當A相指定后，比A相落后120°的就是B相，比A相超前120°的就是C相。在輸配電工程中，常用黃、綠、紅分別表示A、B、C相的引出線，以免搞錯而造成事故。這說明相序在電力系統(tǒng)中是非常重要的。

雖然三相電源中有三個獨立的電壓源，但在實際應用中，它們并不都單獨引出線來向用戶供電，而是先在內(nèi)部采用一定的連接。其連接方式有星形(Ｙ)連接或三角形(△)連接兩種。

1.對稱三相電源的星形連接

圖3-31所示為對稱三相電源的星形連接，即把定子三相繞組的末端X、Y、Z連在一起，從始端引出三根導線A、B、C(稱為端線或相線，俗稱火線)，從公共點0引出一根導線(稱為零線或中線，俗稱地線)。每根火線(始端)與地線之間的電壓稱為相電壓，如圖中的uA、uB、uC。兩根火線之間的電壓稱為線電壓，如圖中的uAB、uBC、uCA。顯然，有圖3-31對稱三相電源的星形連接它們的相量關系為

其相量圖如圖3-32(a)、(b)所示。圖3-32對稱三相電源星形連接的相電壓和線電壓相量圖因相電壓對稱，故線電壓也對稱。相、線電壓的關系可由三個相量所組成的等腰三角形求得，則有線電壓超前相應相電壓30°，有效值線電壓為相電壓的倍，即

(3-70)

因此，星形連接三相電源的線電壓相量是相應相電壓相量的倍，而相位超前其30°，故有

(3-71)

【例3-21】星形連接對稱三相電源如圖3-31所示，已知相電壓為220V，求其線電壓，并求出

(設為參考相量)。

解由式(3-70)可知:

若設則有

2.對稱三相電源的三角形連接

若把發(fā)電機的三相繞組始末端依次相連，再從連接點分別引出三根導線A、B、C，則這種連接方式稱為對稱三相電源的三角形(△)連接，如圖3-33所示。從圖中不難看出，這種連接中線電壓和相電壓是相等的。應指出的是，對稱三相電源作三角形連接時，每相的始末端必須連接正確，否則三個相電壓之和不再為零，將在其閉合內(nèi)回路產(chǎn)生很大的電流(又稱環(huán)流)，從而造成嚴重后果。圖3-33對稱三相電源的三角形連接3.7.2對稱三相電路分析

1.負載作星形連接的對稱三相電路的計算

負載作星形連接時,對稱三相電路分為Y－Y連接和△－Y連接兩種形式。圖3-34所示為有中線的Y－Y連接對稱三相電路，即三相四線制電路。圖中，為方便起見，忽略了火線阻抗，各相負載阻抗均為Z＝|Z|∠f，中線阻抗為Z0。顯然，在這種Y

－Y連接電路中，流過每相負載的電流(稱相電流)等于流過火線的電流(稱線電流)，即流過中線的電流(稱中線電流)等于三個線電流之和，它們的參考方向如圖中所示。那么如何求圖中的電流和負載端的相、線電壓呢？圖3-34有中線的Y－Y連接對稱三相電路首先，用結(jié)點法求中點電壓然后再求其他各量。若選0為參考節(jié)點，則得中點電壓為

(3-72)

由于三相電源對稱，因此中點電壓為零表明,每相的電源與負載(即每相電路)是相互獨立的，而加于各相負載的電壓就是電源的相電壓，即

若選為參考相量，則可見，各相、線電流是對稱的。因此，中線電流為零，即

負載端的相、線電壓關系與電源端的相、線電壓關系相同，即可見,負載的相、線電壓也是對稱的。它們的相量圖如圖3-35所示。由上述分析不難看出，有中線的Ｙ－Ｙ連接對稱三相電路的計算可以歸結(jié)為一相法，即只要先計算出其中一相的電流、電壓(通常為Ａ相)，再根據(jù)對稱性，就可直接寫出其他兩相的電流和電壓。但應注意的是，因為所以在一相計算電路中不應包括中線阻抗Z0(相當于短路)。

由于I0=0，因此中線不起作用，可省去，從而構(gòu)成無中線的對稱三相三線制Y－Y連接電路。其各相電路仍然是相互獨立的，因此仍可用一相法計算。圖3-35對稱Y－Y連接三相電路的相量圖綜上所述，負載作星形連接的對稱三相電路，其負載電壓、電流的特點如下：

(1)相、線電壓以及相、線電流都是對稱的。

(2)線電流等于相電流。

(3)線電壓等于相應相電壓的倍，相位超前30°。

【例3-22】對稱三相三線制連接電路的電源電壓為

380V，接星形對稱負載，每相阻抗Z=7+j5Ω，火線阻抗ZL=1+j1Ω，求負載的相電流。

解根據(jù)在三相電路中，凡不加說明的電壓均指線電壓的有效值，所以對星形負載來說，對稱三相三線制連接電路的電源電壓不論是星形連接還是三角形連接，都可用等效的星形連接的三相電源代替，并按對稱Y－Y連接的一相法計算。因此，本例中等效的星形電源的相電壓有效值為設為參考相量，則故由一相法可求得

根據(jù)對稱性可推知:

2.負載作三角形連接的對稱三相電路的計算

對于作三角形連接的負載，與它相接的三相電源一定是線電壓，因此計算時可以不必追究電源的連接方式。另外，由于三相電源總是對稱的，且可作Y－△等效，所以為了方便，通常只畫出三相負載的連接圖即可。

圖3-36所示為負載作三角形連接的對稱三相電路。圖中忽略了火線阻抗，各相負載阻抗都相等，即

顯然，加于負載的相電壓就是電源的線電壓

圖3-36負載作三角形連接的對稱三相電路若選為參考相量，則各負載的相電流為可見，負載相電流亦是對稱的。因此，三個線電流為其相量圖如圖3-37所示。根據(jù)等腰三角形，由圖可得

顯然，線電流也是對稱的，其有效值為相電流的倍,而相位則均滯后于相應相電流30°。這就是對稱三角形負載的相、線電流關系。圖3-37對稱三角形負載的相線電流相量圖綜上所述，負載作三角形連接的對稱三相電路中負載電壓、電流的特點如下：

(1)相、線電壓以及相、線電流都是對稱的。

(2)線電壓等于相電壓。

(3)線電流相量等于相應相電流相量的倍，其相位滯后30°。

【例3-23】電路如圖3-36所示，對稱三相電壓為380V,對稱負載作三角形連接，每相負載復阻抗為Z=8+j6Ω，求負載的相線電流。

解設為參考相量，即則相電流為

根據(jù)對稱性可推知:線電流為

可推知:3.7.3三相電路的功率

在對稱三相電路中，各相負載(星形或三角形連接)是相等的，各相負載的相電壓與相電流的有效值和阻抗角都相同(用Up、Ip、f表示)，故各相負載吸收的平均功率相等。因此，三相的有功功率為

(3-73)

式中，f是負載相電壓和相電流的相位差或阻抗角。三相的無功功率為

(3-74)

視在功率為

(3-75)小結(jié)

一、基本要求

1.深刻理解正弦交流電中頻率、角頻率與周期之間，瞬時值、有效值與最大值之間，相位、初相位與相位差之間的關系。

2.深刻理解電路基本定律的相量形式和相量圖，掌握用相量法計算簡單正弦交流電路的方法。

3.深刻理解R、L、C在交流電路中的作用。

4.牢固掌握串聯(lián)交流電路中的阻抗、阻抗模和阻抗角的計算，理解串聯(lián)交流電路中電壓與電流的相量關系、有效值關系和相位關系。

5.牢固掌握串聯(lián)、并聯(lián)和簡單混聯(lián)電路